Свойства медианы треугольника

Свойства подобных треугольников

Два важнейших свойства: связь периметров и связь площадей.

3.1. Периметры подобных треугольников

Доказательство. Рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Запишем равенство из определения подобия. Поскольку $\Delta ABC\sim\Delta MNK$, стороны этих треугольников пропорциональны:

\

Здесь число $\color{red}{k}$ — коэффициент подобия. Полученное тройное равенство можно переписать так:

\

Или, что то же самое:

\

Периметр треугольника $MNK$:

\

Периметр треугольника $ABC$:

\

Итого получаем равенство

\

Обычно именно в таком виде это равенство и применяют. Но можно записать его и как отношение:

\

В любом случае, мы получили отношение, которое и требовалось доказать.

3.2. Площади подобных треугольников

Доказательство. Первые шаги очень похожи на доказательство предыдущей теоремы. Вновь рассмотрим подобные треугольники $ABC$ и $MNK$:

Поскольку $\Delta ABC\sim\Delta MNK$, углы $ABC$ и $MNK$ равны. Следовательно, равны синусы этих углов:

\

Кроме того, стороны подобных треугольников пропорциональны:

\

В частности, из этого равенства следует, что

\

Или, что то же самое:

\

Площадь треугольника $MNK$:

\

Площадь треугольника $ABC$:

\

Получаем равенство

\

Перепишем в виде отношения:

\

Что и требовалось доказать.

Впрочем, ничто не мешает взять уже известную формулу:

\

Здесь $a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Дело в том, что высоты в подобных треугольниках тоже пропорциональны. И не только высоты. Назовём это Свойством 3.3.:)

3.3. Элементы подобных треугольников

Проиллюстрируем это на высотах. Пусть треугольники $ABC$ и $MNK$ подобны:

В этом случае высоты $CD\bot AB$ и $KL\bot MN$ относятся как

\

Для доказательства этой теоремы нужно знать признаки подобия. Поэтому оставим его до следующего урока. А сейчас переходим к задачам.

Приведем пример

Взгляните на рисунок. На нем представлен треугольник ABC со средней линией DE

Обратим внимание, что она параллельна основанию AC в треугольнике. Следовательно, каким бы ни было значение AC, средняя линия DE будет в два раза меньше

К примеру, AC=20, значит DE=10 и т. д.

Вот такими несложными способами можно понять, как находить среднюю линию треугольника. Запомните ее основные свойства и определение, и тогда у вас никогда не возникнет проблем с нахождением ее значения.

На рисунке 1 показаны два треугольника. Треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1. И прилежащие стороны пропорциональны, то есть AB относится к A1B1 также как AC относится к A1C1. Их этих двух условий и следует подобие треугольников.

Практические задачи

Подобие треуг-ков может быть использовано и на практике, для измерения некоторых размеров. Например, пусть надо измерить высоту одиноко стоящего дерева. Для этого можно просто поставить рядом, например, человека, чей рост известен. Далее надо измерить длину тени этого человека и самого дерева:

Так как тень должна падать под одним и тем же углом, то в итоге можно получить два подобных треугольника:

Например, пусть высота человека составляет 1,8 м, а тени человека и дерева имеют протяженность 1,2 и 4,8 м. На рисунке ∆АBD и ∆АСЕ подобны, причем стороны AD и АЕ – сходственные. Поделим их чтобы найти коэффициент подобия треугольников:

Также подобие помогает находить расстояние до недоступных точек, например, до горных вершин. Пусть точка В недоступна нам. Выберем две доступные нам точки А и С и измерим расстояние между ними. Также измерим∠А и ∠С в ∆АBС (для этого используется какой-нибудь прибор, например, астролябия). Далее построим на бумаге треуг-к А₁В₁С₁ с такими же углами, но меньшей длиной А₁С₁:

При построении можно выбрать определенный масштаб, например, 1:1000. Так, если реальная длина АB оказалась равной 57 метрам, то на чертеже отрезок А₁В₁ должен быть в тысячу раз короче, то есть равен 57 мм (в 1 метр как раз составляет 1000 мм). Далее на чертеже измеряют длину А₁С₁. Пусть она оказалась равной 519 мм. Тогда длина реального размера АС будет составлять уже 519 метров.

Задачи на построение

Подобие помогает решать некоторые задачи, связанные с построением фигур. Пусть требуется построить треуг-к, если известны только два его угла, а также длина биссектрисы, выходящей из третьего угла. Решение состоит из 5 шагов:

На первом шаге строится произвольный треуг-к, в котором два угла равны заданным в условии. На втором шаге третий угол получившегося треуг-ка разбивается пополам, то есть строится его биссектриса, причем она строится в виде луча, а не конечного отрезка. На третьем шаге на этом луче откладывается отрезок, длина которого совпадает с заданной длиной биссектрисы. В результате на луче можно отметить точку, которая соответствует концу этого отрезка. На шаге 4 через эту точку проводится прямая, параллельная основанию уже построенного треуг-ка. Наконец, на последнем шаге стороны треуг-ка продлеваются до пересечения с новой прямой. В итоге получается новый треуг-к, который будет соответствовать условиям задачи.

Длина средней линии треугольника

Средняя линия треугольника интересный характеризующий отрезок, так как обладает несколькими свойствами, позволяющими найти простое решение для казалось бы сложной задачи. Поэтому рассмотрим основные свойства средней линии и поговорим о том, как найти длину этого отрезка в треугольнике.

Треугольник это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В зависимости от углов треугольники делятся на:

• Остроугольные
• Тупоугольные
• Прямоугольные

Рис. 1. Виды треугольников

Основными характеризующими отрезками треугольника являются:

• Медиана – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса – отрезок, делящий угол пополам
• Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Рис. 2. Высота, медиана и биссектриса в треугольнике

Для каждого из характеризующих отрезков существует своя точка пересечения. При соединении трех точек пересечения медиан, биссектрис и высот получается золотое сечение треугольника.

Однако существует и ряд дополнительных характеризующих отрезков:

• Серединный перпендикуляр – высота восстановленная из середины высоты. Как правило серединный перпендикуляр продолжается до пересечения с другой стороной.
• Средняя линия – отрезок, соединяющий середины смежных сторон.
• Радиус вписанной окружности. Вписанная окружность – окружность, которая касается каждой из сторон треугольника.
• Радиус описанной окружности. Описанная окружность – окружность, содержащая в себе все стороны треугольника.

Смежными сторонами треугольников называют стороны, которые имеют общую вершину. В геометрии существует понятие противоположных сторон, т.е. сторон, которые лежат друг напротив друга и не имеют общих вершин. Но это понятие для треугольников не применимо – любая пара сторон в треугольнике является смежной.

Свойств средней линии не так много, но все они имеют значение при решении задач. Дело в том, что задач на нахождение длины средней линии мало, а потому некоторые из них способны построить ученика в ступор при всей своей простоте.

Поэтому приведем и обсудим все свойства средней линии треугольника:

• Средняя линия равна половине основания. Вообще правильнее сказать не половине основания, а половине противолежащей стороны. Так как сторон в треугольнике 3, а основание всего одно. Но в общем случае, основанием можно считать любую из сторон треугольника, так что подобная формулировка считается допустимой. К тому же ее проще выучить. В общем случае по этому свойству и определяется длина средней линии треугольника.
• Средняя линия параллельна основанию. С понятием основания здесь та же ситуация, что и в прошлом свойстве.
• Средняя линия отсекает от треугольника малый подобный треугольник с коэффициентом подобия, равным 0,5
• Три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника, подобных большому треугольнику с коэффициентом подобия 0,5

Рис. 3. Средние линии в треугольнике

Собственно формула длины средней линии вытекает из второго свойства:

$m=1over{2}*a$- где m – средняя линия, а- сторона противоположная средней линии.

Мы поговорили о второстепенных характеризующих отрезках, выделив среднюю линию. Привели свойства средних линий и поговорили о особенностях формулировки этих свойств. Рассказали, как выводится формула длины средней линии треугольника и как средняя линия разбивает треугольник. Все эти свойства используются при решении треугольников.

Средняя оценка: 4.3. Всего получено оценок: 185.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Определение. Отрезок х называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками а и в, если для их длин выполняется равенство а : х = х : в, т. е. х =

Теорема. Если в прямоугольном треугольнике проведена высота из прямого угла, то: высота есть среднее пропорциональное между отрезками на которые она делит гипотенузу; катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы.

Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Проведем из вершины прямого угла С высоту СD и обозначим ее длину через h. Требуется доказать, что h2 = c1с2, в2 = сс1, а2 = сс2

Имеем три подобных пары треугольников:

∆ ADС ~ ∆ AСВ (угол А- общий, D=C);

∆ AСВ ~ ∆ СDВ (угол B- общий, D=C);

∆ ADС ~ ∆ СDВ (по свойству подобия треугольников).

Т. к. ∆ ADС ~ ∆ DСВ, то с1 : h = h : c2 , т. е. h2 = с1с2.

Т. к. ∆ ADС ~ ∆ АСВ, то с1 : в = в : c , т. е. в2 = сс1.

Т. к. ∆ AСВ ~ ∆ СDВ, то с1 : а = а : c2 , т. е. а2 = сс2.

Теорема доказана.

Маркова Л. Большая школьная энциклопедия.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство. В прямоугольном треугольнике АВС проведем из вершины прямого угла С высоту CD. Требуется доказать, что с2 = а2 + в2. По предыдущей теореме получаем в2 = сс1 и а2 = сс2.

Сложив в2 + а2 = сс1+ сс2= с(с1+ с2), или в2+а2 = с2, что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теореме Пифагора). Если в треугольнике АВС квадрат длины стороны АВ равен сумме квадратов длин двух других сторон, то треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине С.

Доказательство: Пусть АВС – данный треугольник, у которого АВ2 = АС2 + ВС2. Рассмотрим вспомогательный прямоугольный треугольник А1В1С1, катеты которой А1С1 и В1С1 соответственно равны сторонам АС и ВС данного треугольника. По теореме Пифагора А1В1 2 = А1С12 + В1С12. Отсюда следует, что А1В1 = АВ. Поэтому ∆ АВС = ∆ А1В1С1 , и, значит, ∆ АВС – прямоугольный с прямоугольным углом при вершине С. Теорема доказана.

Маркова Л. Большая школьная энциклопедия.

Подобные фигуры

Нужно понимать, что подобными фигурами могут быть не только треугольники, но вообще любые фигуры в геометрии, если все углы этих фигур равны, а длины сторон пропорциональны.

Рис. 2. Подобные фигуры.

Но при этом признаки подобия существуют только для треугольников. Их всего 3:

• Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
• Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Рис. 3. Признаки подобия треугольников.

Пропорциональными могут быть только отрезки, как объекты имеющие длину. Прямая или луч бесконечны, а потому не могут быть подобными.

Признак подобия прямоугольных треугольников

Признак подобия треугольников с прямым углом является частным случаем первого признака подобия треугольников, который предполагает следующее: при соответствии двух углов одного треугольника двум углам другого такие треугольники являются подобными.

Теорема

Формулировка для треугольников с углами в 90°: подобие прямоугольных треугольников имеет место, когда острый угол одного треугольника является равным острому углу другого.

Рассмотрим наглядно на схеме:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

∠C=∠C₁=90°

∠A=∠A₁

∠B=180°−(∠C+∠A)

∠B₁=180°−(∠C₁+∠A₁)

Отсюда следует, что ΔABC∼ΔA₁B₁C₁.

Примечание

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Определение средней линии треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, который располагается внутри него таким образом, что соединяет точки, являющиеся серединами двух сторон, лежащих противоположно.

Такое определение не является единственным. Исходя из доказательства теоремы Фалеса:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Если отрезок, начинающийся на середине одной из сторон треугольника, заканчивается на другой стороне и параллелен третьей, то это средняя линия этого треугольника.

В любом треугольнике можно провести три срединные линии, поскольку он имеет три стороны, в т.ч. две — лежащие друг против друга.

Доказательством этого утверждения является теорема Фалеса:

Следствия из теоремы с доказательствами

Следствие №1

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.

Доказательство.

По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому

Согласно теореме,

Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как

Доказано.

Следствие №2

Доказательство.

Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.

Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.

Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.

Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.

Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.

Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.

По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.

Доказано.

Площади подобных треугольников

Рассмотрим теперь теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Теорема 1

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть

\

Доказательство.

Рассмотрим два подобных треугольника и обозначим их площади, соответственно $S$ и $S_1$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Для доказательства этой теоремы вспомним следующую теорему:

Теорема 2

Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то, по определению,$\angle A=\angle A_1$. Тогда, по теореме 2, получим, что

Так как $\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$, получим

Теорема доказана.

Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы

Cвойства средних линий могут различаться. Так, в прямоугольном треугольнике две из трех средних линии перпендикулярны катетам. В то же время третья — по длине аналогична медиане, которую провели к гипотенузе.

Для треугольника, имеющего острые углы и стороны различной длины, средние линии таким свойством не обладают.

Для прямоугольного треугольника является справедливым утверждение, что его средняя линия делит площадь на 4 треугольника, имеющие прямые углы.

В геометрии к свойствам средней линии относят:

1. Найти длину средней линии можно разделив длину основания пополам. При этом основание треугольника и его средняя линия являются параллельными.
2. Проведя в треугольнике среднюю линию, можно смело утверждать, что он отсек еще один треугольник, который с коэффициентом ½ подобен основному — большому. Вычислить его площадь можно, разделив площадь основного треугольника на 4.
3. Проведя в треугольнике все три средние линии, получают четыре треугольника равной площади. При этой центральный из них получил название дополнительного.
4. Три средние линии, проведенные в прямоугольном треугольнике, также делят его на 4 меньших треугольника. При этом все они имеют прямые углы.

свойство 1

Из приведенного списка позволяет находить длину средней линии через длину стороны, которая ей параллельна.

Рассмотрим треугольник: Формулу для такого действия, исходя из ниже приведенной схемы, можно выразить так:

Формулу для такого действия, исходя из выше приведенной схемы, можно выразить так:

n_b=1/2b

Свойство 

Это же свойство № 1 лежит в основе следующей формулы — для нахождения площади треугольника, который образуется в результате отсекания части основного средней линией (S1) нужно площадь основного треугольника (S) разделить на 4:

S1=S/4

Задачи на использование теоремы

Задача 1

В прямоугольном треугольнике ABC проведены средние линии: MN; NP; MP. При этом MN=NP=2. Найти площадь треугольника ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник NMP: 

\(S_{\triangle NMP}=\frac12\times MN\times NP=\frac12\times2\times2=2\)

Все маленькие треугольники равны, следовательно \(S_{\triangle ABC}=2\times4=8\)

Ответ: 8

Задача 2

Площадь треугольника ABC равна 8. MN — средняя линия. Необходимо вычислить площадь треугольника BMN.

\(S_{\triangle BMN}=\frac14S_{\triangle ABC}=\frac14\times8=2\)

Ответ: 2

Задача 3

В треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB, BC, AC соответственно, MN=12, MK=10, KN=8. Необходимо узнать периметр треугольника ABC.

Средняя линия равна половине основания, следовательно находим:

MN = 12 ⇒ AC = 24

MK = 10 ⇒ BC = 20

KN = 8 ⇒ BA = 16

Значит, \(P_{\triangle ABC}=24+20+16=60\)

Средняя линия треугольника — это… Что такое Средняя линия треугольника?

• Средняя линия — фигур в планиметрии отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция. Содержание 1 Средняя линия треугольника 1.1 Свойства …   Википедия
• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — (1) трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме; (2) треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника: третья сторона при этом… …   Большая политехническая энциклопедия
• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Большой Энциклопедический словарь
• средняя линия — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции). * * * СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Энциклопедический словарь
• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Третья сторона треугольника при этом наз. основанием треугольника. С. л. треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Во всяком треугольнике С. л. отсекает от… …   Математическая энциклопедия
• СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ — треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) …   Естествознание. Энциклопедический словарь
• Средняя линия —         1) С. л. треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (третью сторону называют основанием). С. л. треугольника параллельна основанию и равна его половине; площади частей треугольника, на которые делит его с. л.,… …   Большая советская энциклопедия
• Площадь треугольника — Стандартные обозначения Треугольник  простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника …   Википедия
• Словарь терминов планиметрии — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С …   Википедия
• Коллинеарные точки — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф …   Википедия

Пропорциональные отрезки

Каждый отрезок имеет определенную длину. Длина отрезка зависит от выбора единицы измерения и выражается положительным рациональным или иррациональным числом.

