Правила дифференцирования
С полной уверенностью можем сказать, что вам встречались сложные функции. Даже намного сложнее, чем те, которые приведены в таблицах. Там и сумма, и произведение, и формула в формуле. Одним словом: ужас! Как брать производную, если перед функцией стоит коэффициент, или в функцию включено несколько разных выражений? На этот случай существуют правила дифференцирования.
| Кто всегда протянет руку помощи в определении производной?В сложных функциях невозможно пользоваться только формулами для нахождения производной.Если функция— усложнена коэффициентом, — представлена в виде суммы, произведения или частного — или является сложной функцией, то для выбора правильной производной необходимо воспользоваться правилами дифференцирования. Они играют роль супергероев от мира производных. Рассмотрим их внимательнее. |
1. Коэффициент можно вынести за знак производной.
(k * f(x))’ = k * (f(x))’
Например, необходимо взять производную у функции f(x) = 6sin(x). Тогда, пользуясь правилом дифференцирования и таблицей, получаем ответ 6cos(x).
2. Производная суммы (разности) равняется сумме (разности) производных.
\((f(x) \pm g(x))’ = f'(x) \pm g'(x)\)
Найдем производную \(f(x) = 4x^5 — \sqrt{x} + cos(x)\).
\(f'(x) = (4x^5 — \sqrt{x} + cos(x))’ = (4x^5)’ — (\sqrt{x})’ + (cos(x))’ = 4 * 5 * x^{5 — 1} — \frac{1}{2\sqrt{x}} — sin(x)\)\(f'(x) = 20x^4 — \frac{1}{2\sqrt{x}} — sin(x). \)
3. Производная произведения.
(f(x) * g(x))’ = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
Для примера возьмем производную функции f(x) = x2 * ln(x)
f'(x) = (x2 * ln(x))’ = (x2)’ * ln(x) + x2 * (ln(x))’\(f'(x) = 2x * ln(x) + x^2 * \frac{1}{x} = 2x * ln(x) + x\)
4. Производная частного.
\((\frac{f(x)}{g(x)})’ = \frac{f'(x) * g(x) — f(x) * g'(x)}{g^{2}(x)}\)
Возьмем производную функции \(f(x) = \frac{e^x}{3x}\)
\(f'(x) = \frac{(e^x)’ * 3x — ex * (3x)’}{(3x)^2} = \frac{e^x * 3x — e^x * 3}{9x^2} = \frac{3e^x * (x-1)}{9x^2} = \frac{e^x * (x-1)}{3x^2}\)
5. Производная сложной функции.
Сложная функция — это функция, внутри которой есть другая функция.
| Что такое сложная функция и зачем тут матрешка?Давайте представим матрешку: в одну большую куклу складывается куколка поменьше, а в нее еще меньше и так далее. Точно так же и с функцией: “внутри” одной функции может лежать другая функция. Например, у нас есть две функции: \(\sqrt{x}\) и cos(x). А теперь попробуем поместить корень в функцию с косинусом, и получим \(cos(\sqrt{x})\). Это и будет сложная функция. |
Чтобы найти производную сложной функции, необходимо найти производную “внутренней” функции и умножить ее на производную “внешней” функции.
(f(g(x))’ = g'(x) * f'(g(x))
Найдем производную уже рассмотренной функции \(f(x) = cos(\sqrt{x})\).
\(f'(x) = (cos(\sqrt{x}))’ = (\sqrt{x})’ * (cos(\sqrt{x}))’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} * (-sin(\sqrt{x})) = -\frac{sin(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\)
Необходимое условие максимума и минимума функции
Теорема Ферма:
Если функция определена и дифференцируема в некотором промежутке X и во внутренней точке этого промежутка имеет наибольшее (наименьшее) значение, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е.
Доказательство:
Пусть функция y = f(x) в точке промежутка X имеет наибольшее значение (рис. 7.2).
Тогда если принадлежит Х. Отсюда при достаточно малых независимо от его знака.
Если то и а если то и
Переходя к пределам справа при и слева при получим
Так как по условию функция y=f(x) дифференцируема в точке то ее предел при не зависит от способа стремления (слева или справа).
Поэтому
т.е. Аналогично доказывается случай для наименьшего значения функции.
Необходимым условием максимума (минимума) непрерывной функции является равенство нулю первой производной.
Это условие является следствием теоремы Ферма. Действительно, если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е.
Необходимое условие максимума или минимума непрерывной функции имеет простой геометрический смысл. Так как в экстремальных точках касательная параллельна оси Ох (см. рис. 7.1 и 7.2), т.е. угол наклона касательной к оси Ох равен нулю, то тангенс данного угла, который равен производной, также равен нулю.
Максимум или минимум может иметь место также в тех точках, где производная не существует вовсе (рис. 7.3).
Приведенное условие существования экстремумов является необходимым, но не достаточным. На рис. 7.4 приведен случай, когда необходимое условие выполняется в точке но ни максимума, ни минимума нет.
Теорема 3.(достаточное условие строгого экстремума)[]
Пусть f{\displaystyle f} непрерывна в точке x{\displaystyle x_0} и дифференцируема на Uo(x){\displaystyle \overset{o}{U}(x_0)}. Пусть f′{\displaystyle ~f’} меняет знак при переходе через точку x{\displaystyle x_0}. Тогда x{\displaystyle x_0} — точка строгого экстремума.
Доказательство:
Пусть для определенности f′>{\displaystyle f’>0} на U(x+).{\displaystyle U(x_0+0).} Тогда из формулы конечных приращений Лагранжа f(x)−f(x)=f′(ξ)(x−x){\displaystyle f(x)-f(x_0)= f'(\xi)(x-x_0)} видно, что приращение функции f{\displaystyle f} меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку x.{\displaystyle x_0.} Следовательно, x{\displaystyle x_0} — точка строгого максимума.
Замечание: условия теоремы не являются необходимыми. Пример: f(x)=2×2+x2sin(x−1),x≠;f(x)=,x={\displaystyle f(x)=2x^2 + x^2 \sin(x^{-1}), x\ne 0; f(x)=0, x=0}
Исследование функций
Задачи на нахождение точек максимума и минимума
Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:
1. Находим производную функции f’(x).
2. Находим нули производной (приравниванием производную к нулю f’(x)=0 и решаем полученное уравнение). Также находим точки в которых производная не существует (в частности это касается дробно-рациональных функций).
3. Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки производной на этих интервалах путём подстановки значений из интервалов в выражение производной.
4. Далее делаем вывод.
Вывод будет один из двух:
1. Точка максимума это точка, в которой производная меняет значение с положительного на отрицательное.
2. Точка минимума это точка, в которой производная меняет значение с отрицательного на положительное.
Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения
функции на интервале.
В другом типе задач требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на заданном интервале.
Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:
1. Определяем, есть ли точки максимума (минимума). Для этого находим производную f’(x), затем решаем f’(x)=0 (пункты 1 и 2 из предыдущего алгоритма).
2. Определяем, принадлежат ли полученные точки заданному интервалу и записываем лежащие в его пределах.
3. Подставляем в исходную функцию (не в производную, а в данную в условии) границы данного интервала и точки (максимума-минимума), лежащие в пределах интервала (п.2).
4. Вычисляем значения функции.
5. Выбираем из полученных наибольшее (наименьше) значение, в зависимости от того, какой вопрос был поставлен в задаче и далее записываем ответ.
Вопрос: для чего в задачах на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции необходимо искать точки максимума (минимума)?
Ответ лучше всего это проиллюстрировать, посмотрите схематичное изображение графиков, задаваемых функций:
В случаях 1 и 2 достаточно подставить границы интервала, чтобы определить наибольшее или наименьшее значение функции. В случаях 3 и 4 необходимо найти нули функции (точки максимума-минимума). Если мы подставим границы интервала (не находя нули функции), то получим неверный ответ, это видно по графикам.
И всё дело в том, что мы по заданной функции не можем увидеть как выглядит график на интервале (имеет ли он максимум или минимум в пределах интервала). Потому находите нули функции обязательно!!!
Если уравнение f’(x)=0 не будет иметь решения, это значит, что точек максимума-минимума нет (рисунок 1,2), и для нахождения поставленной задачи в данную функцию подставляем только границы интервала.
Ещё один важный момент. Помните, что ответом должно быть целое число или конечная десятичная дробь. При вычислении наибольшего и наименьшего значения функции вы будете получать выражения с числом е и Пи, а также выражения с корнем. Запомните, что до конца вам их вычислять не нужно, и так понятно, что результат таких выражений ответом являться не будет. Если возникнет желание вычислить такое значение, то сделайте это (числа: е ≈ 2,71 Пи ≈ 3,14 ).
Много написал, запутал наверное? По конкретным примерам вы увидите, что всё просто.
Далее хочу открыть вам маленький секрет. Дело в том, что многие задания можно решить без знания свойств производной и даже без правил дифференцирования. Об этих нюансах я вам обязательно расскажу и покажу как это делается? не пропустите!
Но тогда зачем же я вообще изложил теорию и ещё сказал, что её нужно знать обязательно. Всё верно – знать надо. Если её поймёте, тогда никакая задача в этой теме в тупик вас не поставит.
Те «хитрости», о которых вы узнаете, помогут вам при решении конкретных (некоторых) прототипов задач. Как дополнительный инструмент эти приёмы использовать, конечно, удобно. Задачу можно решить в 2-3 раза быстрее и сэкономить время на решение части С.
Всего доброго!
Монотонность и выпуклость функций
Функция y = f(x) не убывает (не возрастает) на промежутке X, если для любых из этого промежутка при условии следует неравенство
Если меньшему значению неравенства аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция называется возрастающей (рис. 7.7). Если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция называется убывающей (рис.7.8).
Функции возрастающие и убывающие называются монотонными.
Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М > 0, что для любого х из промежутка X. Например, функция у = cos х ограничена на всей числовой оси, так как для любого х числовой оси.
Функция y = f(x) на интервале (а,b) имеет выпуклость вниз (вверх), если в пределах данного интервала график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции. На рис. 7.9 изображен график функции, имеющей выпуклость вниз, а на рис. 7.10 — график функции, имеющей выпуклость вверх.
Функция y = f(x) на интервале (а, b) называется выпуклой вниз, если для любых двух значений из данного интервала выполняется неравенство (рис. 7.9)
Функция y = f(x) на интервале (а, b) называется выпуклой вверх, если для любых двух значений из данного интервала выполняется неравенство (рис. 7.10)
При исследовании функций бывают полезны две следующие теоремы.
Теорема:
Функция выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).
Теорема:
Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри интервала (a, b), то функция выпукла вниз (вверх) внутри этого интервала (достаточное условие).
Однако, данное условие справедливо не всегда. Например, функция выпукла вниз на всей числовой оси, хотя вторая производная не всюду положительна (при х = 0 у» = 0).
Точка называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в этой точке график имеет касательную и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.
На рис. 7.4 точка является точкой перегиба.
Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю:
Достаточное условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе точки перегиба меняет свой знак.
Монотонность функции
Определение 3
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1
Определение 4
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.
Определение 5
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется неубывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1
Определение 6
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется невозрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1
Схема исследования функции на возрастание и убывание
1) Найти область определения функции $f(x)$;
2) Найти производную $f'(x)$;
3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f’\left(x\right)=0$;
4) Найти точки, в которых $f'(x)$ не существует;
5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;
6) Определить знак производной $f'(x)$ на каждом получившемся промежутке;
7) Сделать вывод: на промежутках, где $f’\left(x\right)0$ функция возрастает.
Производные основных функций
Должно быть, вы уже слышали о производной и даже пробовали взять её мозговым штурмом. При отрицательном ответе вам обязательно нужно прокатиться на американских горках в нашей статье «Производная». В ней рассмотрели основные понятия производной.
Главный вопрос этой статьи: как ее находить? Для этого существуют свои формулы и правила, которых необходимо придерживаться для правильного решения заданий.
