Урок 3: квадратный корень

Свойства и использование

График функции f ( x ) = √ x , составленный из половины параболы с вертикальной

Функция главного квадратного корня (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») — это функция, которая отображает набор неотрицательных действительных чисел на себя. С геометрической точки зрения функция квадратного корня отображает площадь квадрата на длину его стороны.
ж(Икс)знак равноИкс{\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {x}}}

Квадратный корень из x является рациональным тогда и только тогда, когда x — рациональное число, которое может быть представлено как отношение двух полных квадратов. (См. Квадратный корень из 2 для доказательства того, что это иррациональное число, и квадратичный иррациональный для доказательства для всех неквадратных натуральных чисел.) Функция квадратного корня отображает рациональные числа в алгебраические числа , последние являются надмножеством рациональных чисел. ).

Для всех действительных чисел х ,

Икс2знак равно|Икс|знак равно{Икс,если Икс≥-Икс,если Икс<{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2}}} = \ left | x \ right | = {\ begin {cases} x, & {\ mbox {if}} x \ geq 0 \\ — x, & { \ mbox {if}} x <0. \ end {case}}} (см. абсолютное значение )

Для всех неотрицательных действительных чисел x и y ,

Иксузнак равноИксу{\ displaystyle {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}

а также

Иксзнак равноИкс12.{\ displaystyle {\ sqrt {x}} = x ^ {1/2}.}

Функция квадратного корня непрерывна для всех неотрицательных x и дифференцируема для всех положительных x . Если f обозначает функцию квадратного корня, производная которой определяется выражением:

ж′(Икс)знак равно12Икс.{\ displaystyle f ‘(x) = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}}.}

Ряд Тейлора в о й = 0 сходится при | х | ≤ 1, и определяется выражением
1+Икс{\ displaystyle {\ sqrt {1 + x}}}

1+Иксзнак равно∑пзнак равно∞(-1)п(2п)!(1-2п)(п!)2(4п)Икспзнак равно1+12Икс-18Икс2+116Икс3-5128Икс4+⋯,{\ displaystyle {\ sqrt {1 + x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(1-2n) ( п!) ^ {2} (4 ^ {n})}} x ^ {n} = 1 + {\ frac {1} {2}} x — {\ frac {1} {8}} x ^ {2 } + {\ frac {1} {16}} x ^ {3} — {\ frac {5} {128}} x ^ {4} + \ cdots,}

Квадратный корень из неотрицательного числа используется в определении евклидовой нормы (и расстояния ), а также в таких обобщениях, как гильбертовы пространства . Он определяет важную концепцию стандартного отклонения, используемую в теории вероятностей и статистике . Он широко используется в формуле для корней квадратного уравнения ; квадратичные поля и кольца квадратичных целых чисел , основанные на квадратных корнях, важны в алгебре и используются в геометрии. Квадратные корни часто встречаются в других математических формулах, а также во многих физических законах.

Извлечение квадратного корня из целых чисел. Пример 1.

Чтобы извлечь квадратный корень из целого числа мы будем циклично предпринимать одну и ту же последовательность действий: Подбери, Занеси, Вычти, Снеси, Удвой, Припиши. Сокращённо ПЗВ СУП — для запоминания: ПоЗоВи {гостей есть} СУП.

Пример 1: 763876.
Число разделяем на грани (по два разряда) от запятой: 7676. В числе три грани — значит в корне будет три разряда. Сначала старшая грань 76.

Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб его квадрат был меньше, чем 76. Это число 8 (т.к. 8 × 8 = 64, а 9 × 9 = уже 81, то есть > 76).
Заносим 8 в ответ — это старший разряд ответа (сотни).
Вычитаем 64 из 76 — остаётся 12.
Сносим к 12-ти следующую грань — 38. Получается 1238.
Удваиваем то что в ответе — восьмёрку. Получается 16 — запишем 16 слева от 1238.
Приписываем к 16 справа коробочку для ещё одного разряда.