Аксиома измерения отрезков. При переходе от одной единицы измерения к другой, длины всех отрезков умножаются на одно и тоже число. Отсюда следует, что отношение длин двух отрезков не зависит от выбора единицы измерения. В дальнейшем для краткости будем говорить об отношении двух отрезков, понимая под этим число, равное отношению длин этих отрезков. Отрезки АВ и СD называются пропорциональными отрезками А1В1 и С1D1 если пропорциональны их длины:

Запись означает здесь и далее отношение, где /АВ /- длина отрезка АВ ,

/А1В1 / — длина отрезка А1В1

Лемма 1.

Пусть пара параллельных прямых АВ и СD пересекают соответственно другую пару параллельных прямых АС и ВD. Тогда отрезок АС равен отрезку ВD, а отрезок АВ равен отрезку СD.

Доказательство.

Проведем прямую ВС. Углы АВС и ВСD равны

Как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СD и секущей ВС, а углы АСВ и СВD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АС и ВD и секущей ВС.

Тогда по первому признаку равенства треугольников треугольники АВС и DСВ равны. Отсюда следует, что АС= ВD и АВ = CВ. Лемма доказана.

И/. А. Баранов. Математика для подготовительных курсов/

Теорема 1. Теорема Фалеса.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство.

Пусть А3ОВ3 – заданный угол, а А1В1, А2В2 и А 3 В3 –попарно параллельные прямые и А1А2 = А2А3. Докажем, что В1В2 = В2В3. Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой А1А3. По лемме 1 А1А2 = С1В2, А2А3 = В2С2 и с учетом условия теоремы С1В2 = В2С2. Кроме того, В1С1В2 = В2С2В3 — как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых А1В1, АВ3 и секущей С1С2 , а В1В2С1 = С2В2В3, как вертикальные. По второму признаку равенства треугольников ∆ В1С1В2 = ∆ В3С2В2. Отсюда В1В2 =В2В3. Теорема доказана

Теорема.

Если стороны угла с вершиной в точке О пересечены параллельными прямыми АВ и MN, то отрезки ОА и ОВ пропорциональны отрезкам ОM и ON, т. е. (1)

Доказательство. Рассмотрим случай, когда имеется такой отрезок EF, что ОM = m EF, MA =n EF, где m и n – целые числа. Говорят, что отрезок EF в каждом из отрезков ОМ и МА укладывается целое число раз без остатка. Разделим отрезок ОМ на m равных частей, а отрезок МА на n равных частей. Каждый из полученных отрезков будет равен ЕF. Примем отрезок EF за единицу измерения. Тогда ОМ=m, МА=n. Допустим для определённости, что точка М лежит между точками О и А. Тогда ОА = ОМ + МА= m+n.

Проведем через точки деления отрезков ОМ и МА прямые, параллельные прямой АВ. Согласно теореме Фалеса эти прямые разделят отрезок ON на m равных отрезков, а отрезок NB на n равных отрезков.

/И. А. Баранов. Математика для подготовительных курсов/

Если t – длина каждого из этих отрезков, то ON = mt, NB = nt, поэтому ОВ =ON+NB = (m+n)* t. Таким образом,,. Отсюда следует, что т. е. выполняется равенство (1). Не для любых отрезков ОМ и МА существует такой отрезок EF, который в каждом из отрезков ОМ и МА укладывается целое число без остатка. Но и в этом случае можно доказать, что равенство (1) выполняется. Теорема доказана.

Следствие. Если стороны угла с вершиной в точке О пересечены параллельными прямыми АВ и MN, то отрезки МА и NB пропорциональны отрезкам ОА и ОВ, т. е. (2)

Доказательство. Допустим для определенности, что точка М лежит между точками О и А. Тогда ОА= ОМ +МА; ОВ= ON +NB или ОМ = ОА – МА; ON = OB –NB (3).

Из равенства (1) следует, что. Подставив сюда значения ОМ и ON из (3), получаем или, и равенство (2) доказано.

Отрезки АВ, CD, MN называются пропорциональными отрезками А1В1, С1D1,

M1N1, если Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство. Пусть – средняя линия в треугольнике АВС, т. е. АЕ = ЕС, CD = BD. Проведем через точку D. прямую а, параллельную стороне АВ. По теореме Фалеса прямая а пересекает сторону АС в ее середине и, следовательно, содержит среднюю линию DE. Значит, средняя линия DE параллельна стороне АВ. Проведем среднюю линию DF. Она параллельна стороне АС. Тогда по лемме отрезок ЕD равен отрезку AF и равен половине отрезка АВ. Теорема доказана.