Ниже приведена таблица с формулами для нахождения производных основных функций. Применяя эти формулы, можно найти производную почти любой функции.
Не пугайтесь, если вам покажется, что их много: это основные формулы, с помощью которых можно решить большинство задач.
| 1 | C’ = 0, C = const |
| 2 | \((x^n)’ = n * x^{n — 1}, x > 0\) |
| 3 | \((a^x)’ = a^x * ln(a), a > 0, a \neq 1\) |
| 4 | \((e^x)’ = e^x\) |
| 5 | \((log_{a}x)’ = \frac{1}{x * ln(a)}, x > 0, a > 0, a \neq 1\) |
| 6 | \((ln(x))’ = \frac{1}{x}, x > 0\) |
| 7 | \((\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}, x > 0\) |
| 8 | (sin(x))’ = cos(x) |
| 9 | (cos(x))’ = -sin(x) |
| 10 | \((tg(x))’ = \frac{1}{cos^{2}x}, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z\) |
| 11 | \((ctg(x))’ = -\frac{1}{sin^{2}x}, x \neq \pi n, n \in Z\) |
Смотреть на формулы и учить их — это круто, прямо ощущаем себя великими учеными. Что может быть круче этого? Только применять их на практике. Рассмотрим несколько примеров нахождения производной.
Пример 1. Найдите производную функции f(x) = 5.
Решение: 5 — это число, то есть константа. Тогда, пользуясь первой формулой в таблице, получаем:
f'(x) = 5′ = 0.
Ответ:
Пример 2. Найдите производную функции \(f(x) = x^4\)
Решение: В этом случае необходимо воспользоваться второй формулой из таблицы.
\(f'(x) = (x^4)’ = 4 * x^{4-1} = 4 * x^3\)
Ответ: \(4x^3\)
Пример 3. Найдите производную функции \(f(x) = e^x\)
Решение: В этом случае необходимо воспользоваться четвертой формулой из таблицы.
\(f'(x) = (e^x)’ = e^x\)
Ответ: \(e^x\)
Примеры решения задач
Задача 1
Нахождение монотонности функции по графику ее производной.
График производной \(f’\)функции fпоказан на рисунке. На каких интервалах f возрастает или убывает?
Ответ: В этом вопросе нам дана кривая \(y = f’ (x)\) и попросили найти интервалы, на которых \(f (x)\) увеличивается. Обычно мы смотрим на график и ищем те части графика, где наклон положительный, чтобы увидеть, где функция возрастает, и где наклон отрицательный, чтобы увидеть, где функция убывает. Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно запомнить: наклон функции \(f (x)\) задается \(f’ (x)\).
Это означает, что мы также можем увидеть эту информацию на графике \(y = f’ (x)\). Производная \(f’ (x)\) будет положительным, когда кривая находится выше отметки x и будет отрицательным, когда кривая находится ниже оси x.
Когда x ∈] 1,5 [, что мы имеем \(f′(x) >0\),поэтому наклон \(f (x)\) положительный. Это означает, что для этих значений x наша функция f должна быть возрастающей.
Аналогично, когда x ∈] 0,1 5,6 [, мы видим, что \(f′ (x) <0\)f′, поэтому наклон \(f (x)\) отрицательный для этих значений x, что означает, что f уменьшается на этих интервалах.
Таким образом, мы смогли показать, что f увеличивается на интервале ] 1,5 0,15,6 [.
Стоит отметить, что \(f′ (1) = 0 и f′ (5)=0\) . Поскольку эти значения x являются конечными точками возрастающих или убывающих интервалов, мы технически можем включить эти значения в наш ответ.
На самом деле, в некоторой литературе конечные точки с нулевой производной всегда включаются в интервалы, где функция возрастает или убывает. Включать или не включать конечные точки с нулевой производной в интервалы возрастания или убывания — это личное предпочтение. Кроме того, поскольку наша функция не дифференцируема, когда \(x ≤0 и x ≥6\).
Мы можем просто предположить, что и для этих значений она не увеличивается и не уменьшается.
Задача 2
Нахождение x-координат точек перегиба функции по графику ее второй производной. Используйте заданный график функции f′′ для нахождения x-координат точек перегиба из f.
Ответ: Мы хотим найти точки перегиба функции \(f (x)\). Это точки, где \(f (x)\) непрерывна и изменяет вогнутость, либо с вогнутой вверх на вогнутую вниз, либо наоборот.
Мы знаем, что все точки перегиба возникают, когда \(f′′ (x) = 0\) или когда вторая производная не существует. Итак, из нашей диаграммы видно, что это может произойти только тогда, когда x = 1, x = 4 или x = 7.
Однако мы только показали, что наша кривая может иметь точки перегиба при этих значениях x.
Нам все еще нужно проверить, действительно ли это точки перегиба. Для этого нужно проверить, изменяет ли кривая вогнутость при этих значениях x.
Кривая вогнута вверх, если ее вторая производная положительна, и вогнута вниз, если ее вторая производная отрицательна. Нам дан график кривой \(y = f′′ (x)\), поэтому можем определить, когда она положительна или отрицательна, посмотрев, где кривая находится выше или ниже точки оси x.
Теперь видно, что когда x = 1, кривая y = f (x) изменится с вогнутой вниз на вогнутую вверх. Аналогично, когда x = 7, кривая y = f (x) изменится с вогнутой вверх на вогнутую вниз. Таким образом, обе эти точки являются точками перегиба для нашей кривой. Однако мы видим, что вогнутость не меняется с положительной на отрицательную или наоборот в точке x = 4, поэтому это не точка перегиба.
Таким образом, существует две точки перегиба для кривой y = f (x), один, когда x = 1 и другой, когда x =7.
Задача 3
Нахождение вогнутости функции по графику ее производной. График первой производной f’ функции f показан на рисунке. На каких интервалах f вогнута вверх или вогнута вниз?
Ответ: Мы хотим определить интервалы, в которых кривая y = f(x) является вогнутой вверх и вогнутой вниз; однако вместо графика этой функции нам дается график ее производной. Поэтому, чтобы ответить на этот вопрос, придется начать с того, чтобы вспомнить связь между производной функции и ее вогнутостью.
Во-первых, кривая вогнута вверх, если ее вторая производная положительна, и вогнута вниз, если ее вторая производная отрицательна.
Это означает, что нужно определить знак второй производной по графику первой производной. Для этого нужно помнить, что если мы продифференцируем первую производную, то получим вторую производную — \(f» (x)\) — это наклон кривой \(y = f’ (x)\).
Поэтому, когда наклон \(y = f’ (x)\) положительный, кривая \(y = f(x)\) вогнута вверх, и когда наклон \(y = f’ (x)\) отрицательнsq, кривая \(y = f(x)\) вогнута вниз.
Правило Лопиталя
Пусть Причем функции и удовлетворяют следующим условиям:
■ непрерывны на промежутке ;
■ дифференцируемы на промежутке (х, а) и
■ (неопределенность
(неопределенность
Тогда
Доказательство:
Доказательство проведем для неопределенности Применяя теорему Лагранжа для функций и получим 
Так как при имеем 
то, используя теорему о пределе частного двух функций, получим
В случае, если снова представляет собой неопределенность вида или то применяют это правило вторично, и т.д.
Пример:
Используя правило Лопиталя, найти пределы:
Решение:
Во всех примерах имеем неопределенность . Используя правило Лопиталя, получим
Пример:
Используя правило Лопиталя, найти предел
Решение:
Имеем неопределенность Применяя правило Лопиталя n раз, получим:
Пример:
Используя правило Лопиталя, найти предел
Решение:
Имеем неопределенность Разделив числитель и знаменатель на х , получим Неопределенность этого предела Используя правило Лопиталя, найдем:
Как исследовать функцию? Основной алгоритм
Вся работа по исследованию функции и построению выполняется поэтапно, то есть существует алгоритм построения графика функции. Если следовать этому алгоритму, вероятность ошибки будет сведена к минимуму.
Для исследования возьмем функцию y = f(x). Пошаговая реализация алгоритма выглядит следующим образом:
Нахождение области определения функции D(f). Речь идет об определении интервалов, на которых эта function существует.
Определение четности или нечетности. Когда область определения симметрична относительно нуля (для любого значения x из D(f) значение -x тоже принадлежит области определения), надо выполнить проверку на четность. К примеру, когда f(-x) является равной f(x), функция четная (классическая функция вида y = x 2 является четной)
Важное значение имеет факт того, что график четной функции является симметричным относительно оси OY. А вот если f(-x) равняется -f(x), следует говорит о нечетности (для примера нечетности можно вспомнить y = x3)
В этом случае график симметричен относительно начала координат. Когда функцию считают четной либо нечетной, есть возможность построить часть ее графика для x ⩾ 0, а потом отразить ее соответствующим образом.
Нахождение точек пересечения с осями координат. Речь идет о точках пересечения графика функции y = f(x) с OX — осью абсцисс. Чтобы это сделать, надо решить уравнение f(x) = 0. Корни данного уравнения будут абсциссами точек пересечения графика с осью ОХ. Чтобы найти точку пересечения графика с OY (осью ординат) надо найти значение функции при x = 0.
Нахождение промежутков знакопостоянства. Следующий важный шаг. Здесь надо найти промежутки, на которых наша ф-я сохраняет знак. Это потребуется в дальнейшем в целях контроля правильности построения нашего графика. Для обнаружения промежутков знакопостоянства надо решить такие неравенства, как f(x) > 0 и f(x)
а) ищем производную функции f(x);
б) второй этап — приравнивание производной к нулю с нахождением корней уравнения f(x) = 0 — в данном случае это стационарные точки;
в) третий шаг — найти промежутки знакопостоянства производной.
Промежутки, где производная является положительной, — это промежутки возрастания, где она отрицательна — убывания.
Точки, где производная меняет знак с «+» на «-» — точки максимума, если же с минуса на плюс — это точки минимума.
Надеемся, что материал был полезен, и у вас не возникнет проблем с построением графиков. И не забывайте, что математика может быть очень полезна в IT-сфере, особенно в Data Science
Если же вы чувствуете, что нужно повторить свои знания по математике, обратите внимание на соответствующий курс в OTUS:
- https://ege-ok.ru/2013/11/12/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika;
- https://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=maissl;
- http://matecos.ru/mat/matematika/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika-funktsii.html.
Теорема 1 (условие выпуклости функций).[]
Пусть функция f{\displaystyle f} имеет вторую производную f″{\displaystyle f»} на (a,b){\displaystyle (a,b)}. Тогда
1 условие f″⩽{\displaystyle f» \leqslant 0} на (a,b){\displaystyle (a,b)} необходимо и достатчно для выпуклости вверх функции f{\displaystyle f} на (a,b){\displaystyle (a,b)};
2 если f″<{\displaystyle f» < 0} на (a,b){\displaystyle (a,b)}, то функция f{\displaystyle f} строго выпукла вверх на (a,b){\displaystyle (a,b)}.
Доказательство:Достаточность: При a<α<x<β<b{\displaystyle a< \alpha <x < \beta < b } имеем, условие выпуклости вверх
f(x)−l(α,β)(x)=β−xβ−α(f(x)−f(α))+x−αβ−α(f(x)−f(β))≥{\displaystyle
f(x)-l(\alpha,\beta)(x)=\frac{\beta-x}{\beta-\alpha}(f(x)-f(\alpha))+\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}(f(x)-f(\beta))\ge0
}
а используя формулу конечных приращений Лагранжа
f(x)−l(α,β)(x)=(β−x)f′(ξ)(x−a)+(x−α)f′(η)(x−β)β−α=(x−α)(β−x)f″(ζ)(ξ−η)β−α≥(>{\displaystyle
f(x)-l(\alpha,\beta)(x)=\frac{(\beta-x)f'(\xi)(x-a)+(x-\alpha)f'(\eta)(x-\beta)}{\beta-\alpha}=\frac{(x-\alpha)(\beta-x)f»(\zeta)(\xi-\eta)}{\beta-\alpha}\ge0 (>0
}
при f″(ξ)<),a<α<ξ<ζ<η<β<b.{\displaystyle f»(\xi)<0), a< \alpha < \xi < \zeta < \eta <\beta <b.}
Асимптоты функций
Прямая называется асимптотой функции y = f(x), если расстояние от точки (х, f(x)) , лежащей на графике функции, до этой прямой стремится к нулю при движении точки по графику в бесконечность.
