Логарифмы и их свойства

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке. Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x).

Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера

Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента (обозначают ln(x)).

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

И еще один важный логарифм по основанию два обозначают

Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменную

Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостью

Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. Для усвоения материала приведу лишь несколько распространенных примеров из школьной программы и ВУЗов.

Что такое натуральный логарифм

Главная часть любого логарифма — его основание. Именно наличие общего основания у нескольких логарифмических функций позволяет проводить с ними различные операции.

Основанием натурального логарифма является число Эйлера (e) — иррациональное число, приблизительно равное 2,71828.

На всякий случай напомним, что такое иррациональные числа. Так называют числа, которые нельзя записать в виде обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем. При этом знаменатель не должен быть равен нулю.

Например, 0,333… — рациональное число, потому что его можно записать как 1/3. А вот число Пи или корень из 2 — иррациональны.

Так как натуральные логарифмы часто используются, для них ввели особый способ записи: ln x — это то же самое, что log_e x.

Что такое e

Представим кристалл, который весит 1 кг и растёт со скоростью 100% в год. Можно ожидать, что через год он будет весить 2 кг, но это не так.

Каждая новая выращенная часть начнёт растить свою собственную. Когда в кристалле будет 1,1 кг, он будет расти со скоростью 1,1 кг в год, а когда в нём будет 1,5 кг — со скоростью 1,5 кг в год. Математики подсчитали, что через год масса кристалла составит e, или ≈ 2,71828 кг.

Каждый новый отросток сразу начинает выращивать свой собственный, и скорость роста кристалла увеличивается вместе с его массой

Такой рост называется экспоненциальным. По экспоненте размножаются бактерии, увеличиваются популяции, приумножаются доходы, растут снежные комья, распадается радиоактивное вещество и остывают напитки.

Зачем нужны натуральные логарифмы

Чтобы узнать, какой массы достигнет кристалл через три, пять, десять лет, нужно возвести e в соответствующую степень.

e3 ≈ 20,0855 кг

e5 ≈ 148,4132 кг

e10 ≈ 22 026,4658 кг

Но как рассчитать, когда кристалл будет весить тонну? Составим уравнение:

ex = 1000

Нам известны основание степени и результат возведения в степень — осталось найти её показатель. Ничего не напоминает? Это ведь и есть логарифм x = log_e 1000! Или, если использовать сокращённую запись, x = ln 1000.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log₂ 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2−1.

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1. Представить основание и аргумент в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
2. Решить относительно переменной уравнение: = ;
3. Полученное число будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 51; 25 = 52;
2. Составим и решим уравнение:log₅ 25 = ⇒ (51) = 52 ⇒ 5 = 52 ⇒ = 2;
3. Получили ответ: 2.

1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 31; 1/81 = 81−1 = (34)−1 = 3−4;
2. Составим и решим уравнение:
3. Получили ответ: −4.

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 22; 64 = 26;
2. Составим и решим уравнение:log₄ 64 = ⇒ (22) = 26 ⇒ 22 = 26 ⇒ 2 = 6 ⇒ = 3;
3. Получили ответ: 3.

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 24; 1 = 2;
2. Составим и решим уравнение:log₁₆ 1 = ⇒ (24) = 2 ⇒ 24 = 2 ⇒ 4 = 0 ⇒ = 0;
3. Получили ответ: 0.

1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 71; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 71 < 14 < 72;
2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
3. Ответ — без изменений: log₇ 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

8 = 2 · 2 · 2 = 23 — точная степень, т.к. множитель всего один;48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 24 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 34 — точная степень;35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Простейшие логарифмические уравнения

В других статьях мы уже рассматривали разные виды уравнений: линейные, квадратные, показательные и т.п. Настало время узнать про логарифмические уравнения. 

Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная стоит в аргументе или основании логарифмов. 

Иными словами, если в уравнении мы видим логарифм с неизвестной — это логарифмическое уравнение. 

Например, \(log_2x=4\) — логарифмическое уравнение. 

А вот \(log_25+x=x^2\) не будет логарифмическим уравнением, поскольку неизвестная не стоит ни в аргументе, ни в основании логарифма. 

