Две параллельные прямые

Параллельные прямые в архитектуре

На представленных изображениях архитектурные сооружения содержат параллельные прямые. Использование параллельности прямых в строительстве помогает увеличить срок службы таких сооружений и придает им необычайную красоту, привлекательность и величие.
Линии электропередач также умышленно проводятся параллельно, чтобы избежать их пересечения или соприкосновения, что привело бы к замыканию, перебоям и отсутствию электричества. Чтобы поезд мог беспрепятственно перемещаться рельсы также выполнены параллельными линиями.

В живописи параллельные линии изображают сводящимися в одну линию или близкими к тому. Такой прием называется перспективой, которая следует из иллюзии зрения. Если долго смотреть вдаль, то параллельные прямые будут похожи на две сходящиеся линии.

Что такое свойства параллельных прямых

Сначала мы объясним определения, необходимые для изучения свойств параллельных прямых.

Параллельные прямые — это прямые, не имеющие общих точек, или прямые, которые не пересекаются.

Когда две прямые пересекаются вторичной прямой, образуются углы пересечения, соответствующие углы и диагональные углы.

Для параллельных прямых существует аксиома, которая очень важна для доказательства некоторых свойств и является фундаментальным свойством параллельных прямых. Аксиома гласит, что через точку на плоскости может проходить только прямая, параллельная определенной прямой.

Теорема 2 и ее доказательство

Теорема 2.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Рис. 5.

Доказательство: (Рис. 5.)

Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость , проходящая черезточку К и прямую а. Докажем, что прямая bлежит в плоскости .

Предположим противное. Пусть прямая b не лежит в плоскости . Тогда прямая b пересекает плоскость α в точке К. Так как прямые b и с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость . Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость , но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости . Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая b лежит в плоскости α.

Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и b пересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и b параллельны (по определению), что и требовалось доказать.

Итак, разберем на примере задач

Теорема 1 и ее доказательство

Теорема 1.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано: прямая а, (Рис. 2.)

Доказать: существует единственная прямая

Рис. 2.

Доказательство:

Через прямую a и точку , не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость (Рис. 3.). В плоскости α можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.

Рис. 3.

Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости . Тогда плоскость проходит через точку и прямую а. Но через точку и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости и совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.

Понятие параллельных прямых

Определение 1

Параллельные прямые – прямые, которые лежат в одной плоскости, не совпадают и не имеют общих точек.

Если у прямых есть общая точка, тогда они пересекаются.

Если все точки прямых совпадают, то имеем по сути одну прямую.

Если прямые лежат в разных плоскостях, то условий их параллельности несколько больше.

При рассмотрении прямых на одной плоскости можно дать следующее определение:

Определение 2

Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

Статья: Параллельные прямые

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

В математике параллельные прямые принято обозначать с помощью знака параллельности « $\parallel$ ». Например, тот факт, что прямая $c$ параллельна прямой $d$ обозначается следующим образом:

$c \parallel d$.

Зачастую рассматривается понятие параллельных отрезков.

Определение 3

Два отрезка называют параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Например, на рисунке параллельными являются отрезки $AB$ и $CD$, т.к. они принадлежат параллельным прямым: