Правила нахождения производных
Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.
Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Решение:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Пример:
Решение:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
Критерий Коши существования предела функции.
Будем говорить, что функция \(f(x)\) удовлетворяет в точке \(x=a\) условию Коши, если она определена в некоторой проколотой окрестности точки \(a\) и
$$
\forall\varepsilon>0\quad \exists\delta=\delta(\varepsilon)>0:\ \forall x’,x″\in \dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x’)-f(x″)| < \varepsilon.\label{ref17}
$$
Лемма
Пусть существует число \(\delta >0\) такое, что функция \(f(x)\) определена в проколотой \(\delta\) — окрестности точки \(a\), и пусть для каждой последовательности {\(x_n\)}, удовлетворяющей условию \(x_n\in\dot{U}_{\delta}(a)\) при всех \(n\in\mathbb{N}\) и сходящейся к \(a\), соответствующая последовательность значений функции \({f(x_n)}\) имеет конечный предел. Тогда этот предел не зависит от выбора последовательности \({x_n}\), то есть если
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=A,\nonumber
$$
и
$$
\lim_{n\rightarrow\infty}f(\widetilde{x_{n}})=\widetilde{A},\nonumber
$$
где \(\widetilde{x}_n =\dot{U}_{\delta}(a)\) при всех \(n \in\mathbb{N}\) и \( \widetilde{x}_{n}\rightarrow a \) при \(n\rightarrow\infty\) то \(\widetilde{A}=A.\)
\(\circ\) Образуем последовательность
$$
x_{1},\widetilde{x}_{1}, x_{2},\widetilde{x}_{2},\ldots, x_{n},\widetilde{x}_{n},\ldots\nonumber
$$
и обозначим k-й член этой последовательности через \(y_{k}\). Так как \(\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}y_k=a\) (см. ) и \(y_k\in \dot{U}_{\delta}(a)\) при любом \(k\in\mathbb{N}\), то по условию леммы существует конечный \(\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}f(y_{k})=A’\) Заметим, что \(\{f(x_{n})\}\) и \(\{f(\widetilde{x}_{n})\}\) являются подпоследовательностями сходящейся последовательности \(\{f(y_k)\}\). Поэтому \(A=A’,\widetilde{A}=A’\) откуда получаем, что \(A=\widetilde{A}.\ \bullet\)
Теорема 3
Для того чтобы существовал конечный предел функции \(f(x)\) в точке \(x = a\) необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла в точке a условию Коши \eqref{ref17}.
\(\circ\) Необходимость. Пусть \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A\); тогда
$$
\forall\varepsilon>0 \ \exists\delta>0:\forall x\in\dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x)-A|<\frac{\varepsilon}{2}.\label{ref18}
$$
Если \(х’,x″\) любые точки из множества \(\dot{U}_{\delta}(a)\), то из \eqref{ref18} следует, что
$$
|f(x’)-f(x″)|=|(f(x’)-A)-(f(x″)-A)|\leq|f(x’)-A|+|f(x″)-A| <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,\nonumber
$$
то есть выполняется условие Коши \eqref{ref17}.
Достаточность. Докажем, что если \(\exists\delta_{0}:\dot{U}_{\delta}(a)\subset D(f)\) и выполняется условие \eqref{ref17}, то существует предел функции \(f\) в точке \(a\). Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть \(\{x_{n}\}\) — произвольная последовательность такая, что \(x_n\in\dot{U}_{\delta}(a)\) и \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}x_n=a.\) Докажем, что соответствующая последовательность значений функции \(\{f(x_{n})\}\) имеет конечный предел, не зависящий от выбора последовательности \(\{x_{n}\}\)
Если выполняется условие \eqref{ref17}, то для каждого \(\varepsilon>0\) можно найти число \(\delta=\delta_\varepsilon>0\) такое, что
$$
\forall x’,x″\in \dot{U}_{\delta}(a)\rightarrow|f(x’)-f(x″)| <\varepsilon.\label{ref19}
$$
Так как \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x_{n}=a\), то, задав число \(\delta=\delta(\varepsilon)>0,\) указанное в условии \eqref{ref19}, найдем в силу определения предела последовательности номер \(n_{\delta}=N_{\varepsilon}\) такой, что
$$
\forall n>N_{\varepsilon}\rightarrow 0<|x_{n}-a| <\delta.\nonumber
$$
Это означает, что для любого \(n\geq N_{\varepsilon}\) и для любого \(m\geq N_{\varepsilon}\) выполняются условия \(x_{n}\in \dot{U}_{\delta}(a),\ x_{m}\in \dot{U}_{\delta}(a)\) и в силу \eqref{ref19} \(|f(x_n)-f(x_m)| <\varepsilon\). Таким образом, последовательность \(\{f(x_{n})\}\) является фундаментальной и согласно критерию Коши для последовательности имеет конечный предел. В силу леммы этот предел не зависит от выбора последовательности \(\{x_{n}\}\) сходящейся к точке \(a\). Следовательно, функция \(f(x)\) имеет конечный предел в точке \(a\). \(\bullet\)
Замечание.