Как решать логарифмические уравнения?Логарифмическое уравнение нужно привести к такому виду:

\(log_af(x)=log_ag(x)\).

При решении таких уравнений нужно обязательно учитывать, что по определению аргумент логарифма всегда должен быть больше нуля, а основание больше нуля и не должно равняться единице. Эти ограничения называются областью допустимых значений или ОДЗ логарифма. 

Область допустимых значений — это те значения, которые может принимать переменная x (или другая буква латинского алфавита) в выражении.

\(log_ab\)ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 0, b> 0.

Как быстро избавиться от логарифмов с одинаковым основанием?Это можно сделать, приравняв аргументы. Почему мы можем так сделать? Представим, что мы возводим некоторое число в степень, это число будет стоять в основании логарифма. Если два логарифма равны, то и степени, в которые мы возвели число, равны. Следовательно, будет равен и результат возведения в степень, то есть аргумент логарифма!\(a^x=b\)\(log_ab=x\)Тогда пусть \(log_ab=log_ac\)\(x=log_ac\)\(a^x=c => b=c\)При этом проверить ОДЗ можно только у одного из логарифмов, поскольку если один из них положителен, а второй равен первому, то и второй будет положительным.Например, если b=2, то из равенства b=c получаем c=b=2.В логарифмических уравнениях встречаются более сложные выражения, которые в дальнейшем мы будем выражать в виде функций — например, f(x) или g(x).Например:

Алгоритм решения логарифмического уравнения:1. Написать ОДЗ.2. Упростить выражения слева и справа от знака равенства, используя свойства логарифмов, если это возможно.3. Если основания логарифмов одинаковые, избавиться от логарифмов. В противном случае — используя свойства логарифмов, привести к одинаковому основанию, а уже потом совершить эти действия.4. Решить уравнение и сравнить с ОДЗ, выписать в ответ корни.

Рассмотрим на примере:

\(log_2(5x-4)=log_2(x+8)\)

1. В первую очередь найдем ОДЗ. Для этого вспомним, что аргумент логарифма всегда строго положителен:

\(5x-4>0\) и \(x+8>0\)

Найдем возможные значения х:

\(5x>4\) и \(x>-8\)\(x>\frac{4}{5}\) и \(x>-8\)

Нанесем найденные промежутки на числовую прямую и определим, какие значения может принимать х. Для этого нам нужно будет найти промежутки, которые удовлетворяют обоим неравенствам: 

Теперь мы можем определить ОДЗ: \(x \in(\frac{4}{5};+{\infty})\)

2. Если в обеих частях уравнения находится логарифм по одинаковому основанию, то можно «скинуть» логарифмы и записать равенство аргументов. Поскольку и у первого, и у второго логарифма основания равны 2, то мы можем приравнять их аргументы: 

\(5x-4=x+8\)

3. Решим полученное уравнение:

\(5x-x=8+4\)\(4x=12\)\(x=3\)

4. Подставим в ОДЗ и проверим, подходит ли корень. Поскольку \(3>\frac{4}{5}\), то корень нам подходит. 

Ответ: 3.

А теперь немного усложним задачу. Допустим, переменная будет стоять и в основании, и в аргументе логарифма. 

Рассмотрим еще одно уравнение: 

\(log_2(x-4)=log_{4x}4+log_{4x}x\)

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма всегда строго больше 0, а основание больше 0 и не равно 1. Тогда получаем следующие неравенства для аргументов логарифмов:

\(x>0\)\(x-4>0\)

И для оснований логарифмов:

\(4x>0\)\(4x\neq1\)

Решим неравенства:

\(x>0\)\(x>4\)\(x>0\)\(x\neq\frac{1}{4}\)

Теперь отметим все ограничения на числовой прямой и найдем, чему равна ОДЗ:

Поскольку нам нужно, чтобы ограничение удовлетворяло всем полученным неравенствам и уравнениям, то \(x\in(4;+{\infty})\).

