Формулы суммы и разности тригонометрических функций
-
Синус суммы и разности:
$$\mathbf{\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);}$$
$$\mathbf{\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);}$$ -
Косинус суммы и разности:
$$\mathbf{\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\sin(\alpha);}$$
$$\mathbf{\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\sin(\alpha);}$$ -
Тангенс суммы и разности:
$$\mathbf{tg(\alpha+\beta)=\frac{tg(\alpha)+tg(\beta)}{1-tg(\alpha)*tg(\beta)};}$$
$$\mathbf{tg(\alpha-\beta)=\frac{tg(\alpha)-tg(\beta)}{1+tg(\alpha)*tg(\beta)};}$$ -
Котангенс суммы и разности:
$$\mathbf{сtg(\alpha+\beta)=\frac{-1+сtg(\alpha)*ctg(\beta)}{ctg(\alpha)+ctg(\beta)};}$$
$$\mathbf{сtg(\alpha-\beta)=\frac{-1-сtg(\alpha)*ctg(\beta)}{ctg(\alpha)-ctg(\beta)};}$$
Формулы суммы разности тригонометрических функций попадаются в ЕГЭ по профильной математике в №12. В прошлые года эти формулы давались в справочные материалах и учить их было не обязательно. Тем не менее, я бы рекомендовал выучить хотя бы формулы суммы и разности для синуса и косинуса.
Это не очень удобно, но иногда формулы суммы разности используют для вывода формул приведения:
Пример 3
Упростить выражение \(sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)\).
Воспользуемся формулой синуса суммы:
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)+\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$
$$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin(\frac{\pi}{2})*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*\cos(\frac{\pi}{2})=$$
$$=1*\cos(\alpha)+\sin(\alpha)*0=\cos(\alpha);$$
Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:
Пример 4
Найдите значение \(\sin(15^o)=?\)
\(15^o\) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим \(15^o\) в виде разности стандартных углов \(15^o=45^o-30^o\). И воспользуемся формулой синуса разности:
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)*\cos(\beta)-\sin(\beta)*\cos(\alpha);$$
$$\sin(15^o)=\sin(45^o-30^o)=\sin(45^o)*\cos(30^o)-\sin(30^o)*\cos(45^o)=$$
$$=\frac{\sqrt{2}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=$$
$$=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};$$
Вот мы наши синус \(15^o\). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.
Ответ: \(\sin(15^o)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\)
Пример 5
Найдите значение \(\cos(75^o)=?\)
\(75^o\) можно представить в виде суммы стандартных углов \(75^o=30^o+45^o\). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы:
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos(30^o)*\cos(45^o)-\sin(30^0)*\sin(45^0)=$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=$$
$$=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};$$
У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что \(\cos(75^o)=\sin(15^o)\). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.
Ответ: \(\cos(75^o)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\)
Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.
Комбинированные уравнения
При решении уравнений этого типа важно обращать внимание на область допустимых значений входящих в него переменных. Именно поэтому составители вариантов ЕГЭ не просят учеников осуществлять отбор решений из полученных серий ответов. Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции
Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей системе:
Обратите внимание! Писать, что нет никакой необходимости, поскольку по условию это выражение равно выражению которое, в свою очередь, больше или равно нулю
Нужно, чтобы поразмыслив, понимаем, что поэтому из полученной серии ответов нам подходят только
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение:
Показать ответ
Ответ:
Пример 6. Решите уравнение:
Решение. Данное уравение равносильно системе:
Тригонометрическая функция синус положительна в первой и второй координатной четвертях, поэтому из полученных серий выбираем только эту:
Раз уж мы с этим столкнулись, не лишним будет повторить, какие знаки принимают тригонометрические функций в различных координатных четвертях:
Знаки функций, входящих в тригонометрические уравнения, по координатным четвертям
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение:
Показать ответ
Ответ:
Пример 7. Решите уравнение:
Решение. Область допустимых значения уравнения определяется условием: то есть Разобьем решение на два случая:
1) Пусть тогда уравнение принимает вид:
Последнее равенство неверно, поэтому в данном случае решений у уравнения не будет.
2) Пусть тогда уравнение принимает вид:
Условию удовлетворяет только последняя серия.
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение:
Показать ответ
Ответ:
ЕГЭ по математике 2012 позади, все в ожидании результатов, которые обещали объявить во вторник 19 июня. Сейчас уже поздно желать высоких баллов на экзаменах нынешним выпускникам. Но вот пожелать успехов сегодняшним десятиклассникам я возможности не упущу. Удачи вам в подготовке и помните, что чем раньше она начнется, тем лучше будут результаты на экзамене.
Репетитор математикиСергей Валерьевич
Вынесение общего множителя в тригонометрических уравнениях
Еще один распространенный на ЕГЭ тип тригонометрических уравнений, в которых необходимо вынести общий множитель.
Пример 27
$$\sin(2x)-2\sin^2(x)=0;$$
В этом уравнении только одна тригонометрическая функция — \(\sin(x)\). Но под синусами стоят разные выражения. Поэтому избавимся от двойного угла под синусом при помощи формулы синуса двойного угла:
$$\sin(2x)=2\sin(x)*\cos(x);$$
Уравнение примет вид:
$$2\sin(x)*\cos(x)-2\sin^2(x)=0;$$
Замечаем общий множитель \(2*\sin(x)\), вынесем его за скобки:
$$2*\sin(x)*(\cos(x)-\sin(x))=0;$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Уравнение разбивается на два:
Либо:
$$2\sin(x)=0;$$
$$\sin(x)=0;$$
$$x_{1}=0+2\pi*n=2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=\pi+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
(Кстати, эти два решения можно объединить в одно: \(x=0+\pi*n=\pi*n, \quad n \in Z;\))
Либо второе уравнение:
$$\cos(x)-\sin(x)=0;$$
Это уравнение решается при помощи деления. Разделим левую и правую часть уравнения на \(\cos(x)\):
$$\frac{\cos(x)-\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{0}{\cos(x)};$$
$$1-\frac{sin(x)}{\cos(x)}=0;$$
$$1-tg(x)=0;$$
$$tg(x)=1;$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
Ответ:
$$x_{1}=\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=\frac{\pi}{4}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
Пример 28
$$2\cos(\frac{\pi}{2}-x)=tg(x);$$
Сразу замечаем формулу приведения под косинусом:
$$\cos(\frac{\pi}{2}-x)=\sin(x);$$
Подставляем в исходное уравнение
$$2\sin(x)=tg(x);$$
Распишем тангенс по определению:
$$tg(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)};$$
$$2\sin(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)};$$
$$2\sin(x)-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=0;$$
И здесь тоже будет общий множитель \(\sin(x)\):
$$\sin(x)*(2-\frac{1}{\cos(x)})=0;$$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
Первый множитель:
$$\sin(x)=0;$$
$$x_{1}=0+\pi*n=\pi*n, \quad n \in Z;$$
Второй множитель:
$$2-\frac{1}{\cos(x)}=0;$$
Приведем к общему знаменателю:
$$\frac{2\cos(x)}{\cos(x)}-\frac{1}{\cos(x)}=0;$$
$$\frac{2\cos(x)-1}{\cos(x)}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю – избавляемся от знаменателя:
$$2\cos(x)-1=0;$$
$$2\cos(x)=1;$$
$$\cos(x)=\frac{1}{2};$$
$$x_{2}=\frac{\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Ответ:
$$x_{1}=\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=\frac{\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Метод группировки в тригонометрических уравнениях
Рассмотрим еще уравнение, которое было на ЕГЭ 2015 года на метод группировки. Тоже нужно обязательно это знать. Сам метод, если кто не знает, сводится, по сути, к вынесению общего множителя за скобки, только немного сложнее.
Пример 29
$$\sin(2x)+\sqrt{2}\sin(x)=2\cos(x)+\sqrt{2};$$
Избавляемся от двойного угла:
$$2*\sin(x)\cos(x)+\sqrt{2}\sin(x)=2\cos(x)+\sqrt{2};$$
И перенесем все в левую часть:
$$2*\sin(x)\cos(x)+\sqrt{2}\sin(x)-2\cos(x)-\sqrt{2}=0;$$
У нас 4 слагаемых, сгруппируем их попарно: 1-е со 2-м, а 3-е с 4-м, и вынесем в каждой паре общий множитель:
$$\sin(x)(2\cos(x)+\sqrt{2})-1(2\cos(x)+\sqrt{2})=0;$$
У 3-го и 4-го слагаемых я вынес за скобки \(-1\).
