Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости.

Прежде чем получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости, вспомним некоторые факты.

Одна из аксиом геометрии гласит, что через две несовпадающие точки на плоскости можно провести единственную прямую. Другими словами, задав две точки на плоскости, мы однозначно определяем прямую линию, которая через эти две точки проходит (при необходимости обращайтесь к разделу ).

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. В этой системе координат любой прямой линии соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. С этой же прямой неразрывно связан направляющий вектор прямой. Этих знаний вполне достаточно, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Сформулируем условие задачи: составить уравнение прямой a, которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy проходит через две несовпадающие точки и .

Покажем самое простое и универсальное решение этой задачи.

Нам известно, что каноническое уравнение прямой на плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку и имеющую направляющий вектор .

Напишем каноническое уравнение прямой a, проходящей через две заданные точки и .

Очевидно, направляющим вектором прямой a, которая проходит через точки М₁ и М₂, является вектор , он имеет координаты (при необходимости смотрите статью вычисление координат вектора по координатам точек его конца и начала). Таким образом, мы имеем все необходимые данные, чтобы написать каноническое уравнение прямой a – координаты ее направляющего вектора и координаты лежащей на ней точки (и ). Оно имеет вид (или ).

Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки и . Они имеют вид или .

Разберем решение примера.

Пример.

Напишите уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки .

Решение.

Мы выяснили, что каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами и , имеет вид .

Из условия задачи имеем . Подставим эти данные в уравнение . Получаем .

Ответ:

Если нам потребуется не каноническое уравнение прямой и не параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, а уравнение прямой другого вида, то от канонического уравнения прямой всегда можно к нему прийти.

Пример.

Составьте общее уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через две точки и .

Решение.

Сначала напишем каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Оно имеет вид . Теперь приведем полученное уравнение к требуемому виду: .

Ответ:

На этом можно и закончить с уравнением прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости. Но хочется напомнить, как мы решали такую задачу в средней школе на уроках алгебры.

В школе нам было известно лишь уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Найдем значение углового коэффициента k и числа b, при которых уравнение определяет в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую линию, проходящую через точки и при . (Если же x₁=x₂, то угловой коэффициент прямой бесконечен, а прямую М₁М₂ определяет вида x-x₁=0).

Так как точки М₁ и М₂ лежат на прямой, то координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой , то есть, справедливы равенства и . Решая систему уравнений вида относительно неизвестных переменных k и b, находим или . При этих значениях k и b уравнение прямой, проходящей через две точки и , принимает вид или .

Запоминать эти формулы не имеет смысла, при решении примеров проще повторять указанные действия.

Пример.

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, если эта прямая проходит через точки и .

Решение.

В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид . Найдем k и b, при которых уравнение соответствует прямой, проходящей через две точки и .

Так как точки М₁ и М₂ лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой , то есть, верны равенства и . Значения k и b находим как решение системы уравнений (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):

Осталось подставить найденные значения и в уравнение . Таким образом, искомое уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид .

Колоссальный труд, не так ли?

Намного проще записать каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки и , оно имеет вид , и от него перейти к уравнению прямой с угловым коэффициентом: .

Ответ:

Параметрические уравнения прямой и плоскости.

Прямая линия (на плоскости или в пространстве) полностью определена, если на ней задана точка $M_{0}$ и задан ненулевой вектор $\boldsymbol{a}$, параллельный этой прямой. Разумеется, и точку, и вектор можно выбрать по-разному, но мы будем считать, что они как-то выбраны, и называть их начальной точкой и направляющим вектором. Аналогично, плоскость задается точкой и двумя неколлинеарными векторами, ей параллельными, — начальной точкой и направляющими векторами плоскости.

Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.

Пусть дана прямая. Обозначим через $\boldsymbol{r}_{0}$ и $\boldsymbol{a}$ соответственно радиус-вектор ее начальной точки $M_{0}$ и направляющий вектор. Рассмотрим некоторую точку $M$ с радиус-вектором $\boldsymbol{r}$ (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Вектор $\overrightarrow{M_{0}M} = \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}$, начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда $M$ также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки $M$ найдется такое число $t$, что
$$
\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0} = t\boldsymbol{a}.\label{ref3}
$$

Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу \eqref{ref3} в качестве $t$, вектор $\boldsymbol{r}$ в этой формуле определит некоторую точку на прямой.