2. Теперь перейдем к решению самого уравнения. По свойствам логарифма (свойства 4 и 6) преобразуем правую часть уравнения:

\(log_2(x-4)=log_{4x}4x\)\(log_2(x-4)=1\)

3. Чтобы отбросить логарифмы и перейти к уравнению с аргументами, необходимо, чтобы их основания были равны. Поскольку основание левого логарифма равно 2, то представим правую часть в виде логарифма с таким же основанием 2:

\(log_2(x-4)=log_22\)

4. Отбросим логарифмы и перейдем к уравнению с ними:

\(x-4=2\)\(x=6\)

Поскольку \(6>4\), то корень принадлежит ОДЗ, а значит, его можно записать в ответ. 

Ответ: 6.

Мы разобрали уравнения с логарифмами. Остался вопрос: а как решать неравенства с ними? 

Логарифмическая шкала

Если мы возьмём линию и отметим на ней точки через каждый сантиметр, то мы получим арифметическую шкалу. Арифметическую — потому что каждая новая отметка считается арифметическим действием — сложением шага и предыдущего значения:

Но если мы вместо сложения возьмём логарифм, например, по основанию 10, то каждая новая отметка будет зависеть от значения десятичного логарифма:

Это выглядит странно, но логарифмическая шкала постоянно применяется в экономике и маркетинге, когда нужно оценить рост или падение стоимости товара. Если взять обычную арифметическую шкалу, то разница между парами (1, 2) и (9, 10) будет одной и той же — 1 пункт. 

Но при этом в первом случае цена выросла в 2 раза, с 1 до 2, а во втором случае — всего лишь на 10%. С логарифмической шкалой рост цены будет выглядеть логичнее:

Что такое монотонность, как построить график

Функция является монотонной на каком-то отрезке при возрастании или убывании в определенном промежутке. Таким образом, монотонность функции определяется в виде ее однообразия.

Можно сказать, что функция возрастает при:

Условие выполняется для любых двух точек определенного интервала, которые характеризуются соотношением:

x2 > x1

Таким образом, больший аргумент соответствует большему значению функции. График при этом изображают на координатной плоскости снизу вверх.

Функция является убывающей при:

В этом случае на определенном интервале две точки характеризуются следующим соотношением:

x2 > x1

Тогда больший аргумент соответствует меньшему значению функции. Следовательно, график будет расположен сверху вниз.

Смягченными условиями для записанных формулировок являются неубывающие и невозрастающие функции. В первом случае справедливо неравенство , а во втором — . Тогда подобные функции на заданном промежутке обозначают в виде монотонности функции на интервале.

Строгая монотонность представляет собой подвид обычной монотонности. Функция является постоянной, то есть немонотонной, при условии, что для нее не характерно убывание или возрастание.

Логарифмическая функция — строго монотонна. Если основание логарифмической функции а>1, то она возрастает. Когда основание определяется, как 0<a<1, функция является убывающей.  

Можно заметить, что график любой логарифмической функции пересекает точку с координатами (1; 0). Причиной этому служит справедливость равенства log 1 = 0 в случае любого основания a.

Попробуем доказать, что логарифмическая функция является монотонно возрастающей:

Запишем известные данные:

Заменим значение х во втором выражении на значение х из первого равенства и получим главное логарифмическое тождество:

Заметим, что в данном случае а>0, а≠1 и b>0. Если утверждать, что логарифмическая функция является монотонно возрастающей, то больший аргумент должен соответствовать большему значению функции:

Представим x1  и x2, используя основное логарифмическое тождество:

Значения x2 и x1отобраны в соответствии с областью определения. Они являются положительными:

В результате:

Полученное неравенство является показательным. Здесь степени обладают равными основаниями, которые больше, чем единица. Можно сделать вывод о том, что допустимо выполнить сравнение показателей при неизменном знаке неравенства:

Утверждение доказано.

Логарифмикой нередко обозначают непрерывную кривую логарифмической функции. У нее отсутствует экстремум. На графике она занимает следующие положения:

• возрастает, если a>0;
• убывает, если 0<a<1.

Возрастающей и убывающей логарифмической функции соответствуют следующие графики:

Заметим, что логарифмическая функция на графике в любом случае имеет точки пересечения с осью абсцисс. Точка пересечения обладает координатами: (1;0).