Снова

Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 16# × # было не больше, чем 1238. Это число 7 (т.к. 166 × 6 = 996 < 1238, 167 × 7 = 1169 < 1238, а 168 × 8 = 1344, то есть уже > 1238).
Заносим 7 в ответ — это следующий разряд ответа (десятки).
Вычитаем 167 × 7 из 1238 — остаётся 69.
Сносим к 69-ти следующую грань — 76. Получается 6976.
Удваиваем то, что в ответе — 87. Получается 174 — запишем 174 слева от 6976.
Приписываем к 174 справа коробочку для ещё одного разряда.

Снова

Подбираем наибольшее число от 1 до 9 такое, чтоб 174# × # было не больше, чем 6976. Это число 4 (т.к. 1743 × 3 = 5229, 1744 × 4 = 6976, а 1745 × 5 = 8725, то есть уже > 6976).
Заносим четвёрку в ответ — это будет разряд единиц.
Вычитаем 1744 × 4 из 6976 — остаётся ноль.

Значит, квадратный корень из данного числа 763876 — число 874.

Особенности использования для квадратных и кубических корней

Таблицы квадратных и кубических корней используются по одному принципу. Однако, так как одна степень — четная, а другая нет, существуют различия в том, как решать выражения с этими корнями.

Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное число не может быть отрицательным. Это ввели для того, чтобы сделать понятие корня однозначным. Однако есть более широкое понятие алгебраического квадратного корня.

Алгебраический квадратный корень — корень второй степени, для которого не требуется извлечение из положительного числа и положительное значение самого корня.

При работе с таблицей стоит учитывать, какой именно квадратный корень нужно найти — арифметический или алгебраический.

В первом случае достаточно взять значение из таблицы корней без дополнительных действий.

В задаче с алгебраическим корнем ответ зависит от того, какое число стоит под корнем. Если подкоренное число больше нуля, то корня будет два — положительный и отрицательный. Если возведенное в степень число отрицательно, то задача не имеет решения. Вторая степень является четной, поэтому нет такого числа, которое в квадрате дало бы отрицательное значение.

Пример

$\sqrt{47}=\pm\;6.85565$
Число 47 больше нуля, поэтому корня два: 6.85565 и –6.85565

$ \sqrt{-35}\neq5.91608\\\sqrt{-35}\neq-5.91608$

–35 — число отрицательное, поэтому ответа нет.

Кубический корень — степень нечетная, поэтому подкоренное значение может быть и отрицательным, и положительным. Такое же значение будет иметь и ответ. То есть к результату из таблицы нужно лишь добавить минус, если искомый корень возведен в число меньше нуля.

Несоизмеримые отрезки

Общей мерой двух отрезков называется такой отрезок, который укладывается в каждом из данных точно целое число раз.

Например, если отрезок MN (рис. 61) укладывается точно в отрезке АВ р раз, а в отрезке CD q раз, где р и q — целые числа, то отрезок MN будет общей мерой отрезков АВ и CD.

Если два отрезка имеют общую меру, то ах отношение выражается отношением целых чисел.

В предыдущем примере

Обратное утверждение тоже справедливо, а именно:

если отношение двух отрезков равно отношению целых чисел, то эти отрезки имеют общую меру.

Пусть, например,

Тогда часть отрезка CD будет их общей мерой.

На первый взгляд может показаться, что любые два отрезка имеют ту или иную общую меру. Однако в действительности это не так. Ниже, в следующем параграфе, мы докажем существование отрезков, не имеющих общей меры.

Отрезки, имеющие общую меру, называются соизмеримыми.

Отрезки же, не имеющие общей меры, называются несоизмеримыми.

Примеры вычисления корня.

Вычислить √6335289_______.

Будем записывать промежуточные результаты в столбик по аналогии с делением. Черновик справа от столбика.

  6’33’52’89 | 2517.
−4____
  233
−225    |45×5 ______
      852
    −501   |501×1 ________
      35189
    −35189   |5027×7__________
       0

1) Разбиваем число на грани: 6’33’52’89. Получилось 4 штуки, следовательно, ответ будет состоять из 4-ёх цифр. Первая цифра 2, так как 22 = 4 2 = 9 > 6.

2) Далее удваиваем имеющуюся часть ответа, определяем остаток, сносим очередную грань и подбираем следующую цифру ответа. Повторяем этот шаг до последней грани:
233:40 ≈ 5; 45×5 = 225 233; следовательно, 2-я цифра 5;
852:500 ≈ 1; 501×1 = 501 852; следовательно, 3-я цифра 1.

3) Если целый корень существует, то его последней цифрой может быть либо 3, либо 7. Можем проверить 2513 и 2517 умножением в столбик. Но для многозначных чисел быстрее продолжить по общему алгоритму:
35189:5000 ≈ 7; 5027×7 = 35189 (!) Последняя цифра 7.

Ответ: 2517.

Вычислить √2304____.

    48
  ×48
______
  384
192
______
2304

Разбиваем на грани. 23’04. Следовательно, ответ из 2-ух цифр, первая цифра 4, т.к. 42 = 16 2 = 25 > 23. Последняя цифра либо 2, либо 8, т.к. результат умножения должен заканчиваться на 4.
Итак, 42 или 48? 42 ≈ 40; 402 = 1600. 48 ≈ 50; 502 = 2500. 2500 ближе к заданному числу, поэтому проверку умножением в столбик начинаем с 48.

Ответ: 48.

Это самый распространенный случай на ЕГЭ по математике, и я настоятельно рекомендую завершать его именно проверкой.

Вычислить √503___.

Число заканчивается тройкой. Сразу видно, что целого значения корня не получится. Зададимся вопросом, с какой точностью надо определить корень. Допустим, в условии сказано округлить ответ до сотых. Это означает, что получить его надо до тысячных, т.е. до 3-го знака после запятой. Поэтому к заданному числу нужно добавить еще 3 нулевые грани. И не забыть саму запятую!

  5’03,00’00’00 | 22,427.
−4____
  103
− 84   |42×2 ______
    1900
  −1776   |444×4 ________
      12400
     − 8964   |4482×2 __________
        343600
      −313929   |44847×7 ____________
          29671

1) Таким образом, разбиение на грани будет таким 5’03,00’00’00. Ответ будет состоять из пяти цифр — 2 до запятой и 3 после. Первая цифра равна 2 (22 = 4 2 = 9 > 5), последнюю цифру в данном случае мы определить не можем.

2) Далее, выполняем шаги 4,5,6 общего алгоритма, как обычно:
103:40 ≈ 2; 42×2 = 84 103; следовательно, 2-я цифра 2.
1900:440 ≈ 4; 444×4 = 1776 1900; следовательно, 3-я цифра 4.
12400:4480 ≈ 3; 4483×3 = 13449 > 12400; 4482×2 = 8964
343600:44840 ≈ 8; 44848×8 = 358784 > 343600; 44847×7 = 313929
Мы еще не получили нулевого остатка и, может быть, не получим никогда, если искомый корень иррациональное число. Но нам это и не нужно, т.к. результат уже получен с нужной для округления точностью.

По отбрасываем 3-ю цифру после запятой, увеличив (т.к. 7 > 5) предыдущую на единицу 22,427 ≈ 22,43.

Ответ: 22,43.

Вычислить √1,5____.

Чтобы вычислить корень из десятичной дроби, нужно вспомнить, что 102 = 100 и 0,12 = 0,01. Т.е. при возведении в квадрат происходит удвоение разрядов. Соответственно, для извлечении квадратного корня из десятичной дроби нам нужно, чтобы она имела четное число цифр после запятой. В этом случае мы получим целое число граней после запятой при разбиении справа налево (с конца), а значит и целое число цифр в дробной части ответа.
Вспомним также, что к целой части числа можно дописывать сколько угодно нулей впереди, а к дробной — сколько угодно нулей в конце. Число от этого не меняется.

