Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения

Правила нахождения координат середины отрезка, формулы

Середина отрезка на координатной прямой

Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа x_A и x_B, а точка С делит AB пополам. Определите координату x_C, соответствующую С. 

Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:

\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\)

Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:

\(\left|AC\right|=\left|CB\right|\Leftrightarrow\left|x_C-x_A\right|=\left|x_B-x_C\right|\)

Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:

\(x_C-x_A=x_B-x_C\)

\(x_C-x_A=-\left(x_B-x_C\right)\)

Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения x_C, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

Следствием второго равенства будет следующее утверждение: 

\(x_A=x_B\)

Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

Середина отрезка на плоскости

В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат x_C и y_C, соответствующих С.

Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат A_x, A_y; B_x, B_y; C_x, C_y — это проекции исходных точек.

По построению прямые AA_x, BB_x, CC_x относительно друг друга находятся параллельно. Прямые AA_y, BB_y, CC_y не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:

\(A_xC_x=C_xB_x\)

\(A_yC_y=C_yB_y\)

Это значит, что C_x и C_y являются серединами отрезков A_xB_x и A_yB_y соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:

\(x_C=\frac{x_A+x_B}2\)

\(y_C=\frac{y_A+y_B}2\)

Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), вычисляются следующим образом:

\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2\right)\)

Середина отрезка в пространстве

Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(x_A, y_A, z_A) и B(x_B, y_B, z_B). C(x_C, y_C, z_C) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить x_C, y_C, z_C.

Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — A_x, A_y, A_z; B_x, B_y, B_z;C_x, C_y, C_z — проекции точек A, B, C на них.

Воспользуемся теоремой Фалеса:

\(\left|A_xC_x\right|=\left|C_xB_x\right|\)

\(\left|A_yC_y\right|=\left|C_yB_y\right|\)

\(\left|A_zC_z\right|=\left|C_zB_z\right|\)

Исходя из полученных равенств следует, что C_x, C_y, C_z — делят A_xB_x, A_yB_y, A_zB_z пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B) используем формулу:

\(\left(\frac{x_A+x_B}2,\frac{y_A+y_B}2,\;\frac{z_A+z_B}2\right)\)

Длина вектора и направляющие косинусы

Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора

равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах

и выражается равенством

                       (4)

Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.

Пусть в заданной системе координат начало вектора находится в точке

а конец – в точке

(рис.8).

Тогда

Из равенства

следует, что

Отсюда

или в координатной форме

          (5)

Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид

          (6)

Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые
вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно
α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам

,

,

.

Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким
образом, орт вектора

или

.

Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть

,

получаем следующее равенство для направляющих косинусов:

.

Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Пример 2. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).

Решение. Длина вектора равна

Пример 3. Даны точки:

Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.

Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:

Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник
является равнобедренным.

Пример 4. Найти длину вектора
и его направляющие косинусы, если .

Решение. Координаты вектора даны:

.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:

.

Находим направляющие косинусы:

Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти длину, направляющие косинусы и орт
вектора , если
,
.

Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Назад

Листать

Вперёд>>>

Поделиться с друзьями

Весь блок «Аналитическая геометрия»

• Векторы
  • Понятие вектора, операции над векторами
  • Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов
  • Скалярное произведение векторов, угол между двумя векторами
  • Линейная зависимость векторов
  • Базис системы векторов. Аффинные координаты
  • Векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов
• Плоскость

  Уравнения плоскости, взаимное расположение плоскостей

• Прямая на плоскости
  • Уравнение прямой с угловым коэффициентом
  • Общее уравнение прямой на плоскости
  • Уравнение прямой в отрезках
  • Каноническое уравнение прямой на плоскости
  • Параметрические уравнения прямой на плоскости
  • Нормальное уравнение прямой на плоскости, расстояние от точки до прямой

Середина отрезка на плоскости

Зададим следующие параметры: прямоугольная система координат относительно заданной плоскости Oxy; две произвольно расположенные несовпадающие точки, для которых заданы координаты \ и \. Точка C — это заданная середина отрезка АВ. Нужно вычислить координаты \ и \ относительно точки С.

Чтобы правильно проанализировать задачу, возьмем случай, когда точки A и В между собой не совпадают и расположены на одной координатной плоскости.

В свою очередь координатная плоскость является перпендикулярной относительной одной из осей.

Координаты отметок \ — это проекции точек А, В, С.

Рисунок 2. Координатная плоскость с заданным отрезком.

Согласно построению, все прямые можно назвать параллельными; прямые также параллельны между собой

Принимая во внимание данное свойство и теорему Фалеса из равенства А С   =   С В следуют, что все  равенства между собой равны. Также они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка \ – это середина отрезка \ и \, \ а – середина отрезка \ и \

Опираясь на полученное выражение получаем основное уравнение середины отрезка на координатной плоскости. 

\

Данным набором формул можно использовать, когда точки А и B лежат на одной координатной плоскости или прямой. Которая соответственно перпендикулярна относительной одной из осей.

Рисунок 3. Графическое изображение решения задач при условии нахождения точек на одной плоскости.

В данном случае координаты отрезка будут определяться по следующей формуле:

\

Линейные операции над геометрическими векторами

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число
называется вектор, получающийся из вектора растяжением
(при ) или сжатием (при )
в раз, причём направление вектора
сохраняется, если ,
и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)

Из определения следует, что векторы и =
всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить «коллинеарны».) Справедливо и обратное утверждение:
если векторы и коллинеарны,
то они связаны отношением

.   (1)

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

Сложение и вычитание векторов

При сложении векторов нужно знать, что суммой векторов и
называется вектор , начало которого
совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора ,
при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . (Рис. 3)

Это определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n
свободных векторов . При сложении
нескольких векторов за их сумму принимают замыкающий вектор, начало которого
совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора. То есть, если к концу вектора
приложить начало вектора , а к концу вектора
— начало вектора и т.д. и, наконец, к концу вектора
— начало вектора , то
суммой этих векторов служит замыкающий вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора
, а конец — с концом последнего вектора . (Рис. 4)

Слагаемые называются составляющими вектора , а
сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

При умножении вектора на число -1 получается противоположный вектор
.
Векторы и имеют одинаковые длины и противоположные направления.
Их сумма даёт нулевой вектор,
длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора
вектор
означает прибавить к вектору противоположный вектор
, т.е.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности,
также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед
вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и
служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а).
Выразить через и
векторы , ,
и ,
являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам.
Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости
от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат —
требуемые в условии задачи векторы:

Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость»
и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится
операция сложения.

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Даны векторы
и
. Построить на
чертеже векторы 1) ,
2) ,
3) ,
4) .

Пример 4. Даны векторы
и
. Построить на
чертеже векторы 1) ,
2) ,
3) ,
4) .

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как
предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача
вроде следующей:

Даны длины векторов
и длина суммы этих векторов .
Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в
уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов».

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе
онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)».

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».

Скалярное произведение

Пусть есть два вектора a и b с известными координатами (x1, y1) и (x2, y2). Формула для выражения скалярного произведения векторов через координаты будет иметь вид: a* b = x1*x2 + y1*y2. То есть это сумма произведений соответствующих координат.

Для доказательства следует отложить два вектора из одной точки, направленные в разные стороны. Соединив их конечные точки, можно утверждать, что полученный вектор будет равняться разности a и b. Для образованного треугольника выполняется теорема косинусов: AB2 = OA2 + OB2 — 2*OA*OB * cosα. Так как AB — это всё равно, что длина вектора по модулю в квадрате, то вместо AB можно написать вектор, равный a-b.

