Квадрат разности
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac{17}{8}\).
Решение:
|
\((2a-3)^2-4(a^2-a)=\) |
Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки. |
|
|
\(=4a^2-12a+9-4a^2+4a=\) |
Теперь приведем подобные слагаемые. |
|
|
\(=-8a+9=\) |
Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений. |
|
|
\(=-8·\frac{17}{8}+9=-17+9=8\) |
Пишем ответ. |
Ответ: \(8\).
Разность квадратов
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Получили формулу:
Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями.
Пример. Сократите дробь \(\frac{x^2-9}{x-3}\).
Решение:
|
\(\frac{x^2-9}{x-3}\)\(=\) |
Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус! |
|
|
\(=\) \(\frac{x^2-3^2}{x-3}\)\(=\)\(\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}\)\(=\) |
Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки. |
|
|
\(=x+3\) |
Готов ответ. |
Ответ: \(x+3\).
Пример.Разложите на множители \(25x^4-m^{10} t^6\). Решение:
|
\(25x^4-m^{10} t^6\) |
Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^{nm}\) и \(a^n b^n=(ab)^n\). |
|
|
\(=(5x^2 )^2-(m^5 t^3 )^2=\) |
Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\). |
|
|
\(=(5x^2-m^5 t^3 )(5x^2+m^5 t^3 )\) |
Готов ответ. |
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
Пример (повышенной сложности!).Сократите дробь \(\frac{x^2-4xy-9+4y^2}{x-2y+3}\) . Решение:
Квадрат суммы
Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь, и привести подобные слагаемые. Получаем:
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Пример. Раскрыть скобки: \((x+5)^2\)Решение:
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ
Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду.
Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.
Решение:
|
\((1+5x)^2-12x-1= \) |
Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы… |
|
|
\(=1+10x+25x^2-12x-1=\) |
…и приведем подобные слагаемые. |
|
|
\(=25x^2-2x\) |
Готово. |
Ответ: \(25x^2-2x\).
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.
Решение:
\((368)^2+2·368·132+(132)^2=\)
Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего
Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
\(=(368+132)^2=\)
Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
\(=(500)^2=250 000.\)
Готово.
Ответ: \(250 000\).