I способ.

√1,5___√1,50____

Допустим, что нужно дать ответ с точностью до десятых, тогда вычислять значение этого корня нужно до второго знака после запятой. Сейчас у нас 2 цифры после запятой, т.е. одна грань, поэтому добавим еще одну нулевую грань.

  1,50’00 | 1,22
−1____
    50
  −44  |22×2______
      600
    −484  |242×2_______
      116

1) Рабиение на грани: 1,50’00. Результат будет из 3-ёх цифр — одна до запятой и две после. Первая цифра, очевидно, 1.

2) Далее действуем по алгоритму:
50:20 ≈ 2; 22×2 = 44 50; следовательно, 2-я цифра 2.
600:240 ≈2; 242×2 = 484 600; следовательно, 3-я цифра 2.

3) Округляем 1,22 ≈ 1,2.

Ответ: 1,2.

II способ.

Умножаем и одновременно делим наше число на 10 в четной степени ( обязательно в четной, чтобы потом легко и точно извлечь корень из знаменателя). 1,5 = 1,5 × 100/100 = 150/100. Следовательно, нужно вычислить корень из 150 и разделить его на корень из 100, т.е. на 10.

здесь√150____√1,5____

Ответ: 1,2.

Внимание: очень распространена ошибка, когда для определения примерного значения корня из 1,5 берут корень из 15. Запомним — четное количество нулей.√10__ ≈ 3,16 √100___ = 10 √1000____ ≈ 31,62 √10000_____ = 100 √100000______ ≈ 316,23 √1000000_______ = 1000

Действия с корнями: основы

Пример 1

650-28+512

Алгоритм действия:

Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня

Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений

Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Пример 2

Давайте попробуем решить данный пример:

650=6(25×2)=(6×5)2=302. Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 302.

28=2(4×2)=(2×2)2=42. Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 42.

512=5(4×3)=(5×2)3=103. Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 103.

Результат упрощения: 302-42+103

302-42+103=(30-4)2+103=262+103.

Нужна помощь преподавателя?Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!Описать задание

В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере. А сейчас попрактикуемся на других примерах.

Пример 3

(45)+45:

Упрощаем (45). Раскладываем 45 на множители: (45)=(9×5);
Выносим 3 из-под корня (9=3):45=35;
Складываем множители у корней: 35+45=75.

Пример 4

640-310+5:

Упрощаем 640. Раскладываем 40 на множители: 640=6(4×10);
Выносим 2 из-под корня (4=2):640=6(4×10)=(6×2)10;
Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 1210;
Записываем выражение в упрощенном виде: 1210-310+5;
Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: (12-3)10=910+5.

Пример 5

95-23-45

Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т.д.) и записываем результат:

(9-4)5-23=55-23.

Советы:

Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3+(2x)1/2.
При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.

Функция корень

Ключевые слова: квадратный корень из числа, функция корень квадратный.

Квадратный корень из числа a — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен a, то есть решение уравнения x2 = a относительно переменной x

Квадратный корень как элементарная функция

График функции $$y = \sqrt{x}$$

Квадратным корнем называют также функцию $$ \sqrt{x}$$ вещественной переменной x, которая каждому $$x\ge 0$$ ставит в соответствие арифметическое значение корня.

Свойства функции $$y = \sqrt{x}$$

Область определения — луч $$[о;+\infty)$$.
Это следует из, того что выражение $$ \sqrt{x}$$ определено лишь при $$x \ge 0$$.
Функция $$y = \sqrt{x}$$ ни четна, ни нечетна.
Функция $$y = \sqrt{x}$$ возрастает на луче $$[о;+\infty)$$.

Свойства функции $$y = \root 3 \of {x}$$

Область определения функции $$y = \root 3 \of {x}$$ — вся числовая прямая
Функция $$y = \root 3 \of {x}$$ нечетна, так как $$\root 3 \of {-x}= — \root 3 \of {x}$$.
Функция $$y = \root 3 \of {x}$$ возрастает на всей числовой прямой.

Функция $$y = \root n \of {x}$$.

При четном n функция $$y = \root n \of {x}$$ обладает теми же свойствами, что и функция $$y = \sqrt{x}$$ и график ее напоминает график функции $$y = \sqrt{x}$$.
При нечетном n функция $$y = \root n \of {x}$$ обладает теми же свойствами. что и функция $$y = \root 3 \of {x}$$, и график ее напоминает график функции $$y = \root 3 \of {x}$$.

Степенная функция с положительным дробным показателем.

Степенная функция с положительным дробным показателем это функция, заданная формулой y = xr, где r — положительная несократимая дробь.

Свойства функции y = xr:

Область определения — луч $$[о;+\infty)$$.
Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
Функция y = xr возрастает на $$[о;+\infty)$$.

На пример график функции y = x5/2, заключен между графиками функций y = x2 и y = x3, заданных на промежутке$$[о;+\infty)$$.
Подобный вид имеет любой график функции вида y = xr, где r > 1, а график любой степенной функции y = xr, где 0r y = x2/3.

Степенная функция с отрицательным дробным показателем.

Степенная функция с отрицательным дробным показателем это функция, заданная формулой y = x — r,
где r — положительная несократимая дробь.

Свойства функции y = x — r:

Облать определения — промежуток $$(о;+\infty)$$.
Функция общего вида, т.е. ни четная, ни нечетная.
Функция y = x — r убывает на $$(о;+\infty)$$.
График функции y = x — rподобен ветке гиперболы, построенной на положительных значениях аргумента функции.

Решение реальной задачи с использованием sqrt

Корень — дитя геометрии. Когда Пифагор доказал свою знаменитую теорему, людям тут же захотелось вычислять стороны треугольников, проверять прямоту внешних углов и сооружать лестницы нужной длины.

Соотношение a2 + b2 = c2, где «a» и «b» — катеты, а «c» — гипотенуза — естественным образом требует извлекать корни при поиске неизвестной стороны. Python-а под рукой у древних греков и вавилонян не было, поэтому считать приходилось методом приближений. Жизнь стала проще, но расчет теоремы Пифагора никто не отменял и в XXI веке.

Решим задачку про вышку сотовой связи. Заказчик требует рассчитать высоту сооружения, чтобы радиус покрытия был 23 километра. Мы неспешно отходим на заданное расстояние от предполагаемого места строительства и задумчиво смотрим под ноги. В голове появляются очертания треугольника с вершинами:

Ваше местоположение;
Центр Земли;
Пиковая высота вышки.

Модель готова, приступаем к написанию кода:

Расчёт выполнен, результат заказчику предоставлен. Можно идти пить чай и радоваться тому, что теперь ещё больше людей смогут звонить родным и сидеть в интернете.

Квадраты натуральных чисел

Основной является таблица квадратов натуральных чисел:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Она, пожалуй, самая распространенная среди школьников. Если в какой-то важный момент она вам необходима, но у вас отсутствует к ней доступ, можно воспользоваться несколькими хитростями:

Чтобы быстро возвести в квадрат число, на конце которого 0, можно добавить к нему парочку нулей: 80×80=6400; 30×30=900. Т.е., первые цифры умножаем и дописываем два 0 к этому числу.
Теперь возьмём какое-нибудь число так, чтобы вторая его цифра оканчивалась на 5. Так, например, число 75. Чтобы быстро возвести его в квадрат, прибавьте к первой цифре единицу, из чего получаются цифры 7 и 8.
Умножаем их и приписываем в конец число 25 и получаем конечный результат в виде числа 5625.