В итоге получится: |a-b| 2 = |a|2 + |b|2 — 2 |a|*|b|*cosα. Последнее перемножение на косинус по определению является скалярным произведением a и b. Выразив его из выражения, справедливо будет записать: a*b = (|a|2 + |b|2 — |a — b|2) /2. Подставив координаты в формулу, получим следующее: a*b = (x12 + y12 + x22 + y22 — (x1-x2)2 + (y1-y2)2) /2 = x1*x2 + y1*y2. Равенство доказано.

Задачи о точках в декартовой системе координат

Пример 1. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

;

;

.

Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс
расположена на самой оси абсцисс, то есть оси , а следовательно
имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси , которую
ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:

;

;

.

Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

;

;

.

Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат
расположена на самой оси ординат, то есть оси , а следовательно
имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси ,
которую ось ординат пересекает в точке 0),
равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:

;

;

.

Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

;

;

.

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси .

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси
направленный отрезок, идущий от оси до данной точки. На рисунке,
где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси , будет иметь
такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки,
и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси :

;

;

.

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: x a, y a и b x b, y b даны две произвольные несмежные точки O x y, две произвольные несмежные точки. Точка C — центр участка a. Требуется определить координаты x c и y c точки C.

Рассмотрим случай, когда точки A и B не совпадают и не находятся на одной линии координат, или не являются прямыми перпендикулярами к одной из осей. A x, A, B x, B y, C x, C y — проекции (прямые o и o y) точек a, b и c на координатные оси.

Согласно структуре, прямые a x, b x и c x параллельны. Линии также параллельны друг другу. Поэтому, согласно теореме Талиса, из уравнения A c = C b получаются следующие уравнения: a x c x = c x b x и a c y = c y b y, и они доказывают, что c x — центр оси. Секция A X B X и c y занимает центральное место в секции A Y B. Затем, основываясь на типах, которые появились ранее, мы имеем

x c = x a + x b 2 и y c = y a + y b 2

Тот же тип можно использовать, если a и b — прямые с одинаковой координатой или линейно перпендикулярны одной из осей. Мы не будем подробно анализировать этот случай, а рассмотрим его только графически.

Обобщая вышесказанное, координаты среднего из отрезков a b уровня с координатами конечностей A (x A, y a) и B (x b, y b) определяются следующим образом

Равенство векторов

Через начало и конец векторов можно провести прямую. В связи с этим можно ввести понятие коллинеарных векторов.

На рисунке коллинеарны вектора а и b, так как они лежат на одной прямой. Также коллинеарны с и d, так как они лежат на параллельных прямых. А вот вектора a и c неколлинеарны, так как они лежат на пересекающихся прямых.

Для пары коллинеарных векторов можно определить, являются ли они сонаправленными или противоположно направленными.

Для обозначения сонаправленных векторов используется символ «⇈», а для противоположно направленных «⇅». Можно сформулировать две очевидных теоремы о коллинеарных векторах.

Проиллюстрируем эти правила с помощью рисунка:

Особняком стоит нулевой вектор. Он представляет собой точку, а потому не имеет определенного направления. Поэтому условно его считают сонаправленным с любым другим вектором.

Теперь мы можем дать определение равенству векторов.

Задание. Найдите на картинке равные вектора.

Решение. Здесь равны вектора а, b и e. Они сонаправлены и имеют длину 6. Вектор с сонаправлен с ними, но его длина составляет только 5 клеток. Длина вектора d составляет 6 клеток, но он не сонаправлен с другими векторами. Наконец, вектор m также не сонаправлен с другими векторами и даже не коллинеарен им.

Ответ: a, b и e.

Если началом вектора является некоторая точка А, то можно сказать, что вектор отложен от точки А

Докажем важное утверждение:

Доказать его можно построением. Пусть есть вектор а и точка М. Проведем через М прямую p, параллельную вектору а. Такая прямая будет единственной. Если точка М и вектор лежат на одной прямой, то в качестве прямой p возьмем именно эту прямую. Далее от точки М можно отложить отрезки МN и МN’, длина которых будет совпадать с длиной вектора а. В результате получится два вектора,MN и MN’, один из которых будет сонаправлен с а, а другой – противоположно направленный.

