Три признака параллельности двух прямых

Условия параллельности

Чтобы доказать параллельность прямой, он должен знать точку, которую нужно определить. Достаточно хотя бы одного из следующих условий

Накрест лежащие углы равны

Дано: ǫ(a \; \ vert b \), ab — квадратичный, а углы 1 и 2 — трансверсальные.

Доказательство: предположим, что ¶1 и ∠2 не равны. Тогда, если мы нарисуем углы PAB, то они являются крестообразными соседями ¶2.

Поперечные углы равны. Это выглядит как ap \(ɑ vert \ vert)b. Однако это невозможно. Поскольку, согласно Бюро, из точки A может пройти только одна прямая, существует две прямые — B и A. H.T.

Соответственные углы равны

∠1 и ∠2 соответствуют друг другу.

mn \(슰 vert vert)ad. докажите, что \(슰 angle nmc = \ angle bad \).

Решение: DŽ (DŽ угол nmc = \ угол dac \) (соответствующий) и DŽ (DŽ угол dac = \ угол bad \) (ad — биссектриса). Следовательно, 섹 (угол nmc = \ угол плохой \).

a \ (ˉ vert \) b, следовательно, ρ1 = ρ3 (соответственно). 2+∠3=180º (прилегание). Поэтому сложение приводит к 180º.

Если обе прямые параллельны третьей

Это также называется теоремой о трех параллельных линиях уровней. a \ (섹 vert \ vert) b и c \ (섹 vert) b, где a \ (섹 vert) c.

\Тут есть \ (섹 vert \ vert \ vert \)b. Предположим, что существует еще одно c \（\ vert \ vert \ vert \)a. По договору, a не пересекает b и наоборот.

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны

Символика вертикальной прямолинейности: ⊥

На рисунке видно, что a \(⌘ perp \)c и b \(⌘ perp \)c. Поэтому, согласно теореме о точке, она имеет вид \(⌘ perp \)b

Предположим, что a \(⌘ perp \)c и b \(⌘ perp \)c, но a не ⌘(⌘ vert \; \)b. Далее, в какой-то точке a и b пересекаются. Подумайте о треугольнике ABC. Сумма его углов будет равна 180º + ∠C. Но это не может быть так. Следовательно, наш случай неверен и ⌘(⌘ vert \ vert \}b.

В геометрии Лобачевского[править | править код]

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку CC вне данной прямой aa проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих aa. Из них параллельными к aa называются только две.
Прямые bb и cc называются параллельными прямой aa, если:

1. bb и cc не пересекают прямой aa.
2. любая прямая, лежащая в одной паре вертикальных углов с вершиной A и образованных bb и cc пересекает aa.
3. любая прямая, лежащая в другой паре вертикальных углов с вершиной и образованных bb и cc не пересекает aa. В последнем случае говорят, что прямые являются расходящимися (или ультрапараллельными).

В геометрии Лобачевского кроме понятия параллельных прямых, существует и понятие направленной параллельности:
Прямая CECE называется параллельной (равнобежной) прямой ABAB в направлении от AA к BB, если:

1. точки BB и EE лежат по одну сторону от прямой ACAC;
2. прямая CECE не пересекает прямую ABAB, но всякий луч, проходящий внутри угла ACEACE, пересекает луч ABAB.

Аналогично определяется прямая, параллельной ABAB в направлении от BB к AA.

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые параллельны синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

Определение двух параллельных прямых в пространстве

Определение 1

Две прямые $a$ и $b$ считаются параллельными в объёмном мире тогда и только тогда, если обе они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

В реальном мире параллельными между собой будут две противоположные прямые на гранях квадратного или прямоугольного стола, 2 железнодорожные шпалы, линии в тетради по русскому языку, линии проводов электропередачи, лежащие друг напротив друга в одной плоскости линии пола и оконных карнизов.

Другие варианты расположения прямых в 3D — это когда они скрещиваются (то есть не пересекаются и лежат в непересекающихся плоскостях), и пересекаются друг с дружкой.

Существует несколько разнообразных теорем, которые чаще всего используются при рассмотрении параллельных прямых в объёмном мире и которые было бы полезно знать.

Статья: Определение параллельных прямых в пространстве

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Свойства параллельных прямых в пространстве

1. Первое уже было изложено нами выше: через любую точку в пространстве, не возлежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это довольно простая и интуитивно понятная теорема.
2. Если одна из двух прямых параллельна некой третьей прямой, то и вторая прямая линия также будет параллельна третьей прямой линии.
3. Если одна из двух прямых, про которые известно, что они параллельны, проходит насквозь через некую плоскость, то и вторая прямая также проходит эту плоскость. Данное свойство иногда также называют леммой о параллельных прямых в пространстве, она используется при работе над обоснованием некоторых других теоретических положений.
4. Имея 2 прямые, параллельные между собой, можно изобразить плоскость, причём она будет однозначно задана.

Пример 2

Осуществим доказательство теоремы о параллельных прямых в пространстве, в нашем списке свойств она под номером 3, также её называют леммой о параллельных прямых.

Рисунок 2. Две параллельных прямых, пересекающих плоскость

Пусть прямая $b$ проходит насквозь некую плоскость $α$ в геометрической точке $M$, при этом прямые линии $a$ и $b$, как уже обсуждалось нами в свойстве 4, образуют плоскость $β$.

Рисунок 3. Доказательство леммы о параллельных прямых в пространстве

Так как точка $M$ является общей и для плоскости $α$, и для плоскости $β$, то две эти плоскости пересекаются, а местом их пересечения соответственно аксиоме о пересекающихся плоскостях будет прямая линия $c$, на которой лежит $M$.

Все проведённые прямые $a, b$ и $с$ лежат в одной плоскости $β$.

Воспользуемся аксиомой планиметрии, согласно которой если одна из параллельных прямых пересекает другую, то и вторая линия будет взаимодействовать с этой новой прямой линией таким же образом.

На данном рисунке прямая $a$ будет пересекать прямую $c$ в точке $K$.

Точка $K$ возлежит одновременно и в плоскости $α$, и на прямой $a$, и она является единственным их общим геометрическим объектом, следовательно, прямая $a$ также пересекает плоскость $α$.

Пример 3

Рассмотрим для примера ещё одну задачу.

Даны прямые $g$ и $m$, заданные следующими уравнениями. Определить, являются ли они параллельными.

$g$: $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{3}= \frac{z+1}{-2}$

$m$: $\begin{cases} x – y – z + 1 = 0 \\ x + y + 2z – 2 = 0 \end{cases}$

Если прямые совпадают или параллельны, то их направляющие векторы $s_1$ и $s_2$ коллинеарны, а следовательно, для их координат должны выполняться следующие равенства:

$\frac{x_1}{x_2} =\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}$

Найдём направляющие вектора. Для прямой $g$ направляющий вектор можно найти по каноническим уравнениям, он будет равен $\{1; 3; -2 \}$.

Для прямой $m$ направляющий вектор вычисляется через произведение нормальных векторов плоскостей, на пересечении которых она находится:

$s_2 = n_1×n_2 = \begin{array}{|ccc|} i & j & k \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{array} = -i-3j + 2k$,

то есть $s_2 = \{-1;-3; 2\}$

$s_1=-s_2$

Так как условие, обозначенное выше, соблюдается, то прямые параллельны или совпадают. Теперь определим, не являются ли они совпадающими.

Для этого возьмём произвольную точку $М$ с координатами (1;2;-1), принадлежащую прямой $g$, и подставим её координаты в уравнения для второй прямой.

В первом уравнении получается, что 1=0, равенство не выполняется. Это значит, что точка $М$ не принадлежит прямой $m$ и, следовательно, прямые не совпадают.

Аксиома о параллельных прямых, формулировка

При изучении свойств простых геометрических фигур, математики пользовались рядом теорем, доказанных ранее. Но некоторые утверждения в геометрии принимаются за исходные положения, на основании которых далее и доказываются теоремы. Такие исходные положения принято называть аксиомами. Вопрос о данной аксиоме или, как ее еще называют, пятом постулате Евклида, математики предпринимали попытки решить еще с давнего времени. Они хотели доказать данный постулат, т.е. вывести его из других утверждений. Но все их попытки потерпели неудачу. Лишь в прошлом веке математики окончательно выяснили, что данное утверждение не может быть доказано с помощью других аксиом, а само является ею. Русский математик Лобачевский Н. И. внес огромный вклад в решение этого вопроса. Итак, аксиому параллельных прямых можно сформулировать следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Через точку, не лежащую на данной прямой, может быть проведена только одна прямая, параллельная данной.