остается в силе, если точку \(a\) заменить одним из символов \(a-0, a+0,-\infty, +\infty\); при этом условие \eqref{ref17} должно выполняться в окрестности этого символа.
Предел функции на бесконечности
Рассмотрим довольно простую функцию
y = 1/x
Её график называется гиперболой и выглядит так:
Можно заметить, что при больших положительных значениях х график функции приближается к горизонтальной оси Ох, но не пересекает её. Действительно, если мы будем вычислять значение у при всё больших значениях х, то будем получать всё меньшие, но всё же положительные числа:
Получается, что при бесконечном росте аргумента х функция стремится к нулю. Можно ли эту особенность функции как-то записать, используя математические символы? Оказывается, можно, и выглядит это запись так:
которая означает, что х стремится к бесконечности. После символа lim записана сама функция 1/х. В целом вся запись читается так: «предел функции у = 1/х при х, стремящемся к бесконечности, равен нулю».
Вернемся к графику функции у = 1/х. Видно, что если мы будем брать всё меньшие отрицательные значения х, то функция также будет стремится к нулю. Действительно, попробуем подставлять в нее как можно меньшие значения аргумента:
Чтобы записать эту особенность функции, используется следующая запись:
который может быть получен параллельным переносом графика у = 1/х на две единицы вверх:
Очевидно, что пределы этой функции при х → + ∞ и х → – ∞ равны 2:
Возможны случаи, когда при бесконечном увеличении аргумента функции она не стремится к какому-то конкретному числу, а сама также неограниченно возрастает. Для примера посмотрим на график :
Видно, что при х → ∞ сама функция неограниченно растет, что можно показать расчетами:
Возникает вопрос – для всякой ли функции можно указать ее предел на бесконечности? Оказывается, что нет. Для примера рассмотрим у = sinx, графиком которой является синусоида:
С одной стороны, sinx явно не стремится к какому-то конкретному числу при увеличении х, он «колеблется» между числами 1 и (– 1). С другой стороны, нельзя и сказать, что он стремится к бесконечности. Получается, что у этой функции просто нет пределов на бесконечности.
Правила вычисления производных с формулами
Перечислим справедливые закономерности, которые следует использовать в процессе вычисления производной функции, то есть при выполнении дифференцирования:
- Постоянную переносят за знак производной таким образом: \({{\left( c\cdot f \right)}^{\prime }}=c\cdot {f}’\).
- Производную от некоторой суммы можно вычислить с помощью формулы: \({{\left( f+y \right)}^{\prime }}={f}’+{y}’\).
- Производную от умножения допустимо рассчитывать следующим способом:\({{\left( f\cdot y \right)}^{\prime }}={f}’\cdot y+f\cdot {y}’\) .
- Производную от деления целесообразно вычислять с помощью соотношения: \({{\left( \frac{f}{y} \right)}^{\prime }}=\frac{{f}’y-f{y}’}{{{y}^{2}}}\).
- Производная в случае вычислений сложной функции определяется таким образом: \({{\left}^{\prime }}={f}’\left( y \right)\cdot {y}’\).
В процессе выполнения расчетов различных задач и примеров важно исключить ошибки в действиях. С этой целью полезно использовать простой алгоритм операций, позволяющий достаточно просто дифференцировать сложные функции:
- Выявить функцию, которая записана внутри выражения, и определить, чему равна ее производная.
- Записать функцию, расположенную снаружи, и аналогично выполнить ее дифференцирование.
- Перемножить полученные значения после выполнения первого и второго этапа вычислений.
Решение пределов через раскрытие неопределённостей
При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида .
Эта неопределённость и неопределённость вида —
самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.
БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела.
Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений
квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.
Освоим эти приёмы на примерах.
Для преобразования выражений потребуются пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Неопределённость вида
Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :
.
Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки
вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь
стремится к бесконечно малой величине или «супермалому числу».
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .
Проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.
Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:
.
Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем «икс» под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась
неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно,
но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки
бесконечности вместо «икса».
Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.
Проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.
Неопределённость вида
Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. В числителе — разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:
.
В знаменателе — квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):
Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:
Проверить решение задачи на
пределы можно на калькуляторе пределов
онлайн.
Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и
сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:
Пример 16. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:
Неопределённости в пределах
Прежде чем перейти к неопределённости, вспомним, что такое непрерывные функции.
Непрерывность функции в точке означает, что в этой конкретной точке нет разрывов. Если говорить просто, то на построенном графике для неё в этой точке мы можем определить значение y по x.
Например, функция f(x) = 1/x имеет разрыв в точке x = 0. То есть в этой точке вычислить значение функции невозможно. Это хорошо видно на графике:
Инфографика: Майя Мальгина для Skillbox Media
Мы видим, что для х = 0 значения y не существует — график не имеет точки с такой координатой.
Чтобы найти предел функции в любой точке непрерывности, достаточно просто подставить значение этой точки в функцию. Например, подставим 1 в f(x) = 1/x. Получаем:
Инфографика: Майя Мальгина для Skillbox Media
Предел в этом случае будет равен 1.
Но иногда такой способ решения приводит к неопределённости — то есть невозможности определить, существует ли предел функции в заданной точке и каково его значение.
Неопределённости бывают разных видов: ∞/∞ и 0/0.
Неопределённость ∞/∞
Рассмотрим функцию:
Изображение: Skillbox Media
Найдём её предел при x, стремящемся к бесконечности.
Если мы подставим в формулу x, равный бесконечности, то получим в числителе и знаменателе бесконечность.
Бесконечность, делёная на бесконечность, — это неопределённость, так как результат деления может быть равен любому числу. Поэтому нам нужно от неё избавиться.
Для этого разделим числитель и знаменатель на x2, то есть на переменную в старшей степени:
Изображение: Skillbox Media
Теперь, если мы подставим бесконечность вместо х, то дроби с х в знаменателе превратятся в . В результате получим:
Изображение: Skillbox Media
Таким образом, чтобы раскрыть неопределённость ∞/∞ в многочленах, нужно разделить числитель и знаменатель на переменную в старшей степени.
Неопределённость 0/0
Найдём предел функции:
Изображение: Skillbox Media
Если мы просто подставим в формулу x = 2, то в числителе и знаменателе получим .
Ноль, делёный на ноль, — это тоже неопределённость, которая может быть равна любому числу. Чтобы избавиться от неё, разложим числитель и знаменатель дроби на множители.
Числитель можно разложить так:
Изображение: Skillbox Media
А знаменатель — так:
Изображение: Skillbox Media
Подставим в функцию числитель и знаменатель:
Изображение: Skillbox Media
Сократим дробь на (x − 2). В результате получим:
Изображение: Skillbox Media
Найдём предел функции при х, стремящемся к 2. Для этого просто подставим в формулу х = 2. Получим:
Изображение: Skillbox Media
Неопределённость ∞ − ∞
Рассмотрим пример:
Изображение: Skillbox Media
Здесь имеет место неопределённость вида ∞ — ∞, которая может быть равна любому числу.
Избавимся от неё. Для этого умножим и разделим выражение на сопряжённое, чтобы прийти к следующей формуле:
Изображение: Skillbox Media
В результате получим:
Изображение: Skillbox Media
Таким образом мы пришли к неопределённости ∞/∞, которую уже умеем раскрывать.
Разделим числитель и знаменатель на x. Так как дроби с x в знаменателе стремятся к при x, стремящемся к бесконечности, мы получим:
Геометрический смысл
Производную можно объяснить с точки зрения геометрии. С этой целью потребуется изобразить график функции. Обозначим на нем абсциссу х0, а также определим ординату \(f(х0)\), которая ей соответствует. На окрестности абсциссы поставим какую-то точку х и начертим секущую линию, пересекающую точки графического изображения функции F. На схеме эта линия отмечена как С5. Удаленность друг от друга точек х и х0 стремится к нулевому значению и обозначается в виде дельта х. Таким образом, можно наблюдать переход секущей в касательную через линии С5, С4, С3, С2, С1. В результате производная, характерна для точки х0, представляет собой тангенс угла \(\alpha\).
Геометрический смысл производной
Пусть функция определена на интервале и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента , а точка Р – значению . Проведём через точки М и Р прямую и назовём её секущей. Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, что этот угол зависит от .
Если существует
то прямую с угловым коэффициентом
проходящую через точку , называют предельным положением секущей МР при (или при ).
Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МР при , или, что то же при .
Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел
,
причём предел равен углу наклона касательной к оси .
Теперь дадим точное определение касательной.
Касательной к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент , т.е. прямая, уравнение которой
Из этого определения следует, что производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x. В этом состоит геометрический смысл производной:
где — угол наклона касательной к оси абсцисс, т.е. угловой коэффициент касательной.
Пример 3. Найти производную функции и значение этой производной при .
Решение. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.
Шаг 1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Выражение под знаком предела не определено при (неопределённость вида 0/0), поэтому преобразуем его, избавившись от иррациональности в числителе и затем сократив дробь:
Найдём значение производной при :
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
Весь блок «Производная»
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Дифференциал функции
- Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
Приращение аргумента и функции
Часто нас интересует, как изменяется функция при изменении аргумента. Например, известно, что объем куба вычисляется по формуле
где а – ребро куба. Предположим, что мы провели измерения какого-то куба и выяснили, что длина его ребра равна 2 см. Тогда объем куба составит 23 = 8 см3. Но ведь любое измерение производится не с абсолютной точностью, а с некоторой погрешностью. Как оценить погрешность вычисления объема, если известна погрешность измерения его ребра?
Пусть с учетом погрешности линейки, составляющей 0,1 см, известно, что длина ребра находится в диапазоне от 2 до 2 + 0,1 = 2,1 см. Тогда максимально возможный объем куба составит 2,13 = 9,261 см3. Получается, что погрешность в измерении объема куба составляет 9,261 – 8 = 1,261 см3.
С точки зрения математического анализа мы в данном случае рассматривали поведение функции у = х3 в точке х = 2. Мы допустили некоторое изменение величины х, которое называют приращением аргумента и обозначают как ∆х. Далее мы высчитали, какое изменение величины у, или приращение функции, обозначаемое как ∆у, соответствует этому приращению аргумента. Выяснилось, что приращению ∆х = 0,1 соответствует приращение ∆у = 1,261.
В более общем случае произвольной функции у = f(x) можно дать некоторое приращение ∆х в некоторой точке х. В результате этого изменится и само значение f(x), причем величину этого изменения обозначают как ∆у. Это можно проиллюстрировать графически:
Задание. Дана функция у = 3х2 + х + 4. Вычислите приращение функции в точке х = 5, если ∆х = 1.
Решение. Сначала вычислим новое значение аргумента функции, с учетом данного ему приращения:
Далее вычислим значения функции, соответствующие старому и новому аргументу:
Задание. Радиус круга, измеренный с погрешностью не более 0,5 см в меньшую сторону, равен 10 см. Оцените погрешность вычисления его площади.
Решение. Площадь круга рассчитывается по формуле:
Физический смысл производной
Предположим, что некоторая точка движется прямолинейно, и ее путь можно описать по закону х(t). То есть за определенное время t точка пройдет расстояние х.
А теперь вспомним формулу скорости: \(v = \frac{x}{t}\).
Чтобы найти среднюю скорость на каком-то участке пути точки, нужно разделить весь путь на все время, или \(v_{ср.} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\). Таким образом, мы пришли к определению производной.
Физический (механический) смысл производной состоит в том, что производная от функции равняется скорости движения некоторого тела по траектории x(t) в момент времени t. x'(t) = v
Также вспомним, что скорость тела зависит от его ускорения. Тогда, применяя аналогичные рассуждения, получаем:
v'(t) = a
Производную можно брать несколько раз. Например, если мы дважды возьмем производную от x(t), то получим ускорение точки:
\(x^{\prime\prime} (t) = v'(t) = a\).
Как найти скорость и ускорение точки с помощью производной?
Для этого необходимо воспользоваться физическим смыслом производной: производная от функции равна скорости движения некоторого тела. Производная от скорости равна ускорению тела.
Производная по-простому
Где применяется
Немного о твоей будущей зарплате
Попробую объяснить несколько иначе, чем в школе.
Вы заканчиваете школу, поступаете в университет и начинаете подрабатывать:
В первый год после школы вы зарабатываете 0,5 у.е. (условных единиц).
Вы хорошо учитесь, устраиваетесь по специальности или находите свое призвание, и ваши дела постепенно, но идут в гору!
Какой молодец! Заработок растет не по годам, а по часам!
Если посмотреть на этот график внимательнее, то можно увидеть сходство с ветвью параболлы, которая в самом простом случае задается уравнением y = x². Если это понятно, то дальше все проще!
Интересно, а на сколько увеличивался заработок из года в год:
I год: 0,5 − 0 = 0,5 .
II год: 2 − 0,5 = 1,5.
III год: 4,5 − 2 = 2,5.
IV год: 8 − 4,5 = 3,5.
…
Получается, что наш доход каждый год возрастал равномерно. Вот что выйдет, если построить график:
Получается прямая!
То есть все наши старания каждый год были постоянными, достаточно было ежегодно улучшать свой доход на 1 у.е.
Нетрудно заметить, что график заработка задается уравнением y = 0,5x².
А график увеличения заработка залается прямой y = x − 0,5.
Кто знает толк в производных, скажет Неверно!Конечно, производная от 0,5x² не будет равна x − 0,5, и это мы обсудим ближе к концу статьи.
Изменение заработка для нескольких лет
Для того, чтобы посчитать скорость изменения заработка, нужно взять один из «треугольников» с графика, например первый, и разделить длину вертикального катета (Δy) (в данном случае это 12,5 − 8 = 4,5) на длину горизонтального (Δx) (тут он равен 1).
Получится 4,5 / 1 = 4,5.
Таким образом, разделив вертикальный катет на горизонтальный, мы получаем скорость изменения функции, что показывает второй график.
Но как же это все относится к производным?
А так, что производная показывает «скорость» изменения функции!
Функция заработка предсталяет из себя график параболы (график функции) .
В тоже время функция увеличения заработка каждый год представляет прямую (график производной функции).
Однако прежде, чем ты расскажешь это своим друзьям, давай проверим, а если мы возьмем другой треугольник (в этот раз второй).
Вертикальный катет: 24,5 − 18 = 6,5.
Горизонтальный катет: 1.
Разделим: 6,5 / 1 = 6,5 — не сходится с первым треугольником!
А если объединить второй и третий треугольник?
Вертикальный катет: 40,5 − 18 = 22,5.
Горизонтальный катет: 9 − 6 = 3.
Разделим: 22,5 / 3 = 7,5 — опять не сходится!
Какая же тогда производная правильная?
Для того, чтобы верно найти производную, нужно взять как можно меньший горизонтальный катет — максимальное приближение (Δх)!
Сам график задается уравнением y = 0,5x².
Тогда возьмем x₁ = 4 => y₁ = 0,5 × 4² = 8, а при x₂ = 4,001 => y₂ = 0,5 × 4,001² ≈ 8,004.
Получается: Δy = 8,004 − 8 = 0,004, Δх= 4,001 − 4 = 0,001.
Производная: Δy / Δх = 0,004 / 0,001 = 4.
И что же тогда производная?
Производная — это скорость изменения функции при самых маленьких значениях Δх (наименьших значениях горизонтального катета).
Именно поэтому производную и называют тангенсом (отношение противолежащего катета к прилежащему) угла наклона этой функции.
Если же мы посчитаем производную для каждой точки, получится такой график функции:
А это уже похоже на правду!
Производная от y = 0,5x² будет равна y = х (именно такой график получился у нас).
Погрешность в данном графике вызвана плохим приближением по оси х (в данном случае Δх = 1), из-за чего появляется неточность.
Конечно, можно не делать такое большое количество действий, проверяя точки.
Есть готовые формулы для базовых функций, пользуйтесь ими, если хотите облегчить себе жизнь.
Выводы:
- Производные встречаются почти во всех областях: от медицины до финансов, по сути дела производная, показывая скорость изменения функции, предсказывает дальнейшее поведение функции.
- Представьте матрешку, так же как в каждой матрешке внутри есть следующая, так и функция скрывает в себе производную. У каждой функции есть своя производная функции. Так же можно брать от производной функции еще одну производную и повторять действие до бесконечности.
- Производная функции показывает скорость изменения самой функции. Так же, как у вас есть родители и предки (предыдущии поколения), которые вам передали какие-то отличительные особенности, так и у функции есть производная, которая передает ей скорость ее изменения.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
Определение производной
Предположим, что имеется некая функция y = f(x). Определим начальное значение и полученное значение x из области, в которой определена заданная функция. Проанализируем эти значения.
Заметим, что в данном случае обозначение является единым и не определяется, как произведение, то есть:
Записанная ранее функция принимает в начальной точке значение, равное . Если задать аргументу x приращение , то результатом станет значение функции в другой точке .
Условием наличия у функции y = f(x) производной на некотором интервале (a;b) является существование производной в любой точке рассматриваемого интервала.
Наглядно представить понятие производной можно с помощью графика:
Данные формулировки допустимы только при существовании рассматриваемых пределов.
Геометрический смысл производной
Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.
$k = tgα$
Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:
$f'(x_0) = k$
Следовательно, можем составить общее равенство:
$f'(x_0) = k = tgα$
На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.
На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.
На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
Решение:
Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$
Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.
Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)
$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$
$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$
Ответ: $0,25$
Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:
Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.
В ответ запишите количество данных точек.
Решение:
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.
В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.
Ответ: $2$