Подобные треугольники — признаки, свойства и теоремы

Подобие двух треугольников

Треугольники являются подобными, когда углы одного эквивалентны всем градусным мерам углов другого, а стороны одного равны сторонам другого, с учетом коэффициента гомотетии. Последний называют еще коэффициентом подобия. Он равен отношению сторон подобных треугольников. Например, дано два подобных Δ ABC и A’B’C’ (больший). Коэффициент подобия треугольников обозначается литерой «k». Он больше 0 и вычисляется по такой формуле: k = A’B’ / AB = B’C’ / BC = A’C’ / AC. Подобие фигур обозначается таким образом: ΔABC ∼ ΔA’B’C’.

Первое условие

Формулировка первого признака подобия треугольников гласит, что равенство двух углов между собой соответствует подобию двух фигур. Подробнее исходные данные записываются в таком виде: ΔABC ∼ ΔA’B’C’, когда ∠ВАС = ∠B’A’C’ и ∠ABC = ∠A’B’C’. Доказать утверждение довольно просто. Для этого следует рассчитать третий угол у треугольников исходя из того, что сумма трех углов составляет 180 градусов.

Далее необходимо наложить один Δ на другой, чтобы ∠ВАС совпал с ∠B’A’C’. Используя теорему Фалеса для сторон угла, которые делят на отрезки AC / A’C’ = BC / B’C’ вершины малого Δ на пропорциональные части. Аналогично доказывается пропорциональность для двух других сторон. Однако для этого следует наложить уже треугольники таким образом, чтобы совпали другие углы. Такие же действия проделать и для третьего угла. На основании определения о подобии треугольников утверждение доказано. Из доказательства математики получили некоторые следствия, которые будут очень полезны при решении задач:

1. Фигуры (Δ) подобны при параллельности 3 сторон одного Δ сторонам другого, при перпендикулярности одно стороны другой, а также отсутствия || двух сторон одного Δ сторонам другого.
2. Фигура, полученная при помощи параллельного переноса со сторонами, которые умножаются на некоторый постоянный коэффициент, подобна исходной.

Второй критерий

Математики выделяют еще один признак подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Для доказательства следует рассмотреть ΔABC и ΔA’B’C’ со сторонами, связанными таким тождеством: AB / A’B’ = AC / A’C’. Кроме того, углы между ними равны: ∠ВАС = ∠B’A’C’. Далее нужно достроить ΔABC до четырехугольника ABCС». Вершина С» должна располагаться в зеркальном отображении относительно стороны AB. Полученный ΔABC» ∼ ΔA’B’C’ по I признаку, поскольку у них два угла равны. Следовательно, тождество можно править таким образом: AB / A’B’ = AC» / A’C’.

По условию должно выполняться условие AB / A’B’ = AC / A’C’. Тогда AC = AC». На основании этого факта можно сделать вывод о равенстве ΔABC и ΔABC». Следовательно, теорема доказана, поскольку эти треугольники (ΔABC» и ΔA’B’C’) подобны по I признаку.

Третий признак

Третий признак подобия двух треугольников формулируется таким образом: два треугольника являются подобными, когда стороны одного пропорциональны сторонам другой фигуры. Для доказательства необходимо рассмотреть ΔABC и ΔA’B’C’ со сторонами: AB / A’B’ = AC / A’C’ = BC / B’C’.

Математики рекомендуют отметить некоторую точку C» относительно стороны AB. Она не должна лежать на последней. Кроме того, расстояния от C и C» до стороны AB должны быть эквивалентны. Иными словами, следует построить ΔABС», который является «зеркальным» отображением ΔABC относительно его стороны AB. Если AB / A’B’ = AC» / A’C’, то ΔABC» ∼ ΔA’B’C’ по I признаку.

Следующий шаг — доказательство равенства ΔABC и ΔABC». Они равны по двум сторонам AC = AC» и BC = BC». Следовательно, ΔABC ∼ ΔA’B’C’ подобные.

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, то эти треугольники подобны.

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если AB/DE = AC/DF и ∠A = ∠D, то эти треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Пример. Рассмотрим треугольники ABC и DEF. Если AB/DE = BC/EF = AC/DF, то такие треугольники подобны.

Второй и третий признаки подобия треугольников

Существует ещё два признака подобия треуг-ков, которые в решении задач используются значительно реже. Они выводятся непосредственно из первого признака.

Докажем второй признак подобия. Пусть есть ∆AВС и ∆А₁В₁С₁, для которых выполняются соотношения:

Необходимо доказать, что они подобны. Для этого построим ещё один ∆AВС₂, который будет иметь общую сторону с ∆AВС, причем точку С₂ мы выберем так, что будут выполняться условия:

∆А₁В₁С₁ и ∆AВС₂ будут подобными, ведь у них одинаковы два угла. Значит, будет выполняться соотношение

Но тогда ∆AВС и ∆AВС₂ будут равными, ведь у них одинаковы две стороны и угол, образованный этими сторонами:

В итоге у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ оказываются два одинаковых угла, то есть они подобны друг другу

ч. т. д.

Задание. На стороне угла отмечены точки A и В так, что AВ = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отмечены точки С и D так, что AD = 8 cм и AF = 10 см. Подобны ли ∆АСD и ∆AFB? 

Решение.

У рассматриваемых треуг-ков есть общий угол ∠А. Найдем отношение сторон, прилегающих к этому углу.

Отношения одинаковы, значит, треуг-ки подобны.

Примечание

В данном случае важно понимать, какие стороны надо делить друг на друга. У ∆АСD известны стороны АС и АD, равные 16 и 8 см

У ∆AFB известны AF и AB, которые составляют 10 и 5 см. Делить надо большую сторону одного треуг-ка на большую сторону другого треуг-ка, то есть 16 на 10. Потом же делим меньшие стороны, то есть 8 на 5.Если получили одно и тоже число, то это значит, что рассмотренные треуг-ки подобны, причем полученное число как раз и является коэффициентом подобия.

Рассмотрим третий признак подобия треуг-ков.

Докажем его. Пусть у ∆AВС и ∆А₁В₁С₁ пропорциональны их стороны:

Можно заметить, что ∆AВС₂ и ∆А₁В₁С₁ подобны, ведь у них совпадают два угла. Тогда верны соотношения:

Самая левая дробь в обоих случаях одинакова, а в других отличны лишь числители. Значит, эти числители одинаковы:

Но тогда у ∆AВС и ∆AВС₂ совпадают все стороны, то есть эти треуг-ки равные. Следовательно. Так как ∆AВС₂ подобен ∆А₁В₁С₁, то и равный ему ∆AВС также подобен ∆А₁В₁С₁

ч. т. д.

Задание. Подобны ли ∆AВС и ∆DEF, если их стороны имеют длины:

Решение.

Для проверки достаточно просто поделить длины сторон друг на друга. При этом большую сторону одного треуг-ка будем делить на большую сторону другого, а меньшую – на меньшую. Если в результате отношение всех трех сторон будет одинаково, то можно утверждать, что треуг-ки подобны:

Все три раза мы получали число 2, именно оно и является коэффициентом подобия треуг-ков.

Пример применение подобия фигур, в частности треугольников

После вы­ше­ука­зан­ных при­зна­ков ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков изу­чим при­зна­ки по­до­бия тре­уголь­ни­ков. Суть: по неболь­шой ин­фор­ма­ции об ис­ход­ных тре­уголь­ни­ках мы по­лу­ча­ем много ин­фор­ма­ции об этих тре­уголь­ни­ках.

При­мер 4

Пусть уда­лось уста­но­вить по­до­бие тре­уголь­ни­ков ∆АВС  ∆А1В1С1 и найти ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия k = 3, то мы можем утвер­ждать, что все ли­ней­ные раз­ме­ры тре­уголь­ни­ков про­пор­ци­о­наль­ны со­от­но­ше­ни­ям, рав­ным 3.

При этом ра­вен­ство фигур будет част­ным слу­ча­ем по­до­бия с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия k =1.

Формулы и соотношения

Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если у них соответственно равны:

• две стороны и угол между ними;
• два угла и прилежащая к ним сторона;
• три стороны.

Два равны, если
у них соответственно равны:

• и острый угол;
• и противолежащий угол;
• и прилежащий угол;
• два ;
• и .

Подобие треугольников

Два треугольника подобны, если выполняется
одно из следующих условий, называемых признаками подобия:

• два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;
• две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого
  треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;
• три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем
  сторонам другого треугольника.

В подобных треугольниках соответствующие линии (,
, и
т. п.) пропорциональны.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем
коэффициент пропорциональности равен
:

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a2= b2+ c2—
2bc cos

Формулы площади треугольника

1. Произвольный треугольник

a, b, c — стороны;  —
угол между сторонами a и b;—
полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус
вписанной окружности; S — площадь; h_a
— высота, проведенная к стороне a.

S
= ah_a

S = ab
sin

S = pr

Прямоугольный треугольник

a, b — катеты; c — гипотенуза; h_c — высота,
проведенная к стороне c.

S = ab

S = ch_c

Равносторонний треугольник

Некоторые свойства и следствия

Математики также считают, что используя некоторые свойства и следствия из теорем, можно расширить возможности по решению задач. Свойства подобных треугольников можно применять и к другим плоским или объемным фигурам. Следствия классифицируются на несколько типов:

1. Отношение площадей плоских фигур прямо пропорционально квадрату их k.
2. Куб коэффициента подобия прямо пропорционален объему большей фигуры и обратно пропорционален объему меньшей: V / V’ = k 3 .
3. Коэффициент «k» эквивалентен отношению периметров (P), а также биссектрис, медиан, высот и перпендикуляров, которые являются серединными.
4. В прямоугольном Δ длина высоты, опущенной на гипотенузу, эквивалентна среднему геометрическому двух проекций на соответствующий катет. Если она опущена из прямого ∠, то значит делит фигуру на подобные Δ по I признаку.
5. Величина катета эквивалентна средней величине в геометрической интерпретации гипотенузы и произведению проекции катета на гипотенузу.

Например, второе свойство можно применить для решения такого упражнения: дан объем большего конуса V = 125 м 3 , а необходимо найти значение V’ для малого, зная коэффициент k, который равен 3. Задача решается очень просто: V’ = ^(1/3) = ^(1/3) = 5 (м 3 ).

Что такое подобие треугольников

Треугольник представляет собой простую геометрическую фигуру с тремя сторонами и тремя углами. Подобные формы можно нередко встретить при решении задач на уроках геометрии. Существует ряд закономерностей и принципов, позволяющих достаточно просто при некоторых известных элементах объекта вычислять такие величины, как площадь, периметр, длины и градусные меры углов. Однако для определенных типов треугольников предусмотрены специальные правила, полезные в процессе поиска ответа на примеры в самостоятельных и контрольных работах.

Подобные треугольники представляют собой треугольные фигуры с соответствующими равными между собой углами и пропорциональными сторонами.

Наглядное изображение подобия треугольных геометрических фигур представлено на рисунке ниже:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Понятие подобных треугольников предусматривает использование специальных обозначений. Рассмотрим несколько категорий, которые необходимы для детального анализа геометрических фигур. Исходя из полученных данных, можно сделать вывод о том, являются ли определенные многоугольники с тремя углами подобными. Введем определения и сформулируем для них смысловую расшифровку.

Коэффициент подобия вычисляется, как частное от деления схожих сторон, которыми обладают подобные треугольные фигуры, и обозначается числом k.

Сходственными или соответственными сторонами называют стороны, которые входят в состав подобных треугольников и расположены напротив углов с одинаковыми градусными мерами.

С целью улучшения понимания озвученных терминов изобразим перечисленные понятия на рисунке:

Примеры задач на понятие подобия треугольников

Пример 1

Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют

1. По равному острому углу;

2. По равному тупому углу;

3. По равному прямому углу.

Решение.