Для примера можно рассмотреть прямую а (проведенную произвольно) и не лежащую на ней точку (т.) М:

Проведем через т.М две прямые: сначала с перпендикулярно к а, а затем b перпендикулярно к с (Рис.2). Из того, что а и b перпендикулярны к c следует, что a || b.

Теперь зададимся вопросом: можно ли через т.М провести другую прямую, которая так же будет || a? Если прямую b попробовать «повернуть» даже на незначительный угол вокруг т.М, то в бесконечности она пересечет a (рис.3).

То есть через т.М нельзя провести прямую, которая отличалась бы от b, и при этом не пересекающую a.

Утверждения, которые вытекают непосредственно из аксиом, называются следствиями:

1. Если прямая пересечет хотя бы одну из двух параллельных прямых, то она пересечет и другую.
2. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Аксиома параллельности

Проведем на плоскости прямую $a$ и отметим точку $F$, которая не лежит на прямой $a$. Согласно аксиоме параллельности, через $F$ может проходить только одна прямая, параллельная прямой $a$

Обратите внимание на линию $B$ на диаграмме

В самом деле, если через точку $ F $ провести другую прямую, прямую $ b_1 $, то она не будет совпадать с прямой $ b $. Если продолжить линию, то точки $ a $ и $ b_1 $ пересекутся.

Заключение на строке $ b_1 $ формально не считается доказательством. Несмотря на сложность формулировки, предложение об уникальности параллельных линий воспринимается как само собой разумеющееся.

Аксиома параллельных прямых

Аксиома о параллельных прямых является одним из фундаментальных положений геометрии. Через точку можно провести прямую, параллельную определенной точке, и только через одну из них. Это наиболее распространенная формулировка аксиомы.

Аксиома имеет два следствия.

• Если прямая параллельна одной из двух параллельных прямых, то она параллельна и второй.
• Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечет и вторую.

Обратите внимание, что аксиома применима только к уровням. В пространстве изменение может происходить, когда линия параллельна плоскости

В этом случае существует бесконечное множество параллельных прямых, проходящих через одну точку. Поэтому условие не всегда выполняется в этот период.

Расстояние между параллельными прямыми в любой данной точке одинаково и равно величине отрезка, перпендикулярного каждой прямой.

Определение параллельности прямых

Родоначальниками геометрии как науки принято считать древних греков. В свое время, они переняли у египтян принцип измерения объемов тел и землемерия и превратили эти знания в научную дисциплину. На основании полученных знаний они сумели перейти к составлению общих закономерностей и описали их в доказательных трудах. Наиболее известный пример таких трудов — «Начала», написанные древнегреческим ученым Евклидом (III век до н. э.).

Примечание 1

Первые доказательства геометрических задач были описаны в работах древнегреческого философа и математика Фалеса. Сегодня геометрия греков называется элементарной или «евклидовой», в такой геометрии параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В геометрии их принято обозначать символом ||.

Свойства и признаки параллельных прямых

Существует несколько точек, по которым можно определить, параллельна ли одна прямая другой. К счастью, нет необходимости запоминать много информации, поскольку свойства линии и широтной линии тесно связаны.

Давайте начнем со свойств. Для этого проведите третью линию, пересекающую параллельную линию. Это называется вторичной линией. Следовательно, существует восемь углов.

Если вторичная прямая проходит через две параллельные прямые, то

• два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

Если вторичная образующая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она также перпендикулярна и другой.

Указанное свойство одновременно является точкой, из которой можно вывести параллельность прямых. И пока выявлен и доказан только один признак, с ним могут быть связаны другие признаки.

Давайте теперь посмотрим, как все эти свойства помогают решить задачу, и потренируемся в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Линии MN и KP пересекают две другие линии и образуют разные углы. Известно, что ∠1 = 73°, ∠3 = 92° и ∠2 = 73°. Необходимо найти значение ∠4.

В данном случае ∠3 и ∠MPK перпендикулярны, поэтому ∠MPK=∠3=92°.

Поскольку ∠1 и ∠2 соответственно, их равенство указывает на то, что они являются МНИИКП.