Часто равные вектора, отложенные от разных точек, обозначают одной буквой. Можно считать, что это один и тот же вектор, просто приложенный к разным точкам.

Задание. АВСD – параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке О. Определите, равны ли вектора:

Решение.

а) Отрезки АВ и DC равны, ведь это противоположные стороны параллелограмма, по той же причине эти отрезки параллельны. Видно, что они сонаправлены, значит, вектора равны.

б) Отрезки ВС и DA параллельны и равны, но эти вектора противоположно направлены, поэтому вектора НЕ равны друг другу.

в) Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, поэтому длины отрезков АО и ОС одинаковы. Вектора АО и ОС лежат на одной прямой, то есть они коллинеарны. При этом они ещё и сонаправлены, поэтому АО и ОС – равные векторы.

г) Вектора АС и BD лежат на пересекающихся прямых, то есть они не коллинеарны. Этого уже достаточно, чтобы считать их НЕ равными друг другу.

Ответ: а) д; б) нет; в) да; г) нет.

Векторы

1.1. Что такое вектор? 1.2. Коллинеарность векторов 1.3. Основные действия с векторами1.4. Координаты вектора на плоскости и в пространстве1.5. Простейшие задачи с векторами1.5.1. Как найти вектор по двум точкам?1.5.2. Как найти длину отрезка?1.5.3. Как найти длину вектора?1.5.4. Действия с векторами в координатах1.5.5. Как найти единичный вектор1.5.6. Деление отрезка в данном отношении1.5.7. Формулы координат середины отрезка1.6. Скалярное произведение векторов1.6.1. Определение скалярного произведения1.6.2. Угол между векторами и знак скалярного произведения1.6.3. Скалярный квадрат вектора1.6.4. Свойства скалярного произведения1.6.5. Как найти угол между векторами?1.6.6. Скалярное произведение векторов в координатах1.6.7. Как проверить векторы на ортогональность?1.6.8. Если векторы заданы суммами векторов с известными координатами1.6.9. Как найти угол между векторами в координатах?1.7. Ортогональные проекции векторов1.7.1. Как найти проекцию вектора на вектор?1.7.2. Проекции вектора на координатные оси. Направляющие косинусы1.8. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Базис векторов. Аффинная система координат.1.8.1. «Плоский» случай1.8.2. Как определить коллинеарность векторов плоскости?1.8.3. Как определить коллинеарность векторов пространства?1.8.4. Базис и система координат пространства1.9. Векторное произведение векторов1.9.1. Определение векторного произведения1.9.2. Свойства векторного произведения1.9.3. Векторное произведение в координатах1.10. Смешанное произведение векторов1.10.1. Определение смешанного произведения1.10.2. Как вычислить смешанное произведение?1.10.3. Как вычислить объём треугольной пирамиды?

21 Условие перпендикулярности векторов

Если
ненулевые векторы

= (x₁; y₁;
z₁) и

= (x₂; y₂;
z₂) перпендикулярны, то их
скалярное произведение равно нулю

=
0,

=
x₁x₂
+ y₁y₂
+ z₁z₂
= 0.

Если
задан один ненулевой вектор

= (x₁; y₁;
z₁), то координаты
перпендикулярного (нормального) ему ненулевого
вектора

= (x₂; y₂;
z₂) должны удовлетворять
равенству

x₁x₂
+ y₁y₂
+ z₁z₂
= 0.

Таких
векторов

бесконечное множество.

Если
на плоскости задан один ненулевой вектор

= (x₁; y₁),
то координаты перпендикулярного (нормального) ему вектора

= (x₂; y₂)
должны удовлетворять равенству

x₁x₂
+ y₁y₂
= 0.

Отсюда
можно выразить произведение координат y

y₁y₂
= — x₁x₂.