Теперь обратите внимание, что в скобках получились идентичные выражения, то есть эти скобки абсолютно одинаковые. Вынесем эту общую скобку за скобку!
$$(2\cos(x)+\sqrt{2})(\sin(x)-1)=0;$$
Вот мы и сгруппировали, теперь приравниваем каждый множитель к нулю:
Первый множитель:
$$2\cos(x)+\sqrt{2}=0;$$
$$\cos(x)=\frac{-\sqrt{2}}{2};$$
$$x_{1}=\frac{3\pi}{4}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x_{2}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Второй множитель:
$$\sin(x)-1=0;$$
$$\sin(x)=1;$$
$$x_{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Формулы сложения и вычитания углов
Перейдем к сложению и вычитанию аргумента. В записи задания это обычно выглядит, например, так: \(tg(\alpha+\beta)\) или \(ctg(\alpha-\beta)\). Если повезет, выражение в аргументе может прийти к обычному углу, который достаточно легко посчитать. Однако, не всегда все так просто.
Например, попробуем посчитать \(sin(45+60)\). В скобках получаем угол в 105 градусов, что не является табличным значением. Что же делать? Считать через аркфункцию? Подробнее про аркфункцию мы поговорим чуть дальше.
На самом деле, мы можем воспользоваться формулами сложения и вычитания углов. Рассмотрим их.
\(sin(\alpha\pm\beta)=sin\alpha*cos\beta \pm cos \alpha*sin\beta\) \(cos(\alpha\pm\beta)=cos \alpha*cos\beta \mp sin \alpha*sin\beta\)\(tg(\alpha\pm\beta)=\frac{tg \alpha \pm tg\beta}{ 1\pm tg \alpha*tg\beta}\)\(ctg(\alpha\pm\beta)=\frac{ctg \alpha*ctg\beta\mp1}{ctg\beta\mp ctg\beta \pm \alpha}\)
Заметим, что в этих формулах у нас появился знак \(\mp\). Знаки \(\pm\) и \(\mp\) отличаются друг от друга и эту разницу мы сейчас обсудим.
Знак \(\mp\) означает, что нам нужно использовать противоположный знак тому, который стоит в аргументе. Например, у нас в аргументе стоит +, тогда при преобразовании формулы мы должны поменять его на минус. Например, \(cos(a+\beta)=cos a*cos\beta -sin a*sin\beta\).Точно так же с этим знаком минус меняется на плюс.
Если в аргументе стоит привычный \(\pm\), то знаки мы не меняем и используем те же, что даны изначально. Например, \(sin(a+\beta)=sin a*cos \beta+cos a*sin \beta\).
Чтобы точно не запутаться в преобразовании знаков, нужно ориентироваться по одной стороне. Например, если в примере у нас стоит знак сверху, то и все остальные знаки для преобразований мы берем сверху.
Рассмотрим \(tg(a-\beta)\). Заметим, что в изначальной формуле минус стоит снизу, значит, для преобразований берем только нижние знаки. Получаем:
\(tg(a-\beta)=\frac{tg a-tg\beta}{1+tg a*tg \beta}\)
Теперь попробуем решить наше выражение sin(45+60). Применим формулу и получим:
\(sin(45+60)=sin 45*cos 60+cos 45*sin 60\)
Далее нам просто нужно подставить табличные значения синусов и косинусов. Саму таблицу мы приложили ниже, а подробнее про работу с ней рассказывали в статье «Тригонометрическая окружность. Часть 1».
По таблице получаем:
\(sin 45*cos 60+cos 45*sin 60=\frac{\sqrt2}{2}*\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{2}*\frac{\sqrt3}{2}\)
Осталось посчитать выражение и найти ответ:
\(\frac{\sqrt2}{2}*\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{2}*\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt2}{4}+\frac{\sqrt6}{4}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\)
Аргументы мы меняли различными способами. Можем ли как-то поменять саму тригонометрическую функцию? Конечно! Например, возведем ее в квадрат.
Основные тригонометрические формулы[править | править код]
| № | Формула | Допустимые значения аргумента |
|---|---|---|
| 1.1 | sin2α+cos2α=1{\displaystyle \operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1} | ∀α{\displaystyle \forall \alpha } (то есть любое значение α) |
| 1.2 | tg2α+1=1cos2α=sec2α{\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha } | α≠π2+πn{\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n} при n∈Z{\displaystyle n\in \mathbb {Z} } |
| 1.3 | ctg2α+1=1sin2α=cosec2α{\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha } | α≠πn,n∈Z{\displaystyle \alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z} } |
| 1.4 | tgα⋅ctgα=1{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1} | α≠πn2,n∈Z{\displaystyle \alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z} } |
- Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
- Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на cos2α{\displaystyle \cos ^{2}\alpha } и sin2α{\displaystyle \sin ^{2}\alpha } соответственно.
- Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.
Архив записей
Архив записейВыберите месяц Ноябрь 2022 (1) Сентябрь 2022 (1) Январь 2022 (2) Сентябрь 2021 (1) Июль 2021 (1) Июнь 2021 (2) Май 2021 (1) Апрель 2021 (1) Март 2021 (1) Сентябрь 2020 (1) Август 2020 (2) Июль 2020 (2) Июнь 2020 (2) Декабрь 2019 (3) Ноябрь 2019 (4) Октябрь 2019 (3) Сентябрь 2019 (2) Май 2019 (1) Октябрь 2018 (1) Июнь 2018 (1) Апрель 2018 (1) Январь 2018 (1) Ноябрь 2017 (1) Октябрь 2017 (1) Сентябрь 2017 (2) Август 2017 (4) Июль 2017 (5) Июнь 2017 (4) Май 2017 (5) Апрель 2017 (2) Март 2017 (1) Февраль 2017 (1) Январь 2017 (3) Декабрь 2016 (1) Ноябрь 2016 (2) Октябрь 2016 (3) Сентябрь 2016 (4) Август 2016 (6) Июль 2016 (9) Июнь 2016 (4) Май 2016 (5) Апрель 2016 (6) Март 2016 (5) Февраль 2016 (8) Январь 2016 (8) Декабрь 2015 (9) Ноябрь 2015 (4) Июль 2015 (1) Март 2015 (1) Февраль 2015 (1) Январь 2015 (1) Июль 2014 (1) Июль 2013 (1) Март 2013 (2) Декабрь 2012 (1) Ноябрь 2012 (1) Сентябрь 2012 (3) Август 2012 (4) Июль 2012 (4) Июнь 2012 (4) Май 2012 (4) Апрель 2012 (5) Март 2012 (7) Февраль 2012 (8) Январь 2012 (7) Декабрь 2011 (5) Ноябрь 2011 (1)
Формулы для решения тригонометрических уравнений
Мы разобрали решения всех основных типов простейших тригонометрических уравнений при помощи единичной окружности. Я бы рекомендовал всегда решать именно при помощи окружности, это очень полезно для понимания.
А сейчас мы запишем формулы, при помощи которых можно решать уравнения без единичной окружности.
Пусть у нас есть простейшие тригонометрические уравнения:
Можно просто запомнить формулы и решать уравнения с их помощью.
И полезно помнить формулы, которые мы вводили, когда давали :
$$\arcsin(-a)=-\arcsin(a);$$
$$\arccos(-a)=\pi-\arccos(a);$$
$$arctg(-a)=-arctg(a);$$
$$arcctg(-a)=\pi-arcctg(a).$$
Рассмотрим примеры:
Пример 15
$$\sin(x)=\frac{1}{2};$$
Сразу выпишем общую формулу ответа:
Если вы можете посчитать, чему равен арксинус, то это обязательно нужно сделать.
Арксинус от \(\frac{1}{2}\), согласно определению, это угол, синус от которого равен \(\frac{1}{2}\). По таблице стандартных углов мы видим, что синус равен \(\frac{1}{2}\) от угла \(\frac{\pi}{6}\):
$$\arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6};$$
$$x=(-1)^n*\frac{\pi}{6}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
В таком виде уже можно записывать ответ:
Ответ: \(x=(-1)^n*\frac{\pi}{6}+\pi*n, \quad n \in Z.\)
Пример 16
$$\cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2};$$
Общий вид решения:
$$x=\pm\arccos(a)+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
где \(a=-\frac{\sqrt{2}}{2}\);
$$x=\pm\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Арккосинус от \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) это угол, косинус от которого будет равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Но в таблице нет значения \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\), зато есть \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
![Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы [wiki.eduvdom.com]](https://biologiyavklasse.ru/wp-content/uploads/1/1/1/111ba5195ada642cce5082d4f64cf700.jpeg)
Используя свойство арккосинуса:
$$\arccos(-a)=\pi-\arccos(a);$$
Можно записать:
$$x=\pm(\pi-\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}))+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Учитывая:
$$\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi}{4};$$
Подставляем:
$$x=\pm(\pi-\frac{\pi}{4})+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi*n, \quad n \in Z;$$
Ответ: \(x=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi*n, \quad n \in Z.\)
Пример 17
$$tg(x)=-\sqrt{3};$$
Общий вид решения:
$$x=arctg(a)+\pi*n, \quad n \in Z;$$
где \(a=-\sqrt{3}\);
$$x=arctg(-\sqrt{3})+\pi*n, \quad n \in Z;$$
Арктангенс от \(-\sqrt{3}\) это угол, тангенс от которого равен \(-\sqrt{3}\). В таблице опять нет такого значения \(-\sqrt{3}\), но есть положительное \(\sqrt{3}\), арктангенс от которого можно посчитать:
$$arctg(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3};$$
Учитывая свойство арктангенса:
$$arctg(-a)=-arctg(a);$$
Подставляем в нашу формулу:
$$x=-arctg(\sqrt{3})+\pi*n, \quad n \in Z;$$
$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi*n, \quad n \in Z;$$
5 формул тригонометрии: теория для ЕГЭ
А теперь предлагаю перейти к самому интересному — а именно к формулам. К сожалению, их действительно много. А ещё они похожи, и если их просто учить (или бездумно зубрить), то велик риск перепутать «+» с «–» или забыть какую-нибудь единичку.
Но прежде чем я расскажу вам, как выводятся тригонометрические формулы, пообещайте, что обязательно отработаете все правила выведения! Для этого нужно будет регулярно выводить формулы по указанным ниже схемам.
Вот формулы, которые будут у вас в справочном материале:
Тригонометрия: теория для ЕГЭ — 5 основных формул
Формула № 1 и как она пригодится в поиске котангенса и тангенса
Первая формула — основное тригонометрическое тождество (ОТТ):
Тригонометрия: теория для ЕГЭ — формула № 1
Обычно ученики знают ее очень хорошо. Она связывает синус и косинус и помогает найти одну функцию через другую.
С этой формулой косвенно связана другая (ее нет в справочном материале), которая тоже легко дается школьникам:
Тригонометрия: теория для ЕГЭ
Эту формулу очень легко запомнить, если знать, как можно расписать тангенс и котангенс через синус и косинус:
Тригонометрия: теория для ЕГЭ
Эти 2 формулы связывают по отдельности синус с косинусом и тангенс с котангенсом. Но иногда требуется, чтобы были связаны все 4 функции, и здесь на помощь приходят следствия из ОТТ (как раз та самая формула № 1).
Чтобы вывести следствия нужно всего лишь разделить ОТТ на sin2 и cos2:
Тригонометрия: теория для ЕГЭ — что выводится из формулы № 1
Теперь можно легко найти:
- котангенс, зная синус,
- или тангенс, зная косинус.
Формула № 2 и что из нее можно вывести
С тождествами разобрались, давайте перейдём к формулам двойного угла. Что касается синуса двойного угла (вторая формула в справочном материале):
Тригонометрия: теория для ЕГЭ — формула № 2
Здесь всё просто, берёте и применяете формулу, если видите, что она нужна для задания.
Формула № 3 и что из нее можно вывести
А вот с косинусом двойного угла (третья формула в справочном материале) всё интереснее. Безусловно, косинус двойного угла:
Тригонометрия: теория для ЕГЭ — формула № 3
в чистом виде встречается, и тогда вы делаете всё тоже самое, что с синусом. Но на самом деле есть ещё 2 формулы, которые очень просто вывести, используя ОТТ (формулу № 1). Для начала нужно выразить квадрат синуса и квадрат косинуса из ОТТ (Шаг 1):
Тригонометрия: теория для ЕГЭ — как еще найти косинус двойного угла (Шаг 1)
А потом нужно подставить эти значения в формулу (6, или третья формула справочного материала) (Шаг 2):
Тригонометрия: теория для ЕГЭ — как еще найти косинус двойного угла (Шаг 2)
Вот мы вывели ещё 2 формулы! А сейчас я покажу вам как практически ничего не делая получить ещё 2. Мы будем выводить формулы понижения степени из формул двойного угла. Смотрите, нужно всего лишь выразить одно из другого:
Тригонометрия: теория для ЕГЭ — что выводится из формулы № 3
Формулы № 4 и 5 и что из них можно вывести
Давайте посмотрим на справочный материал, у нас там ещё целых 2 формулы, из которых мы получим конечно же ещё 2! Сейчас вообще ничего удивительного не будет. Вот формулы, которые уже даны:
Тригонометрия: теория для ЕГЭ — формулы № 4 и 5
Как вы заметили, они для суммы углов, а чтобы получить формулы для разности углов, нам нужно всего лишь поменять знаки в формуле на противоположные (разумеется, я говорю про «+» и «–»):
Тригонометрия: теория для ЕГЭ — что выводится из формул № 4 и 5
Вот так при помощи нехитрых преобразований из 5-ти формул справочного материала мы получили целых 14!
Все скриншоты взяты из открытого банка заданий ФИПИ или из ЕГЭ по математике 2022.
Формулы преобразования суммы функций[править | править код]
| № | Формулы преобразования суммы функций |
|---|---|
| 7.1 | sinα±sinβ=2sinα±β2cosα∓β2{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}} |
| 7.2 | cosα+cosβ=2cosα+β2cosα−β2{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}} |
| 7.3 | cosα−cosβ=−2sinα+β2sinα−β2{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}} |
| 7.4 | tgα±tgβ=sin(α±β)cosαcosβ{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}} |
| 7.5 | ctgα±ctgβ=sin(β±α)sinαsinβ{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}} |
Вывод формул преобразования суммы функций
Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (6.1)—(6.3) с помощью подстановки:
- α=α′+β′2{\displaystyle \alpha ={\frac {\alpha ‘+\beta ‘}{2}}}
и
- β=α′−β′2{\displaystyle \beta ={\frac {\alpha ‘-\beta ‘}{2}}}.
Подставим эти выражения в формулу (6.1):
- sinα′+β′2sinα′−β′2=cosβ′−cosα′2{\displaystyle \sin {\frac {\alpha ‘+\beta ‘}{2}}\sin {\frac {\alpha ‘-\beta ‘}{2}}={\frac {\cos \beta ‘-\cos \alpha ‘}{2}}}, то есть
- cosα′−cosβ′=−2sinα′+β′2sinα′−β′2{\displaystyle \cos \alpha ‘-\cos \beta ‘=-2\sin {\frac {\alpha ‘+\beta ‘}{2}}\sin {\frac {\alpha ‘-\beta ‘}{2}}} — опуская штрихи, получаем формулу (7.3).
Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично.
Из формулы (2.3) следует:
- tgα+tgβ=tg(α+β)(1−tg(α)tg(β))={\displaystyle \operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta =\operatorname {tg} (\alpha +\beta )(1-\operatorname {tg} (\alpha )\operatorname {tg} (\beta ))=}
- =sin(α+β)cos(α+β)⋅cosαcosβ−sinαsinβcosαcosβ{\displaystyle ={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}
- =sin(α+β)cos(α+β)⋅cos(α+β)cosαcosβ{\displaystyle ={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}, то есть
- tgα±tgβ=sin(α±β)cosαcosβ{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \qquad } — формула (7.4).
Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при α+β+γ=360∘{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =360^{\circ }\colon }
- sinα+sinβ+sinγ=4sinα2sinβ2sinγ2{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}} (7.6).
VI группа. Формулы понижения степени
cos2α = 1 + cos2α_________ 2;
sin2α = 1 − cos2α_________ 2;
cos3α = 3cosα + cos3α____________4;
sin3α = 3sinα − sin3α____________4.
Первые две формулы этой группы очень нужны. Применяются часто при решении тригонометрических уравнений, в том числе уровня единого экзамена, а также при вычислении интегралов, содержащих подинтегральные функции тригонометрического типа.
2cos2α = 1 + cos2α; 2 sin2α = 1 − cos2α,
Необходимость в использовании следующих двух формул (с кубами функций) на экзаменах встречается гораздо реже. В другой обстановке у Вас всегда будет время воспользоваться черновиком. При этом возможны следующие варианты:
1) Если Вы помните последние две формулы III-ей группы, то пользуйтесь ими, чтобы выражать sin3α и cos3α путем несложных преобразований.
2) Если в последних двух формулах этой группы Вы заметили элементы симметрии, которые способствуют их запоминанию, то записывайте «эскизы» формул на черновике и проверяйте их по значениям основных углов.
3) Если, кроме того, что такие формулы понижения степени существуют, Вы о них ничего не знаете, то решайте задачу поэтапно, исходя из того, что sin3α = sin2α·sinα и прочих выученных формул. Потребуются формулы понижения степени для квадрата и формулы преобразования произведения в сумму.
Если рекомендации понятны, нажмите кнопку , чтобы убрать «лишние» формулы.