Интеграл

Неопределенный интеграл и его определение

Разберем свойства неопределенных интегралов. К примеру, допустимо исключать константу из-под знака интеграла:

\(\int{kf\left( x \right)dx}=k\cdot \int{f\left( x \right)dx}\)

Пример 15

Исходя из записанного свойства, вычислим интеграл:

\(\int{4{{x}^{2}}dx}\)

Получим, что:

\(\int{4{{x}^{2}}dx}=4\cdot \int{{{x}^{2}}dx}=4\cdot \frac{{{x}^{3}}}{3}+C=\frac{4{{x}^{3}}}{3}+C\)

Следующее свойство неопределенного интеграла можно сформулировать, как «интеграл суммы или разности равен сумме или разности интегралов от каждого из слагаемых», то есть:

\(\int{\leftdx}=\int{f\left( x \right)dx}\pm \int{g\left( x \right)dx}\)

Пример 16

Требуется определить, чему равен интеграл:

\(\int{\left( x+\sin x \right)}dx\)

Воспользуемся записанным свойством:

\(\int{\left( x+\sin x \right)}dx=\int{xdx}+\int{\sin xdx}\)

\(\int{\left( x+\sin x \right)}dx=\frac{{{x}^{2}}}{2}-\cos x+C\)

Производная от интеграла определяется, как подынтегральная функция:

\({{\left( \int{f\left( x \right)dx} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)\)

Пример 17

Нужно вычислить интеграл:

\({{\left( \int{{{x}^{2}}dx} \right)}^{\prime }}\)

Согласно записанному свойству, получим:

\({{\left( \int{{{x}^{2}}dx} \right)}^{\prime }}={{x}^{2}}\)

Интеграл от дифференциала функции соответствует сумме данной функции и постоянной интегрирования:

\(\int{df\left( x \right)dx}=f\left( x \right)+C\)

Пример 18

Необходимо вычислить значение следующего интеграла:

\(\int{d\left( \arcsin x \right)dx}\)

Воспользуемся уже знакомым свойством:

\(\int{d\left( \arcsin x \right)dx}=\arcsin x+C\)

Другое свойство неопределенного интеграла предполагает, что при условии \(\int{f\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C\) справедливо следующее равенство:

\(\int{f\left( kx+b \right)dx}=\frac{1}{k}F\left( kx+b \right)+C\)

Пример 19

Требуется определить значение интеграла \(\int{3\cdot {{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}\) при условии, что:

\(\int{3{{x}^{2}}dx}={{x}^{3}}+C.\)

Исходя из записанного свойства, для \(k=2\) верным является следующее соотношение:

\(\int{3\cdot {{\left( 2x-4 \right)}^{2}}dx}=\frac{1}{2}{{\left( 2x-4 \right)}^{3}}+C=\frac{{{\left( 2x-4 \right)}^{3}}}{2}+C\)

Определить интеграл от производной какой-либо функции можно путем сложения данной функции с постоянной интегрирования:

\(\int{{F}’\left( x \right)dx}=F\left( x \right)+C\)

Пример 20

Дано выражение, которое нужно доказать:

\(\int{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}dx}={{x}^{2}}+C\)

Определим интеграл \(\int{{{( {{x}^{2}} )}^{\prime }}dx}\). Заметим, что производная подынтегральной функции соответствует следующему значению:

\({{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=2x\)

В результате:

\(\int{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}dx}=\int{2xdx}\)

Воспользуемся свойствами интеграла для вынесения постоянной за знак интеграла:

\(\int{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}dx}=2\int{xdx}\)

В таком случае:

\(\int{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}dx}=2\int{xdx}=2\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+C={{x}^{2}}+C\)

\(\int{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}dx}={{x}^{2}}+C\)

Соотношение доказано.

Что такое интеграл

Итак, у нас есть некая функция, у неё есть числа на входе и числа на выходе. Эти пары чисел можно использовать для построения графика функции. 

Теперь берём этот график функции и проводим две линии, которые ограничивают график. Получается фигура, которая сверху зависит от нашей функции, а с остальных сторон ограничена прямыми линиями и осью:

А теперь то, ради чего всё это затевалось:

Площадь этой фигуры и есть интеграл функции f(x) = sin(x) + cos(x) на отрезке от a до b

В нашем случае мы считаем интеграл от нуля до числа пи — 3,1415926…

Это называется определённый интеграл. Определённый — это когда у нас определены начало и конец фигуры — в математике это называют пределами интегрирования. Записывается этот интеграл так:

В математике есть ещё неопределённые интегралы, у которых нет пределов интегрирования. Ими мы заниматься не будем, потому что ответом к неопределённому интегралу будет не конкретное число, а формула.

Определение интегрирования

Определение

Операция нахождения интеграла называется интегрированием.

Дифференциал с интегральным выражением являются взаимно обратными действиями. У любой непрерывной на интервале функции есть какой-либо неопределенный интеграл.

Кратко о терминах и обозначениях:

Таблица интегралов:

Таблица производных не включает формулы, которые соответствуют формулам из 10,13,14 таблицы. Чтобы проверить справедливость формул, необходимо произвести дифференцирование над ними.

Формулы интегралов, полная таблица основных свойств:

Расшифровка свойств интегралов:

1. Неопределенный интеграл при интегрировании функции является равным предоставляемой функции.
2. Производная от интегрального выражения будет равна подынтегральной функции, а дифференциал будет равен подынтегральному выражению.
3. Множитель в виде числа можно выносить за интеграл.
4. Интегральное выражение от суммы функций имеет такое же значение, как сумма интегральных выражений.
5. Подынтегральное выражение с множителями внутри равен подынтегральному выражению с выносимой константой.

C помощью них можно упростить выражение интеграла и вычислить элементарными действиями.

Вычислить интеграл и сделать проверку:

\

Вычислим интеграл, раскрывая скобки. При этом знак интеграла относится к каждому члену выражения.

Берем в использование свойство интеграла в этом же действии:

Вынесем все существуемые константы за знак интеграла — в данном случае они представляют собой числа

Стоит обратить внимание, что последнее выражение tg5 — это и является константа, её также выносим

На этом этапе стоит преобразовать степени, корни для интегрирования. Как при дифференцировании, корни представляем в формате \. Степени и корни, которые стоят в знаменателе переносим наверх с противоположным знаком.

Используя таблицу основных интегралов, интегрируем:

И окончательный ответ:

Примечание: В этом примере содержатся и используются только табличные интегралы. Все превращения осуществляются с помощью данных формул:

\

Стоит обратить внимание на формулу степенной функции: \, которая встречается почти в каждом примере. Интеграл \ является частным случаем табличного интеграла: \

Интеграл \ является частным случаем табличного интеграла: \.

Константу C ставится только один раз в конечном выражении. Ставить после каждого интеграла не стоит. 

Выполним проверку. Для выполнения проверки необходимо продифференцировать найденное выражение, то есть найти производную:

Если получилось исходное выражение, то интеграл был вычислен верно.

Раскрытие дифференциала происходит так:

1. знак d необходимо убрать; 
2. ставится штрих справа над скобкой, чтобы обозначить производную;
3. в конечное выражение добавляется множитель dx

Например: \

Проверить правильность табличного интеграла:

Решение:

\

Найдем производную от правой части выражения:

\

Производная получилось такая же, как и подынтегральная функция. Поэтому формула является верной.

Вычислить интеграл:

\

Решение:

Используем одно из основных свойств:

\

Используем свойство о вынесении множителя за интеграл:

\

С помощью таблицы:

При вычислении воспользуемся 5 свойством:

\

Найдем ответ:

При этом C₁+C₂ являются частями C. Если отдельно решается 2 и более интегралов, то к каждому члену ставится C с определенным индексом.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нужна помощь

Историческая справка

Интегрирование и его ключевые понятия возникли еще в 17 веке благодаря Ньютону и Лейбницу. Лейбниц – ученый, который впервые ввел наглядное обозначение интегралов функции:

Соответствующая запись напоминает об интегральной сумме. А вот термин «интеграл» (integral) предложил Иоганн Бернулли. Это ученик Лейбница. Фурье тоже внес свой вклад в развитие рассматриваемого математического элемента. Он предложил в 1820-м году обозначение интегрирования, которое используется до сих пор.

Но строгое определение интеграла для непрерывных функций появилось только в 1823-м году. Его ввел Коши. Для производных соответствующее понятие ввел Риман.

Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке, виды интегрируемых функций.

Сформулируем необходимое условие существования определенного интеграла функции на отрезке.

Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке , то она ограничена на нем.

Немного поясним. Это условие является необходимым, но не является достаточным. Что это значит? Если функция ограничена на отрезке, то не обязательно она интегрируема на нем. Но, если функция не ограничена на отрезке, тогда она не интегрируема на нем. Это условие используется для проверки возможности интегрирования функции на отрезке, то есть, проверяется ограниченность функции.

Перечислим виды функций, для которых существует определенный интеграл.

• Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.
• Если функция ограничена на отрезке и непрерывна во всех точках, кроме конечного их числа, то она интегрируема на . На рисунке ниже приведен пример такой интегрируемой функции.

Подведем итог.

Определенный интеграл Римана задается через предел интегральных сумм, интеграл Дарбу – через предел разности верхних и нижних сумм Дарбу, а интеграл Ньютона-Лейбница – через значение первообразной.

Следует отметить, что если интеграл Римана и интеграл Ньютона-Лейбница одновременно существуют для функции y = f(x) на отрезке , то их значения равны. Определенный интеграл Римана и интеграл Дарбу для ограниченной функции одновременно существуют или не существуют.

Некогда разбираться?

Разновидности

Изучаемый элемент может быть разным. Знать интегральную классификацию необходимо для того, чтобы полностью разобраться с рассматриваемым математическим инструментом.

В науке можно встретить два вида интегралов:

1. Неопределенный. Это функция, которая получится при помощи интеграции (так называется процесс, противоположный дифференцированию).
2. Определенный. Так называется функция, выражающая область, расположенную ниже кривой графика неотрицательной функции f и между двумя любыми значениями a и b.

Далее каждый тип изучаемого компонента будет рассмотрен более подробно.

Неопределенная «функция»

Неопределенная функция – это производная заданного числа. Пусть будет дана некоторая функция f(x). Ее неопределенным интегралом станет такая F(x), производная которой будет равна f(x). В записи соответствующее определение будет выглядеть так:

Integral – это первообразная или производная. Он существует для функций, которые являются непрерывными. К первообразным иногда прибавляется символ константы. Данное явление связывается с совпадением производных выражений, которые отличаются друг от друга на эту самую константу.

Определенные «функции»

За счет интегрирования удается решать разные задачи, связанные с вычислением площадей фигур, массами тел, неравномерно пройденной «дорогой» и так далее. Integral – это сумма бесконечно большого количества до бесконечности малых чисел (они называются слагаемыми).

Определенный интеграл будет лучше понятен после изучения наглядного примера. Лучше всего подходит задача, связанная с нахождением площади криволинейной трапеции.

Дана фигура, ограниченная осью абсцисс, а также графиком функций y-f(x) и прямыми x=a, y=b. Так выглядит криволинейная трапеция. На графике она выражается следующим образом:

Ось абсцисс указывает на время, а ординат – на скорость тела. В этом случае площадь криволинейной трапеции охарактеризует весь пройденный тем или иным объектом путь.

Для расчета рассматриваемой величины потребуется:

1. Поделить отрезок при помощи точек x_i на меньшие части. Сделать это необходимо так, чтобы получилось, что a = x<x₁<x_i<x_n=b.
2. Поделить трапецию на полоски, лежащие над отрезками [x_i;x_i+1].
3. Взять на каждом получившемся отрезке произвольную точку «эпсилон», принадлежащую к отрезку [x_i;x_i+1].
4. Длина рассматриваемого отрезка мала. Из-за этого значение f(x) на нем будет примерно постоянным. Оно равняется y_i=f(«эпсилон»).
5. Площадь криволинейной трапеции станет приблизительно равной площади ступенчатой фигуры, получившейся на графике. В формульной записи получившаяся ситуация будет иметь следующую интерпретацию: .

Если начать увеличивать точки разбиения так, чтобы все получившиеся отрезки по длине убывали, площадь ступенчатой фигуры начнет все больше приближаться к площади криволинейной трапеции. За счет этого можно дать такое определение:

«При существовании предела суммы при стремлении всех длин отрезков к нулю, независимо от выбора точек разбиения отрезка и «эпсилон»_i,,такой предел будет носить название определенного интеграла функции f(x) по отрезку ».

Обозначается соответствующая запись как: .

Точки a и b указывают на пределы интегрирования.

Объем тела вращения

Рассмотрим на некотором промежутке \(\

\) неотрицательную функцию \(\
y=y(x)
\), которая также является непрерывной на этом отрезке. Она будет образовывать криволинейную трапецию. В процессе её вращения вокруг одной из осей, например, Ох, можно получить тело, которое называется – тело вращения.

Проведение вычислений такого типа будет частным вариантом формулы рассмотренной выше. Тогда формула, используемая для этого частного случая, будет выглядеть так \(\
V=\int_{a}^{b} S(x) \cdot d x=\pi \cdot \int_{a}^{b} y^{2}(x) \cdot d x
\)

Рассмотрим некоторую плоскую фигуру, которая в ПДСК хОу ограничена сверху кривой \(\
y=y_{1}(x)
\), в нижней части \(\
y=y_{2}(x)
\), а функции \(\
y_{1}(x) \operatorname\quad{и}\quad y_{2}(x)
\)являются неотрицательными и непрерывными. Также она имеет вертикальные ограничения по прямым x=a и x=b. В таком случае можно вычислить с использованием определенного интеграла объем образованного при вращении тела при помощи

\(\
V=\int_{a}^{b} S(x) \cdot d x=\pi \cdot \int_{a}^{b} y^{2}(x) \cdot d x
\)

Изменяя ориентацию ограничений, можно получить другую формулу для вычисления объема, если рассмотреть ограничения y=c и y=d. Если вращать эту фигуру вокруг оси Оу, то при помощи определенного интеграла вычислим объем \(\
V=\pi \cdot \int_{c}^{d}\left(x_{1}^{2}(y)-x_{2}^{2}(y)\right) \cdot d y
\)

Первообразная и интеграл

Формула Ньютона-Лейбница определяет связь между первообразной функции и интегралом. Соотношение вытекает из соответствующей теоремы.

Докажем теорему. Представим, что на интервале имеется некая интегрируемая функция f. Запишем какую-то переменную х с произвольным значением:

Далее определим новую функцию:

Данная функция определена для любых значений:

Это возможно при условии существования интеграла от f на интервале . При этом имеется также интеграл от f на интервале при a?x?b. Заметим, что из определения вытекает следующее:

В этом случае:

Нужно подтвердить беспрерывность функции F на интервале . Предположим, что:

В таком случае:

При условии:  получим, что:

В результате F не прерывается на интервале . При этом не имеет значение наличие разрывов у f. Важным условием является тот факт, что f интегрируется на .

График f имеет вид:

Рассмотрим переменную фигуру aABx. Ее площадь можно определить, как F(x). Приращение при этом составит:

Выражение равно площади фигуры xBC(x+h), которая по причине ограниченности f стремится к нулю, когда h > 0 При этом не имеет значение, будет ли x точкой непрерывности или разрыва f, к примеру, точкой x-d.

Далее допустим, что функция f, кроме того, что интегрируема на интервале , также не прерывается в точке x?. Попробуем доказать, что в таком случае имеется производная функции F в данной точке, которая равна:

F'(x)=f(x)

В действительности, для рассматриваемой точки х справедливо, что:

По предположению:

В связи с тем, что f(x) является постоянной по отношению к t, получим:

Так как функция f не прерывается в точке x для любого ? > 0 допустимо такое значение ?, что   в случае . По этой причине:

Согласно записанному соотношению, было доказано, что левая часть рассматриваемого неравенства есть 0, когда h > 0 . Рассмотрим повторно выражение:

Если h > 0 , то существует производная от F в точке х. Кроме того, справедливым является равенство:

F'(x)=f(x)

Если x=a, b, здесь речь идет соответственно о правой и левой производной. В том случае, когда f не прерывается на интервале , по представленным ранее доказательствам, ей соответствует такая функция:

Данная функция обладает производной:

F'(x)=f(x)

При этом:

a?x?b

В таком случае функция F(x) является первообразной для f на интервале . Данное утверждение носит название теоремы об интеграле с переменным верхним пределом, либо теоремы Барроу.

В ходе вычислений получилось доказать, что в пределах отрезка у произвольной функции f, которая не прерывается на рассматриваемом интервале, имеется первообразная. Уравнение первообразной имеет вид:

Предположим существование произвольной первообразной функции f(x) в виде ? на интервале . Известно, что:

В этом случае, С играет роль некой постоянной. Запишем предположительные условия:

x=a

F(a)=0

Тогда получим, что:

?(a) = C

В результате:

С другой стороны:

В связи с этим:

Важно запомнить, что запрещено применять записанную формулу в том случае, когда в примере имеется разрывная функция, либо функция, не ограниченная в пределах рассматриваемого интервала интегрирования. Подобные вычисления будут некорректными, как в примере:. Заметим, что в записанном соотношении отсутствует смысл, так как интеграл от положительной функции не может быть меньше, чем ноль

Причина подобной ошибки заключается в разрывности и неограниченности функции под знаком интеграла в нуле. В таком случае, для решения этого примера нельзя использовать формулу Ньютона-Лейбница

Заметим, что в записанном соотношении отсутствует смысл, так как интеграл от положительной функции не может быть меньше, чем ноль. Причина подобной ошибки заключается в разрывности и неограниченности функции под знаком интеграла в нуле. В таком случае, для решения этого примера нельзя использовать формулу Ньютона-Лейбница.

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Здесь новизны еще меньше. Все выкладки статьи Интегрирование по частям в неопределенном интеграле в полной мере справедливы и для определенного интеграла.
Плюсом идёт только одна деталь, в формуле интегрирования по частям добавляются пределы интегрирования:

Формулу Ньютона-Лейбница здесь необходимо применить дважды: для произведения   и, после того, как мы возьмем интеграл .

Тип интеграла для примера я опять подобрал такой, который еще нигде не встречался на сайте. Пример не самый простой, но очень и очень познавательный.

Пример 8

Вычислить определенный интеграл

Решаем.

Интегрируем по частям:

У кого возникли трудности с интегралом , загляните на урок Интегралы от тригонометрических функций, там он подробно разобран.

(1) Записываем решение в соответствии с формулой интегрирования по частям.

(2) Для произведения применяем формулу Ньютона-Лейбница. Для оставшегося интеграла используем свойства линейности, разделяя его на два интеграла. Не путаемся в знаках!

(3) Берем два оставшихся интеграла. Интеграл  также разобран на уроке Интегралы от тригонометрических функций

(4) Применяем формулу Ньютона-Лейбница для двух найденных первообразных.

Далее ответ доводится «до ума». Повторюсь, будьте ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫ при подстановках и заключительных вычислениях. Здесь допускают ошибки чаще всего.

Если честно, я недолюбливаю формулу  и, по возможности, … обхожусь вообще без нее! Рассмотрим второй способ решения, с моей точки зрения он более рационален.

Вычислить определенный интеграл

На первом этапе я нахожу неопределенный интеграл:

Интегрируем по частям:

Первообразная функция найдена. Константу  в данном случае добавлять не имеет смысла.

В чём преимущество такого похода? Не нужно «таскать за собой» пределы интегрирования, действительно, замучаться можно десяток раз записывать мелкие значки пределов интегрирования

На втором этапе я провожу проверку (обычно на черновике).

Тоже логично. Если я неправильно нашел первообразную функцию, то неправильно решу и определенный интеграл. Это лучше выяснить немедленно, дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, первообразная функция найдена верно.

Третий этап – применение формулы Ньютона-Лейбница:

И здесь есть существенная выгода! В «моём» способе решения гораздо меньший риск запутаться в подстановках и вычислениях – формула Ньютона-Лейбница применяется всего лишь один раз. Если чайник решит подобный интеграл по формуле  (первым способом), то стопудово где-нибудь допустит ошибку.

Рассмотренный алгоритм решения можно применить для любого определенного интеграла.

Уважаемый студент, распечатай и сохрани:

Что делать, если дан определенный интеграл, который кажется сложным или не сразу понятно, как его решать?

1) Сначала находим неопределенный интеграл (первообразную функцию). Если на первом же этапе случился облом, дальше рыпаться с Ньютоном и Лейбницем бессмысленно. Путь только один – повышать свой уровень знаний и навыков в решении неопределенных интегралов.

2) Проверяем найденную первообразную функцию дифференцированием. Если она найдена неверно, третий шаг будет напрасной тратой времени.

3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления проводим ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНО  –  тут самое слабое звено задания.

И, на закуску, интеграл для самостоятельного решения.

Пример 9

Вычислить определенный интеграл

Решение и ответ где-то рядом.

Следующий рекомендуемый урок по теме – Как вычислить площадь фигуры с помощью определенного интеграла? Там речь пойдет о геометрическом смысле определенного интеграла. Дополнительные материалы по определенному интегралу также можно найти в статье Эффективные методы вычисления определенных интегралов. Данный урок содержит ряд очень важных технических приёмов и позволит существенно повысить навыки вычисления определенного интеграла.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение:

Пример 6: Решение:

Проведем замену переменной: ,Новые переделы интегрирования:

Примечания: В рассмотренном интеграле – как раз тот случай, когда уместно применить свойство определенного интеграла . Если не совсем понятно, почему из арктангенса можно вынести минус, рекомендую обратиться к методическому материалу Графики и свойства элементарных функций.

Пример 7: Решение:Замена: Новые пределы интегрирования:

Пример 9: Решение:Интегрируем по частям:

Вы точно их прорешали и получили такие ответы? И на старуху бывает порнуха.

(Переход на главную страницу)

Неопределенный интеграл

Каждая математическая операция имеет какое-то особое обозначение. Например, чтобы показать, что мы дифференцируем некоторую функцию, мы ставим после неё штрих (и при необходимости берем в скобки):

Напомним, что операция нахождения первообразной называется интегрированием. Для ее обозначения используется особый знак – интеграл. Например, мы знаем, что первообразная для у = х2 – это семейство функций вида

Рассмотрим элементы записанного нами равенства:

Исходная функция – это та самая функция, для которой необходимо найти первообразную, то есть интегрируемая функция. Справа от знака «равно» как раз записывается первообразная. Сразу после первообразной надо писать «+ С». Тем самым мы показываем, что у интегрируемой функции есть бесконечное количество первообразных.

После интегрируемой функции стоит так называемый дифференциал dх (читается как «дэ икс»). В данном случае он указывает, что именно буквой х мы обозначаем переменную в интегрируемой функции. Его значение мы разберем несколько позже. Пока что надо запомнить, что после интегрируемой функции необходимо писать «dx». В целом вся запись

читается так: «интеграл от два икс по дэ икс равен икс в квадрате плюс цэ».

В чем разница между первообразной и интегралом? Первообразная – это функция, при дифференцировании которой получается исходная функция. Интеграл же – это не функция, а целое семейство функций (или их множество), которое включает в себя сразу все первообразные интегрируемой функции.

Так как интегрирование – это действие, обратное дифференцированию, то мы можем проверить результат своих вычислений. Пусть мы записали, что

Получили подынтегральное выражение. Значит, мы всё сделали правильно.

Здесь важно заметить, что в математике существует сразу несколько видов интегралов, каждый из которых имеет разное определение. Здесь описан так называемый «неопределенный интеграл»

Несложно догадаться, что существует ещё и «определенный интеграл», который мы рассмотрим на следующих уроках. Теперь можно дать следующее определение:

Задание. Найдите неопределенный интеграл

Решение. Вспомним таблицу производных элементарных функций. Производная синуса равна косинусу:

Заметим, что непосредственно из определения следует важное свойство неопределенного интеграла – производная интеграла равна его подынтегральному выражению:

Грубо говоря, операции интегрирования дифференцирования «сокращают» друг друга.

Задание. Вычислите производную:

Пишем код

Раз нам нужно разбить интервал на много частей а потом с каждой из них сделать одно и то же, то это точно задача для цикла. Для этого нам понадобится шаг цикла — какой ширины будут наши прямоугольники, чтобы бы могли их одинаково перебирать.

Чтобы посчитать шаг, находим расстояние между конечной и начальной точкой и делим на желаемое количество прямоугольников (это будет нашей точностью интегрирования).

 Общая логика работы будет такая:

1. Берём предыдущую точку и прибавляем к ней значение шага — так получаем новую точку.
2. Находим значение функции в новой точке — это будет высота прямоугольника.
3. Умножаем её на значение шага (ширину прямоугольника) — так получаем площадь прямоугольника.
4. Прибавляем значение площади к общей сумме всех площадей — так получаем значение интеграла.

На картинке — все исходные данные, а ниже — код, который считает интеграл. Смотрите на картинку и читайте комментарии: так будет ещё проще разобраться в коде:

Свойства определенного интеграла

Рассмотрим ключевые свойства определенного интеграла. К примеру, отсутствует зависимость между определенным интегралом и переменной интегрирования:

\(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( y \right)dy}\)

При равных пределах интегрирования определенного интеграла его значение равно нулю:

\(\int\limits_{a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0\)

В том случае, когда подынтегральная функция соответствует следующему выражению: \(f\left( x \right)=C=\text{const}\), определенный интеграл от рассматриваемой функции по промежутку \(\left\) вычисляется, как произведение константы C на длину промежутка \(b-a\):

\(\int\limits_{a}^{b}{C\cdot dx}=C\left( b-a \right)\)

Допустимо выносить за знак определенного интеграла множитель, который является постоянным:

\(\int\limits_{a}^{b}{Cf\left(x \right)dx}=C\int\limits_{a}^{b}{f\left(x\right)dx}\)

Интеграл от суммы интегрированных на промежутке \(\left\) функций вычисляется, как результат сложения интегралов от каждой из этих функций:

\(\int\limits_{a}^{b}{\leftdx}=\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{1}}\left( x \right)dx}+\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{2}}\left( x \right)dx}+…+\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{n}}\left( x \right)dx}\)

При смене мест пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный:

\(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=-\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)dx}\)

В том случае, когда функция \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) является интегрируемой на интервале \(\left\), при условии, что \(c\in \left( a;\ b \right)\), справедливо следующее соотношение:

\(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)dx}\)

Теорема 1

Теорема про среднее: когда функция \(y=f\left( x \right)\) является интегрируемой на промежутке \( \left\), имеется такая точка \(\xi \in \left\), что справедливо следующее выражение:

\(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=f\left( \xi \right)\left( b-a \right)\)

В том случае, когда функция \(y=f\left( x \right)x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) не меняет знак на конкретном отрезке \(\left\), определенный интеграл \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\) обладает таким же знаком на данном промежутке, что и подынтегральная функция.

При условии, что:

\({{f}_{1}}\left( x \right)\le {{f}_{2}}\left( x \right),\ x\in \left\)

справедливо следующее равенство:

\(\int\limits_{a}^{b}{{{f}_{1}}\left( x \right)dx}\le \int\limits_{a}^{b}{{{f}_{2}}\left( x \right)dx}.\)

В том случае, когда функция \(y=f\left( x \right)\) принимает на промежутке \(\left\) свои минимальное m и максимальное M значения, справедливы следующие неравенства:

\(m\left( b-a \right)\le \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\le M\left( b-a \right).\)

Модуль определенного интеграла не может быть больше, чем интеграл от модуля подынтегральной функции:

\(\left| \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx} \right|\le \int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}.\)

Производная от интеграла, который имеет изменяющийся верхний предел, соответствует величине подынтегральной функции от данного предела:

\({{\left( \int\limits_{a}^{x}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}=f\left( x \right).\)

Предположим, что функция \(y=f\left( x \right)\) не прерывается на промежутке \(\left\), который симметричен по отношению к точке \(x=0\). В таком случае верным является следующее соотношение:

\(\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=\left\{ \begin{matrix}& 0,\ f\left( x \right) \\ & 2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx},\ f\left( x \right) \\ \end{matrix} \right.\)

где при \(0 f\left( x \right)\) нечетная, а при \(2\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx},\ f\left( x \right)\) является четной.

Интеграл от периодической с периодом T функции \(y=f\left( x \right)\) обладает одинаковыми значениями на каком-либо отрезке длины T:

\(\int\limits_{0}^{T}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-T}^{0}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( x \right)dx}.\)