Уравнение \eqref{ref3} называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина $t$, принимающая любые вещественные значения, называется параметром.

Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.

Рассмотрим прямую в пространстве. Пусть $(x, y, z)$ и $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ — координаты точек $M$ и $M_{0}$, соответственно, а вектор $\boldsymbol{a}$ имеет компоненты $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$. Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения \eqref{ref3}, мы получим
$$
x-x_{0} = a_{1}t,\ y-y_{0} = a_{2}t,\ z-z_{0} = a_{3}t.\label{ref4}
$$
Для прямой на плоскости мы получаем, аналогично,
$$
x-x_{0} = a_{1}t,\ y-y_{0} = a_{2}t.\label{ref5}
$$
Уравнения \eqref{ref4} или \eqref{ref5} называются параметрическими уравнениями прямой.

Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ ее направляющие векторы, а через $\boldsymbol{r}_{0}$ — радиус-вектор ее начальной точки $M_{0}$. Пусть точка $M$ с радиус-вектором $\boldsymbol{r}$ — произвольная точка пространства (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Вектор $\overrightarrow{M_{0}M} = \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}$, начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец $M$ также лежит на плоскости. Так как $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ не коллинеарны, в этом и только этом случае $\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0}$ может быть по ним разложен. Поэтому, если точка $M$ лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа $t_{1}$ и $t_{2}$, что
$$
\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0} = t_{1}\boldsymbol{p}+t_{2}\boldsymbol{q}.\label{ref6}
$$

Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров $t_{1}$ и $t_{2}$. Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения $t_{1}$ и $t_{2}$, уравнение \eqref{ref6} определит некоторую точку плоскости.

Пусть $(x, y, z)$ и $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ — координаты точек $M$ и $M_{0}$ соответственно, а векторы $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ имеют компоненты $(p_{1}, p_{2}, p_{3})$ и $(q_{1}, q_{2}, q_{3})$. Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения \eqref{ref6}, мы получим параметрические уравнения плоскости
$$
x-x_{0} = t_{1}p_{1}+t_{2}q_{1},\ y-y_{0} = t_{1}p_{2}+t_{2}q_{2},\ z-z_{0} = t_{1}p_{3}+t_{2}q_{3}.\label{ref7}
$$

Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра $t$, соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.

Линии второго порядка

Или кривые второго порядка. Это три фигуры: эллипс, гипербола и парабола.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных
точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше
расстояния между фокусами (иначе, получится простой отрезок с концами в этих фокусах, а не эллипс).
Фокусы эллипса принято обозначать через F₁ и
F₂.

У эллипса есть (см. ):

расстояние между фокусами, которое обозначается через 2c;
два фокальных радиуса любой точки этого эллипса. Постоянная сумма фокальных радиусов обозначается через
2a.

Рисунок 5 — Эллипс и его элементы

Таким образом, из :F₁F₂ = 2c;r₁ + r₂ = 2a.

По условию, что сумма расстояний какой-либо точки эллипса до фокусов больше
расстояния между фокусами (см. определение эллипса в начале этого пункта), получается, что2a > 2c;a > c.

Введя ещё одну переменнуюb = √(a2 — c2),
можно получить каноническое уравнение эллипса:

—

= 1.

Число b, это маленький радиус эллипса, а a — большой радиус. Например,
на b = 3, a = 5.

Из свойств эллипса можно приметить то, что он симметричен как относительно оси Ox,
так и относительно оси Oy. Кроме того, если фокусы эллипса находятся на оси Ox
(как на ), то a > b.

Если a = b, то эллипс становится окружностью, задаваемой уравнениемx2 + y2 = a2.
То есть окружность, это частный случай эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса
2c к длине его большой оси 2a:

ε =

—

Эксцентриситет ε всегда меньше единицы. Из формулы

—

= √(1 — ε2)

следует, что чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности
b = a и ε = 0.

Через эксцентриситет можно также удобно выразить фокальные радиусы эллипса (см. ):r₁ = a + εx,r₂ = a — εx.

Плюс, можно добавить к этому, что эллипс имеет и своё параметрическое уравнение, выглядящее так:x = a cos(t),
y = b sin(t).

В учебнике Н.В. Ефимова также доказывается, что проекция окружности на произвольную плоскость является эллипсом.
Кроме того,
примечается, что каждое сечение круглого цилиндра плоскостью, не параллельной его оси, есть эллипс (см. ).

Рисунок 6 — Сечение круглого цилиндра плоскостью под углом есть эллипс

Гипербола и парабола

Как продолжение темы кривых второго порядка на плоскости поговорим дальше о гиперболе и параболе.
Чуть более сжато.
Потому что эти две линии имеют, конечно, свои особенности, но в целом это легко понять позже, если это
вам, дорогой читатель,
нужно будет.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность
расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть
постоянная величина; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от
нуля (см. ).

Рисунок 7 — Пример гиперболы, её элементы

Разность фокальных радиусов у гиперболы (см.
r₁ и r₂) по определению есть постоянная величина, и её принято обозначать как
2a. Расстояние между двумя фокусами F₁ и
F₂ гиперболы
обозначают также через 2c.

Тут всё аналогично (почти) эллипсу (см. раздел выше):F₁M — F₂M = 2a (если точка M ближе к фокусу F₂)или F₂M — F₁M = 2a (если точка M ближе к фокусу F₁).
Так какF₁M — F₂M < F₁F₂,
иF₂M — F₁M < F₁F₂,
то2a < 2c;a < c.

Каноническое уравнение гиперболы:

—

= 1.

Причём,b = √(c2 — a2).

Глядя на него, вспоминаем, что гипербола, как и эллипс — линия второго порядка.

Эксцентриситет гиперболы выражается формулой:

ε =

—

Здесь эксцентриситет также влияет на форму гиперболы, как и в случае с эллипсом.

Из свойств гиперболы ещё можно сказать, что она имеет две асимптоты; две симметричные относительно
одной из координатных осей директрисы. Читайте подробнее для интереса в Интернете или учебниках
по аналитической геометрии.

Парабола — это геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние
до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой
фиксированной прямой, называемой директрисой. (Предполагается, что
эта прямая не проходит через фокус).

Рисунок 8 — Пример параболы

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние
от фокуса до директрисы — буквой p.

По определению:r = d.

Также есть формула

d = x +

—

Каноническое уравнение параболы:y2 = 2px.(2)

Парабола всегда имеет эксцентриситет, равный единице:ε = 1.

Из школьной геометрии мы точно помним также тот факт, что
парабола — это график квадратного трёхчлена:y = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

Уравнение выше это частный случай уравнения (2). При этом парабола строится уже на оси
ординат Oy, а не абсцисс Ox
(см. ), как вы, дорогой посетитель, знаете.

Взаимное расположение прямой и точки.

Начать следует с аксиомы: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.

Точки принято обозначать большими латинскими буквами, например, точки А и F. В свою очередь прямые линии обозначают малыми латинскими буквами, к примеру, прямые a и d.

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости: либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Для обозначения принадлежности точки некоторой прямой используют символ «». К примеру, если точка А лежит на прямой а, то можно записать . Если точка А не принадлежит прямой а, то записывают .

Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.

Это утверждение является аксиомой и его следует принять как факт. К тому же, это достаточно очевидно: отмечаем две точки на бумаге, прикладываем к ним линейку и проводим прямую линию. Прямую, проходящую через две заданные точки (например, через точки А и В), можно обозначать двумя этими буквами (в нашем случае прямая АВ или ВА).

Следует понимать, что на прямой, заданной на плоскости, лежит бесконечно много различных точек, причем все эти точки лежат в одной плоскости. Это утверждение устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Множество всех точек, расположенных между двумя заданными на прямой точками, вместе с этими точками называют отрезком прямой или просто отрезком. Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. Отрезок обозначают двумя буквами, соответствующими точкам концов отрезка. К примеру, пусть точки А и В являются концами отрезка, тогда этот отрезок можно обозначить АВ или ВА

Обратите внимание, что такое обозначение отрезка совпадает с обозначением прямой. Чтобы избежать путаницы, рекомендуем к обозначению добавлять слово «отрезок» или «прямая».

Для краткой записи принадлежности и не принадлежности некоторой точки некоторому отрезку используют все те же символы и . Чтобы показать, что некоторый отрезок лежит или не лежит на прямой пользуются символами и соответственно. К примеру, если отрезок АВ принадлежит прямой а, можно кратко записать .

Следует также остановиться на случае, когда три различных точки принадлежат одной прямой. В этом случае одна, и только одна точка, лежит между двумя другими. Это утверждение является очередной аксиомой. Пусть точки А, В и С лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С. Тогда можно говорить, что точки А и С находятся по разные стороны от точки В. Также можно сказать, что точки В и С лежат по одну сторону то точки А, а точки А и В лежат по одну сторону от точки С.

Для полноты картины заметим, что любая точка прямой делит эту прямую на две части – два луча. Для этого случая дается аксиома: произвольная точка О, принадлежащая прямой, делит эту прямую на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону от точки О, а две любые точки разных лучей – по разные стороны от точки О.

§ 12.10. Общая теория линий второго порядка

Линией второго порядка называется линия, которая в некоторой декартовой
системе координат определяется уравнением второй степени. Запишем уравнение
второго порядка в самом общем виде

При условии, что вычислим

ПРИМЕР. Для эллипса имеем

.
Тогда

Можно доказать, что эти числа являются инвариантами относительно
преобразования параллельного переноса, т. е. при преобразовании поворота осей
координат

величины, составленные из соответствующих коэффициентов преобразованного
уравнения, сохранятся. Можно доказать также, что при параллельном переносе
осей координат

не изменяются величины и . Таким образом,
можно определить название линии второго порядка.

С помощью параллельного переноса системы координат можно освободиться от
слагаемых первой степени, а с помощью поворота осей можно освободиться
от слагаемого, содержащего произведение переменных. После подбора
подходящей системы координат уравнение второй степени примет наиболее
простой вид. Коэффициенты приведенных уравнений определяются при помощи
инвариантов.

Упражнения

Центром линии называется точка плоскости, по отношению к которой
точки линии симметричны парами. Линии второго порядка, обладающие центром,
называются центральными. Докажите, что точка
является центром линии (1) тогда и только тогда, когда
Определитель второго порядка
, составленный из коэффициентов при старших слагаемых уравнения (1),
называется дискриминантом уравнения (1). Докажите, что линия второго порядка
центральная тогда и только тогда, когда . Докажите, что координаты центра
находятся по формулам
Определитель
называется дискриминантом левой части уравнения (1); здесь
и для ю
При переносе начала координат в центр линии (1) с помощью преобразования
уравнение (1) приобрело вид

Докажите, что
Установите, что следующие линии являются центральными, и найдите координаты центра каждой линии:
- а)
- б)
- в)
- г)
Уравнение (2) подвергнем преобразованию поворота осей на угол
при условии, что
Докажите, что в новых координатах уравнение линии примет вид

где
и
Уравнение второй степени называется эллиптическим, если ,
гиперболическим, если и параболическим, если .
Докажите, что уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или гиперболическим.
Докажите, что каждое эллиптическое уравнение является уравнением эллипса, либо вырожденного эллипса, либо мнимого эллипса.
Докажите, что каждое гиперболическое уравнение определяет уравнение гиперболы либо вырожденной гиперболы.
Докажите, что если , то линия либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров.
Уравнение (1) подвергнем преобразованию поворота осей на угол

при условии, что и
.
Докажите, что в новых координатах уравнение линии примет вид

где , либо вид

где

Прямая линия на плоскости.

Параметрическое уравнение прямой утверждает, что точка $M$ лежит на прямой тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки $M_{0}$ коллинеарна направляющему вектору $\boldsymbol{a}$. Пусть в некоторой общей декартовой системе координат на плоскости заданы координаты точек и вектора $M(x, y)$, $M_{0}(x_{0}, y_{0})$, $\boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2})$. Тогда условие коллинеарности может быть записано в виде равенства
$$
\begin{vmatrix}
x-x_{0}& y-y_{0}\\
a_{1}& a_{2}
\end{vmatrix}
= 0.\label{ref8}
$$

Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.

Утверждение 1.

В любой декартовой системе координат на плоскости уравнение прямой с начальной точкой $M_{0}(x_{0}, y_{0})$ и направляющим вектором $\boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2})$ может быть записано в виде \eqref{ref8}.

Уравнение \eqref{ref8} линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид $a_{2}x-a_{1}y+(a_{1}y_{0}-a_{2}x_{0}) = 0$, то есть $Ax+By+C = 0$, где $A = a_{2}$, $B = -a_{1}$ и $C = a_{1}y_{0}-a_{2}x_{0}$.

С другой стороны, при заданной системе координат для произвольного линейного многочлена $Ax+By+C$, $A^{2}+B^{2} \neq 0$, найдутся такая точка $M_{0}(x_{0}, y_{0})$ и такой вектор $\boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2})$, что
$$
Ax+By+C =
\begin{vmatrix}
x-x_{0}& y-y_{0}\\
a_{1}& a_{2}
\end{vmatrix}.\label{ref9}
$$
Действительно, выберем числа $x_{0}$ и $y_{0}$ так, чтобы $Ax_{0}+By_{0}+C = 0$. В качестве таких чисел можно взять, например,
$$
x_{0} = \frac{-AC}{A^{2}+B^{2}},\ y_{0} = \frac{-BC}{A^{2}+B^{2}}.\label{ref10}
$$
Если $C = -Ax_{0}-By_{0}$, то $Ax+By+C = A(x-x_{0})+B(y-y_{0})$, то есть выполнено равенство \eqref{ref9} при $a_{2} = A$, $a_{1} = -B$. Итак, мы получили следующее утверждение.

Утверждение 2.

Вектор с координатами $(-B, A)$ можно принять за направляющий вектор прямой с уравнением \eqref{ref2} в общей декартовой системе координат, а точку \eqref{ref10} за начальную точку.

Следствие.

Если система координат декартова прямоугольная, то вектор $\boldsymbol{n}(A, B)$ перпендикулярен прямой с уравнением \eqref{ref1}.

Действительно, в этом случае $(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n}) = -BA+AB = 0$.

Пусть в уравнении прямой $Ax+By+C = 0$ коэффициент $B$ отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,\label{ref11}
$$
где $k = -A/B$, а $b = -C/B$. Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: $k = a_{2}/a_{1}$ (рис. 6.3).

Рис. 6.3. k=-1. Прямая y=-x+1/2

Определение.

Отношение компонент направляющего вектора $a_{2}/a_{1}$ называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от $\boldsymbol{e}_{1}$ к $\boldsymbol{e}_{2}$ (рис. 6.4).

Рис. 6.4. $k=\operatorname{tg}\varphi = -1$. Прямая $y=-x+1/2$

Положив $x = 0$ в уравнении \eqref{ref11}, получаем $y = b$. Это означает, что свободный член уравнения $b$ является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат.

Если же в уравнении прямой $B = 0$ и ее уравнение нельзя представить в виде \eqref{ref11}, то обязательно $A \neq 0$. В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее уравнению можно придать вид $x = x_{0}$, где $x_{0} = -C/A$ — абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс.

Уравнение линии в координатах

Если какое-то уравнение содержит две переменные – х и у, то какие-то пары значений этих чисел будут являться его решением, а какие-то нет. Однако каждой такой паре чисел можно сопоставить точку на координатной плоскости. Все вместе такие точки могут образовать линию, которую можно обозначить буквой L. В таком случае исходное уравнение называют уравнением линии L.

Мы уже рассматривали некоторые уравнения линий на плоскости, когда изучали графики функций. Если некоторую функцию у = у(х) рассматривать как уравнение, то тогда график функции у(х) будет той самой линией, которая задается уравнением. Например, парабола может быть задана уравнением у = х2.

Однако уравнение линии не обязательно выглядит как функция. Наиболее простой задачей является определение факта, принадлежит ли та или иная точка той линии, которая задана уравнением.

Задание. Какие из точек А (2;1), В (3; 2), С (– 2; 5) и D(0; 0) принадлежат линии, заданной уравнением:

Решение. Надо просто подставить координаты точек в уравнение и посмотреть, превратится ли оно при этом в верное равенство. Сначала подставляем точку А (2; 1):

Получилось верное равенство, значит, А принадлежит заданной линии. Теперь подставляем координаты В (3; 2):

Равенство неверное, следовательно, В на заданной линии не лежит. Проверяем третью точку С (– 2; 5):

Получили, что и С не является частью линии. Проверяем последнюю точку D (0; 0):

Справедливость равенства означает, что D принадлежит линии.

Ответ: А и D.

Использование координат и уравнений линии порождает две обратные друг другу задачи:

1) по заранее заданному уравнению определить геометрический вид линии;

2) для заданной геометрической фигуры, построенной на координатной плоскости, найти уравнение линии.

Геометрия занимается в первую очередь решением второй задачи. Первая же задача рассматривается по большей части в курсе алгебры при изучении графиков функций.

Задачи на пересечение двух фигур

Метод координат помогает находить точки, в которых пересекаются те или иные геометрические фигуры. В большинстве случаев надо просто составить систему из уравнений, задающих эти фигуры, и найти их общее решение. В курсе алгебры мы уже рассматривали как решение простых, в основном линейных систем, так и решение более сложных, нелинейных систем. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задание. Две прямые заданы уравнениями:

Определите, в какой точке они пересекаются.

Решение. Если точка пересечения прямых существует, то ее координаты являются решением каждого из двух уравнений. Таким, образом, нам надо просто решить систему:

Мы нашли единственное решение системы – это пара чисел (3; – 2). Эта же пара определяет координаты искомой нами точки.

Задание. Найдите точки пересечения окруж-ти и прямой, если они задаются уравнениями

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

Мы нашли два различных значения у. Это значит, что прямая пересекается с окруж-тью в двух различных точках, а найденные нами числа – их ординаты. Отметим, что возможны случаи, когда корень только один (и тогда у окруж-ти с прямой одна общая точка, то есть они касаются), и когда корней вовсе нет (тогда окруж-ть и прямая не пересекаются). В нашем же примере осталось найти абсциссы точек. Для этого используем уравнение (3):

Получили в итоге пары точек (3; и (6; 7), в которых заданная окруж-ть и прямая пересекаются.

Ответ: (3; и (6; 7).

Задание. Две окруж-ти заданы уравнениями:

Для ее решения сначала раскроем скобки в обоих уравнениях и приведем подобные слагаемые:

Нам удалось выразить у через х. Теперь снова запишем одно из исходных уравнений окруж-ти, но заменим в нем у с помощью только что найденного выражения:

Мы нашли абсциссы точек пересечения окруж-тей, теперь можно вернуться к (1), чтобы найти и ординаты:

Получили точки (5; 2) и (4; 3).

В конце решим одну задачу чуть более высокого уровня сложности.

Задание. К окруж-ти радиусом 5, чей центр совпадает с началом координат, построена касательная в точке (3; 4). Составьте уравнение этой касательной.

Решение. Сначала составим уравнение окруж-ти. Так как ее центр находится в начале координат, а радиус имеет длину 5, то оно примет вид:

Нам надо найти коэффициенты k и d, а для этого надо составить какие-нибудь уравнения с этими переменными. Нам известно, что касательная проходит через точку (3; 4), а потому эти координаты можно подставить в (2):

Обратите внимание, что мы получили квадратное уравнение относительно переменной х. Если бы нам были известны k и d, то мы смогли бы его решить, и тогда мы определили бы точки пересечения прямой и окруж-ти

В этой задаче k и d нам неизвестны, но мы знаем, что окруж-ть и прямая касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. Но тогда и квадратное уравнение (4) должно иметь только одно решение! Это означает, что его дискриминант равен нулю. Сначала выпишем коэффициенты квадратного уравнения, используемые при вычислении дискриминанта:

Теперь у нас есть два уравнения, (3) и (5), которые содержат только переменные k и d. Осталось лишь совместно решить их. Для этого подставим (3) в (5):

В рамках урока мы выяснили, как выглядят уравнения окруж-ти и прямой, а также научились решать несколько типовых заданий, в которых эти уравнения необходимо использовать. Хотя формулы, используемые при этом, могут показаться слишком сложными, главное – просто набить руку в их применении, решая как можно больше задач.

http://sprashivalka.com/tqa/q/14347758

http://100urokov.ru/predmety/urok-3-linii-na-ploskosti

Дистанционные курсы для педагогов

548 курсов от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России могут создать комиссию по поддержке одаренных детей

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Переводить ЕГЭ по математике, физике и химии в компьютерный формат пока не планируется

Время чтения: 2 минуты

В местах сдачи ЕГЭ будут применены антиковидные меры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.