Если
на плоскости задан ненулевой вектор

= (x₁; y₁),
то достаточно задать произвольно одну из координат перпендикулярного
(нормального) ему вектора

= (x₂; y₂)
и из условия перпендикулярности векторов

x₁x₂
+ y₁y₂
= 0

выразить
вторую координату вектора

.

Например,
если подставить произвольную координату x₂,то из равенства

y₁y₂
= — x₁x₂

выражается
вторая координата вектора

Если
произвольно придать x₂ = y₁,
то вторая координата вектора

Если
на плоскости задан ненулевой вектор

= (x₁; y₁),
то перпендикулярный (нормальный) ему вектор

= (y₁; -x₁).

Если
одна из координат ненулевого вектора

равна нулю, то у перпендикулярного ему ненулевого вектора

такая же координата не равна нулю, а вторая координата равна нулю.
Такие векторы лежат на осях координат, поэтому перпендикулярны.
Например, если

= (; y₁),
то этот вектор лежит на оси Oy, тогда
перпендикулярный ему ненулевой вектор

= (x₂;
0) лежит на оси Ox.

Определим
второй вектор, перпендикулярный вектору

= (x₁; y₁),
но противоположный вектору

= (y₁; -x₁),
то есть вектор —
.
Тогда достаточно поменять знаки координат вектора

—

= -1·

= (-1·y₁;
-1·(-x₁))=
(-y₁; x₁).

Координаты
двух векторов, перпендикулярных вектору

= (x₁; y₁)
на плоскости

₁
= (y₁; -x₁),

₂
= (-y₁; x₁).

Для
получения координат ненулевых векторов, перпендикулярных заданному
ненулевому вектору на плоскости, достаточно поменять местами
координаты заданного вектора и поменять знак одной из координат.

Задача.
Задан вектор

= (3; -5). Найти два нормальных вектора с различной ориентацией.

Решение

Координаты
двух векторов, перпендикулярных вектору

= (x₁; y₁)
на плоскости

₁
= (y₁; -x₁),

₂
= (-y₁; x₁).

Подставляем
координаты вектора

= (3; -5)

₁
= (-5; -3),

₂
= (-(-5); 3) = (5; 3).

Для
проверки перпендикулярности векторов подставим их координаты в
условие перпендикулярности векторов

x₁x₂
+ y₁y₂
= 0

3·(-5)
+ (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

верно!

3·5
+ (-5)·3 = 15 — 15 = 0

верно!

Ответ:
₁
= (-5; -3),
₂
= (5; 3).

Если
присвоить x₂ = 1, подставить

x₁
+ y₁y₂
= 0.

y₁y₂
= -x₁

Получим
координату y₂ вектора,
перпендикулярного вектору

= (x₁; y₁)

Координаты
одного вектора, перпендикулярного на плоскости ненулевому вектору

= (x₁; y₁)

Для
получения второго вектора, перпендикулярного вектору

= (x₁; y₁),
но противоположно направленного вектору

.
Пусть

Тогда
достаточно поменять знаки координат вектора

.

Координаты
второго вектора, перпендикулярного на плоскости вектору

= (x₁; y₁)

Координаты
двух векторов, перпендикулярных вектору

= (x₁; y₁)
на плоскости

Задача.
Задан вектор

= (3; -5). Найти два нормальных вектора с различной ориентацией.

Решение

Координаты
двух векторов, перпендикулярных вектору

= (x₁; y₁)
на плоскости

Координаты
одного вектора

Координаты
второго вектора

Для
проверки перпендикулярности векторов подставим их координаты в
условие перпендикулярности векторов

x₁x₂
+ y₁y₂
= 0

3·1
+ (-5)·0,6 = 3 — 3 = 0

верно!

3·(-1)
+ (-5)·(-0,6) = -3 + 3 = 0

верно!

Ответ:

и

.

Если
присвоить x₂ = — x₁,
подставить

x₁(-x₁)
+ y₁y₂
= 0.

-x₁2
+ y₁y₂
= 0.

y₁y₂
= x₁2

Получим
координату вектора, перпендикулярного вектору

Если
присвоить x₂ = x₁,
подставить

x₁x₁
+ y₁y₂
= 0.

x₁2
+ y₁y₂
= 0.

y₁y₂
= -x₁2

Получим
координату y второго вектора,
перпендикулярного вектору

Координаты
одного вектора, перпендикулярного на плоскости вектору

= (x₁; y₁)

Координаты
второго вектора, перпендикулярного на плоскости вектору

= (x₁; y₁)

Координаты
двух векторов, перпендикулярных вектору

= (x₁; y₁)
на плоскости

1.2.1. Декартова система координат window.top.document.title = «1.2.1. Декартова система координат»;

Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат.

Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной (декартовой) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

График 1.2.1.1.Декартова система координат

В элементарной математике чаще всего рассматривается двухмерная или трехмерная декартова система координат; координаты обычно обозначаются латинскими буквами x, y, z и называются, соответственно, абсциссой, ординатой и аппликатой. Координатная ось OX называется осью абсцисс, ось OY – осью ординат, ось OZ – осью аппликат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

График 1.2.1.2.Координаты точки в декартовой системе координат

Важно отметить, что порядок записи координат существенен; так, например, точки A (–3; 2) и B (2; –3) – это две совершенно различные точки. Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые (в трехмерном случае – плоскости), перпендикулярные осям

Расстояния от точек пересечения построенных прямых (плоскостей) с осями абсцисс, ординат (аппликат) до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A. Координаты точки записываются в скобках: например, A (–3; 2) или B (x; y). В трехмерном пространстве координаты точки в декартовой системе координат записываются тремя числами, например, C (5; 0,2; –6)

Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые (в трехмерном случае – плоскости), перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых (плоскостей) с осями абсцисс, ординат (аппликат) до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A. Координаты точки записываются в скобках: например, A (–3; 2) или B (x; y). В трехмерном пространстве координаты точки в декартовой системе координат записываются тремя числами, например, C (5; 0,2; –6).

Рисунок 1.2.1.1.Координатные оси делят координатную плоскость на четыре квадранта (четверти). Точки, лежащие на осях координат, не принадлежат ни одному квадранту

В двухмерной системе координат все точки, лежащие над (под) осью OX, образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость. Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость.

Модель 1.5. Расстояние между городами

В конце этого параграфа приведем некоторые очевидные формулы.

• Расстояние от точки A (x; y) до оси OX равно |y|.
• Расстояние от точки A (x; y) до оси OY равно |x|.

• Расстояние от точки

  до начала координат равно

• Расстояние |AB| между точками A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂) равно

• Точка M, которая является серединой отрезка AB, где A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂), имеет координаты

График 1.2.1.3.Координаты середины отрезка

На случай трехмерного пространства эти формулы обобщаются следующим образом:

• Расстояние от точки A (x; y; z) до плоскости OYZ равно |x|.

• Расстояние от точки A (x; y; z) до начала координат равно

• Расстояние |AB| между точками A (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂) равно

• Координаты точки M, которая является серединой отрезка AB, где A (x₁; y₁; z₁) и B (x₂; y₂; z₂) равны

Примеры задач, решаемые координатным методом

Основными задачами, приводящими к координатному методу можно выделить следующие задачи (их решения здесь приводить не будем):

1. Задачи на нахождение координат вектора по его концу и началу.
2. Задачи, связанные с делением отрезка в каком-либо отношении.
3. Доказательство того, что три точки лежат на одной прямой или, что четыре точки лежат в одной плоскости.
4. Задачи на нахождение расстояния между двумя данными точками.
5. Задачи на нахождение объемов и площадей геометрических фигур.

Результаты решения первой и четвертой задачи приведены нами как основные утверждения выше и довольно часто используются для решения других задач с помощью координатного метода.