При работе с логарифмическими функциями важно понимать принцип оценки логарифмических констант. Рассмотрим типичный пример, где требуется оценить числа:. Функция, которая имеет основание 2, при x = 1 принимает нулевое значение

Рассмотрим какие-нибудь степени числа 2:

Функция, которая имеет основание 2, при x = 1 принимает нулевое значение. Рассмотрим какие-нибудь степени числа 2:

x = 2 (первая степень), при у=1

x = 4 (вторая степень), при у=2

x = 8 (третья степень), при у=3

Аргумент x = 7 занимает место на промежутке между x = 4 и x = 8

Тогда значение, которым обладает функция , можно определить между 2 и 3.

Аналогично рассмотрим аргумент x = 3. Он располагается между x = 2 и x = 4. Тогда функция  обладает значением, которое можно отметить на промежутке между 1 и 2.

Запишем ответ:

Попробуем найти решения неравенства:

Очевидно то, что здесь требуется оценить логарифмические константы. Аналогично предыдущему примеру, начнем с первого логарифма, далее рассмотрим второй логарифм и все вместе:

В результате получается, что значение первого логарифма соответствует интервалу от 2 до 3. Второй логарифм расположен в промежутке от 3 до 4. Таким образом, разность данных логарифмов меньше нуля, либо имеет нулевое значение. При условии выполнения начального неравенства х должен быть <0, то есть отрицательным.

Можно записать краткий ответ, как .

Примеры деления и умножения

В задачах на логарифмы нередко встречаются уравнения с операциями умножения и деления. Правила работы с такими примерами можно записать в виде справедливых равенств:

\(loga(bc)=logab+logac(a>0,a≠1,b>0,c>0)\)

\(logabc=logab−logac(a>0,a≠1,b>0,c>0)\)

Примечание

Если применять формулы, начиная с левой стороны, ОДЗ уменьшается. Переход от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного приводит к расширению ОДЗ.

Выражение \(loga(f(x)g(x))\) будет определяться только в двух ситуациях:

• когда обе функции строго положительны;
• когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.

Данное уравнение можно преобразовать и записать, как сумму: logaf(x)+logag(x), при условии, что \(f(x)>0 \ и \ g(x)>0\). Таким образом, ОДЗ сужается, что может привести к потере решений. Аналогично и со вторым уравнением для преобразования разности.

Задача № 1

Требуется решить: \(lg2 + lg50\)

Решение:

Следует применить формулу суммы логарифмов и воспользоваться определением десятичного логарифма:

\(lg2 + lg50 = lg100 = 2\)

Ответ: 2

Задача № 2

Необходимо найти решение: \(lg125/lg5\)

\(lg125/lg5\)

Решение:

С помощью формулы перехода к новому основанию запишем решение:

\(lg125/lg5 = log5125 = 3\)

Примечания

1. ↑ Ольга Баранова. . Корпорация Российский учебник. Дата обращения: 6 июня 2023.
2. ↑ Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень. — М.: Просвещение, 2012. — С. 91. — 464 с. — ISBN 978-5-09-026651-2.
3. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10–11класс. Учебник. — ООО «ИОЦ МНЕМОЗИНА», 2019.
4. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 класс. Учебник. — АО «Издательство “Просвещение”, 2015.
5. ↑ Маслова Т. Н., Суходский А. М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл.. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008. — С. 101. — 672 с. — ISBN ISBN 978-5 -488 -01478-7 (ООО «Издательство Оникс»), ISBN 978-5 -94666-435 -6 (ООО «Издательство «Мир и Образование»).
6. . ЕГЭ-студия (08.05.2023). Дата обращения: 6 июня 2023.
7. ↑ Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / под ред. А.Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 2008. — 384 с. — ISBN 978-5-09-019513-3.
8. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М., 1966. — С. 232—235. — 424 с.
9. . Российская электронная школа. Дата обращения: 4 июня 2023.
10. ↑
11. Рыбников К. А. История математики. В двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1963. — Т. II. — С. 27, 230—231. — 336 с.
12. . Учебник. Сайт для школьников и студентов. Дата обращения: 7 июня 2023.
13. . Учебник. Сайт для школьников и студентов. Дата обращения: 7 июня 2023.
14. . Учебник. Сайт для школьников и студентов. Дата обращения: 7 июня 2023.
15. . Формулы и расчёты online. Дата обращения: 7 июня 2023.
16. . Сайт для радиолюбителей (18.07.2021). Дата обращения: 7 июня 2023.
17. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни.. — М.: Просвещение, 2014. — 384 с.
18. . ЯКласс. Дата обращения: 2 июня 2023.

Как считать логарифмы в Python

Чтобы работать с логарифмическими выражениями в Python, необходимо импортировать модуль math:

И теперь посчитаем log₂ 8, используя метод math.log (b, a):

Обратите внимание на два момента. Во-первых, мы сначала передаём функции аргумент и только потом — основание

Во-вторых, функция всегда возвращает тип данных float, даже если результат целочисленный.

Если мы не передаём функции основание, то логарифм по умолчанию считается натуральным:

Для подсчёта десятичного и двоичного логарифма есть отдельные методы:

Ещё в Python есть специфичный метод, который прибавляет к аргументу единицу и считает натуральный логарифм от получившегося числа:

Когда х близок к нулю, этот метод даёт более точные результаты, чем math.log (1+x). Сравните:

Это все основные инструменты для работы с логарифмами в Python.

Свойства логарифмов

Логарифмы, как и числа, можно складывать, умножать и делать множество действий с ними. Как не запутаться в них, не производить лишних вычислений и не ошибиться? Для этого нужно хорошо знать все свойства, которые представлены в таблице ниже. Каждое из рассмотренных в таблице свойств можно использовать для преобразований.

Рассмотрим каждое свойство чуть подробнее. 

Свойство 1. \(log_ab^m=m*log_ab\). 

Попробуем найти значение выражения \(log_28^2\) без применения свойства. Тогда возведем аргумент в степень и получим:

\(log_28^2=log_264\)

Воспользовавшись определение логарифма, заметим, что \(log_264=6\).Но что делать, если числа окажутся большими, или, более того, у логарифма не будет точного значения — примером такого логарифма может служить \(log_57\). Да и вычисление в несколько действий с большими числами может занять много времени. 

Именно поэтому мы применяем это свойство! 

\(log_28^2=2*log_28=2*3=6\)

Свойство 2. \(log_{a^n}b=\frac{1}{n}*log_ab\)

Рассмотрим на примере логарифма \(log_{2^2}4\). Посчитаем без свойства:

\(log_{2^2}4=log_44=1\)

Заметим, что:

• в первом свойстве мы увеличивали аргумент логарифма (то есть конечный результат, который получается при возведении числа в степень);
• в этот раз мы увеличиваем уже число, которое возводим в степень. 

Сравните:

\(2^2=4\) или \(3^2=9\)

Следовательно, когда мы будем производить «обратные» действия, то есть считать логарифм, то при увеличении основания степени (и сохранении результата возведения в степень), у нас должна уменьшиться сама степень, в которую мы возводим. 

Например:

\(2^4=16\) и \(4^2=16\)

Именно поэтому у нас появляется дробь: она уменьшает степень во столько раз, во сколько мы увеличили первоначальное число:

\(log_{2^2}4=\frac{1}{2}log_24=\frac{1}{2}*2=1\)

Свойство 3. \(log_{a^n}b^m=\frac{m}{n}*log_ab\)

Это свойство вытекает из двух предыдущих, просто их соединили вместе. Иначе пришлось бы отдельно выносить степень из аргумента и отдельно из основания логарифма. Сравните:

\(log_{2^3}5^7=7*log_{2^3}5=7*\frac{1}{3}*log_25=\frac{7}{3}log_25\)или\(log_{2^3}5^7=\frac{7}{3}log_25\)

Свойство 4. \(log_ab+log_ac=log_a(b*c)\)

Найдем значение выражения \(log_24+log_28\):

\(log_24+log_28=2+3=5\)

Но в случае, когда числа не будут так легко считаться (или вовсе не будут считаться), на помощь придет это свойство:

\(log_512,5+log_52=log_525=2\)

Свойство 5. \(log_ab-log_ac=log_a\frac{b}{c}\)

Аналогично с предыдущим свойством это нужно для упрощения вычислений. 

