Производная

Правила производных

Вычисление производной по формуле может показаться чертовски трудоемким занятием. И действительно, это может быть трудоемким процессом, если мы решим каждый процесс дифференцирования проводить по формуле производной.

К счастью, существует ряд функций (а именно

полиномы

,

Тригонометрические функции

), для которых мы точно знаем их производные.

Кроме того, у нас есть

правила дифференциации

которые позволяют нам найти производную функции, которая является

Составная функция

и/или комбинацию элементарных функций (для которых известна их производная), в терминах элементарных производных.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач дифференцирования вам необходимо запомнить (или записать на листе бумаги) пять простых формул:

(U + V) = U ′ + V′

(U — V) ′ = U ′ — V′

(U × V) ′ = U′V + V′U

(U / V) ‘= (U’V — V’U) / V2

(C × F) ′ = C × F′

В этом случае U, V, F — функции, а C — константа (любое число).

Как видите, сложение и вычитание производных производится по правилам, которые нам знакомы по начальным классам. С одной константой тоже все просто: ее смело можно извлечь по знаку производной. Только формулы, в которых необходимо разделить одну функцию на другую или умножить их и найти производную от результата, придется специально хранить.

Например: вы хотите найти производную функции y = (5 × x3).

у ′ = (5 × x3)′

Напомним, что константу, а в данном случае она равна 5, можно вынести за знак производной:

y ′ = (5 × x3) ‘= 5 × (x3) ′ = 5 × 3 × x2 = 15×2

Правила дифференцирования

Для выполнения операции нахождения производной существуют определенные правила, которые позволяют правильно произвести взятие дифференциала некоторой функции.

Правила — порядок действий, позволяющих исключить неверные решения задач. Они получены в результате доказательств теорем и следствий из них. Первые необходимы для доказательства некоторых утверждений, которые могут заметно облегчить вычисления.

Простым примером является нахождение гипотенузы прямоугольного треугольника (длины катетов известны). Следует воспользоваться теоремой Пифагора. Нет необходимости доказывать, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поскольку это забирает время. Существуют такие свойства (правила) дифференциации:

1. Вынесение константы за знак дифференциала: (C * f(x))’ = C(f(x))’.
2. Если функция представлена в виде суммы (разности) двух функций, то при ее дифференцировании нужно найти производные каждого элемента: (y(x) + z(x))’ = y'(x) + z'(x) и (y(x) — z(x))’ = y'(x) — z'(x).
3. Дифференциал умножения функций f(x) и g(x) равен сумме произведений каждой функции на производную другой: (y(x) * z(x))’ = (y'(x) * z(x) + y(x) * z'(x).
4. Производная частного функций y(x) и z(x) равна числителю, который представляет собой разность произведений знаменателя на дифференциал числителя, и производной знаменателя, умноженного на числитель. Кроме того, знаменатель — квадрат знаменателя исходной дроби: (y(x) / z(x))’ = / (z(x))^2.

Подробнее о производных и функциях

Этот

производный калькулятор с шагами

окажется для вас очень полезным, так как проведет вычисление производной любой заданной функции, показывая все этапы процесса, применяя соответствующие

Правила производных

, и сообщать вам, когда они применяются и почему.

Этот калькулятор также можно назвать

dy dx калькулятор

или

калькулятор дифференциального коэффициента

поскольку это именно то, что он делает, он вычисляет предел отношения dy/dx, когда dx приближается к 0.

Функции — чрезвычайно важные конструкции в математике. Наряду с дифференцированием необходимо уметь

упростить функцию

обычно в качестве преамбулы других, более специализированных вычислений. Существуют специальные типы функций, которые позволяют выполнять конкретные операции, например, то, что вы делаете с

Полиномиальные операции

.

Интересно, что многие важные элементы, такие как нахождение координат

вершина параболы

которые можно вывести хитрым способом, используя геометрические аргументы, можно тривиально получить с помощью дифференцирования.

Также идея о

Касательная линия

и

Аппроксимация Первого Порядка

появляются естественным образом, вытекая из понятия производного и естественного расширения.

