Основные сведения об окружности в геометрии

Содержание

• 1 Треугольники
  • 1.1 Строение линейки и циркуля
  • 1.2 Альтернативное построение
  • 1.3 Уравнения окружности
    • 1.3.1 Декартовы координаты
    • 1.3.2 Параметрическое уравнение
    • 1.3. 3 Трилинейные и барицентрические координаты
    • 1.3.4 Более высокие измерения
  • 1.4 Координаты окружности центра
    • 1.4.1 Декартовы координаты
    • 1.4.2 Трилинейные координаты
    • 1.4.3 Барицентрические координаты
    • 1.4.4 Окружность центра вектор
    • 1.4.5 Декартовы координаты из перекрестных и скалярных произведений
    • 1.4.6 Местоположение относительно треугольника
  • 1.5 Углы
  • 1.6 Центры треугольника на описанной окружности треугольника ABC
  • 1.7 Другие свойства
• 2 циклических четырехугольника
• 3 циклических n-угольника
  • 3.1 Точка на описанной окружности
  • 3.2 Константа, описывающая многоугольник
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки
  • 6.1 MathWorld
  • 6.2 Интерактивные

Зависимость между углами, дугами и хордами

Теорема 57. В двух равных кругах равным углам при центре соответствуют равные дуги.

Дано. Две окружности описаны (черт. 88) одними и теми же радиусами и углы при центре равны:

∠AOB = ∠A’O’B’.

Требуется доказать, что ◡AB = ◡A’B’.

Доказательство. Наложим круг O’ на круг O так, чтобы центр O’ совпал с центром O и сторона OA со стороною O’A’. Точка A’ по равенству радиусов совпадает с точкой A. По равенству углов A’O’B’ и AOB отрезок O’B’ пойдет по отрезку OB и по равенству радиусов точка B’ упадет в точку B. Две крайние точки дуги A’B’ совпадут с двумя крайними точками дуги AB, следовательно, и все промежуточные точки дуги A’B’ совпадут с промежуточными точками дуги AB, так как окружность O’ совпадает с окружностью O, ибо они описаны равными радиусами.

Теорема 58 (обратная 57). Равным дугам соответствуют равные углы.

Дано. Дуги AB и A’B’ равны (◡AB = ◡A’B’) (черт. 88).

Требуется доказать, что ∠AOB = ∠A’O’B’.

Доказательство. Наложим сектор A’O’B’ на сектор AOB так, чтобы отрезок O’A’ совпал с отрезком OA. Дуга A’B’ упадет на дугу AB и B’ упадет в B. Отрезок B’O’ совпадет с отрезком BO и угол AOB совпадет с углом A’O’B’, следовательно,

∠AOB = ∠A’O’B’ (ЧТД).

Теорема 59. Диаметр больше всякой хорды.

Даны диаметр CD и хорда MN (черт. 87).

Требуется доказать, что CD > MN.

Доказательство. Проведем радиусы MO и NO. Ломаная линия MON больше прямой MN

MON > MN или MO + ON > MN

Так как MO = CO, NO = OD, то заменяя MO и NO равными им величинами, получим неравенства:

CO + OD > MN или CD > MN (ЧТД).

Теорема 60. Равные хорды стягивают равные дуги.

Даны равные хорды AB и CD (черт. 89) (AB = CD).

Требуется доказать, что ◡AB = ◡CD.

Доказательство. Соединив точки A, B, C, D с центром, имеем

∆AOB = ∆COD, ибо

OA = OC и OB = OD как радиусы, AB = CD по условию.

Следовательно, ∠AOB = ∠COD, откуда ◡AB = ◡CD (ЧТД).

Теорема 61 (обратная 60). Равные дуги стягиваются равными хордами.

Дано. Дуги AB и CD равны (черт. 89) (◡AB = ◡CD).

Требуется доказать, что AB = CD.

Доказательство. Два треугольника AOB и COD равны, ибо OA = OC и OB = OD как радиусы, ∠AOB = ∠COD ибо по условию дуги AB и CD равны, а потому и углы равны (теорема 58). Следовательно, AB = CD (ЧТД).

Теорема 62. Если дуги меньше полуокружности, то против большей дуги лежит большая хорда.