Например:

\(log_318-log_32=log_3\frac{18}{2}=log_39=2\)

Свойства 6 и 7. \(log_aa=1\) и \(log_a1=0\)

Эти свойства напрямую связаны с возведением числа в степень. Достаточно лишь ответить на два вопроса:

• В какую степень нужно возвести число, чтобы получилось такое же число?
• В какую степень нужно возвести любое число, чтобы получить 1?

Ответы на эти вопросы будут 1 и 0. Отсюда и эти свойства:

• Число в степени 1 будет равно само себе: \(log_aa=1\).
• Число в степени 0 будет равно 1: \(log_a1=0\).

Свойство 8. \(log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}\)

Это свойство используется в случаях, когда нам нужно представить логарифм с любым другим основанием. 

Например:

\(log_25=\frac{log_35}{log_25}\)

Это свойство может пригодиться в решении уравнений и неравенств для упрощения выражений. 

Свойство 9. \(log_ab=\frac{1}{log_ba}\)

Что делать, если нам нужно представить логарифм с определенным основанием, которое равно аргументу этого логарифма? Все просто: мы можем поменять основание и аргумент местами, если воспользуемся свойством \(log_ab=\frac{1}{log_ba}\).

Например:

\(log_{27}3=\frac{1}{log_327}=\frac{1}{3}\)

Заметим, что это же выражение можно было решить немного по-другому:

\(log_{27}3=log_{3^3}3=\frac{1}{3}*log_33=\frac{1}{3}\).

В этом случае мы воспользовались свойствами 2 и 6.

Свойство 10. \(a^{log_cb}=b^{log_ca}\)

Еще одно свойство, которое позволяет изменить аргумент логарифма, и при этом не менять значение выражения. 

Рассмотрим на примере \(2^{log_24}\):

 \(2^{log_24}=2^2=4\)\(2^{log_24}=4^{log_22}=4^1=4\)

Для более простого запоминания свойств логарифмов предлагаем вам воспользоваться нашими забавными ассоциациями.  

Теперь, когда мы знаем свойства логарифмов, мы можем перейти к более сложным преобразованиям — к решениям уравнений и неравенств.

История возникновения логарифмов

Прежде чем приступить к дальнейшему разбору логарифмов, давайте обратимся к истории их возникновения.

Если что, этот пункт можно опустить

Начало положено еще в античные времена. Если прибегнуть к свойствам степеней, то известно, что при перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Так вот, в VIII веке индийский математик Вирасена при исследовании степенных зависимостей, опубликовал таблицу целочисленных показателей для оснований 2, 3 и 4. Она положила начало созданию логарифмов.

Важные открытия в области изучения логарифмов были осуществлены в Европе. В тот период увеличилась потребность в сложных расчетах, в связи с развитием точных наук. В начале XVI века трудность состояла в вычислениях и была связана с умножением и делением многозначных чисел, возведением в степень и извлечением корней. Необходимо было упростить эти расчеты. И в конце века появилась мысль упрощения, которая  состояла в замене умножения на простое сложение. А уже деление заменялось на вычитание. Также была упрощена работа со степенями и извлечением корней.

В истории математики зародилось понятие «Логарифм Непера» с обозначением LogNap. Его основное свойство: «Если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую».

С Непером в одно и тоже время изучением логарифмов занимался английский математик Генри Бригс. В 1617 г. он опубликовал таблицу, в которой содержались 14-значные десятичные логарифмы от 1 до 1000 с четырнадцатью знаками.

В 1703 г. были изданы первые таблицы на русском языке при участии русского математика Леонтия Филипповича Магницкого.

Активно теорию логарифмов развивал петербургский академик Леонард Эйлер. Он впервые стал рассматривать логарифмирование, как действие, которое обратно возведению в степень, им введены в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса».

Важный шаг в исследовании логарифмической функции сделал Николай Кауфман (известный как Меркатор), он представил логарифмическую функцию в форме бесконечного степенного ряда. К такому же результату пришли Гудде в 1656 г. и Ньютон в 1665 г.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!