1.2. Метод двусторонней разности

С точки зрения точности методы левосторонней и
правосторонней разностей равнозначны. Более точное значение дает метод двусторонней
разности (что особенно справедливо для гладких функций). Теорема Лагранжа
говорит о том, что уравнение:

          (1.6)

(при условии, что  –
замкнутый промежуток, на котором функция  дифференцируема)
имеет по меньшей мере один корень . Значение
этого корня, вообще говоря, зависит от вида функции . Если
она квадратичная, то уравнение первой степени и его корень лежит в точности на
середине отрезка ,
то есть:

          (1.7)

Если a имеет постоянное значение, а b
стремится к a, то один из корней, как правило (за исключением случаев,
когда вторая производная  равна
нулю или не существует), стремится к середине отрезка, то есть  .
Поэтому более точное приближение к искомому значению производной функции в
точке  можно
получить, воспользовавшись формулами двусторонней разности:

          (1.8)

или, для функций заданных в виде выборки:

          (1.9)

Наглядно сравнить одностороннюю и двустороннюю
разности можно представив производную, как тангенс угла наклона касательной к
функции в точке x_i. На рисунке 1.3 точное значение
производной обозначено как . В методе односторонней разности (рис.1.3, а) вместо касательной
проводится прямая через точки x_i и x_i+1.
Если в окрестностях точки x_i функция не гладкая, то значение
производной () будет существенно отличаться от точного. В то время как в методе двусторонней
разности, проведя прямую через точки  x_i-1 и x_i+1
(рис.1.3, б), можно получить значение производной практически совпадающее
с точным.

а) односторонняя разность	б) двусторонняя разность
Рис.1.3. Графическое представление производной

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения «>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Функция () представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

У функции () первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции () представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

Ответ: ’() =
2 · (3cos − · sin ); ’() = ( + 9) ·
.

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию

А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Как вычислить производную функции?

Процесс вычисления производной функции называется

дифференциация

и заключается в определении мгновенной скорости изменения точки, в каждой точке области функции.

Что такое мгновенная скорость изменения функции? Что ж, давайте начнем с определения

скорость изменения

: Рассмотрим функцию \(f\) и предположим, что у нас есть две точки, \(x_0\) и \(x_1\). В точке \(x_0\) функция имеет вид \(f(x_0)\), а в точке \(x_1\) функция принимает значение \(f(x_1)\)

Затем изменение f определяется как \(\Delta y = f(x_1) — f(x_0)\) (которое также называют изменением y). Кроме того, изменение x определяется как \(\Delta x = x_1 — x_0)\). Проще говоря, \(\Delta x\) — это изменение x, тогда как \(\Delta y\) — это изменение значения функции из-за изменения x.

Графически:

Первый дифференциал функции

Определение первого дифференциала функции

Дифференциал функции в точке

Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Тогда ее приращение в этой точке можно представить в виде суммы линейной функции от приращения ее аргумента и по сравнению с .Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения функции, соответствующая приращению независимой переменной . То есть это приращение функции, в котором опущены слагаемые, содержащие бесконечно малые величины по сравнению с приращением аргумента . Дифференциал обозначается как или , и является функцией двух переменных: и . Он также называется дифференциалом первого порядка или первым дифференциалом.

Дифференциал независимой переменной

– это приращение аргумента функции:. Он является независимой переменной.

С учетом определений, дифференциал функции имеет следующий вид.(1.1)   . Его также можно записать в одной из следующих форм.;;.

Поскольку дифференциал функции зависит от двух переменных, то его следовало бы писать так: . Однако, переменную , как правило опускают, и пишут сокращенно . При этом всегда подразумевают ее присутствие. То есть сначала мы вводим новую независимую переменную , являющуюся приращением аргумента функции, а затем, используя две независимые переменные и , определяем дифференциал.

В чем смысл первого дифференциала

Зачем вводят дифференциалы? Не проще ли использовать вместо них приращения независимой переменной и функции? – Дифференциалы вводят для сокращения записей расчетов, в которых используются стремящиеся к нулю приращения. На завершающем этапе таких расчетов выполняют предельный переход, в результате которого все о — малые функции от приращений стремятся к нулю. Поэтому применяют систему записи, в которой эти о — малые исключены с самого начала.

В строгом варианте, нужно выписать точные выражения для приращений, типа. По завершении алгебраических операций, выполнить предельный переход при ,   . Вместо этого с самого начала оставляют только главные части приращений, которые называются дифференциалами:. В результате получают выражения, линейные по дифференциалам, справедливые для приращений, когда они стремятся к нулю.

