Векторы: основные понятия. координаты вектора. длина вектора

Основные отличия между скалярными и векторными величинами

Из описаний, приведенных выше, видно, что главное отличие векторных величин от скалярных заключается в их характеристиках
. У векторной величины есть направление и модуль, а у скалярной только численное значение. Безусловно, векторную величину, как и скалярную, можно измерить, но такая характеристика не будет полной, так как отсутствует направление.

Для того, чтобы более четко представить отличие скалярной величины от векторной, следует привести пример. Для этого возьмем такую область знаний, как климатология
. Если сказать, что ветер дует со скоростью 8 метров в секунду, то будет введена скалярная величина. Но, если сказать, что северный ветер дует со скоростью 8 метров в секунду, то речь пойдет о векторном значении.

Векторы играют огромную роль в современной математике, а также во многих сферах механики и физики. Большинство физических величин может быть представлено в виде векторов. Это позволяет обобщить и существенно упростить используемые формулы и результаты. Часто векторные значения и векторы отождествляются друг с другом. Например, в физике можно услышать, что скорость или сила является вектором.

Под векторной принято понимать величину, имеющую 2 основные характеристики:

1. модуль;
2. направление.

Так, два вектора признаются равными, если модули, а также направления обоих совпадают. Записывается рассматриваемая величина чаще всего как буква, над которой прорисовывается стрелка.

В числе самых распространенных величин соответствующего типа — скорость, сила, а также, например, ускорение.

С геометрической точки зрения вектор может представлять собой направленный отрезок, длина которого соотносится с его модулем.

Если рассматривать векторную величину обособленно от направления, то ее принципиально можно измерить. Правда, это будет, так или иначе, частичная характеристика соответствующей величины. Полная — достигается только в случае ее дополнения параметрами направленного отрезка.

Основные операции

Рисунки некоторых векторов и их координат уже были представлены. Эта информация поможет лучше понять, как изобразить «направленный отрезок» на заданной плоскости или в пространстве. Далее предстоит познакомиться с наиболее распространенными операциями над векторами.

Обнаружение координат

Пусть будет дан вектор AB. Чтобы найти его координаты, необходимо из координат конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A). Полученные значения – это и есть интересующий параметр.

Выше можно увидеть формулы, которые помогут определить координаты вектора в том или ином случае.

Сложение

Для сложения двух векторов a и b необходимо из произвольной точки отложить вектор AB, который будет равен a, а из нее – BC, равный b. Соединив точку, из которой выходит C и BC, получится новый отрезок – AC. Это сумма первоначально заданных значений. Данный принцип – это так называемое правило треугольника.

Для коллинеарных векторов актуальны следующие принципы:

Сложение нескольких векторов

Ранее предложенное правило распространяется на любое количество «направленных отрезков»: два, три, четыре и более. Чтобы получить итоговую сумму нескольких векторов, каждый последующий соответствующий элемент требуется прибавлять к ранее вычисленному результату.

В качестве примера можно взять одну простейшую задачу: пусть будут даны векторы a, b, c. Из произвольной точки A на заданной плоскости сначала необходимо отложить отрезок, который будет равен a. От его конца – отложить b и так далее. Пользуясь соответствующим алгоритмом, можно изобразить необходимые векторы. Конечная точка последнего отложенного «направленного отрезка» – это отрезок AB. Он отражает векторную сумму. Соответствующее правило называется правилом многоугольника:

Для вычитания отсутствуют специальные отдельные алгоритмы. Разность векторов a и b – это вектор, сумма которого с вектором b равняется a. Для нее справедливо равенство: a — b = a + (-b).

Умножение

Следующая операция над векторными величинами – это умножение. Чтобы умножить вектор на некоторое число k, нужно запомнить такие правила и принципы выполнения математических действий:

• когда модуль k > 1 – вектор растягивается в k-раз;
• если модуль 1 > k > 0 – вектор сожмется в 1/k-раз;
• когда k = 1 – «направленный отрезок» остается неизменным;
• если k < 0 – меняется направление отрезка, а также применяются ранее указанные правила умножения;
• если один из имеющихся множителей нулевой или это число, равное 0, результатом умножения выступит нулевой вектор.

Вот наглядный пример графического изображения произведения векторных величин:

В заданном примере предусматривается a и некоторое число k = 2, а также b и число k = -1/3.

Свойства над векторами

Формулы, помогающие найти координаты вектора, уже известны. Теперь необходимо запомнить несколько свойств, характерных для «направленных отрезков». Некоторые из них являются очевидными, а какие-то требуют обоснования с геометрической точки зрения:

1. Если к тому или иному вектору прибавляется нулевой, никаких изменений не осуществляется.
2. Если даны два вектора, которые требуется сложить, их допустимо отложить от одной и той же точки. Получившаяся фигура после этого должна быть дорисована до параллелограмма. Сумма заданных ранее векторов – это диагональ параллелограмма.
3. Правило ассоциативности: (a + b) + c = a + (b + c). Соответствующий принцип может называться еще и сочетательным законом. Он позволяет решать разнообразные задачи, связанные со сложением векторов.
4. Использование нейтрального элемента в процессе нахождения произведения: a = a * 1.
5. У любого вектора a существует противоположный –a. Для них характерно свойство a + (-a) = нулевой вектор.

Теперь ясно, как определить начало заданного вектора, векторную сумму или произведение, а также их разность. Рассмотренный математический элемент применяется в самых разных сферах жизни.

Координаты вектора в прямоугольной декартовой системой координат в пространстве

Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось
в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.

В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.

С произвольной точкой М  пространства свяжем вектор

,

называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:

Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).

Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через

Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz

Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:

        (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.

После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме

              (3)

Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.

Проекция вектора на ось

Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус
угла между вектором и осью:

Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание
перпендикуляра ,
опущенного из этой точки на прямую (плоскость).

Пусть —
произвольный вектор (Рис. 5), а и —
проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим
через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.

Составляющей вектора на оси l
называется такой вектор , лежащий на этой оси,
начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора .

Проекцией вектора на ось l
называется число

,

равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление
составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Основные свойства проекций вектора на ось:

1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.

3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.

4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус
угла между вектором и осью:

Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов на ось l,
если , а углы —

.

Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше.
Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:

Находим окончательную проекцию суммы векторов:

.

Сложение векторов

Пусть некоторый объект сначала находился в точке А, а потом переместился в точку В. Тогда его перемещение удобно обозначить с помощью вектора АВ. Далее пусть этот объект из точки В переместился в другую точку С.

С одной точки зрения, объект совершил сразу два перемещения, из А в В и из В в С, которые можно представить векторами:

Этот пример подсказывает нам универсальное правило, с помощью которого можно складывать вектора. Его называют правилом треугольника.

С помощью правила треугольника удобно складывать вектора, если конец одного из них совпадает с началом другого. Но что делать, если это не так? В этом случае достаточно от конца одного вектора отложить вектор, равный второму:

Задание. На рисунке показаны два вектора. Постройте в тетради их сумму и найдите длину получившегося вектора.

Решение. Перенесем вектор b к концу вектора а. Далее по правилу треугольника на удастся найти их сумму (обозначим этот вектор буквой с):

Теперь найдем длину получившегося вектора. Он является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, причем длины катетов в этом треугольнике можно определить по рисунку, они составляют 4 и 6. Тогда длину гипотенузы можно найти по теореме Пифагора:

Отдельно рассмотрим случаи, когда складываются коллинеарные вектора. В этом случае получающаяся сумма окажется коллинеарной каждому слагаемому. Если вектора сонаправлены, то их длина итогового вектора окажется равной сумме длин складываемых векторов:

Если складываются противоположно направленные вектора, то длина их суммы окажется разностью длин складываемых векторов.

Именно по этой причине при решении простейших задач на движение корабля по реке скорость корабля и скорость течения либо складывают, либо вычитают. Дело в том, что в этих задачах складываются вектора скоростей корабля и течения. Когда судно плывет по течению, эти векторы сонаправлены, а когда плавание идет против течения, векторы оказываются противоположно направленными.

Задание. Корабль развивает в неподвижной воде скорость 12 км/ч. Он плывет по реке, скорость воды в которой составляет 5 км/ч. Найдите скорость корабля относительно берега, если:

а) судно плывет по течению;

б) судно плывет против течения;

в) судно плывет перпендикулярно течению.

Решение. Во всех случаях итоговая скорость судна является векторной суммой собственной скорости судна и течения реки:

Однако направления этих векторов различны. Найдем решение графически, с помощью построений. В первом случае вектора по условию сонаправлены:

Приложив другу к другу отрезки длиной 12 и 5, получим отрезок длиной 17. Это значит, что в первом случае скорость корабля относительно берега составит 17 км/ч.

Во втором случае вектора уже окажутся противоположно направленными:

Отрезок, соответствующий итоговой скорости, здесь уже равен 7 клеткам, значит, итоговая скорость составляет 7 км/ч.

В третьем случае вектора скоростей перпендикулярны:

При построении получился прямоугольный треугольник, вектор итоговой скорости в нем оказался в роли гипотенузы. Найти его длину можно по теореме Пифагора, ведь катеты нам известны:

Сложение и вычитание векторов

Способов и методов сложения векторов всего два. Существует и третий, но его не считают отдельным методом, так как он вытекает из первых двух. Но мы его рассмотрим отдельно, чтобы не возникало вопросов при дальнейшем изучении темы.

Правило многоугольника

Для того, чтобы сложить векторы правилом многоугольника, необходимо параллельным переносом совместить конец первого вектора с началом второго, конец второго с началом третьего и так далее, пока не кончатся векторы, которые необходимо сложить.

После этого нужно начало первого вектора соединить с концом последнего последнего вектора и указать направление. Получившийся вектор будет направлен в сторону последнего из участвовавших в сложении.

Складывать таким способом можно любое количество векторов. Если так складывается только два вектора, то способ называют правилом треугольника

Нужно понять и запомнить, что у отрезка одна определяющая величина: размер. У вектора определяющих величин две: размер и направление. Поэтому нельзя менять направление вектора и его размер. Любые действия нужно осуществлять с помощью параллельного переноса, то есть без изменения направления.

Рис. 2. Правило многоугольника.

Правило параллелограмма

Правило параллелограмма сложнее, его можно применять только для 2 векторов. Если вам нужно этим способом сложить большее количество векторов, например, три, то действие выполняют в следующем порядке:

• Складывают два любых вектора правилом параллелограмма. Результатом будет некий вектор и у нас остается еще один, который в сложении не участвовал.
• Получившийся и оставшийся векторы складывают по тому же правилу.
• Этот процесс можно повторять столько раз, сколько требуется по условию задачи.

Само правило параллелограмма заключается в том, что начала двух векторов совмещаются. После этого получившуюся фигуру достраивают до параллелограмма. Диагональ, которая выходит из начала двух векторов и есть результат сложения. Вектор должен быть направлен в противоположную сторону от совмещенного начала двух векторов.

Для того чтобы вычесть векторы любым способом, направление вектора, который является вычитаемым, меняют на противоположное. Получившиеся векторы складывают любым из методов.

Рис. 3. Правило многоугольника.

Сложение в декартовой системе

В декартовой системе все векторы раскладывают на проекции, после чего отрезки проекций складывают: проекции на ось Ох отдельно, на ось Оу отдельно. После из получившихся двух проекций снова собирают вектор.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое вектор. Поговорили о правилах сложения и вычитания векторов. Обсудили, чем отличается вектор от луча и обсудили метод действий с векторами в декартовой системе координат.

1. /10

   Вопрос 1 из 10

Вычитание

Вычитание векторов немного сложнее. Чтобы вычесть векторы, нужно «развернуть» вычитаемый вектор и сложить его с исходным. «Развернуть» — то есть направить в обратную сторону, «перевернув» знаки координат. Получится конструкция вроде такой:

Дальше используются правила сложения. Пошагово это выглядит так: 

1. У нас есть X = (6, 4) и Y = (3, −2). 
2. Превращаем формулу Х − Y в формулу Х + (−Y). 
3. Разворачиваем вектор Y. Было: Y = (3, −2). Стало: −Y = (−3, 2).
4. Считаем: X + (−Y) = (3, 6). 

Теперь посмотрим, как выглядит вычитание векторов на графике:

Вычитание векторов по методу треугольника: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6)Вычитание векторов по методу параллелограмма: X = (6, 4); −Y = (−3, 2); X + (−Y) = (3, 6)

Решение задач с помощью векторов

Вектора активно используются в физике при решении многих задач, однако они также помогают доказывать геометрические теоремы. Рассмотрим несколько примеров, и начнем со вспомогательной задачи.

Задание. Известно, что С – это середина отрезка АВ. Докажите, что для любой точки О выполняется равенство:

Используя правило треугольника, вектор ОС можно представить в виде двух различных сумм:

Проанализируем выражение в скобках. Вектора АС и ВС коллинеарны, ведь они лежат на одной прямой АВ. При этом они противоположно направлены. Длина у них одинакова, ведь С – середина АВ. Тогда по определению АС и ВС – противоположные вектора, и их сумма равна нулю:

Задание. Докажите, что если в трапеции провести прямую, проходящую через середины ее оснований, то она также пройдет через точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон трапеции.

Решение. Построим трапецию, обозначим ее вершины и середины оснований:

Здесь ABCD – трапеция, основаниями которой являются отрезки ВС и AD. M и N – их середины. Прямые АВ и CD пересекаются в точке O. Необходимо доказать, что прямая MN также проходит через О.

Заметим, что ∆ОВС и ∆ОАD подобны. Действительно, у них есть общий ∠ВОС, а ∠ОВС и ∠ОАD одинаковы как односторонние углы при секущей АВ, поэтому треугольники подобны по 1-ому признаку. Обозначим коэффициент подобия буквой k, тогда можно записать, что

Так как отрезки ОА и АВ лежат на одной прямой, то вектора ОА и АВ коллинеарны и притом сонаправлены, поэтому в (1) отрезки можно заменить векторами:

(это соотношение мы доказали в предыдущей, вспомогательной задаче).

Аналогичную формулу можно составить и для второго основания и его середины N:

Полученное нами равенство означает, что вектора ON и ОМ коллинеарны, а значит, лежат на одной прямой (эти вектора не могут лежать на параллельных прямых, так как имеют общую точку О). Тогда получается, что О, M и N лежат на одной прямой, ч. т. д.

И зачем нам это всё

Вектор — это «кирпичик», из которого строится дата-сайенс и машинное обучение. Например: 

• На основании векторов получаются матрицы. Если вектор — это как бы линия, то матрица — это как бы плоскость или таблица. 
• Машинное обучение в своей основе — это перемножение матриц. У тебя есть матрица с данными, которые машина знает сейчас; и тебе нужно эту матрицу «дообучить». Ты умножаешь существующую матрицу на какую-то другую матрицу и получаешь новую матрицу. Делаешь так много раз по определённым законам, и у тебя обученная модель, которую на бытовом языке называют искусственным интеллектом. 

Что такое искусственный интеллект

Кроме того, векторы используются в компьютерной графике, работе со звуком, инженерном и просто любом вычислительном софте. 

И давайте помнить, что вектор — это не какая-то сложная абстрактная штука, а просто сумка, в которой лежат числа в определённом порядке. То, что мы называем это вектором, — просто нюанс терминологии.