Пусть даны равнобедренные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ с $\angle A=\angle A_1.$

1. Пусть $\angle A=\angle A_1$ — острые углы треугольников. Тогда здесь возможны два случая:

   а) $\angle A=\angle A_1$ — углы при вершине данных треугольников. Тогда, так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то

   \

   Так как треугольник $A_1B_1C_1$ равнобедренный, то

   \

   То есть $\angle B=\angle B_1,\ \ \angle C=\angle C_1$. По первому признаку подобия, получаем, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

   б) $\angle A=\angle A_1$ — углы при основании данных треугольников. Так как треугольники подобны, то их углы при основании равны. Но тогда два соответствующих угла одного треугольника равны двум соответствующим углам второго треугольника. Значит, по первому признаку подобия треугольников, треугольники подобны.

2. Так как угол тупой, то он лежит при основании данных треугольников. Аналогично пункту 1,а) получим, что они подобны.

3. Так как угол прямой, то он лежит при основании данных треугольников. Аналогично пункту 1,а) получим, что они подобны.

Пример 2

Подобны ли треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AB=17,\ BC=30,\ \ AC=42,\ {\ A}_1B_1=34,\ {\ B}_1C_1=60,\ \ A_1C_1=84$?

Решение.

Найдем коэффициент подобия каждой пары сторон треугольников:

\ \ \

Получаем

\

Следовательно, по третьему признаку подобия треугольников получаем, что данные треугольники подобны.

Отношения в прямоугольном треугольнике

Теорема 100. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, в среднем пропорционален частям гипотенузы.

Предоставленный. В треугольнике ABC угол ABC прямой (рис. 160) и BD ⊥ AC.

Требуется доказать, что AD/BD = BD/DC.

Доказательство. Треугольники ABD и BDC равны, так как углы при точке D — равные прямые; при этом равенства означают ∠A + ∠ α = d, ∠ α + ∠β = d

A + α = α + β или A = β, следовательно, C = α.

Из подобия треугольников ABD и BDC следует пропорция

Примечание. Если одно отношение состоит из сторон треугольника, другое отношение состоит из соответствующих сторон другого треугольника. При этом рассуждают следующим образом: против стороны AD лежит угол α, который в подобном треугольнике BCD равен углу C, а против него лежит подобная сторона BD треугольника BCD, и т.д.

Теорема 101. Каждый катет умеренно пропорционален всей гипотенузе и отрезку, примыкающему к катету.

Доказательство а) Треугольники ABC и ABD (рис. 160) подобны, так как ∠ ABC = ∠ADB как прямые, ∠A правильный, поэтому

Из подобия между треугольниками следует пропорция:

б) Треугольники ABC и BCD подобны, так как ∠ABC = ∠BDC как прямые, ∠C правильный, поэтому

∠A = ∠β, откуда
ВС/ВС = ВС/АС (б)

Теорема 102. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из предыдущих пропорций (а) и (б) следует сходство:

АВ 2 = АД АС
ВС 2 = постоянный переменный ток

Если сложить их вместе, получим:

AB 2 + BC 2 = AD AC + DC AC или
АВ 2 + ВС 2 = АС (АД + ДС) = АС АС = АС 2, т.е.
АС 2 = АВ 2 + ВС 2

а) Гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов.

б) Один катет равен квадратному корню из квадрата гипотенузы минус квадрат другого катета.

Теорема 103. Диагональ квадрата несоизмерима со стороной, или гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с катетом.

Предоставленный. Диагональ АС проведена в квадрате ABCD (рис. 161).

Требуется доказать, что отношение AC/AD является несравнимой величиной.

Доказательство. Сравним больший отрезок АС с меньшим ВС по обычным методам нахождения общей меры, то есть наложим меньший отрезок на больший, первый остаток на меньший и т.д.

а) Наложим отрезок BC на отрезок AC. Если мы отложим отрезок AE, равный AB или BC, мы увидим, что отрезок BC подходит один раз, потому что

Поскольку AB = BC, то 2BC > AC и BC > ½AC, следовательно, первый остаток равен EC 2 = AB 2 + BC 2 .

Поскольку AB = BC, то AC 2 = 2AB 2 , из которых AC = AB √ 2 и AC/AB = √ 2 — несоизмеримая величина.

Задачи на подобие треугольников.

Задача (Средняя линия треугольника)

В треугольнике ABC средняя линия MN параллельна стороне AC. Найдите площадь трапеции AMNC, если площадь треугольника ABC равна 60.

Решение:

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине.

Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Угол ∠BAC = ∠BMN (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых AC и MN и секущей BA). Угол ∠B — общий. Значит, по первому признаку подобия треугольники ABC и MBN подобны.

Коэффициент подобия равен k=AC/MN. Т.к. средняя линия равна половине стороне, которой она параллельна, то коэффициент подобия для вышеуказанных треугольников равен k=AC/MN=2.

Т.к. эти треугольники подобны, то отношение площадей равно

Площадь трапеции AMNC равна

Ответ:
Задача (Средняя линия треугольника, закрепление)

Точки D и E являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AE и CD пересекаются в точке О, СD=9. Найдите CO.

Решение:

Проведём отрезок DE. Этот отрезок будет средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, отрезок DE будет параллелен стороне AC, и AC = 2∙DE

Рассмотрим треугольники AOC и EOD.

∠EAC = ∠AED (Это накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DE и секущей AE).

∠DCA = ∠CDE (Это накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DE и секущей DC)

Следовательно, AOC и EOD подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен k=AC/ED = 2.

Пусть CO=x. Тогда

Ответ:
Задача (Классическая)

В треугольнике ABC BC=5, AC=4. Проведена биссектриса CD. Треугольник CBD — равнобедренный (основание CB). Найдите сторону AB.

Решение:

Т.к. треугольник CBD равнобедренный, где CB — основание, то углы при основании равны ∠BCD = ∠CBD, а, значит, все три угла равны ∠BCD = ∠CBD = ∠DCA (ведь CD — биссектриса).

Рассмотрим треугольники CDA и BCA.

∠A — общий, ∠DCA = ∠CBA ⇒ треугольники CDA и BCA подобны по двум углам.

Следовательно, стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника по определению. Обозначим, BA=x, BD=CD=y.

Тогда

Из первой и второй дроби.

x∙y=20 (1)

Из первой и третьей дроби.

4∙4 = x∙(x-y)
16 = x2 — x∙y
x∙y возьмём из (1)
16 = x2 — 20
x2 = 36
x = 6

Ответ:
Задача (Две высоты)

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CD. Отрезки соответственно равны BE=2, AB=5, DE=2,4. Найдите AC.

Решение:

Из прямоугольного треугольника AEB:

Из прямоугольного треугольника CDB:

Тогда

Если рассмотреть треугольники EBD и ABC (∠B — Общий), то они будут подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Ответ:
Задача (Достраиваем трапецию до треугольника)

Точка M лежит на боковой стороне AB трапеции ABCD, причём AM:MB = 1:2. Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям AD и BC, пересекает боковую сторону CD в точке N. Найдите MN, если AD=10 и BC=7.

Решение:

Достроим трапецию до треугольника. Обозначим MN за x, BK за с, AM за y (это одна часть), тогда BM=2y (две части).

Рассмотрим треугольники MKN и BKC.

Значит, треугольники MKN и BKC подобны по двум углам.

Получается

Аналогично треугольник AKD подобен треугольнику BKC. Тогда

Подставим c в первое соотношение.

Ответ получается 9.

Ответ:

Удачи при решении задач из планиметрии.

Подобные треугольники

Вспомним для начала, что вообще представляет себе понятие подобия.

Определение 3

Фигуры называются подобными, если они имеет одинаковую форму, но разные размеры.

Разберемся теперь с понятием подобных треугольников. Рассмотрим рисунок 1.

Рисунок 1. Два треугольника

Пусть у этих треугольников $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1,\ \angle C=\angle C_1$. Введем следующее определение:

Определение 4

Стороны двух треугольников называются сходственными, если они лежат напротив равных углов этих треугольников.

На рисунке 1, стороны $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сходственные. Введем теперь определение подобных треугольников.

Определение 5

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны, то есть

\ \

На рисунке 1 изображены подобные треугольники.

Обозначение: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Для понятия подобия существует также понятие коэффициента подобия.

Определение 6

Число $k$, равное отношению сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия этих фигур.

Общие сведения

Специалисты рекомендуют начинать любое обучение с азов. Следует применять принцип, который называется «от простого к сложному». В плоскостной геометрии (Евклида) существует два понятия: аксиомы и теоремы. К первым относятся утверждения, не требующие доказательства. Они являются базовыми элементами науки и позволяют доказывать другие гипотезы или утверждения.

Кроме того, на основании доказанных гипотез можно производить операции по доказательству более сложных теорем. Иными словами, геометрия состоит из базисных элементов — аксиом, при использовании которых можно преобразовывать утверждения в неоспоримые факты, а также при комбинациях появляется возможность доказательства более сложных (составных) элементов. Примером последнего случая является гипотеза Пифагора для прямоугольного треугольника. Чтобы ее доказать, нужно знать аксиомы геометрии, а также теорему об отношении площадей подобных треугольников (S/S’). Далее необходимо разобрать основные объекты геометрии.

Объекты геометрии

Простейшим объектом геометрии является точка. С помощью нее строятся простые фигуры, благодаря которым образуются более сложные формы. К элементарным компонентам можно отнести следующие: прямая, отрезок, луч. Первая состоит из множества точек, соединенных между собой в одной плоскости и находящихся в поперечном сечении, диаметр которого эквивалентен диаметру точек. При соединении простейших объектов получается бесконечная линия без перегибов.

При комбинации двух лучей, исходящих из одной точки получается плоский угол. Он измеряется в градусах или радианах. Следует отметить, что в геометрии существует понятие «нулевого» угла. Это возможно, когда лучи совпадают. При комбинации трех углов можно получить треугольник. Существует также другое определение этой фигуры: треугольником (Δ) называется фигура, состоящая из трех точек, одна из которых не лежит на одной прямой с остальными.

Нужно обратить внимание на такие термины: высоту, медиану и биссектрису. Первой называется перпендикуляр, проведенный из вершины к противоположной стороне

Медиана — отрезок, проведенный из противоположной вершины к середине стороны. Биссектрисой угла является луч или отрезок, который делит его на два равнозначных по величине. В равнобедренном и равностороннем Δ эти элементы совпадают.

Основные аксиомы Евклида

Аксиомой называется утверждение, не требующее доказательств и воспринимаемое в виде факта. Существуют следующие утверждения, которые можно применять при решении задач:

1. Если на плоскости существует некоторая прямая, то в этом случае точки классифицируются на две группы по отношению к ней: лежащие и не лежащие.
2. Через две точки можно провести только одну прямую.
3. При заданных прямой и точке, не лежащей на ней, через последнюю можно провести только одну прямую, которая будет параллельна (||) исходной.
4. Когда даны три угла, один из которых эквивалентен другому, а последний — третьему, тогда можно сделать вывод об их равенстве. Аналогичное утверждение существует и для отрезков.
5. Любая прямая содержит две точки, а также точку, лежащую между ними.
6. Точки, находящиеся на одной плоскости, могут соединяться в любой последовательности вспомогательными отрезками.

Например, в некотором упражнении по нахождению отдельных параметров треугольника в условии содержится очень мало данных. Последний можно вписать в окружность или дополнить до квадрата или прямоугольника. Далее следует разобраться в признаках подобия треугольников.

Примеры подобия общих фигур

При­мер 1

Имеем пра­виль­ный тре­уголь­ник АВС. Длина сто­ро­ны равна а. Умень­шим сто­ро­ну, раз­де­лив ее на 2. По­лу­чим тре­уголь­ник А1В1С1, сто­ро­на ко­то­ро­го равна . Этот тре­уголь­ник пра­виль­ный. Форма оста­лась преж­ней, а раз­ме­ры из­ме­ни­лись – умень­ши­лись в два раза (рис. 1). Далее до­ка­жем это.

Рис. 1 По­доб­ные тре­уголь­ни­ки

До­ка­за­тель­ство

Мы встре­ча­лись с таким тре­уголь­ни­ком А2В2С2. Его вер­ши­ны – это се­ре­ди­ны сто­рон ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка АВС (см. рис. 2).

Рис. 2. Пра­виль­ный тре­уголь­ник

В итоге: был пра­виль­ный ∆АВС; по­лу­чи­ли вто­рой пра­виль­ный ∆ А1В1С1. Длина сто­ро­ны вто­рой фи­гу­ры из­ме­ни­лась в два раза. Такие тре­уголь­ни­ки на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми. За­пи­сы­ва­ют сле­ду­ю­щим об­ра­зом: ∆ АВС  ∆ А1В1С1.

Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия k = 2, так как все раз­ме­ры из­ме­ни­лись в два раза.

При­мер 2

При­бли­жа­ем­ся к дому. Дом из­да­ле­ка – ма­лень­кий пря­мо­уголь­ник. Под­хо­дим ближе – пря­мо­уголь­ник боль­шой, но, ви­ди­мо, раз­ме­ры из­ме­ни­лись в одно и то же число раз. Это вто­рой при­мер по­доб­ных фигур.

При­мер 3

Имеем карту Крыма и ре­аль­ный Крым. Мас­штаб при­бли­зи­тель­но 1: 10 000 раз. Форма одна и та же, но все раз­ме­ры из­ме­не­ны в 10 000 раз – умень­ше­ны.

Это при­ме­ры фигур, ко­то­рые имеют оди­на­ко­вую форму, но раз­ные раз­ме­ры. При­чем раз­ме­ры из­ме­ня­ют­ся в одно и то же число раз.

Признаки подобия треугольников

Для доказательства признаков подобия нам понадобится следующее утверждение:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Лемма

Прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает от него треугольник, подобный исходному.

Первый признак: подобие по двум углам

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Докажем данное утверждение.

Дано: \(\triangle ABC, \triangle A_1B_1C_1, \angle A=\angle A_1, \angle B=\angle B_1\)

Доказать: \(\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\)

Доказательство:

Отложим на \(AB\) отрезок \(BA_2\), равный отрезку \(A_1B_1\) и проведем \(A_2C_2\parallel AC\). Рассмотрим \(\triangle A_1B_1C_1\) и \(\triangle A_2BC_2: A_1B_1 = A_2B\) по построению, \(\angle B=\angle B_1\) по условию и \(\angle A_1=\angle A_2\) как соответственные при параллельных прямых. Из леммы следует: \(\triangle A_2BC_2\sim\triangle ABC\), значит,\( \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1\).

Второй признак: по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

Теорема. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак: по трем пропорциональным сторонам

Теорема. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Определение подобия, равенства фигур

Фи­гу­ра – это мно­же­ство точек (тре­уголь­ник, окруж­ность, тра­пе­ция и т.д.). Неко­то­рые фи­гу­ры могут иметь оди­на­ко­вые раз­ме­ры и оди­на­ко­вую форму. Они на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми. Две гео­мет­ри­че­ские фи­гу­ры на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, если их можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем.

Ранее рас­смот­рен­ные при­зна­ки ра­вен­ства тре­уголь­ни­ка имели такой смысл: по трем эле­мен­там га­ран­ти­ро­ва­ли ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков, а зна­чит, и ра­вен­ство всех со­от­вет­ствен­ных эле­мен­тов (высот, бис­сек­трис, ме­ди­ан). Эти эле­мен­ты сов­ме­стят­ся при на­ло­же­нии.

Итак, рав­ные фи­гу­ры имеют:

¾    оди­на­ко­вую форму;

¾    оди­на­ко­вые раз­ме­ры.

Рас­смот­рим фи­гу­ру, форму ко­то­ро­го оста­вим преж­ней, а раз­ме­ры из­ме­ним в рав­ное число раз.