Можно сказать и так.Дифференциалы – это приращения, в которых отброшены все функции, о — малые от приращений независимых переменных.Первые дифференциалы – это выражения, в которых оставлены только линейные части приращений. Также говорят, чтоДифференциалы – это бесконечно малые приращения.

Геометрический смысл дифференциала

Если существует конечная производная функции в точке , то дифференциал функции в точке – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке , соответствующее приращению аргумента . Дифференциал независимой переменной – это приращение аргумента функции: .
Дифференциал функции в точке x – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику в этой точке. Доказательство

На странице «Геометрический смысл производной» мы выяснили, что уравнение касательной к графику функции имеет вид:(1.2)   , где .

В точке с абсциссой , ордината касательной равна . Рассмотрим точку , в которой приращение абсциссы равно . Из уравнения находим ординату касательной в этой точке:. Приращение ординаты касательной. Как видно, оно совпадает с дифференциалом функции в точке .

Свойства первого дифференциала

Арифметические свойства дифференциалов

Теорема Пусть функции и дифференцируемы в точке ; – постоянная. Тогда в этой точке(1.3)     (дифференциал суммы функций);(1.4)     (дифференциал произведения);(1.5)   ,   при   (дифференциал частного). Постоянный множитель можно выносить из-под знака дифференциала:(1.6)   .

Доказательство следует из определения дифференциала и .;;;.

Инвариантность формы первого дифференциала

Теорема Пусть функцию можно представить как сложную: . При этом функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда дифференциал первого порядка функции, выраженный через переменную имеет ту же форму, что и дифференциал, выраженный через переменную . Эту же формулу можно записать так:.
Доказательство

По , в точке существует производная по . Применим эту теорему и подставим ..

Здесь мы выполнили доказательство, использую характеристики функций . Проделаем тоже самое, использую переменные ..

Можно проделать вывод и просто сделав подстановку .. В известном смысле с первыми производными можно обращаться как с дробями, составленными из дифференциалов.

Примечание. В формуле ,   является дифференциалом независимой переменной, то есть приращением переменной . В формуле ,   уже дифференциал зависимой переменной. Он может отличаться от приращения на о — малое по сравнению с при .;.

Определение[]

1. Пусть в некоторой окрестности точки x∈R{\displaystyle x_0 \in \R} определена функция fU(x)⊂R→R.{\displaystyle f:U(x_0) \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}.} Производной функции f{\displaystyle f} в точке x{\displaystyle x_0} называется предел, если он существует,

limx→xf(x)−f(x)x−x.{\displaystyle \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) — f(x_0)}{x — x_0}.}

Производная функции в точке x0{\displaystyle x_0} обозначается символами

f′(x)=Df(x)=df(x)dx=dydx|x=x=y˙(x).{\displaystyle f'(x_0) = \mathrm{D}f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).}

Производная суммы и разности

Пусть даны функции () и (), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

1. ( + )’ = ’ + ’
2. ( − )’ = ’ − ’

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, ( + + )’ = ’ + ’ + ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность − можно переписать как сумму + (−1) · , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

Функция () — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

Аналогично рассуждаем для функции (). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

Ответ: ’() = 2 + cos x; ’() = 4 · (
2 + 1).

Производная функции — краткое описание, суть

Если совсем просто, то:

Производная – это скорость изменения функции в данной точке.

Выражаясь математическим языком, это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Формула:

Она понимается в двух смыслах: геометрическом и физическом.

Геометрический смысл: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения. Таким образом, значение скорости в определённый момент времени t определяется по формуле:

Вычисление производной называется дифференцированием. Обратный процесс – интегрированием.

Геометрический смысл производной

Достроим прямоугольный треугольник АВС. Заметим, что отношение \(\frac{\Delta x}{\Delta y} = tg(BAC)\), то есть равняется отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Иначе это отношение можно записать как \(tg(BAC) = \frac{BC}{AC}\). 

Поскольку в этом примере мы взяли достаточно большое расстояние между значениями х, то АВ — секущая. Если мы будем сокращать расстояние между значениями аргумента, то две точки на графике будут ближе друг к другу, а секущая будет стремиться к касательной. 

Следовательно, мы можем описать скорость изменения функции через тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в некоторой точке. 

Из этих рассуждений мы можем вывести геометрический смысл производной:

Если провести касательную к функции в некоторой точке, то производная в этой точке будет равна тангенсу угла ее наклона. 