Клопский В. М. Геометрия. Учебное пособие.

Самостоятельная работа № 10 Средняя линия треугольника. Свойство медиан треугольника

Содержание (быстрый переход):

Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач на применение теоремы о средней линии треугольника и свойства медиан треугольника.Тип урока: урок контроля, оценки и коррекции знаний.

ХОД УРОКА

2. Выполнение самостоятельной работы

  Самостоятельная по геометрии.
I уровень сложности

Вариант 1

1. Е и F — середины сторон АВ и ВС треугольника АВС. Найдите EF и ∠BEF, если АС = 14 см, ∠A = 72°.
2. В равнобедренном треугольнике АВС медианы пересекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до вершины В данного треугольника, если АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см.

Вариант 2

1. М и N — середина сторон АС и СВ треугольника АВС. Найдите АВ и ∠B, если MN = 8 см, ∠CNM = 46°.
2. В равнобедренном треугольнике АВС О — точка пересечения медиан. Найдите расстояние от точки О до вершины А данного треугольника, если АВ = ВС = 10 см, АС = 16 см.

  Самостоятельная по геометрии.II уровень сложности

Вариант 1

1. О — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, Е и F — середины сторон АВ и ВС, ОЕ = 4 см, ОЕ = 5 см. Найдите периметр ABCD.
2. Вычислите медианы треугольника со сторонами 25 см, 25 см, 14 см.

Вариант 2

1. ABCD — параллелограмм с периметром 28 см, О — точка пересечения диагоналей. Найдите расстояние от точки О до середины СО, если расстояние от точки О до середины ВС равно 3 см.
2. Вычислите медианы треугольника со сторонами 13 см, 13 см, 10 см.

  Самостоятельная по геометрии.III уровень сложности

Вариант 1

1. В параллелограмме ABCD ∠A = 30°, AD = 16 см, М — середина ВС. AM пересекает BD в точке N, CN пересекает АВ в точке Р, АР = 6 см. Найдите площадь параллелограмма.
2. В треугольнике со сторонами 15 см, 15 см и 24 см найдите расстояние от точки пересечения медиан до сторон треугольника.

Вариант 2

1. В параллелограмме ABCD ∠LA = 60°, АВ = 10 см, Е — середина CD. BE пересекает АС в точке Р, DP пересекает ВС в точке К, ВК = 7 см. Найдите площадь параллелограмма.
2. Расстояния от точки пересечения медиан равнобедренного треугольника до сторон равны 8 см, 8 см и 5 см. Найдите стороны треугольника.

3. Рефлексия учебной деятельности

В конце урока учитель раздает на каждую парту краткую запись решения задач самостоятельной работы.Домашнее задание: решить задачи, с которыми ученик не справился.

  Ответы на самостоятельную работу
I уровня сложности

  Ответы на самостоятельную работу
II уровня сложности

  Ответы на самостоятельную работу
III уровня сложности

Вы смотрели: Самостоятельная работа № 10 по геометрии в 8 классе с ответами и решениями (3 уровня сложности по 2 варианта). Урок 40. «Средняя линия треугольника. Свойство медиан треугольника» УМК Атанасян и др. (Просвещение). Геометрия 8 класс Самостоятельная работа № 10. Поурочное планирование по геометрии. Выберите дальнейшее действие:

• Список всех контрольных работ по геометрии в 8 классе.
• Список всех самостоятельных работ по геометрии в 8 классе.
• Вернуться к Списку уроков Тематического планирования по геометрии.

Интересные факты из области математики

Будет ли для вас новостью узнать, что за расшифровку секретной переписки правительства Испании, Франсуа Виета хотели отправить на костер, так как считали, что узнать шифр мог только дьявол, а человеку это не по силам.

Известно ли вам, что первым человеком, который предложил нумеровать кресла, ряды и места, был Рене Декарт? Аристократы-театралы даже просили короля Франции дать за это Декарту награду, но, увы, король отказал, так как считал, что давать награды философу – это ниже его достоинства.

Из-за учащихся, которые могли запомнить теорему Пифагора, но не смогли ее понять, эту теорему называли «ослиным мостом». Это значило, что ученик «осел», который не смог преодолеть мост. В данном случае мостом считали теорему Пифагора.

Писатели сказочники посвящали свои произведения не только мифическим героям, людям и зверюшкам, но и математическим символам. Так, например, автор знаменитой «Красной Шапочки», написал сказку о любви циркуля и линейки.

Пропорциональность отрезков хорд и секущих

Теорема 1. Произведение длин отрезков пересекающихся хорд равны, если хорда АВ и CD пересекаются в точке М, то АМ • ВМ = СМ • DM.

Доказательство. Рассмотрим треугольники АМD и ВМС и докажем, что они подобны. Углы А и С равны, так как они вписаны и опираются на одну и туже дугу ВD. Углы АМD и ВМС равны, как вертикальные. Из подобия треугольников

АМD и ВМС следует, что

или АМ • ВМ = СМ • DM. Теорема доказана.

/И. А. Баранов. Математика для подготовительных курсов/

Теорема 2. Произведение длин отрезков секущей равно квадрату длины отрезка касательной, если через точку М проведена секущая окружности и касательная, причем А и В – точки пересечения окружности с секущей, а С – точка касания с касательной, то АМ • ВМ = СМ2.

Доказательство. Рассмотрим треугольники МАС и МСВ и докажем, что они подобны. У них угол М общий. Угол САВ как вписанный, равен половине центрального угла, отвечающего дуге ВNC. Угол ВСМ как угол между хордой и полукасательной, измеряется половиной того же центрального угла.

Значит, углы САВ и ВСМ равны. Из подобия треугольников МАС и МСВ получим, что или АМ • ВМ = СМ2. Теорема доказана.

Следствие. Произведение длин отрезков секущих, проведенных из одной точки вне окружности, равны.

Лемма о подобных треугольниках

Подобные треугольники появляются всякий раз, когда прямая, параллельная стороне треугольника, пересекает его стороны.

Доказательство. Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть прямая $MN\parallel AB$ отсекает треугольник $MNC$:

Докажем, что $\Delta ABC\sim \Delta MNC$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MNC$. У них есть общий угол $ACB$.

Углы $ABC$ и $MNC$ — соответственными при $MN\parallel AB$ и секущей $BC$. Следовательно, они равны: $\angle ABC=\angle MNC$.

Аналогично равны углы $BAC$ и $NMC$. Следовательно, треугольники $ABC$ и $MNC$ имеют три соответственно равных угла.

Докажем теперь, что соответственные стороны пропорциональны. Т.е. докажем пропорцию

\

Рассмотрим угол $ACB$. Параллельные прямые $AB$ и $MN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

\

Это равенство — второе в искомом:

\

Осталось доказать первое равенство. Дополнительное построение: прямая $KN\parallel AC$:

Поскольку $AM\parallel KN$ (по построению) и $AK\parallel MN$ (по условию), четырёхугольник $AKNM$ — параллелограмм. Поэтому $AK=MN$.

Рассмотрим угол $ABC$. Параллельные прямые $AC$ и $KN$ пересекают стороны этого угла. По теореме о пропорциональных отрезках:

\

Учитывая, что $AK=MN$, получаем

\

Итак, соответственные углы треугольников $ABC$ и $MNC$ равны, а их стороны пропорциональны. Следовательно, по определению подобных треугольников

\

Что и требовалось доказать.

Частный случай этой леммы — средняя линия. Она отсекает треугольник со сторонами в два раза меньше, чем у исходного:

Оформляется это так. Поскольку $AM=MC$ и $BN=NC$, то $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Следовательно, прямые $AB$ и $MN$ параллельны, откуда

\

Теорема об отношении площадей

Для решения задач специалисты рекомендуют применять еще теорему об отношении площадей. Обязательным условием ее использования являются ΔABC ∼ ΔA’B’C’ с коэффициентом подобия «k». Ее формулировка имеет такой вид: величина отношения площадей двух подобных треугольников прямо пропорциональна квадрату гомотетии.

Исходя из равенства углов ∠ВАС = ∠B’A’C’ можно записать такое соотношение, в котором тригонометрическая функция не учитывается, поскольку при делении равных коэффициентов получается 1: S / S’ = (AB * AC) / (A’B’ * A’C’). По свойству произведения дробей верно такое преобразование: (AB / A’B’) * (AC / A’C’) = k * k = k 2 . Утверждение доказано полностью.