Ограничение корней

В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

Получим ряд чисел:

Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

Преобразование выражений с квадратными корнями

Изученные правила помогают преобразовывать некоторые выражения. Так, можно вынести множитель из-под знака корня:

Это действие может использоваться для сложения корней, у которых, казалось бы, стоят разные числа под знаком радикала:

Обратное действие называют внесением множителя под знак корня:

Пример. Какое число больше

Решение. Внесем множитель под знак корня:

Из двух корней больше тот, у которого больше подкоренное выражение, поэтому

Из этого следует, что

Заметим, что под знак радикала может быть внесен исключительно неотрицательный множитель! Знак минуса должен остаться перед радикалом:

Принято считать, что с дробью, содержащей радикал, проще работать, когда этот радикал находится в числителе, а не знаменателе. В связи с этим стремятся избавиться от иррациональности в знаменателе. В простейшем случае дробь просто домножают на квадратный корень:

Как видим, корень «переехал» из знаменателя в числитель. Несколько сложнее производится освобождение от иррациональности, если в знаменателе стоит сумма или разность корней. В этом случае помогает формула :

Рассмотрим несколько задач.

Пример. Найдите наибольшее значение выражения

Решение. По формуле разности квадратов можно записать:

Зная это, заменим знаменатель дроби:

Эта дробь принимает наибольшее значение тогда, когда ее числитель, наоборот, принимает минимальное значение. Это произойдет при а = 0, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Тогда наибольшее значение дроби будет составлять

Пример. Упростите выражение

Довольно тяжелым является случай, когда под знаком корня находится другой корень. Выражения вида

называют двойным радикалом.

Существует формула двойного радикала, с помощью которой его можно иногда упростить:

Для доказательства справедливости этого тождества возведем его правую часть в квадрат, используя (х ± у)2 = х2 ± 2ху + у2:

Принципиально важно, что величина а2 – b должна быть неотрицательной. Рассмотрим преобразование двойных радикалов на примере

Пусть надо освободиться от внешнего радикала в выражении

Для этого сначала внесем двойку под знак внутреннего радикала, а потом воспользуемся формулой:

Заметим, что формула двойного радикала полезна в том случае, если выражение а2 – b является полным квадратом.

Вычисление

Квадратные корни положительных чисел не в общем случае рациональные числа, и поэтому не могут быть записаны как завершающее или повторяющееся десятичное выражение. Поэтому в целом любая попытка вычислить квадратный корень, выраженный в десятичной форме, может дать только приближение, хотя может быть получена последовательность все более точных приближений.

Большинство карманных калькуляторов имеют квадратный корень. Компьютерные электронные таблицы и другое программное обеспечение также часто используются для вычисления квадратных корней. Карманные калькуляторы обычно реализуют эффективные процедуры, такие как метод Ньютона (часто с начальным предположением, равным 1), для вычисления квадратного корня из положительного действительного числа. При вычислении квадратных корней с помощью таблиц логарифмов или правил скольжения можно использовать тождества

a = e (ln ⁡ a) / 2 = 10 (log 10 a) / 2, {\ displaystyle {\ sqrt {a}} = e ^ {(\ ln a) / 2} = 10 ^ {(\ log _ {10} a) / 2},}

где ln и log 10 — это натуральный и логарифм по основанию 10.

Методом проб и ошибок можно возвести в квадрат оценку для √a и повысить или понизить оценку до тех пор, пока она не будет согласована. с достаточной точностью. Для этого метода разумно использовать тождество

(x + c) 2 = x 2 + 2 xc + c 2, {\ displaystyle (x + c) ^ {2} = x ^ {2} + 2xc + c ^ {2},}

, поскольку он позволяет скорректировать оценку x на некоторую величину c и измерить квадрат корректировки в терминах исходной оценки и ее квадрата. Кроме того, (x + c) ≈ x + 2xc, когда c близко к 0, потому что касательная линия к графику x + 2xc + c при c = 0, как функция только c, является у = 2хс + х. Таким образом, можно запланировать небольшие корректировки x, установив 2xc на a или c = a / (2x).

Самый распространенный итерационный метод вычисления квадратного корня вручную известен как «вавилонский метод » или «метод Герона» в честь греческого философа I века Герон Александрийский, который первым его описал. В методе используется та же итерационная схема, что и в методе Ньютона – Рафсона, который дает при применении к функции y = f (x) = x — a, используя тот факт, что его наклон в любой точке равен dy / dx = f ′ (x) = 2x, но предшествует ему на много веков. Алгоритм состоит в том, чтобы повторять простое вычисление, которое приводит к числу, близкому к фактическому квадратному корню, каждый раз, когда оно повторяется с его результатом в качестве нового ввода. Мотивация состоит в том, что если x является завышенной оценкой квадратного корня из неотрицательного действительного числа a, тогда a / x будет заниженным значением, и поэтому среднее этих двух чисел является лучшим приближением, чем любое из них. Однако неравенство средних арифметических и геометрических показывает, что это среднее всегда является завышенной оценкой квадратного корня (как отмечено ), и поэтому оно может служить новым завышением, с помощью которого можно повторить процесс, который сходится к как следствие того, что последовательные переоценки и недооценки становятся ближе друг к другу после каждой итерации. Чтобы найти x:

Начните с произвольного положительного начального значения x. Чем ближе к квадратному корню из a, тем меньше итераций потребуется для достижения желаемой точности.
Замените x на среднее значение (x + a / x) / 2 между x и a / x.
Повторите действия, начиная с шага 2, используя это среднее значение в качестве нового значения x.

То есть, если произвольное предположение для √a будет x 0, а x n + 1 = (x n + a / x n) / 2, тогда каждый x n является приближением √a, которое лучше для большее n, чем маленькое n. Если a положительно, сходимость будет квадратичной, что означает, что при приближении к пределу количество правильных цифр примерно удваивается на каждой следующей итерации. Если a = 0, сходимость только линейная.

Используя идентичность

a = 2 — n 4 na, {\ displaystyle {\ sqrt {a}} = 2 ^ {- n} {\ sqrt {4 ^ {n} a}}, }

вычисление квадратного корня из положительного числа можно свести к вычислению числа в диапазоне [1,4). Это упрощает поиск начального значения для итерационного метода, которое близко к квадратному корню, для которого можно использовать полином или кусочно-линейное приближение.

Временная сложность для вычисления квадратного корня с точностью до n цифр эквивалентна умножению двух n-значных чисел.

Другим полезным методом вычисления квадратного корня является алгоритм сдвига n-го корня, применяемый для n = 2.

Имя функции квадратного корня варьируется от языка программирования до языка программирования, причем (часто произносится как «брызги») является обычным, используется в C, C ++ и производных языках, таких как JavaScript, PHP и Python.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.

Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:

Определить «сотни», между которыми оно стоит.
Определить «десятки», между которыми оно стоит.
Определить последнюю цифру в этом числе.

Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.

Извлечем корень из √2116.

Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.

102 = 100

202 = 400

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500

Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это значит, что число 2116 находится между 402и 502.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16 ⇒ 6

52 = 25 ⇒ 5

62 = 36 ⇒ 6

72 = 49 ⇒ 9

82 = 64 ⇒ 4

92 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.

Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.

Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.

Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.

Таким образом, у нас остаются два варианта: 442 и 462.

Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.

46 * 46 = 2116.

Ответ: √2116 = 46

Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.

Еще пример. Извлечем корень из числа √11664

Разложим число 11664 на множители:

11666 : 4 = 2916

2916 : 4 = 729

729 : 3 = 243

243 : 3 = 81

11664	4
2916	4
729	3
243	3
81	81

Запишем выражение в следующем виде:

Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

Вычислите значение квадратного корня: √36
Вычислите значение квадратного корня: √64*36
Вычислите значение квадратного корня:
Вычислите значение квадратного корня:
Вычислите значение квадратного корня:
Вычислите значение выражения: 4√16 — 12
Вычислите значение выражения: 5√9 — 8
Вычислите значение выражения: 7√25 — 10
Вычислите значение квадратного корня:
Вычислите значение квадратного уравнения:
Вычислите значение квадратного уравнения:
Извлеките квадратный корень из числа √7056 удобным вам способом
Как решаем:

7056 4

1764 4

441 3

147 3

49 7

7 7

1
Вычислите значение квадратного корня √0,81
Ответ: √0,81 = 0,9
Вычислите значение квадратного корня:
Как решаем:
= 0,09
Вычислите значение выражения: 8√81 — 20
Как решаем: 8√81 — 20 = 8 * 9 — 20 = 72 — 20 = 52
Ответ: 8√81 — 20 = 52.
Вычислите значение выражения: 13√100 — 15
Как решаем: 13√100 — 15 = 13 * 10 — 15 = 130 — 15 = 115
Ответ: 13√100 — 15 = 115.
Вычислите значение выражения: √16 + 5√4
Как решаем: √16 + 5√4 = 4 + 5 * 4 = 4 + 20 = 24 Ответ: √16 + 5√4 = 24.
Вычислите значение выражения: √36 + 2√9
Как решаем: √36 + 2√9 = 6 + 2 * 3 = 6 + 6 = 12
Ответ: √36 + 2√9 = 12.
Вычислите значение выражения: 2√16 — 3√25
Как решаем: 2√16 — 3√25 = 2 * 4 — 3 * 5 = 8 — 15 = -7
Ответ: 2√16 — 3√25 = -7.
Вычислите значение выражения: 3√81 — 5√9
Как решаем: 3√81 — 5√9 = 3*9 — 5 * 3 = 27 — 15 = 12
Ответ: 3√81 — 5√9 = 12.
Вынесите множитель из-под знака корень: √60
Как решаем: √60 = √15 * √4 = 2√15
Ответ: √60 = 2√15.
Вынесите множитель из-под знака корень: √160
Как решаем: √160 = √16 * √10 = 4√10
Ответ: √160 = 4√10.
Внесите множитель под знак корня: 6√7
Как решаем: √62 * 7 = √36 * √7 = √252
Ответ: 6√7 = √252.
Внесите множитель под знак корня: 8√2
Как решаем: 8√2 = √82 * 2 = √64 * √2 = √128 Ответ: 8√2 = √128.
Внесите множитель под знак корня: 9√5
Как решаем: 9√5 = √92 * 5 = √81 * √5 = √405
Ответ: 9√5 = √405.
Упростите выражение: (5 — √2)2
Как решаем: (5 — √2)2 = 52 — 2 * 5 * √2 + (√2)2 = 25 — 10√2 + 2 = 27 — 10√2.
Ответ: (5 — √2)2 = 27 — 10√2.
Вычислите значение выражения: 3√49 — 3√25
Как решаем: 3√49 — 3√25 = 3 * 7 — 3 * 5 = 21 — 15 = 6
Ответ: 3√49 — 3√25 = 6.
Вычислите значение квадратного корня: √484 * √576
Как решаем: √484 * √576 = 22 * 24 = 528
Ответ: √484 * √576 = 528.
Вычислите значение квадратного корня: √625 * √81
Как решаем: √625 * √81 = 25 * 9 = 225
Ответ: √625 * √81 = 225.
Найдите значение выражения: 3√100 — √144
Как решаем: 3100 — 144 = 3 * 10 — 12 = 18
Ответ: 3√100 — √144 = 18.

Извлечение корней

Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.

Таблица квадратов

Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:

Извлеките квадратный корень: √289

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Ответ: √289 = 17.

Извлеките квадратный корень: √3025

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

Ответ: √3025 = 55.

Извлеките квадратный корень: √7396

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Ответ: √7396 = 86.

Извлеките корень: √9025

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Ответ: √9025 = 95.

Извлеките корень √1600

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Ответ: √1600 = 40.

Извлечением корня называется нахождение его значение.