Дано. Дуга BD больше дуги AC (черт. 90) (◡BD > ◡AC).

Требуется доказать, что BD > AC.

Доказательство. Соединим точки A, C, B, D с центром O. В двух треугольниках AOC и BOD OA = OB и OC = OD как радиусы, BOD > AOC. Следовательно, BD > AC (теорема 23) (ЧТД).

Теорема 63 (обратная 62). Против большей хорды лежит большая дуга.

Дано. Хорда BD больше хорды AC (черт. 90) (BD > AC).

Требуется доказать, что ◡BD > ◡AC.

Доказательство. В двух треугольниках AOC и BOD OA = OB и OC = OD как радиусы, BD > AC по условию. Поэтому ∠BOD > ∠AOC (теорема 24). Следовательно, ◡BD > ◡AC (ЧТД).

Определения и свойства окружности

Введем несколько определений, связанных с темой окружности. Данные термины можно встретить на уроках в седьмом классе и других курсах по алгебре и геометрии.

1 Примечание 1

В распространенных случаях возникает путаница в понятиях окружности и круга. Заметим, что кругом может называться множество точек на плоскости, которые при построении ограничены окружностью, то есть данные точки расположены во внутренней области окружности.

Окружность обладает рядом свойств:

1. Если три точки на плоскости не принадлежат общей прямой, то через них допустимо построить единственную окружность.
2. Точка (С), в которой касаются две окружности, расположена на общей с центрами этих окружностей прямой (АВ).
3. Изопериметрическое неравенство: из всех замкнутых кривых на графике, имеющих одинаковую длину, окружность ограничивает область с максимальной площадью.

При решении самостоятельных работ и задач на некоторые окружности пригодятся следующие формулы, чтобы находить ключевые параметры:

Диаметр окружности можно высчитать таким образом:

Длина окружности в теории:

Радиус окружности можно узнать с помощью формулы:

Основные отличия круга от круга

определения

обхват: круг — это замкнутая кривая, так что все точки кривой находятся на фиксированном расстоянии «r», называемом радиусом, от фиксированной точки «C», называемой центром круга.

круг: это область плоскости, которая ограничена окружностью, то есть все они являются точками внутри круга.

Можно также сказать, что круг — это все точки, которые меньше или равны «r» от точки «C».

Здесь вы можете заметить первое различие между этими понятиями, поскольку окружность — это только замкнутая кривая, а окружность — это область плоскости, окруженная окружностью..

Декартовы уравнения

Декартово уравнение, представляющее окружность: (x-x0) ² + (y-y0) ² = r², где «x0» и «y0» — это декартовы координаты центра круга, а «r» — радиус.

С другой стороны, декартово уравнение окружности имеет вид (x-x0) ² + (y-y0) ² ≤ r² или (x-x0) ² + (y-y0) ²

Разница между уравнениями заключается в том, что по окружности это всегда равенство, а по кругу это неравенство.

Одним из следствий этого является то, что центр круга не принадлежит окружности, в то время как центр круга всегда принадлежит кругу.

Графики в декартовой плоскости

Из-за определений, упомянутых в пункте 1, вы можете видеть, что графики круга и круга:

На изображениях вы можете увидеть разницу, которая была упомянута в пункте 1. Кроме того, проводится различие между двумя возможными декартовыми уравнениями круга. Когда неравенство строгое, край круга не включается в график.

размеры

Другое отличие, которое можно отметить, касается размеров этих двух объектов..

Поскольку окружность — это просто кривая, это одномерная фигура, поэтому она имеет только длину. Круг с другой стороны — это двумерная фигура, поэтому он имеет длинную и широкую поверхность, поэтому у него есть связанная область..

Длина круга радиуса «r» равна 2π * r, а площадь круга радиуса «r» равна π * r².

Трехмерные фигуры, которые генерируют

Если вы рассматриваете график круга, и он вращается вокруг линии, проходящей через его центр, вы получите трехмерный объект, который является сферой..

Следует отметить, что эта сфера полая, то есть это только край. Примером сферы является футбольный мяч, потому что внутри него есть только воздух.

С другой стороны, если ту же самую процедуру выполнить с кружком, будет получена сфера, но она заполнена, то есть сфера не является полой.

Примером этой заполненной сферы может быть бейсбол.

Следовательно, создаваемые трехмерные объекты зависят от того, используется ли окружность или круг.

ссылки

1. Басто, Дж. Р. (2014). Математика 3: Основная аналитическая геометрия. Патрия Редакционная группа.
2. Биллштейн Р., Либескинд С. и Лотт Дж. У. (2013). Математика: проблемный подход для учителей базового образования. Лопес Матеос Эдиторес.
3. Bult, B. & Hobbs, D. (2001). Математическая лексика (иллюстрированный ред.). (Ф. П. Кадена, Трад.) Издания АКАЛ.
4. Каллехо И., Агилера М., Мартинес Л. и Алдеа С. (1986). Математика Геометрия. Реформа верхнего цикла Э.Г.. Министерство образования.
5. Schneider, W. & Sappert, D. (1990). Практическое техническое руководство по рисованию: введение в основы промышленного технического рисования. Реверте.
6. Томас, Г. Б. и Вейр, М. Д. (2006). Расчет: несколько переменных. Пирсон Образование.

Углы в окружности

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. При этом угол опирается на дугу окружности. 

На рисунке угол АОВ будет центральным. 

Свойство центрального угла: 

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. 

Например, дуга АВ равна 36\(\circ\), тогда угол АОВ также равен 36\(\circ\). 

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол также должен опираться на дугу окружности. 

На рисунке угол АСВ – вписанный. 

Свойства вписанного угла окружности:

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. 

Например, дуга АВ равна 50\(\circ\), тогда угол АСВ равен 25\(\circ\).  

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 

Пусть углы АСВ, АЕВ и АКВ опираются на душу АВ. Тогда эти углы будут равны между собой. 

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90\(\circ\). 

Вспомним, что диаметр делит окружность на две полуокружности, градусные меры которых равны 180\(\circ\). Тогда вписанный угол будет равняться 180\(\circ\) : 2 = 90\(\circ\). 

Также важно заметить, что вписанный угол равен половине центрального угла. При этом данные углы обязательно должны опираться на одну дугу. 

Это легко доказать, если вспомнить, что:

• центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается, 
• вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. 

Следовательно, \(∠ACB = \frac{1}{2}∠AOB\).

Свойства окружности

1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью
   одну общую точку (); иметь с ней
   две общие точки (секущая).
2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность,
   и притом только одну.
3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены
и , то квадрат длины касательной равен произведению
секущей на ее внешнюю часть: MC2 = MA•MB.

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две ,
то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой
секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Определение окружности

Определение 1

Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на равном расстоянии от заданной точки.

Определение 2

В рамках определения 1, заданная точка называется центром окружности.

Определение 3

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой называется радиусом окружности $(r)$ (Рис. 1).

Рисунок 1. Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$

Определение 4

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности, называется хордой.

Статья: Окружность

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Определение 5

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром $(d)$.

\

Круг

Окружность — это фигура, которая представляет собой замкнутую кривую линию, состоящую из всех точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

Форма круга является симметричной и имеет бесконечное количество осей симметрии.

Радиус круга представляет собой расстояние от мидпоинта окружности до ее центра.

Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две противоположные точки на окружности, проходящий через ее центр.

Площадь круга — это количество площади, занимаемое кругом на плоскости. Она вычисляется по формуле: S = πr², где π — постоянное число, равное приблизительно 3.14159, r — радиус круга.

Круг является одной из основных фигур в геометрии и имеет множество применений в различных областях науки и практической деятельности.

Определение и свойства

У окружности есть несколько важных характеристик. Радиус — это расстояние от центра окружности до любой её точки. Окружность также имеет диаметр — это отрезок, соединяющий две противоположные точки на окружности, проходящие через её центр. Диаметр равен удвоенному значению радиуса.

Площадь круга — это количество плоскости, которое содержится внутри его границы. Она вычисляется по формуле:

S = π * r^2.

где S — площадь круга, π (пи) — математическая константа, примерное значение которой равно 3,14, r — радиус круга.

Формула круга

Для определения площади круга используется формула:

1. Найдите диаметр круга, который представляет собой отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр.
2. Разделите диаметр пополам, чтобы найти радиус, который является расстоянием от центра до любой точки на окружности.
3. Возведите радиус в квадрат.
4. Умножьте полученное значение на число Пи (π), которое приближенно равно 3,14159.
5. Полученное произведение и будет площадью круга.

Формула площади круга:

S = π * r2

Где:

• S — площадь круга;
• π (Пи) — математическая константа, приближенно равная 3,14159;
• r — радиус окружности.

Используя формулу площади круга, можно вычислить его территорию, то есть площадь, занимаемую кругом.

Примеры использования

Окружность — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки. Диаметр окружности — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр. По своей форме окружность представляет собой замкнутую кривую с одной границей.

Круг — это геометрическая фигура, образованная всеми точками плоскости, которые находятся на определенном расстоянии от заданной точки, и сама эта точка — центр круга. Также круг определяется его радиусом, который является расстоянием от центра до любой точки на окружности. Круг представляет собой фигуру, ограниченную окружностью. Территория, заключенная внутри круга, называется площадью круга.

Примеры использования окружности и круга можно найти во многих областях жизни. Например, в архитектуре использование окружностей и кругов позволяет создавать красивые и эстетически приятные формы зданий и сооружений. В инженерии они применяются для создания колес и шестерен, а также для моделирования движений и процессов. В географии и картографии окружности используются для построения меридианов и параллелей на географических картах.

Понимание различий и применение окружностей и кругов помогает визуализировать и анализировать различные формы и границы, а также решать различные задачи в области геометрии и других наук.

Вписанная окружность

Окружность называетсявписанной в многоугольник, если она касается его сторон. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис углов многоугольника.

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

Площадь многоугольника, в который вписана окружность можно найти по формуле

,

здесь — полупериметр многоугольника, — радиус вписанной окружности.

Отсюда радиус вписанной окружности равен

Если в выпуклый четырехугольник вписана окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Обратно: если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в четырехугольник можно вписать окружность:

В любой треугольник можно вписать окружность, притом только одну. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.

Радиус вписанной окружности равен
. Здесь

Циклические n-угольники

Для циклического многоугольника с нечетным числом сторон все углы равны тогда и только тогда, когда многоугольник правильный. У циклического многоугольника с четным числом сторон все углы равны тогда и только тогда, когда альтернативные стороны равны (то есть стороны 1, 3, 5,… равны, а стороны 2, 4, 6,… равны).

Циклический пятиугольник с рациональными сторонами и площадью известен как пятиугольник Роббинса ; во всех известных случаях его диагонали также имеют рациональную длину.

В любом циклическом n-угольнике с четным n сумма одного набора альтернативных углов (первого, третьего, пятого и т. д.) равна сумме другого набора альтернативных углов. Это может быть доказано индукцией из случая n = 4, в каждом случае заменяя сторону еще тремя сторонами и отмечая, что эти три новые стороны вместе со старой стороной образуют четырехугольник, который сам обладает этим свойством; Альтернативные углы последнего четырехугольника представляют собой прибавления к альтернативным суммам углов предыдущего n-угольника.

Пусть один n-угольник вписан в круг, а другой n-угольник будет касательным к этой окружности в вершинах первого n-угольника. Тогда из любой точки P на окружности произведение перпендикулярных расстояний от P до сторон первого n-угольника равно произведению перпендикулярных расстояний от P до сторон второго n-угольника.

Точка на описанной окружности

Пусть циклический n-угольник имеет вершины A 1,…, A n на единичной окружности. Тогда для любой точки M на вспомогательной дуге A 1Anрасстояния от M до вершин удовлетворяют

{MA 1 + MA 3 + ⋯ + MA n — 2 + MA n

Константа, описывающая многоугольник

Любой правильный многоугольник является циклическим. Рассмотрим единичный круг, затем опишем правильный треугольник так, чтобы каждая сторона касалась круга. Опишите круг, а затем квадрат. Опять описываем круг, затем описываем правильный 5-угольник и так далее. Радиусы описанных окружностей сходятся к так называемой константе, описывающей многоугольник

∏ n = 3 ∞ 1 cos ⁡ (π n) = 8.7000366…. {\ displaystyle \ prod _ {n = 3} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right)}} = 8.7000366 \ ldots.}

(последовательность A051762 в OEIS ). Обратной величиной этой константы является постоянная Кеплера – Боукампа.

Окружность и круг: в чем их сходство и различие

Их основными характеристиками являются радиус и центр. Окружность можно определить как множество точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Круг же представляет собой все точки в плоскости, которые имеют меньшее или равное расстояние до центра, чем заданный радиус. В отношении радиуса и центра они совпадают.

Свойства окружностей и кругов подразумевают измерение дуг, хорд и углов. Расстояние между центрами двух окружностей называется относительным расстоянием. Если оно равно разности радиусов, то одна окружность называется вписанной в другую. Также можно выделить зависимость между хордами и сторонами четырехугольника, вписанного в окружность. Другое свойство заключается в том, что любая окружность может быть описана вокруг равнобедренного треугольника.

Различие между окружностью и кругом заключается в их геометрической форме и положении. Окружность представляет собой идеальную геометрическую фигуру, представляемую точками на плоскости, равноудаленными от центра. Круг же имеет форму овала и включает в себя все точки, находящиеся внутри или на границе окружности. Его площадь можно вычислить с помощью специальной формулы.

Также различия между окружностью и кругом можно найти в построении касательной. Касательная к окружности выпускается из любой точки на границе окружности, а к кругу — только из точек, лежащих на границе окружности. Все эти различия делают окружность и круг важными инструментами в математике и позволяют решить множество вопросов, связанных с геометрией и пространственным представлением.

Определение и построение

Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.

Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника

180°(n-2),

то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.

Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.

Пошаговая инструкция будет выглядеть так:

1. чертится прямая линия и на ней ставится точка;
2. из этой точки строится окружность (она является ее центром);
3. из мест пересечения окружности с линией строятся еще две таких же, они должны сойтись в центре.
4. после этого отрезками последовательно соединяются все точки на первой окружности.

При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.

Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.

Применение круга в математике и геометрии

Круг используется во множестве различных задач и концепций. Некоторые из его применений включают:

1. Вычисления площади и длины окружности: Площадь круга вычисляется по формуле S = πr², где π (пи) — это математическая константа, равная примерно 3,14159, а r — радиус круга. Длина окружности вычисляется по формуле L = 2πr. Эти вычисления могут быть полезными для решения проблем, связанных с областями, периметрами и длинами кривых.
2. Геометрическая оптика и астрономия: Круг используется в оптике для описания линз и зеркал, а также для вычисления пути света через линзы и преломление света. В астрономии он используется для описания орбит планет и других небесных тел.
3. Статистика: Круг используется в статистике для построения круговых диаграмм и отображения данных в виде секторов, пропорциональных их относительным значениям. Это позволяет наглядно представить информацию и сравнить ее части.
4. Механика и инженерия: Круг используется для моделирования и анализа движения колес, шестеренок и других круглых механизмов. Он также применяется в анализе сил и равновесия, формулировании уравнений движения и проектировании эффективных конструкций.
5. Музыка и искусство: Круг используется в музыке для измерения углов между нотами и строительства музыкальных гамм. В искусстве он может быть использован для построения и симметрии композиций, а также для создания эффектов перспективы и глубины.

Это лишь некоторые примеры применения круга в математике и геометрии, и его использование может быть намного более обширным и разнообразным

Знание основных свойств и способов работы с кругом является важной частью математической и геометрической подготовки и помогает понять и анализировать различные аспекты окружающего мира

Описанная окружность

Возможна и ситуация, при которой не окруж-ть вписана в многоуг-к, а наоборот, многоуг-к в окруж-ть. В таком случае все его вершины будут лежать на окруж-ти.

Есть несколько важных теорем, касающихся описанных окружностей.

Для доказательства построим в произвольном ∆AВС серединные перпендикуляры. Они пересекутся в некоторой точке О:

Каждая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка, к которому этот перпендикуляр проведен. Значит, и точка О равноудалена от вершин ∆AВС:

OA = OB = OC

Но тогда из О можно провести окруж-ть, на которой будут лежать точки А, В и С. Она как раз и окажется окружностью, описанной около треугольника. Так как серединные перпендикуляры пересекаются только в одной точке, то и окруж-ть около треуг-ка можно описать лишь одну.

Из теоремы следует важный вывод:

Действительно, три точки, не лежащие на прямой, образуют на плоскости треуг-к.Окруж-ть, проведенная через его вершины, по определению и будет описанной окруж-тью.

Задание. Около равнобедренного треуг-ка с основанием длиной 6 описана окруж-ть радиусом 5. Какова длина боковых сторон этого треуг-ка?

Решение: Проведем радиусы ОА, ОВ и ОС к вершинам вписанного треуг-ка, а на основание ВС опустим перпендикуляр:

Стоит обратить внимание, что точки А, О и Н лежат на одной прямой. Это высота, проведенная к основанию

Она же, по свойству равнобедренного треуг-ка, является медианой, то есть Н – середина ВС. Тогда ОН оказывается серединным перпендикуляром.

Сначала найдем ВН, он равен половине ВС:

BH = BC:2 = 6:2 = 3

Далее изучим ∆ОНВ. Он прямоугольный, то есть для него верна теорема Пифагора:

Задание. Выведите формулу, которая связывает длину стороны равностороннего треуг-ка с радиусом описанной окружности.

Решение. Обозначим буквой a сторону треуг-ка, а буквой R – радиус описанной окруж-ти. Также проведем один серединный перпендикуляр:

Так как ∆AВС – равносторонний, то все его углы, в частности, ∠AВС, составляют 60°.

Заметим, что ∆ВОС и ∆АОВ равны по трем одинаковым сторонам, поэтому

В четырехуг-к окруж-ть удается вписать не всегда. Для этого должно соблюдаться одно условие:

Действительно, пусть около четырехуг-ка ABCD описана окруж-ть:

Тогда вся окруж-ть может быть разбита на две дуги: ⋃ВАD и ⋃ВСD. Их сумма составляет 360°:

Аналогично доказывается утверждение и для другой пары противоположных углов, ∠ADC и ∠ABC.

Обратное утверждение также справедливо:

Докажем эту теорему методом от «противного». Пусть есть четырехуг-к AВСD, у которого сумма противоположных углов составляет 180°, но вокруг него нельзя описать окруж-ть. Тогда проведем окруж-ть через любые три его вершины. Четвертая вершина (пусть это будет D) не может оказаться на окруж-ти. То есть она находится либо внутри окруж-ти, либо вне ее. Сначала рассмотрим случай, когда точка оказывается внутри окруж-ти:

Продолжим прямые AD и CD до пересечения окруж-ти в точках А’ и C’, а потом выберем произвольную точку D’ на окруж-ти между ними.

Теперь сравним ∆АСD и ∆АСD’. У обоих сумма углов одинакова и составляет 180°:

Получается, что ∠D и ∠D’ должны быть равны, но ранее мы показали, что ∠D больше. Это противоречие означает, что точка D не может быть внутри окруж-ти. Аналогичным образом рассматривается второй случай, когда D лежит вне окруж-ти:

Здесь, рассматривая ∆АСD и АСD’, можно показать, что ∠D меньше, чем ∠D’. Однако они должны быть равны друг другу, ведь в сумме с∠В должны давать 180°.             

Задание. В окруж-ть вписан четырехуг-к AВСD, причем∠А составляет 110°, а ∠В – 62°. Найдите два других угла четырехуг-ка.

Решение. 

Здесь надо просто использовать тот факт, что противоположные углы в AВСD должны давать в сумме 180°:

Задание. Докажите, что если трапеция вписана в окруж-ть, то она равнобедренная.

Решение.

Пусть в окруж-ть вписана трапеция AВСD, причем AD и ВС– ее основания. Тогда∠А и ∠В – это односторонние углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей AВ, и в сумме они дают 180°. Но так как AВСD вписана в окруж-ть, то и ее противоположные углы, ∠А и ∠С, также должны составлять в сумме 180°:

∠А + ∠B = 180°

∠А + ∠C = 180°

Естественно, эти равенства могут одновременно справедливыми только в том случае, если∠В и ∠С одинаковы. Они являются углами при основании трапеции. Если они одинаковы, то трапеция – равнобедренная (это признак равнобедренной трапеции).