Рассмотрим касательную отдельно. Это прямая, которая имеет уравнение y = kx+b, где к — коэффициент наклона. 

Тогда мы получаем следующее уравнение:

f'(x) = k = tg(a) 

Какие фокусы творят тригонометрия и геометрия вместе?Геометрический смысл производной — главный совместный номер. Производная равняется тангенсу угла наклона касательной, проведенной к функции в определенной точке.

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Вынесение константы за знак производной
$$(\alpha*f(x))^{/}=\alpha*(f(x))^{/};$$

Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10\sin(x))^{/}==10*(\sin(x))^{/}=10*\cos(x);$$

Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) \pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} \pm (g(x))^{/};$$

Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут \(f(x)=2x^4\), а \(g(x)=x^3\). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$

Пример 6
$$(ln(x)+\cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(\cos(x))^{/}=\frac{1}{x}-\sin(x);$$

Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$

Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$

Пример 8
$$(x^2*\sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*\sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*\sin(x)+x^2*(\sin(x))^{/}=2x*\sin(x)+x^2*\cos(x);$$

Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=\frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$

Производная от частного двух функций
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{/}=\frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$

Пример 10
$$\left(\frac{x^3}{sin(x)}\right)^{/}=\frac{(x^3)^{/}*\sin(x)-x^3*(\sin(x))^{/}}{(\sin(x))^2}=\frac{3x^2*\sin(x)-x^3*\cos(x)}{(\sin(x))^2};$$

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Пример 11
$$(5x^3+2\cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2\cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(\cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-\sin(x))=15x^2-2\sin(x);$$

Пример 12
$$\left(-\frac{3x^2}{2x^4+5x}\right)^{/}=-\frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-\frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-\frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$

Правила дифференцирования производной

Чаще всего при нахождении производной требуется не просто посмотреть в таблицу производных, а вначале применить правила дифференцирования и доказательство производной произведения, и только потом использовать таблицу производных элементарных функций.

1. Постоянная выносится за знак производной

$(Cu)’=Cu’$,

$C$ – постоянная (константа).

Пример 1

Продифференцировать функцию $y=7x^4$.

Решение.

Находим $y’=(7x^4 )’$. Выносим число $7$ за знак производной, получаем:

$y’=(7x^4 )’=7(x^4 )’=$

используя таблицу, необходимо находить значение производной степенной функции:

$=7 \cdot 4x^3=$

Преобразуем результат к принятому в математике виду:

$=28x^3$.

Ответ: $28x^3$.

2. Производная суммы (разницы) равна сумме (разнице) производных:

$(u \pm v)’=u’ \pm v’$.

Пример 2

Продифференцировать функцию $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x$.

Решение.

$y’=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt{x^2}+\frac{4}{x^4} -11\cot x)’=$

применим правило дифференцирования производной суммы и разницы:

$=(7)’+(x)’-(5x^5 )’+(4 \sin x )’-(9\sqrt{x^2})’+(\frac{4}{x^4} )’-(11\cot x)’=$

отметим, что при дифференцировании все степени и корни необходимо преобразовать к виду $x^{\frac{a}{b}}$;

вынесем все постоянные за знак производной:

$=(7)’+(x)’-(5x^5 )’+(4\sin x )’-(9x^{\frac{2}{5}} )’+(4x^{-4} )’-(11\cot x)’=$

$=(7)’+(x)’-5(x^5 )’+4(\sin x )’-9(x^{\frac{2}{5}} )’+4(x^{-4} )’-11(\cot x)’=$

разобравшись с правилами дифференцирования, некоторые из них (например, как последние два) применяются одновременно во избежание переписывания длинного выражения;

мы получили выражение из элементарных функций, стоящих под знаком производной; воспользуемся таблицей производных:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}}+12x^{-5}-11 \cdot \frac{-1}{\sin^2 x}=$

преобразуем к виду, принятому в математике:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$

Обратим внимание, что при нахождении результата принято слагаемые с дробными степенями преобразовать в корни, а с отрицательными – в дроби. Ответ: $1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$

Ответ: $1-25x^4+4 \cos x-\frac{18}{5\sqrt{x^3}}+\frac{12}{x^5} +\frac{11}{\sin^2 x}$.

3. Формула производной произведения функций:

$(uv)’=u’ v+uv’$.

Пример 3

Продифференцировать функцию $y=x^{11} \ln x$.

Решение.

Сначала применим правило вычисления производной произведения функций, а затем используем таблицу производных:

$y’=(x^{11} \ln x )’=(x^{11} )’ \ln x+x^{11} (\lnтx )’=11x^{10} \ln x+x^{11} \cdot \frac{1}{x}=11x^{10} \ln x-\frac{x^{11}}{x}=11x^{10} \ln x-x^{10}=x^{10} (11 \ln x-1)$.

Ответ: $x^{10} (11 \ln x-1)$.

4. Формула производной частной функции:

$(\frac{u}{v})’=\frac{u’ v-uv’}{v^2}$.

Пример 4

Продифференцировать функцию $y=\frac{3x-8}{x^5-7}$.

Решение.

$y’=(\frac{3x-8}{x^5-7})’=$

по правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычисления производной частного:

$=\frac{(3x-8)’ (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)’}{(x^5-7)^2} =$

применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение:

$=\frac{3(x^5-7)-5x^4 (3x-8)}{(x^5-7)^2} =\frac{3x^5-21-15x^5+40x^4}{(x^5-7)^2} =\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$ .

Ответ: $\frac{-12x^5+40x^4-21}{(x^5-7)^2}$.

Пример 5

Продифференцируем функцию $y=\frac{x^7-2x+3}{x}$.

Решение.

Функция y является частным двух функций, поэтому можно применить правило вычисления производной частного, но в таком случае получим громоздкую функцию. Для упрощения данной функции можно почленно разделить числитель на знаменатель:

$y=\frac{x^7-13x+9}{x}=x^6-13+\frac{9}{x}$.

Применим к упрощенной функции правило дифференцирования суммы и разности функций:

$y’=(x^6-13+\frac{9}{x})’=(x^6 )’+(-13)’+9(x^{-1} )’=6x^5+0+9 \cdot (-x^{-2})=$

$=6x^5-\frac{9}{x^2}$.

Ответ: $6x^5-\frac{9}{x^2}$.

Дифференцирование параметрически заданных и неявных функций.

Функции, заданные параметрически.

Пусть функции \(x(t)\) и \(y(t)\) определены на отрезке \(\), причем функция \(x(t)\) непрерывна и строго монотонна (например, строго возрастает). Тогда на отрезке \(\), где \(\alpha=x(t_0-\delta),\;\beta=x(t_0+\delta)\), определена функция \(t=t(x)\), обратная к функции \(x=x(t)\), непрерывная и строго возрастающая.

Предположим дополнительно, что существуют \(x'(t_0)\) и \(y'(t_0)\), причем \(x'(t_0)\neq 0\) (для сокращения вместо \(x'(t_0)\) и \(y'(t_0)\) будем писать соответственно \(x_{t}’,\ y_{t}’\).

Тогда сложная Функция \(y=y(t)=y(t(x))\) дифференцируема по \(x\) в точке \(x_{0}=x(t_{0})\), причем
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{y_{t}’}{x_{t}’}.\label{ref29}
$$

\(\circ\) Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции \(y=y(t(x))\) получаем
$$
\frac{dy}{dx}=y_{x}’=y_{t}’t_{x}’,\nonumber
$$
где \(t_{x}’=\displaystyle \frac{1}{x_{t}’}\) согласно правилу дифференцирования обратной функции. Итак, справедлива формула \eqref{ref29}. \(\bullet\)

Пример 10.

Найти \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\), если
$$
x=\ln(1+e^{2t}),\qquad y=\operatorname{arctg}e^t.\nonumber
$$

\(\triangle\) Так как \(x_{t}’=\displaystyle \frac{2e^{2t}}{1+e^{2t}},\;y_{t}’=\displaystyle \frac{e^{t}}{1+e^{2t}}\), то по формуле \eqref{ref29} находим
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{y_{t}’}{x_{t}’}=\frac{e^{t}}{1+e^{2t}}\frac{1+e^{2t}}{2e^{2t}}=\frac{e^{-t}}{2}.\qquad \blacktriangle\nonumber
$$

Функции, заданные неявно.

Если дифференцируемая функция \(y=f(x)\) задана неявно уравнением \(F(x,y)=0\), то, дифференцируя тождество \(F(x, f(x))\equiv 0\) как сложную функцию, можно найти \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)\). Подробно вопрос о существовании неявной функции и ее дифференцируемости будет рассмотрен в параграфе 29.

Пример 11.

Написать уравнение касательной к эллипсу
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\label{ref30}
$$
в некоторой его точке \(M_0(x_0,y_0)\), где \(|x_{0}| < a\).

\(\triangle\) Точка \(M_{0}\) однозначно определяет на интервале \((-a,a)\) одну из двух неявных дифференцируемых функций, которые задаются уравнением \eqref{ref30}. Обозначим эту функцию \(f(x)\). Ее можно записать в явном виде, разрешив уравнение \eqref{ref30} относительно \(y\).

Дифференцируя тождество \eqref{ref30}, в котором \(y=f(x)\), получаем
$$
\frac{2x}{a^2}+\frac{2yy’}{b^{2}}=0.\label{ref31}
$$
Подставляя в уравнение \eqref{ref31} вместо \(x\) и \(y\) соответственно \(x_0\) и \(y_0\), находим угловой коэффициент касательной к эллипсу в точке \(M_0\):
$$
k=y'(x_0)=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{0}}{y_0}.\nonumber
$$
Следовательно, уравнение касательной имеет вид
$$
y-y_{0}=k(x-x_0),\qquad\Rightarrow\qquad y-y_{0}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{0}}{y_0}(x-x_{0}).\nonumber
$$
это уравнение можно записать так: \(\displaystyle \frac{yy_0}{b^2}+\frac{xx_{0}}{a^{2}}=\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}+\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}\), или в виде \(\displaystyle \frac{yy_0}{b^{2}}+\frac{xx_{0}}{a^{2}}=1\), так как \(\displaystyle \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1.\blacktriangle\)

Вывод простейших для нахождения производных конкретных функций

При решении задач с элементарными и сложными функциями удобно пользоваться нижеприведенными основными формулами для нахождения их производной.

1. Производная натурального логарифма по x для элементарной функции имеет общий вид .

В случае расчетов со сложными функциями следует воспользоваться формулой .

2. Производная логарифмической функции по основанию a для элементарной функции вычисляется таким образом: 

Если функция сложная, то формула примет следующий вид: 

3. Производная по x в степени n определяется, согласно краткому уравнению .

Когда в решении задачи присутствует сложная функция, можно воспользоваться формулой: 

4. Производная квадратного корня для элементарной функции равна: .

Для сложной функции: .

5. При расчете производной a в степени x нужно использовать формулу , когда функция элементарная.

Используем формулу , когда функция сложная.

6. Производная e в степени x в случае элементарной функции составляет .

Если функция сложная, то формула примет вид: .

7. Производная синуса для элементарной функции равна .

В случае сложной функции значение можно посчитать так: .

8. Производная косинуса для элементарной функции 

Для сложной функции — 

9. Когда требуется определить производную тангенса для элементарной функции, следует воспользоваться формулой: 

Если функция сложная, то подойдет следующая формула: 

10. Вычислить производную котангенса для элементарной функции можно с помощью уравнения .

Для сложной функции — .

11. Формула производной арксинуса имеет вид: 

Если функция сложная, то следует воспользоваться следующей формулой: .

12. Производную арккосинуса для элементарной функции вычисляют таким образом: .

В случае сложной функции формула следующая: .

13. Если требуется вычислить производную арктангенса для элементарной функции, пригодится формула: .

В случае сложной функции следует использовать такую формулу: .

14. Производная арккотангенса для элементарной функции: .

Для сложной функции производную вычисляют следующим образом: .

Вывод формул производной функции

Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись \(f(x)\) означает, что функция берется от аргумента \(x\). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента \(x\) может стоять все что угодно, например выражение \(2x+3\). Обозначение такой функции будет \(f(2x+3)\), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента \(x\) мы пишем \(2x+3\).

И несколько важных замечаний про \(\Delta f(x)\) и \(\Delta x\). Напомню, что значок \(\Delta\) означает изменение некоторой величины. \(\Delta x\) — изменения координаты \(x\) при переходе от одной точки на графике функции к другой; \(\Delta f(x)\) — разница координат \(y\) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем \(\Delta x\) для двух близких точек на графике функции \(O\) и \(B\):
$$\Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить \(x_B\):
$$x_B=x_O+\Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси \(x\)) точки \(B\) получается путем сложения абсциссы точки \(O\) и \(\Delta x\).

Кстати, функцию \(f(x)=x^3+sin(x)\) от аргумента \(x_B=x_O+\Delta x\) можно расписать: