Первообразная

Интуитивные способы отыскания значения интеграла

Итак, каким же образом вычислить интегральную сумму ? Можно попробовать несколько способов:

1. Умножить совокупное приращение переменной на значение функции и получить площадь прямоугольника, который добавит значительный излишек, либо срежет значительную часть в зависимости от того какое значение функции мы выберем. Вручную мы можем подобрать такое значение функции, что при умножении её на приращение переменной мы получим довольно точное значение площади (определённого интеграла в промежутке). Для этого нам потребуется провести линию так, чтобы площадь излишка примерно равнялась срезанной площади. Однако, это не даст нам универсального метода отыскания значения искомой величины.

2. Сложить произведения приращения переменной на значение функции в соответствующих точках, получив тем самым сумму площадей прямоугольников, внешне напоминающих лестницу (ступеньки). В самом простом случае приращение равно единице. На этом методе и основано формальное определение определённого интеграла, данное Б. Риманом. О нём мы поговорим ниже.

3. Воспользоваться иными так называемыми численными способами отыскания значения интегральной суммы (интеграла).

Метод интегрирования по частям.

Пусть функции \(u(x)\) и \(v(x)\) имеют непрерывные производные на промежутке \(\Delta\). Тогда функция \(uv\) также имеет непрерывную производную на \(\Delta\) и согласно правилу дифференцирования произведения выполняется равенство
$$
uv’=(uv)’-vu’.\nonumber
$$

Интегрируя это равенство и учитывая, что
$$
\int (uv)’dx=uv + C,\nonumber
$$
получаем
$$
\int uv’dx = uv + C — \int vu’ dx.\nonumber
$$

Относя произвольную постоянную \(C\) к интегралу \(\displaystyle \int vu’dx\), находим
$$
\int uv’dx = uv-\int vu’dx,\label{ref21}
$$
или
$$
\int udv = uv-\int vdu,\label{ref22}
$$

Формула \eqref{ref21} или \eqref{ref22} называется формулой интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла \(\displaystyle udv\) к вычислению интеграла \(\displaystyle vdu\).

Пример 15.

$$
\int x\cos x dx=\int x d(\sin x)=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x-\cos x+C.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Пример 16.

Вычислить интеграл
$$
J=\int \sqrt{x^2+a}dx.\nonumber
$$

\(\triangle\) Полагая \(u=\displaystyle\sqrt{x^2+a},\ v=x\), по формуле \eqref{ref21} находим
$$
J=x\sqrt{x^2+a}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx,\nonumber
$$
где
$$
\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx=\int \frac{x^2+a-a}{\sqrt{x^2+a}}dx=J-a\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}.\nonumber
$$

Отсюда получаем уравнение относительно \(J\):
$$
J=x\sqrt{x^2+a}-J+a\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}.\nonumber
$$

Используя результат , находим
$$
\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2}\operatorname{ln}|x+\sqrt{x^2+a}|+C.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Пример 17.

Пусть
$$
J_n=\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n},\quad n\in\mathbb{N},\quad a\neq 0.\nonumber
$$
Выведем рекуррентную формулу для вычисления интеграла \(J_n\).

\(\triangle\) Пусть \(u=(x^2+a^2)^{-n},\ v=x\). Тогда \(u’=-2nx(x^2 + a^2)^{-n-1},\ v’=1\) и по формуле \eqref{ref21} получаем
$$
J_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2n\int \frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx,\nonumber
$$
где
$$
\int \frac{x^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx=\int \frac{(x^2+a^2)-a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}}dx=J_n-a^2J_{n+1}.\nonumber
$$
Следовательно,
$$
J_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+2nJ_n-2na^2J_{n+1},\nonumber
$$
откуда
$$
J_{n+1}=\frac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}J_n.\ \blacktriangle\label{ref23}
$$

Замечание 7.

Так как
$$
J_1=\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}+C,\nonumber
$$
то из формулы \eqref{ref23} находим
$$
J_2=\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=\frac{x}{2a^2(x^2+a^2)}+\frac{1}{2a^3}\operatorname{arctg}\frac{x}{a}+C.\nonumber
$$

Замечание 8.

Повторное применение формулы \eqref{ref21} позволяет получить обобщенную формулу интегрирования по частям
$$
\int uv^{(n+1)}dx=\\=uv^{(n)}-u’v^{(n-1)}+u″v^{(n-2)}+…+(-1)^n u^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx\label{ref24}
$$
в предположении, что существуют непрерывные производные \(u^{(n+1)},\ v^{(n+1)}\) на рассматриваемом промежутке. При \(n=1\) формула \eqref{ref24} принимает вид
$$
\int uv″dx=uv’-u’v+\int u″vdx.\label{ref25}
$$

Пример 18.

Вычислить интеграл
$$
J = \int x^2 e^x dx.\nonumber
$$

\(\triangle\) Полагая \(u=x^2,\ v = e^x\) и учитывая, что \(u’=2x,\ u″ = 2,\ v’=v″=e^x\), получаем по формуле \eqref{ref25}
$$
J = x^2 e^x-2x e^x+2\int e^x dx,\nonumber
$$
откуда
$$
\int x^2 e^x dx=(x^2-2x+2)e^x+C.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Пример 19.

Вычислить интеграл
$$
J=\int e^{\alpha x}\cos \beta x dx,\quad \alpha\beta\neq 0.\nonumber
$$

\(\triangle\) Положим \(u= \cos \beta x,\ v=\displaystyle\frac{e^{\alpha x}}{\alpha^2}\). Тогда \(u’=-\beta \sin\beta x,\ u″=-\beta^2\cos\beta x,\ v’=\displaystyle\frac{e^{\alpha x}}{\alpha},\ v″=e^{\alpha x}\). По формуле \eqref{ref25} находим
$$
J =\frac{e^{\alpha x}}{\alpha}\cos\beta x+\frac{\beta}{\alpha^2}e^{\alpha x}\sin \beta x-\frac{\beta^2}{\alpha^2}J + C,
$$
откуда
$$
J=\frac{\alpha \cos\beta x+\beta\sin \beta x}{\alpha^2+\beta^2}e^{\alpha x}+C_1.\ \blacktriangle\nonumber
$$

Примеры решения задач

Задача 1

Дан интеграл, который требуется вычислить:

\(\int{\left( 6{{x}^{5}}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)dx}\)

Решение

Преобразуем начальный интеграл, чтобы получить в итоге сумму интегралов:

\(\int{\left( 6{{x}^{5}}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)dx}=\int{6{{x}^{5}}dx}+\int{\frac{2}{x}dx}-\int{\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx}\)

Постоянные можно вынести за знак интеграла:

\(\int{\left( 6{{x}^{5}}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)dx}=6\int{{{x}^{5}}dx}+2\int{\frac{dx}{x}}-2\int{\frac{dx}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}\)

Подставим значения их таблицы интегралов:

\(\int{\left( 6{{x}^{5}}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)dx}=6\cdot \frac{{{x}^{6}}}{6}+2\cdot \ln \left| x \right|-2\arcsin x+C={{x}^{6}}+2\cdot \ln \left| x \right|-2\arcsin x+C\)

Ответ: \(\int{\left( 6{{x}^{5}}+\frac{2}{x}-\frac{2}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}} \right)dx} = {{x}^{6}}+2\cdot \ln \left| x \right|-2\arcsin x+C\)

Задача 2

Требуется вычислить следующий интеграл:

\(\int{{{\left( {{x}^{2}}+\sqrt{x} \right)}^{2}}dx}\)

Решение

Рассмотрим подынтегральную функцию. Заметим, что здесь целесообразно воспользоваться формулой сокращенного умножения, то есть квадратом суммы:

\(\int{{{\left( {{x}^{2}}+\sqrt{x} \right)}^{2}}dx}=\int{\leftdx}=\int{\left( {{x}^{4}}+2{{x}^{^{\frac{5}{2}}}}+x \right)dx}=\int{{{x}^{4}}dx}+\int{2{{x}^{^{\frac{5}{2}}}}dx}+\int{xdx}=\frac{{{x}^{5}}}{5}+2\cdot \frac{{{x}^{^{\frac{7}{2}}}}}{\frac{7}{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C=\frac{{{x}^{5}}}{5}+\frac{4}{7}\sqrt{{{x}^{7}}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C\)

Ответ: \(x = \int{{{\left( {{x}^{2}}+\sqrt{x} \right)}^{2}}dx}=\frac{{{x}^{5}}}{5}+\frac{4}{7}\sqrt{{{x}^{7}}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+C.\)

Задача 3

Необходимо найти, чему равен интеграл:

\(\int{{{e}^{2x}}dx}\)

Решение

Введем следующее обозначение:

\(2x=t\)

Путем дифференцирования обеих частей выражения получим, что:

\(d\left( 2x \right)=d\left( t \right) \text{ } \Rightarrow \text{ } 2dx=dt \text{ } \Rightarrow \text{ } dx=\frac{dt}{2}\)

Путем подстановки полученного выражения преобразуем начальный интеграл:

\(\int{{{e}^{2x}}dx}=\int{{{e}^{t}}\cdot \frac{dt}{2}}=\frac{1}{2}\int{{{e}^{t}}dt}\)

В результате получился интеграл из таблицы:

\(\int{{{e}^{2x}}dx}=\frac{1}{2}{{e}^{t}}+C\)

Путем обратной замены получим:

\(t=2x\)

\(\int{{{e}^{2x}}dx}=\frac{1}{2}{{e}^{2x}}+C\)

Ответ: \(\int{{{e}^{2x}}dx} = \frac{1}{2}{{e}^{2x}}+C.\)

Задача 4

Нужно вычислить интеграл:

\(\int{x\sqrt{x-1}dx}\)

Решение

Введем следующее дополнительное обозначение:

\(x-1={{t}^{2}}\)

\(x={{t}^{2}}+1\)

\(dx=2tdt.\)

Преобразуем начальный интеграл:

\(\int{x\sqrt{x-1}dx}=\int{\left( {{t}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{t}^{2}}}\cdot 2tdt}=2\int{{{t}^{2}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)dt}=2\int{\left( {{t}^{4}}+{{t}^{2}} \right)dt}=2\int{{{t}^{4}}dt}+2\int{{{t}^{2}}dt}=2\cdot \frac{{{t}^{5}}}{5}+2\cdot \frac{{{t}^{3}}}{3}+C=\frac{2{{t}^{5}}}{5}+\frac{2{{t}^{3}}}{3}+C\ \left\| \begin{matrix} t^{2}=x-1 \Rightarrow\\ t=\sqrt{x-1} \\\end{matrix} \right\|=\frac{2{{\left( \sqrt{x-1} \right)}^{5}}}{5}+\frac{2{{\left( \sqrt{x-1} \right)}^{3}}}{3}+C=\frac{2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{5}}}}{5}+\frac{2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}}{3}+C\)

Ответ: \( \int{x\sqrt{x-1}dx}=\frac{2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{5}}}}{5}+\frac{2\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}}{3}+C.\)

Задача 5

Необходимо определить значение интеграла:

\(\int{x\ln xdx}\)

Решение

Заменим u на \(\ln x\). Остальные значения соответствуют dv. В таком случае:

\(\int{x\ln xdx}\ \left\| \begin{matrix} u=\ln x & dv=xdx  \\ du=\frac{dx}{x} & v=\frac{{{x}^{2}}}{2}  \\\end{matrix} \right\|=\ln x\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}-\int{\frac{{{x}^{2}}}{2}\cdot \frac{dx}{x}}=\frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{1}{2}\int{xdx}=\frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{{{x}^{2}}}{2}+C=\frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{{{x}^{2}}}{4}+C\)

Ответ: \(\int{x\ln xdx} = \frac{{{x}^{2}}\ln x}{2}-\frac{{{x}^{2}}}{4}+C.\)

Пример[править]

Пример 4.1. Найти неопределённый интеграл от функции f(x)=|x|{\displaystyle f(x)=|x|}.

Решение. Согласно () можно записать, что F′(x)=f(x){\displaystyle F'(x)=f(x)}. Распишем определение |x|{\displaystyle |x|}:

f(x)={x,x⩾;−x,x<{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x,&x\geqslant 0;\\-x,&x<0.\end{cases}}}(2.17)

Значит,

F′(x)={x,x⩾;−x,x<{\displaystyle F'(x)={\begin{cases}x,&x\geqslant 0;\\-x,&x<0.\end{cases}}}(2.18)

Так как

(x2)′={2|x|,x⩾;−2|x|,x<,{\displaystyle (x^{2})’={\begin{cases}2|x|,&x\geqslant 0;\\-2|x|,&x<0,\end{cases}}}(2.19)

то можно записать, что

F(x)={x22,x⩾;−x22,x<{\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{2}},&x\geqslant 0;\\-{\dfrac {x^{2}}{2}},&x<0.\end{cases}}}(2.20)

По неопределённый интеграл от функции f(x)=|x|{\displaystyle f(x)=|x|} будет иметь вид

∫|x|dx={x22+C1,x⩾;−x22+C2,x<,{\displaystyle \int |x|\,dx={\begin{cases}{\dfrac {x^{2}}{2}}+C_{1},&x\geqslant 0;\\-{\dfrac {x^{2}}{2}}+C_{2},&x<0,\end{cases}}}(2.21)

где C1,C2{\displaystyle C_{1},\;C_{2}} — произвольные константы.

Выражение () можно записать проще, если потребовать непрерывность интеграла в точке x={\displaystyle x=0}, то есть нужно найти такие постоянные C1{\displaystyle C_{1}} и C2{\displaystyle C_{2}}, чтобы удовлетворялось равенство:

(x22+C1)|x==(−x22+C2)|x=.{\displaystyle \left.\left({\frac {x^{2}}{2}}+C_{1}\right)\right|_{x=0}=\left.\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+C_{2}\right)\right|_{x=0}.}(2.22)

Очевидно, что последнее равенство выполняется при C1=C2=C{\displaystyle C_{1}=C_{2}=C}, тогда () можно переписать как

∫|x|dx=x22sgn⁡x+C=x|x|2+C,{\displaystyle \int |x|\,dx={\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {sgn} x+C={\frac {x|x|}{2}}+C,}(2.23)

где sgn⁡x{\displaystyle \operatorname {sgn} x} — знак числа x{\displaystyle x}.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

\{x}-2 \right)}^{2}}\]

Вспомним формулу квадрата разности:

\

Давайте перепишем нашу функцию:

\{x} \right)-2\cdot \sqrt{x}\cdot 2+4\]

\

Первообразную такой функции нам сейчас предстоит найти:

\

\

\

Собираем все в общую конструкцию:

\

Задача № 2

\

В этом случае нам нужно раскрыть куб разности. Вспомним:

\

С учетом этого факта можно записать так:

\

Давайте немного преобразуем нашу функцию:

\

Считаем как всегда — по каждому слагаемому отдельно:

\

\

\

\

Запишем полученную конструкцию:

\

Задача № 3

\

Сверху у нас стоит квадрат суммы, давайте его раскроем:

\

\

Далее все легко:

\

\

\

Давайте напишем итоговое решение:

\

А теперь внимание! Очень важная вещь, с которой связана львиная доля ошибок и недопониманий. Дело в том, что до сих пор считая первообразные с помощью производных, приводя преобразования, мы не задумывались о том, чему равна производная константы

А ведь производная константы равна «нулю». А это означает, что можно записать такие варианты:

1. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}$
2. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+1$
3. ${{x}^{2}}\to \frac{{{x}^{3}}}{3}+C$

Вот это очень важно понимать: если производная функции всегда одна и та же, то первообразных у одной и той же функции бесконечно много. Просто к нашим первообразным мы можем дописывать любые числа-константы и получать новые

Неслучайно, в пояснении к тем задачам, которые мы только что решали, было написано «Запишите общий вид первообразных». Т.е. уже заранее предполагается, что их не одна, а целое множество. Но, на самом деле, они отличаются лишь константой $C$ в конце. Потому в наших задачах мы исправим то, что мы не дописали.

Еще раз переписываем наши конструкции:

\

В таких случаях следует дописывать, что $C$ — константа — $C=const$.

Во второй нашей функции мы получим следующую конструкцию:

\

И последняя:

\

И вот теперь мы действительно получили то, что от нас требовалось в исходном условии задачи.

При чём здесь дифференциал

У интегрирования есть ещё один математический смысл. Это операция, обратная дифференцированию. Давайте разберёмся, что это значит.

Представьте, что вы выпускаете в космосе аппарат, который удаляется от вас по формуле y = x2, где y — расстояние от вас в километрах, а x — время в часах. Причём x может принимать только положительные значения.

Вот график движения этого аппарата:

Изображение: Skillbox Media

Наша функция растёт неравномерно: скорость её роста увеличивается, причём по определённому принципу.

Чтобы найти эту скорость, или, математически выражаясь, производную нашей функции, придумали дифференцирование. Производной от функции f(x2) будет F(2x). Физически она будет показывать не положение аппарата в пространстве, а скорость, с которой движется аппарат:

График скорости аппарата является производным от графика перемещения аппаратаИзображение: Skillbox Media

Сравните саму функцию и её производную (то есть скорость изменения этой функции). Она растёт — её производная принимает положительные значения. Она начинает расти быстрее — её производная принимает более высокие значения.

Чтобы лучше понять смысл производной, посмотрите на графики функций и их производных и попробуйте понять связь между ними:

Функция y = 8 и её производнаяИзображение: Skillbox Media

Слева — y = 8, справа — производная y = 0. Так как функция не растёт и не убывает, то и её производная отражает отсутствие изменений в левом графике.

Функция y = 2x и её производнаяИзображение: Skillbox Media

Слева — y = 2x, справа — производная y = 2. Функция равномерно растёт в течение всего своего существования. Её производная отражает наличие роста и то, что этот рост неизменен: за каждый шаг x к функции всегда прибавляются два шага y.

Функция y = x2 и её производнаяИзображение: Skillbox Media

Слева — y = x2, справа — производная y = 2x. Чтобы лучше понять связь, рассмотрим графики по частям.

На промежутке от минус бесконечности до нуля функция убывает. Следовательно, её производная принимает отрицательные значения.

Чем дальше, тем медленнее убывает левый график. На промежутке x от −3 до −2 он уменьшается с 9 до 4 — сразу на пять делений. А на промежутке от −2 до −1 уменьшается с 4 до 2 — всего на два деления. Так и производная, приближаясь к нулю, показывает, что функция убывает всё медленнее и медленнее.

В точке x = 0 функция не растёт и не убывает. Следовательно, в этой точке её производная равна нулю.

На промежутке от нуля до плюс бесконечности левый график растёт. Следовательно, производная принимает положительные значения.

Чем дальше, тем рост быстрее — по аналогии с предыдущим промежутком. Вместе с тем и производная увеличивает свои значения и этим показывает всё ускоряющийся рост функции. Всё это нужно понять, потому что интегрирование — это операция, обратная дифференцированию.

А теперь вернёмся к нашим интегралам. Если при дифференцировании мы ищем производную и превращаем левый график в правый, то при интегрировании поступаем наоборот: ищем первообразную и превращаем правый график в левый.

Вернёмся к аппарату, который мы запустили в космос. Мы знали расстояние, на котором он был от нас в каждый момент времени, и с помощью дифференцирования построили график его скорости.

Предисловие

Математика представляет собой универсальный, мощный и элегантный раздел знания. По-сути её предмет и значение невозможно разделить с наиболее фундаментальными разделами философии — логикой, онтологией и теорией познания. Именно поэтому она касается прямо или косвенно всех аспектов любого прикладного или теоретического знания.

К сожалению, так сложилось, что многим (и мне) она, порой кажется, слишком сложной, недоступной, наукой для избранных. Между тем, так только кажется ! Безусловно, она требует интеллектуального напряжения, памяти, воображения и много чего ещё, как и многие другие интеллектуальные занятия.

Отличительными особенностями её являются:

1. использование особой знаковой системы (цифры, буквы разных алфавитов, языковые правила и т.д.),

2. логическая строгость (понятия, определения, суждения, правила вывода задаются в явном и точном виде),

3. последовательность (не поймёшь пункт 3, если не понял пункты 1 и 2),

4. высокая плотность информации на единицу текста (часто смысла в тексте гораздо больше, чем в текстах иного содержания).

Легко показать, что любой интеллектуально развитый человек регулярно использует те же мыслительные конструкции, что и математика. Когда мы говорим давайте рассмотрим десять каких-либо операций (алгоритм) вроде кулинарного рецепта или простейшей программы или рассмотрим какой-либо частный случай явления, определим его свойства, отношения с другими явлениями, изучим структуру — мы прибегаем к универсальным способам мышления, которые характерны для любого знания и в том числе математического.

Эта статья никогда бы не появилась на свет, если бы учебная литература была бы настолько совершенна, что могла бы легко объяснить, что такое интеграл. Перечитав десятки книг и статей я с уверенностью могу сказать, что ни одна из них не объясняет все нюансы этого вопроса так и таким образом, чтобы среднему, неискушённому человеку было всё абсолютно ясно.

Многие источники не удовлетворительны по следующим причинам:

1. Говорят о какой-то площади под кривой при том, что читатель ни сном, ни духом не задумывался о площади, тем более под кривой и какой-то связи этой площади с универсальной идеей суммирования переменных величин

2. Без интуитивного подведения читателя через сложение и умножение чисел, основательного разъяснения связи …. сразу бросаются к определению интеграла через предел римановской суммы

3. Забывают рассказать об историческом процессе развития математики (зачем ввели интеграл, какие открытия этому предшествовали, что подвело к этому, как считали интегральные суммы до этого, как Ньютон и Лейбниц считали интегралы и т.д.)

4. Не считают нужным или не хотят привести пару тройку простых примеров интегрирования из прикладных наук

5. Сыпят доказательствами утверждений, которые новичку покажутся неуместными или второстепенными

6. Забывают напомнить выводы, обозначения и утверждения, использованные или доказанные ранее

7. Пропускают те или иные алгебраические преобразования, которые «очевидны» автору, но могут запутать новичка

Автору надоело чувствовать неясность и он решил взять дело в свои руки — расписать все аспекты так, чтобы было всё предельно ясно и понятно.

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Существует несколько основных приемов решения задач с интегралами. Процесс заключается в интегрировании функции по переменной. В том случае, если интеграл обладает табличным видом, то проблем с поиском его значения не возникнет. Когда форма записи интеграла отлична от табличной, решение сводится к приведению интеграла к табличному виду.

Таблица первообразных для решения интегралов имеет следующий вид:

В первую очередь необходимо ознакомиться с основными свойствами интегралов:

С помощью данных понятий можно решать несложные интегралы. Но в большинстве случаев встречаются задачи с непростыми интегралами, для работы с которыми требуется прибегнуть к дополнительным приемам.