Существуют три вида асимптот: вертикальные (рис. 7.11), горизонтальные (рис. 7.12) и наклонные (рис. 7.13, 7.14).
На рис. 7.14 кривая приближается к асимптоте, все время пересекая ее.
Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно или
Прямая у = b называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f (х), если или
Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x), если существуют конечные пределы 
Действительно, если у = kх + b — наклонная асимптота, то 
Из последнего выражения следует
При известном k из равенства находим
Если для горизонтальной и наклонной асимптот конечен только предел при или при то эти асимптоты называются соответственно правосторонней или левосторонней.
Пример:
Найти асимптоты графика функции
Решение:
Областью определения является вся числовая ось, кроме точки х = 3 . Причем
Поэтому прямая х = 3 — вертикальная асимптота. Так как то график функции наклонных асимптот не имеет. ►
Пример:
Найти асимптоты графика функции у = х + arctg х. Решение. Функция непрерывна на всей числовой оси, поэтому вертикальные асимптоты отсутствуют. Так как
то отсутствуют и горизонтальные асимптоты.
Для правосторонней наклонной асимптоты 
Уравнение правосторонней асимптоты имеет вид
Для левосторонней наклонной асимптоты
Уравнение правосторонней асимптоты имеет вид
Условия
Экстремумы и монотонность
Экстремумы — это максимальные и минимальные значения, которых достигает функция в своей области. Они могут возникать либо в критических точках, либо в конечных точках области.
1. Проверка на первую производную предполагает нахождение критических точек функции, то есть точек, в которых производная равна нулю или не определена. Затем анализируем знак производной по обе стороны от каждой критической точки, чтобы определить, является ли она локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим.
Если в критической точке знак производной меняется с положительного на отрицательный, то это локальный максимум. Если знак меняется с отрицательного на положительный, то это локальный минимум. Если знак не меняется, то это ни максимум, ни минимум.
2. Проверка второй производной предполагает нахождение критических точек функции, а затем анализ вогнутости функции в каждой критической точке с помощью второй производной. Если вторая производная положительна, то критическая точка является локальным минимумом. Если вторая производная отрицательна, то критическая точка является локальным максимумом. Если вторая производная равна нулю, то тест не дает результатов, и нужно использовать другой метод, например, тест на первую производную.
Монотонность относится к поведению функции в отношении ее возрастания или убывания на интервале. Считается, что функция монотонно возрастает, если ее значения увеличиваются по мере увеличения независимой переменной (обычно обозначаемой x) на этом интервале. Аналогично, функция монотонно убывает на интервале, если ее значения уменьшаются с увеличением x на этом интервале. Функция, которая не является ни возрастающей, ни убывающей на интервале, называется немонотонной на этом интервале.
Монотонность функции можно определить, анализируя ее производную. Если производная функции положительна на интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна на интервале, то функция монотонно убывает на этом интервале. Если производная равна нулю на интервале, то функция может иметь максимум или минимум в этой точке, но это не указывает на монотонность.
Важно отметить, что монотонность функции зависит от рассматриваемого интервала. Функция может быть монотонно возрастающей на одном интервале и монотонно убывающей на другом
Выпуклость и точки перегиба
Выпуклость относится к форме графика функции. Считается, что функция выпуклая, если ее график выгнут или изогнут вверх, а функция вогнутая, если ее график выгнут внутрь или изогнут вниз. Термин «выпуклость» происходит от того, что график выпуклой функции похож на выпуклую линзу.
Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой изменяется вогнутость. Это точка, в которой график меняется с вогнутого вверх (раскрывается вверх) на вогнутый вниз (раскрывается вниз), или наоборот.