Номер 256

Алгебра 9 класс (Макарычев) § 1. Упражнения №№ 1 — 31

Задание № 1. Функция задана формулой f(х) = –3×2 + 10. Найдите: а) f(–1);   б) f(0);  в) f(1/3).

Задание № 2. Найдите f(0), f(1,5) и f(–1), если f(x) = (x – 0,5)/(x +0,5).

Задание № 3. Известно, что f(х) = х3 – 10. Найдите: а) f(5);   б) f(4);   в) f(2);   г) f(–3).

Задание № 4. Пусть φ(х) = x2 + х + 1. Найдите φ(0) + φ(1) + φ(2) + φ(3).

Задание № 5. Известно, что f(х) = –5х + 6. Найдите значение х, при котором:
а) f(х) =17;   б) f(х) = –3;   в) f(х) = 0.

Задание № 6. Найдите значения х, при которых g(x) = 0, если:
a) g(x) = х(х + 4);   б) g(x) = (x + 1)/(5 – x).

Задание № 7. Существует ли значение х, при котором значение функции, заданной формулой φ (x) = 4/(6 + x), равно: а) 1; б) –0,5; в) 0? В случае утвердительного ответа укажите это значение.

Задание № 8. Найдите значение х, при котором функция, заданная формулой f(x) = 0,5х – 4, принимает значение, равное: а) –5; б) 0; в) 2,5.

Задание № 9.

Задание № 10. Приведите пример функции, область определения которой: а) множество всех чисеx б) множество всех чисел, кроме 7.

Задание № 11. .

Задание № 12. Пассажир метро, вставший на эскалатор, сошёл с него через t с. Глубина спуска h м. Угол наклона эскалатора к горизонтальной плоскости 30°. Выразите формулой зависимость h от t, если скорость движения эскалатора равна 0,75 м/с. Найдите: a) h, если t = 2,25 мин; б) t, если h = 60 м.

Задание № 13. Дальность полёта s м снаряда (без учёта сопротивления воздуха), выпущенного из орудия под углом 45° к горизонту, зависит только от начальной скорости снаряда v м/с и может быть найдена по формуле s = v2/g (g ≈ 10 м/с2). Найдите: а) s, если v = 600 м/с; б) v, если s = 24 км.

Задание № 14. (Для работы в парах.) Укажите область определения функции, заданной формулой:
1) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто – задания б) и г), и выполните их.
2) Объясните друг другу, как вы рассуждали при нахождении области определения функции.
3) Исправьте ошибки, если они допущены.

Задание № 15. .

Задание № 16. .

Задание № 17. .

Задание № 18. .

Задание № 19. .

Задание № 20. Найдите область определения и область значений функции y = x2/(x2 + 1).

Задание № 21. Периметр равнобедренного треугольника с основанием 20 см зависит от длины х (см) боковой стороны. Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость, зная, что периметр треугольника не превосходит 100 см. Укажите область определения и область значений этой функции.

Задание № 22. На рисунке 8 изображён график одной из функций, заданных формулами у = х – 1, у = 1 + х, у = 2х – 1, у = 1 – 2х. Выясните, какой именно.

Задание № 23. На рисунке 9 изображены графики функций, заданных формулами у = x/2, у = 2/x, у = 2 – x/2 , у = –2/x. Для каждой функции укажите соответствующий график.

Задание № 24. По графику функции у = |х| (см. рис. 5) найдите, при каких значениях х:
а) |х| = 3,5; б) |х| < 2; в) |х| ≥ 4.
Каково наименьшее значение функции? Имеет ли она наибольшее значение? Какова область значений функции?

Задание № 25. .

Задание № 26. .

Задание № 27. .

Задание № 28. .

Задание № 29. .

Задание № 30. Решите неполное квадратное уравнение:
а) 6×2 – 3х = 0;    в) x2 – 36 = 0;   д) 0,5×2 – 1 = 0;
б) x2 + 9х = 0;   г) 5×2 + 1 = 0;   е) 0,6х + 9×2 = 0.

Задание № 31. Решите квадратное уравнение:
а) x2 + 7х + 12 = 0;   в) 2×2 – 5х – 3 = 0;
б) x2 – 2х – 35 = 0;   г) 3×2 – 8х + 5 = 0.

Вы смотрели: Алгебра 9 класс УМК Макарычев. Упражнения из учебника с ответами и решениями. Глава 1. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. § 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА. 1. Функция. Область определения и область значений функции. Алгебра 9 Макарычев Упражнения 1-31 + ОТВЕТЫ.

Упрощение выражений, раскрытие скобок, разложение многочленов на множители

Калькулятор позволяет произвести некоторые алгебраические преобразования с выражениями. Результат выводится в нескольких вариантах упрощения/разложения/раскрытия скобок и пр.

Примеры:

$$x^4+x^2a^2+a^4$$ (разложить на множители)

$$\frac{6x^3-24x^2}{6x^3}$$ (разложить на множители)

$$(5x-2y^2)(5x+2y^2)$$ (раскрыть скобки)

$$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)$$ (раскрыть скобки)

$$\frac{a^3-8}{a^2+2a+4}$$ (раскрыть скобки)

$$\frac{\left(\frac{2a}{2a+b}-\frac{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right)}{\left(\frac{2a}{4a^2-b^2}+\frac{1}{b-2a}\right)}+\frac{8a^2}{2a+b}$$ (упростить выражение)

$$\frac{1-\sin ^4\left(x\right)-\cos ^4\left(x\right)}{2\sin ^4\left(x\right)}+1$$ (упростить выражение)

$$\left(\sqrt{a}-\frac{a}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot \frac{a-1}{\sqrt{a}}$$ (упростить выражение)

Решение систем уравнений и неравенств

Системы уравнений и неравенств также решаются с помощью онлайн калькулятора. Чтобы задать систему необходимо ввести уравнения/неравенства, разделяя их точкой с запятой с помощью кнопки ;.

Примеры вычислений систем уравнений и неравенств:

$$\begin{cases}x^2-y^2=3 \\ x^4-y^4=15 \end{cases}$$ (решить систему уравнений)

$$\begin{cases}2x+y+(x-2y)^2=3 \\ x^2-4xy+4y^2=9-3(2x+y) \end{cases}$$ (решить систему уравнений)

$$\begin{cases}x+y=3 \\ y+z=8 \\ x+2y+3z=23 \end{cases}$$ (решить систему уравнений)

$$\begin{cases}5x-7>3x-15 \\ 25-4x>29+2x \end{cases}$$ (решить систему неравенств)

$$\begin{cases}\frac{x^2-9}{x}\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \end{cases}$$ (решить систему неравенств)

$$\begin{cases}\frac{x^2+4x+4}{x+2}\le 9 \\ 2x+9>1 \end{cases}$$ (решить систему неравенств)

Действия над комплексными числами

Онлайн калькулятор имеет функционал для работы с комплексными числами (операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и пр.). Комплексное число обзначается символом «i» и вводится с помощью групповой кнопки xyz и кнопки i

Примеры операций с комплексными числами:

$$\frac{\left(1+i\right)\left(3+i\right)}{3-i}-\frac{\left(1-i\right)\left(3-i\right)}{3+i}$$ (найти разность комплексных чисел)

$$\left(1-i\right)^3+\left(1+i\right)^3$$ (найти сумму комплексных чисел)

$$\left(-2+3i\right)\left(5+4i\right)$$ (найти произведение комплексных чисел)

$$\frac{-5-6i}{-6i}$$ (найти частное комплексных чисел)

$$\left(-2+2i\right)^9$$ (выполнить возведение комплексного числа в степень)

$$\frac{\left(-7-8i\right)i^7}{\left(4-5i\right)\left(-3+i\right)}-\frac{4+4i}{-2-5i}$$ (выполнить действия над комплексными числами)

Пояснения к калькулятору

1. Для решения математического выражения необходимо набрать его в поле ввода с помощью предложенной виртуальной клавиатуры и нажать кнопку ↵.
2. Управлять курсором можно кликами в нужное местоположение в поле ввода или с помощью клавиш со стрелками ← и →.
3. ⌫ — удалить в поле ввода символ слева от курсора.
4. C — очистить поле ввода.
5. При использовании скобок ( ) в выражении в целях упрощения может производится автоматическое закрытие, ранее открытых скобок.
6. Для того чтобы ввести смешанное число или дробь необходимо нажать кнопку ½, ввести сначала значение числителя, затем нажать кнопку со стрелкой вправо → и внести значение знаменателя дроби. Для ввода целой части смешанного числа необходимо установить курсор перед дробью с помощью клавиши ← и ввести число.
7. Ввод числа в n-ой степени и квадратного корня прозводится кнопками ab и √ соответственно. Завершить ввод значения в степени или в корне можно клавишей →.

Раздел 1. Квадратный корень и иррациональные выражения

1.1. Определение квадратного корня

Упражнение

1.11.21.31.4

1.51.61.71.81.91.101.111.121.131.141.151.161.171.181.191.201.211.221.231.241.251.261.271.281.29

1.2 Понятие иррационального числа

Упражнение

1.301.311.321.331.341.351.361.371.381.391.401.411.421.431.441.451.461.471.481.491.501.511.521.531.541.551.561.571.581.59

1.3 Соответствеи между действительными числами и точками прямой

Упражнение

1.601.611.621.631.64

1.651.661.671.681.691.701.711.721.731.741.751.761.771.781.791.801.811.821.831.841.851.861.871.881.891.90

1.4 Свойства квадратного корня

Упражнение

1.911.921.931.941.951.961.971.991.1001.1011.1021.1031.1041.1051.1061.1071.1081.1091.1101.1111.1121.1131.1141.1151.1161.1171.1181.1191.1201.1211.1221.1231.1241.125

1.1261.1271.1281.1291.130

Упражнение

1.1311.1321.1331.1341.1351.1361.1371.1381.1391.1401.1411.1421.1431.1441.1451.1461.1471.1481.1491.1501.1511.1521.1531.1541.1551.1561.1571.1581.1591.1601.1611.1621.1631.1641.1651.1661.1671.1681.1691.1701.1711.1721.1731.1741.1751.176

Решение интегралов

Онлайн калькулятор предоставляет инструменты для интегрирования функций. Вычисления производятся как с неопределенными, так и с определенными интегралами. Ввод интегралов в поле калькулятора осуществляется вызовом групповой кнопки f(x) и далее:∫ f(x) — для неопределенного интеграла;b_a∫ f(x) — для определенного интеграла.

В определенном интеграле кроме самой функции необходимо задать нижний и верхний пределы.

Примеры вычислений интегралов:

$$\int \left(\frac{x^4}{x^3-6x^2+11x-6}\right)dx$$ (найти интеграл функции)

$$\int \left(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int \left(\left(x^2+3x+5\right)\cos 2x\right)dx$$ (вычислить интеграл)

$$\int \left(\frac{x+\arccos ^2\left(3x\right)}{\sqrt{1-9x^2}}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _1^{e^3}\left(\frac{1}{x\sqrt{1+\log \left(x\right)}}\right)dx$$ (найти интеграл функции)

$$\int _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\left(\sin 6x\sin 7x\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _{+\infty }^{-\infty }\left(\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+4\right)}\right)dx$$ (решить интеграл)

$$\int _1^2\left(x^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right)dx$$ (вычислить интеграл)

Решение уравнений и неравенств

Математический калькулятор может решать уравнения и неравентства относительно переменной «x». Если есть необходимость найти другую переменную, например «y», то следует просто поменять их местами в выражении. Ввод переменных «x»,»y»,»z» производится в группе xyz нажатием соответствующих кнопок x, y, z.

Примеры решений уравнений и неравенств:

$$\frac{5}{12}+\frac{x}{6}=\frac{x}{4}+\frac{1}{3}$$ (решить уравнение)

$$x^2+12x+36=0$$ (решить уравнение)

$$\left(x+8\right)^2=x^2+8$$ (решить уравнение)

$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)=4$$ (решить уравнение)

$$\frac{19-x^2-4x}{49-x^2}(решить неравенство)
$$\frac{x}{3}+\frac{2x-1}{5}>2x-\frac{1}{15}$$ (решить неравенство)

$$\frac{\left(x-1\right)^2\left(x+7\right)\left(x+3\right)^3}{x^2+6x+9}\ge 0$$ (решить неравенство)

Раздел 2. Квадратные уравнения

2.1 Квадратное уравнение и его корни

2.12.22.32.42.52.62.72.82.9

2.102.112.122.132.142.152.162.182.192.202.212.222.232.242.252.262.272.28

2.2 Формулы корней квадратного уравнения

2.292.302.312.322.332.342.352.362.372.382.392.402.412.422.432.442.452.462.472.482.492.502.512.522.532.542.552.562.572.582.592.602.61

2.3 Теорема Виета

2.622.632.642.652.662.672.682.692.70

2.712.722.732.742.752.762.772.782.792.802.812.822.832.842.852.862.872.882.892.902.91

2.4 Свойства корней квадратного уравнения

2.922.932.942.952.962.972.982.992.1002.1012.1022.1032.1042.1052.1062.1072.1082.1092.1102.112

2.5 Решение уравнений

2.1132.1142.1152.1162.1172.1182.1192.1202.1212.1222.1232.1242.1252.1262.1272.1282.1292.130

2.6 Рациональные уравнения. Текстовые задачи, приводимые к квадратным уравнениям

2.131

2.1322.1332.1342.1352.1362.1372.1382.1392.1402.1412.1422.1432.1442.1452.1462.1472.1482.1492.1502.1512.1522.1532.1542.1552.1562.1572.1582.1592.160

2.1612.1622.1632.1642.1652.1662.1672.1682.1692.1702.1712.1722.1732.174

Вычисление выражений с логарифмами

В калькуляторе кнопкой log_e(x) возможно задать натуральный логарифм, т.е логарифм с основанием «e»: log_e(x) — это ln(x). Для того чтобы ввести логарифм с другим основанием нужно преобразовать логарифм по следующей формуле: $$\log_a \left(b\right) = \frac{\log \left(b\right)}{\log \left(a\right)}$$ Например, $$\log_{3} \left(5x-1\right) = \frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}$$

Примеры решений выражений с логарифмами:

$$\log _3\left(5x-1\right)=2$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(5x-1\right)}{\log \left(3\right)}=2$$ (решить уравнение)

$$\log _2\left(x\right)=2\log _x\left(2\right)-1$$ преобразуем в $$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(2\right)}=2\cdot \frac{\log \left(2\right)}{\log \left(x\right)}-1$$ (найти x в уравнении)