Согласно другому свойству параллельных прямых, ∠4+∠MPK=180°.

Задача 2

Две параллельные прямые α и β находятся на расстоянии 27 см друг от друга. Квадратик этих линий образует с одной из них угол 150°. Найдите значение отрезка между a и b.

II b, поэтому ∠MKD+∠KDN=180°.

Therefore, ∠MKD=180°-∠KDN=180°-150°=30°.

Далее рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что DM — это расстояние между a и b, поэтому DM┴b и треугольник — прямой угол.

Катетер с другой стороны угла 30° составляет 1/2 косой стороны, поэтому DM =1/2DK.

Фигуры с параллельными прямыми

Существует множество фигур, которые можно сформировать с помощью параллельных прямых. Например, прямоугольник состоит из двух пар параллельных отрезков.

Квадраты и прямоугольники также состоят из пар параллельных линий, но являются частным случаем прямоугольников.

В треугольнике средняя линия всегда параллельна основанию.

Рисунок 2: Средняя линия треугольника.

Есть еще одна интересная форма: трапеция. В столе большое и малое основания параллельны друг другу, а боковые стороны — нет.

Рис. 3. Трапеция.

Если прямые не параллельны, то они пересекаются, но если отрезки не параллельны, то они не пересекаются. Поскольку значения длины отрезков конечны, отрезки отделяются только друг от друга. Тем не менее, отдельных типов или таблиц параллельных линий не существует, и их появление маловероятно.

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определения того, какие прямые являются параллельными в соответствии с геометрией Евклида. Мы не упоминаем Эвклида без причины. Это связано с тем, что первое упоминание о параллелизме дошло до нас в его трудах, написанных за 300 лет до Рождества Христова.

Линия, даже если ее продолжить в бесконечность, параллельна, так как не имеет пересечения. Это показано следующим образом: a ii b.

Все кажется простым, но со времен Евклида лучшие умы спорили об определении параллельных прямых и свойствах параллельности прямых. Пятый кабинет древнегреческих математиков был особенно интересен. Через точку могут проходить только прямые, параллельные первой прямой. В 19 веке русский математик Н. Лобачевский опроверг это положение и показал условия, при которых из одной точки могут проходить как минимум две параллельные прямые.

Однако, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеприведенное утверждение принимается как аксиома.

На плоскости простая прямая не принадлежит прямой и может проходить через любую точку, параллельную прямой.

Онлайн-уроки математики Skysmart помогут вам улучшить свои оценки и подготовиться к экзаменам, IEP и тестам.

Основные аксиомы геометрии

Конечно, родоначальником геометрических основ был Евклид. Он первым сформулировал основные аксиомы геометрии как науки об элементах и дал фундаментальные определения, которые, хотя и частично измененные, сохранились до наших дней. Таково, например, древнее определение параллельных прямых.

Для удобства запоминания принято разделять основные аксиомы на следующие пять групп

• принадлежности;
• расположения;
• откладывания;
• измерения;
• аксиома параллельности .

Некоторые полезные мнемоники

Из первой буквы аксиомы можно построить слово PIROP. Пемза — это небольшой камень, похожий по цвету на гранат. В качестве акронима это может быть ‘π-аффилиация’, ‘θ-измерение’, ‘π-аранжировка’, ‘ο-дефференциация’ или ‘π-параллельная обработка’.

Параллелизм занимает последнее место, потому что это единственная группа, которая содержит только одну аксиому. Поэтому, помимо запоминания групп аксиом, вы пополняете свой словарный запас интересными словами о минералах.

Многие из них интуитивны и поэтому не «обрамлены», но косвенно упоминаются на уроках геометрии.

Например, при изучении точек и линий мы упоминали, что точка может принадлежать или не принадлежать линии. Действительно, это одна из аксиом принадлежности. «Чем бы ни была линия, есть точки, которые ей принадлежат, и точки, которые ей не принадлежат».

Какие прямые в пространстве называются параллельными

Прямые в пространстве могут:

• пересекаться;
• скрещиваться;
• быть параллельными.

Дадим определение параллельным прямым.

Параллельные прямые b и d обозначают как b||d.

В стереометрии прямая в пространстве задается в виде уравнения типа:

Тогда условие параллельности прямых, заданных уравнениями: две прямые являются параллельными, если коэффициенты при соответствующих переменных в их уравнениях пропорциональны:  .

Множество прямых, которые параллельны одной и той же прямой, называют пучком параллельных прямых.

Рассмотрим основные свойства параллельных прямых.

Если две линии параллельны друг другу, то расстояние между ними всегда будет одинаковым.

Через две параллельные линии можно провести плоскость, и такая плоскость будет единственной. Для доказательства используем утверждение, что три любые точки однозначно задают плоскость при условии, что точки не принадлежат одной прямой. Тогда можно выбрать две точки на одной прямой и одну на второй и построить по ним плоскость.

Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то вторая также будет пересекать заданную плоскость. Это утверждение называют леммой о параллельных прямых. Докажем лемму. Пусть имеются две прямых b||d. По двум параллельным линиям можно построить плоскость, то есть заданные линии лежат в одной плоскости — α. Предположим, b пересекает другую плоскость γ в точке F. Как точка пересечения F будет принадлежать обеим плоскостям: γ и α. Откуда делаем вывод, что плоскости пересекаются по линии h, на которой находится точка F. Согласно теореме планиметрии, если одна из двух параллельных линий пересекает третью прямую, то вторая также будет ее пересекать. Значит, d пересекает h в точке N. Получили, что d имеет общую точку с прямой h и плоскостью γ, то есть пересекает последнюю. Лемма доказана.

Если каждая из двух прямых параллельна третьей, то такие прямые параллельны между собой. Пусть имеются три линии b, d, f, при этом b||f и d||f. Докажем, что b||d. Прямые b и f лежат в плоскости γ, а d и f — в плоскости β. Возьмем произвольную точку N на линии b и построим плоскость α по точке N и прямой d. Плоскости α и γ пересекутся по некоторой линии m. Плоскость β имеет общую прямую f с плоскостью γ, и m также принадлежит γ, то есть если m пересекает β, то она пересекает и f. Кроме того плоскость β пересекается с плоскостью α по прямой d, то есть если m пересекает β, то она пересекает и d. Получили, что точка пересечения m и β должна лежать на d и f, но d||f по условию. Прямая m лежит в одной плоскости с f и не пересекает ее, значит, m||f. Как известно из планиметрии, через заданную точку (N) возможно провести только одну прямую, параллельную заданной, то есть прямая m совпадет с прямой b. Прямая b лежит в одной плоскости с прямой d и не пересекает ее, b||d, что и требовалось доказать.Прямая в пространстве параллельна плоскости, если прямая не лежит в заданной плоскости и параллельна некоторой прямой в этой плоскости. Докажем это утверждение от противного. Пусть имеются две прямые b||d, при этом b и d не принадлежат одной плоскости. Прямая d лежит в плоскости α, а b пересекает плоскость α в некоторой точке M, и M не принадлежит d, так как b||d и не имеют общих точек. Получили, что две прямые b и d лежат в разных плоскостях и не пересекаются, то есть b и d должны быть скрещивающимися, что противоречит начальному условию — b||d. Следовательно, прямая b не пересекает плоскость α, то есть b||α.Следствием этого свойства можно считать утверждение: если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то вторая либо также параллельна указанной плоскости, либо принадлежит ей.

Если прямая лежит в плоскости, пересекающей вторую плоскость, и параллельна второй плоскости, то заданная прямая и линия пересечения плоскостей параллельны. Докажем это утверждение от противного. Пусть прямая b лежит в плоскости α и параллельна плоскости γ. Плоскости α и γ пересекаются по линии f. Предположим, что b не параллельна f, а пересекает ее в точке N. Тогда точка N является общей точкой для прямой b и плоскости γ, так как f принадлежит γ. Получили, что b пересекает γ в точке N, но по условию — b||γ. Следовательно, b||f.

Перечисленные свойства можно отнести к признакам, по которым доказывается параллельность двух прямых или прямой и плоскости.

Что такое параллельная прямая

Такие «теоремы», которые помогают нам заложить основы и не требуют доказательства, называются аксиомами (от греч. axioms — «утверждения»).

Зачем в геометрии нужны аксиомы?

Вспомните доказанную ранее теорему о смежных углах: «Сумма смежных углов равна $ 180^$».

Поэтому смежные углы образуются при пересечении двух прямых. Поэтому без определения прямой линии не обойтись. Другими словами, прямая линия всегда прямая, не прерывистая и нигде не изгибается. Во-вторых, необходимо понимать, что две линии могут иметь только одну точку пересечения. В-третьих, мера градуса развернутого угла состоит в том, что он представляет собой сумму мер углов, деленную на лучи.

‘Сумма смежных углов…’ для формулировки фразы «сумма смежных углов…» требовалось ввести не менее трех утверждений на бездоказательной основе. В общем, каждая теорема разбивается на более мелкие «части», которые не нужно доказывать.

Две группы свойств параллельных прямых

Существует 5 свойств параллельных прямых, но они делятся на две большие группы: Следствия из аксиомы параллельных прямых и следствия из параллельных точек прямых. Давайте начнем с первой группы.

Следствия из параллельности прямых

Следствие 1

Если одна из двух параллельных прямых параллельна третьей, то другая прямая также параллельна ей.

Это кажется логичным и не требует доказательств. Но в геометрии число утверждений, не требующих доказательства, чрезвычайно мало, и каждое из них называется аксиомой.

Аксиомы восходят к истокам геометрии и с тех пор практически не изменились. Большинство современных теорем вытекают из аксиом Древней Греции. Эти утверждения — единственные в математике, которые не нуждаются в доказательстве.

Начертите две параллельные прямые a и b. Прямая c параллельна прямой a. Предположим, что c не параллельна прямой b. Поэтому через точку K проходят две прямые c и b. Каждая из этих прямых должна быть параллельна прямой a.

То есть две прямые, параллельные данной прямой, проходят через одну и ту же точку плоскости. Это невозможно, так как противоречит аксиоме о параллельных прямых. Следовательно, первоначальное предположение было неверным, и c и b параллельны.

Рисунок 1. Иллюстрация последовательности.

Следствие 2

Вывод 2 очень важен, потому что он говорит нам о вторичности двух параллельных прямых. Свойство гласит, что прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую прямую.

Доказательство можно провести и в обратном направлении. Введем две прямые: a и b. Предположим, что прямая c пересекает a, но не пересекает b. Тогда c и b параллельны. Следовательно, c пересекает a; эти две прямые имеют общую точку K.

Тогда прямые a и c проходят через точку K, но обе параллельны b. Следовательно, две прямые, параллельные прямой b, проходят через одну и ту же точку, что невозможно согласно аксиоме о параллельных прямых. Значит, первоначальная гипотеза была неверной, и линия c пересекает каждую из линий a и b, что и требовалось доказать.

Рисунок 2. Номер для доказательства.

Следствия из признаков параллельности

Эту группу легче всего запомнить. Существует 3 свойства параллельных прямых, и каждое из них имеет свои последствия.

• Прямые параллельны, если накрест лежащие углы при секущей равны. Следствие вполне логично: Накрест лежащие углы при двух параллельных прямых и секущей равны.
• Прямые параллельны, если соответственные углы равны. Следствие: соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны.
• Прямые параллельны, если сумма односторонних углов равна 180. Следствие: сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равны 180

Рисунок 3. Иллюстрация доказательства.

Доказательство параллельности прямых

Ниже представлено доказательство теоремы из первого раздела статьи.

1. Есть a (прямая) и М (точка, далее — т.). Она не принадлежит a. Через них проходит плоскость альфа (\(\alpha\)). Известно, она единственная.Прямая b проходит через т.М и \(\vert\vert\;\) а. Она существует, что доказывает аксиома о \(\;\vert\vert.\)
2. Предположим, что существует прямая с, которая тоже проходит через т.М, причем c \(\vert\vert\) a. В этом случае потребуется другая плоскость \(\beta\), такая, чтобы прошла через т.М. Такое невозможно, потому что есть теорема, которая говорит, что плоскость только одна. Значит это одна и та же плоскость (\(\alpha\) совпала с \(\beta\)) и одна и та же прямая (b совпал с c). Единственность прямой доказана.

Теорема доказана.

Доказательство параллельности прямых

Ниже приводится доказательство теоремы из первой части работы.

1. Есть a (прямая) и М (точка, далее — т.). Она не принадлежит a. Через них проходит плоскость альфа ( \(\alpha\) ). Известно, она единственная.Прямая b проходит через т.М и \(\vert\vert\;\) а. Она существует, что доказывает аксиома о \(\;\vert\vert.\)
2. Предположим, что существует прямая с, которая тоже проходит через т.М, причем c \(\vert\vert\) a. В этом случае потребуется другая плоскость \(\beta\), такая, чтобы прошла через т.М. Такое невозможно, потому что есть теорема, которая говорит, что плоскость только одна. Значит это одна и та же плоскость ( \(\alpha\) совпала с \(\beta\) ) и одна и та же прямая (b совпал с c). Единственность прямой доказана.

В геометрии Лобачевского

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зеленые прямые параллельны синей прямой, а фиолетовая прямая гиперпараллельна ей.

Уравнение нельзя анализировать в геометрии Лобачевского на уровне через определенную точку (лексическая ошибка): c¹> За пределами линии AB

Линия CE называется эквидистантной (параллельной) линии A B в направлении от A к B.

1. точки B и E лежат по одну сторону от прямой A C ;
2. прямая C E не пересекает прямую A B , но всякий луч, проходящий внутри угла A C E , пересекает луч A B .

Линии AB — B также определяются как равноудаленные от AB в направлении от B к A.

Все остальные прямые, которые не пересекаются с данной прямой, называются гиперпараллельными или расходящимися.

См. также

Фонд Викимедиа. 2010.

Смотреть что такое «Параллельные прямые» в других словарях:

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ряды — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ряды, непересекающиеся линии на одном уровне… Современная энциклопедия.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ряды — пересекающиеся линии на одном уровне… Большой энциклопедический словарь

Параллельные линии — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СТРОКИ, непересекающиеся линии, которые находятся на одном уровне. …. Иллюстрированный энциклопедический словарь

Параллельные прямые — в евклидовой геометрии прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. В абсолютной геометрии (см. абсолютная геометрия), из точки, не лежащей на данной прямой, проходящей хотя бы через одну прямую, не пересекающую данную прямую. В: ……. Советская энциклопедия.

Параллельные прямые — это непересекающиеся прямые на одной плоскости. * * * * ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ, линия, не пересекающаяся на плоскости … Энциклопедический словарь.

ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ — в евклидовой геометрии все линии лежат в одной плоскости и не пересекаются. В абсолютной геометрии существует по крайней мере одна линия, которая не пересекает данную линию. В евклидовой геометрии существует только один. …… Энциклопедия математики.

Параллельные прямые — прямые, которые пересекаются и не лежат в одной плоскости. Энциклопедический словарь.

Параллельные миры в научной фантастике — Эта статья может содержать оригинальное исследование. Добавьте ссылку на источник. В противном случае она может быть удалена. Дополнительную информацию можно найти на странице обсуждения. Это… Википедия.

Параллельные миры — Параллельный мир (воображаемый) — это реальность, которая существует в какой-то форме в то же время, независимо от нас. Размер этой автономной реальности может варьироваться от небольшой географической области до всей Вселенной. В то же время… Википедия.

Если ни параллельные прямые, ни их продолжения не пересекаются, прямая называется P. Одна ветвь этих линий равноудалена от другой. Однако говорят, что две прямые P пересекаются в бесконечности. Это… Энциклопедия Брокгауза и Ефрона.

Признак параллельности двух прямых в пространстве

Теорема 1

Две прямые параллельны друг дружке в объёмном мире, если они ортогональны по отношению к одной и той же плоскости.

Теорема 2

Через точку в евклидовом пространстве, не возлежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, причём вариант для проведения такой линии возможен только один.

Пример 1

Докажем данную теорему.

Для этого через прямую $a$ и не возлежащую на ней точку $M$ проведём плоскость, причём она однозначно определяется нашей прямой линией $a$ и точкой $M$ и, соответственно, довольно однозначно определена.

Рисунок 1. Как доказать параллельность прямых в пространстве

А теперь, для того чтобы доказать теорему, воспользуемся евклидовой аксиомой из планиметрии о параллельных прямых, на всякий случай мы разместим её ниже после доказательственного рассуждения.

Таким образом, через точку $M$ возможно проложить только одну прямую линию, параллельную прямой $a$ и существование такой прямой доказано (назовём новую прямую линию буквой $b$).

Определение 2

Через любую точку на плоскости, не возлежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую.