Как найти площадь параллелограмма, треугольника, трапеции

Содержание

• Слайд 1

  Понятие
  площади многоугольника
  Автор : Полушкина Наталья Владимировна,
  учитель математики
  МБОУ «Плехановская СОШ»
  Кунгурского района Пермского края
  2014 г

• Слайд 2

  Четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
  Четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны.
  Параллелограмм, у которого все углы прямые.
  Точка, из которой выходят стороны четырехугольников.
  Сумма длин всех сторон.
  Отрезок, соединяющий противоположные вершины четырехугольника.
  Прямоугольник, у которого все стороны равны.
  Параллелограмм, у которого все стороны равны.
  Отрезок, соединяющий соседние вершины.

• Слайд 3

  Людям часто приходилось делить землю по берегам Нила на участки. Подсчитывать площадь трудно, берега извилисты, границы участка неровные. И люди постепенно научились измерять такие площади, разбивая их на прямоугольные и треугольные участки (17век до н. э.)
  Происхождение науки геометрии.
  Для чего нужно было измерять площади?

• Слайд 4

  Обычно площадь обозначается буквой S.

• Слайд 5

  выбрать единицу площади, т.е. указать единичный квадрат, т.е. квадрат, сторона которого служит единицей длины.

• Слайд 6

  Площадь каждого многоугольника показывает сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.

• Слайд 7

  1 мм2
  1 см2
  1 дм2
  1 м2
  1 км2
  1 а
  1 га
  100 мм2
  100 см2 = 10000 мм2
  100 дм2 = 10000 см2
  1000000 м2
  100 м2
  100 а = 10000 м2

• Слайд 8

  В 11 – 13 веках употреблялась мера «плуг» — это мера земли , с
  которой платили дань. Есть основание считать , что «плуг» —
  8 – 9 гектаров.
  В 16 – 18 веках мерою полей служит «десятина»( равная 1,1 га)
  и «четверть»( равная половине десятины- поле, на котором высевали
  четверть хлеба). Десятина, которая в быту местами имела и другие
  размеры, делилась на 2 «четверти», четверть, в свою очередь, на
  2 «осьмины», осьмина – на 2 «полуосьмины» ит.д.
  Налоговой единицей земли была «соха», в Новгороде «обжа», которая имела различные размеры, в зависимости от качества земли социального положения владельца.
  Позже землю измеряли «акрами» (4047 м2)

• Слайд 9

  Свойства площадей

  Равные фигуры
  имеют равные площади.
  F
  М
  Если F = М, то SF = SM

  F

• Слайд 10

  Многоугольники, имеющие равные площади, называются равновеликими.

• Слайд 11

  Свойства площадей

  Если фигура составлена из нескольких фигур,
  то её площадь равна сумме площадей этих фигур.

  А

  М

  SACME = SABE + SBCKE + SEKM

  Е

  В
  С

  K

• Слайд 12

  a

  A
  B
  C
  D
  Площадь квадрата равна
  квадрату его стороны.
  SABCD = a2

• Слайд 13

• Слайд 14

  Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

• Слайд 15

  Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

• Слайд 16

  S = B + 0,5 Г – 1,
  S – площадь многоугольника;
  Г – количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника,
  В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника
  Г=8, В=7,
  S=7+4 -1 = 10

• Слайд 17

  Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

• Слайд 18

  Начертить:
  а) квадрат, площадь которого выражена числом 4;
  б) прямоугольник, площадь которого выражена числом 4;
  в) треугольник, площадь которого выражена числом 2.

• Слайд 19

  В
  А
  С
  Е
  D
  F
  2
  3
  3
  2

• Слайд 20

  Закончить предложение: квадрат это . . .
  Найти периметр квадрата со стороной 6 см.
  Найти площадь квадрата со стороной 4 м.
  Сравнить площади заштрихованных и незаштрихованных частей квадрата, изображенных на рисунке (учесть, что точки M, N – середины сторон)
   
   
   
  Диагональ квадрата делит его на две фигуры. Эти фигуры являются:
  равными треугольниками
  равными квадратами
  равновеликими треугольниками
  произвольными треугольниками

• Слайд 21

  Домашнее задание

  П.48-49, вопросы 1-2, задачи №448, 449(б), 450(б)
  Найдите площадь сложной плоской фигуры, изображенной на рисунке, если длина стороны каждой его клетки равна 1 см

• Слайд 22

  Желаю успехов в учёбе!
  « Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит»
  М. В. Ломоносов

Посмотреть все слайды

Виды многоугольников[]

Многоугольник, вписанный в окружность

Многоугольник, описанный около окружности

• Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:
  1. Он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);
  2. Он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей;
  3. Каждая диагональ лежит внутри многоугольника;
  4. Любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Если некоторые внутренние углы равны 180°, а остальные меньше, то многоугольник называется слабовыпуклым.

• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.
• Не выпуклый многоугольник у которого равны все стороны и все углы, а вершины совпадают с вершинами некоторого правильного многоугольника называется звёздчатым. Такой многоугольник имеет самопересечения, например, пентаграмма и гексаграмма.

Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Шаг 3: Вычислите площадь многоугольника

Для вычисления площади многоугольника методом Гаусса, вам понадобится знать координаты всех его вершин. Затем вы можете использовать следующие шаги:

1. Разделите многоугольник на треугольники. Выберите одну из его вершин и соедините ее отрезками с каждой из оставшихся вершин. Таким образом, вы разобьете многоугольник на несколько треугольников.
2. Вычислите площадь каждого треугольника. Для этого вы можете использовать формулу Герона, которая основана на длинах его сторон. Примените эту формулу к каждому треугольнику, чтобы найти его площадь.
3. Сложите все площади треугольников. После того, как вы вычислите площади всех треугольников, сложите их, чтобы найти общую площадь многоугольника.

Итак, теперь, когда вы знаете координаты вершин многоугольника и как вычислить его площадь, вы можете приступить к решению этой задачи. Удачи!

Метод площади треугольников: разбиваем на треугольники и суммируем

Для нахождения площади многоугольника можно использовать метод разбиения на треугольники и последующего суммирования их площадей.

Применение данного метода позволяет разложить многоугольник на более простые фигуры — треугольники, для которых площадь легко находится.

Шаги для применения метода площади треугольников:

1. Разбейте многоугольник на треугольники, воспользовавшись линиями или диагоналями, которые соединяют его вершины.
2. Для каждого треугольника определите его площадь с помощью известной формулы — половина произведения длин основания и высоты.
3. Суммируйте площади всех треугольников, полученных на предыдущем шаге.

Таким образом, применяя метод площади треугольников, вы можете эффективно вычислить площадь любого многоугольника, разбив его на более простые фигуры и суммируя их площади.

Приложение практических навыков для нахождения площади многоугольника с помощью метода площади треугольников позволит вам легче решать задачи, связанные с геометрией и построением.

Формулы для нахождения площадей

•  На завтрак были круглая яичница, параллелепипедная булочка
  и кофе в цилиндрической кружке.
• Геометрия мне очень даже пригодилась в жизни, да.

       В стать «Есть ли у треугольника площадь» мы рассмотрели основные формулы для нахождения площади простейших геометрических фигур. Для решения большинства задач по нахождению площади плоских фигур эти формул вполне достаточно.

Их обычно используют при решении типовых задач на контрольных или при сдаче ЕГЭ. Но вы должны понимать, это далеко не полный список формул для нахождения площади геометрических фигур. Более того, это лишь вершина айсберга.

Взгляните что там, в глубине.

Формулы площади квадрата

      Всем хорошо известны формулы для нахождения площади квадрата с известной стороной или диагональю. Но как быть, если эти величины нам неизвестны? Все очень просто! Нам помогут формулы для нахождения площади квадрата через:

1. радиус вписанной окружности
2. радиус описанной окружности

линию выходящую из угла на
середину стороны квадрата

через периметр

Формулы площади прямоугольника

      Для прямоугольника помимо общеизвестной формулы нахождения площади перемножением длин двух его сторон существуют формулы для нахождения площади через:

известные диагонали и угол между ними

известную длину стороны и угол между этой стороной и диагональю

известный периметр и длину одной стороны

Формулы площади треугольника

•     Все хорошо знают три основные формулы нахождения площади треугольника. Добавлю еще парочку:
• по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
• здесь p=(a+b+c) — полупериметр
• по трем сторонам  и радиусу описанной окружности

Формулы площади параллелограмма

1.     Для нахождения площади параллелограмма также существует несколько дополнительных формул:
2. по известным диагоналям и углу между ними
3. по двум известным высотам и углу между ними

Формулы площади четырехугольника

• формула площади выпуклого четырехугольника по известным длинам диагоналей и углу между ними
• формула площади выпуклого четырехугольника по длине периметра и радиусу вписанной окружности
• здесь p= (a+b+c+d)/2 — полупериметр
• формула площади выпуклого четырехугольника по известным длинам сторон и значениям противоположных углов
• здесь p=(a+b+c+d)/2 — полупериметр
• Θ=(f1+f2)/2 — полусумма углов
• формула площади выпуклого четырехугольника вокруг которого можно описать окружность
• здесь p=(a+b+c+d)/2 — полупериметр

      Теперь вы знаете достаточно формул для нахождения площадей плоских фигур. Этого вполне достаточно для того спокойно чувствовать себя на экзамене и чтобы спокойно решать простейшие задачки по ЕГЭ. Но не надо думать, что способы нахождения площади ограничиваются этими формулами.  Ведь помимо уже известных вам треугольников и квадратов существует огромное множество самых разнообразных геометрических фигур, таких как вогнутые четырехугольники, выпуклые и вогнутые многоугольники, а также фигуры , вообще не имеющие какой-либо определенной формы. Кроме того, существуют способы нахождение площади по формулам аналитической геометрии (когда известны координаты вершин или вектора сторон), или с помощью интегрального исчисления.

Ну а в заключение хочу вам представить еще одну универсальную формулу − формулу для нахождения площади эллипса: площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число ∏

Формулы площади треугольника

Формулы — это не только способ вычисления, но и ключ к пониманию мира вокруг нас.

Однажды в университете на лекции по геометрии профессор рассказал студентам о формуле площади треугольника.

«Итак, друзья мои, — начал он, — если у вас есть треугольник со сторонами a, b и c, то его площадь можно вычислить по формуле S = (a * b * c) / (4 * h), где h — высота треугольника, проведенная к одной из сторон.»

Студенты начали записывать формулу в свои тетради, но один из них, по имени Алексей, решил проверить ее на практике. Он взял лист бумаги, нарисовал треугольник и начал измерять его стороны и высоту.
Когда он закончил измерения, он подставил все значения в формулу и получил результат: S = 22,5 см².
Однако когда он проверил свой ответ на калькуляторе, то обнаружил, что он ошибся в вычислениях и получил неверный результат.
Он попытался понять, где он допустил ошибку, и заметил, что в формуле не хватает одного знака. Оказалось, что вместо «h» нужно было написать «h²», чтобы получить правильный результат.
С тех пор Алексей стал более внимательным при изучении формул и всегда проверял их правильность перед использованием. И он понял, что иногда даже самые простые формулы могут быть сложными для понимания, если не знать всех деталей.

Метод треугольников

рисунок 2

В целом этот способ похож на предыдущий. Тут нам понадобится знание о векторном произведении векторов и ориентированной площади треугольника. Будем считать, что читателю это уже известно.

Рассмотрим самую левую, а если таких несколько, то самую нижнюю среди таких, точку многоугольника. На рисунке 2 это точка $A$. Теперь в порядке обхода от точки $A$ будем суммировать ориентированные площади треугольников, у которых одна вершина общая — точка $A$, а две другие — вершины $i$ и $i+1$ многоугольника. Прибавлять к общей площади будем:
$$
\Delta S = \dfrac{\left}{2}
$$
под квадратными скобками подразумеавем векторное произведение первого вектора на второй.

Здесь опять в каких-то местах будет суммироваться лишняя площадь, где-то будет недостаток, но в силу замкнутости фигуры и отсутствия самопересечений в итоге мы получим площадь нашего многоугольника.

Распишем, какие площади будут суммироваться на примере:

$$
S = \Delta ABC + \Delta ACD — \Delta ADE + \Delta AEF
$$
Когда мы прибавили площадь $ACD$, то была прибавлена лишняя площадь, но так как поворот от $AD$ к $AE$ идет в противоположную сторону (по часовой стрелке), то эта площадь вычтется. Но вычтется и немного лишнего — часть треугольника $AEF$, эту его часть уже прибавили на этапе $ACD$, в итоге выши в ноль. Последним шагом прибалвяем весь треугольник $AEF$.

Надо понимать, что на деле (в коде) у нас будет только прибавление площадей, но площади ориентированные, вычитание будет делаться «само по себе».

Несложно заметить, что этот алгоритм тоже линейный. В результате мы опять, возможно, должны будем взять модуль от полученной площади, так как знак зависит от порядка обхода.

Автор конспекта: Полина Романченко

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон
и проведенной к ней высоты.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $BH$ – это высота.

Докажем, что $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC.$

Возможны три случая:

1. точка $H$ совпадает с одним из концов отрезка $AC$, например с точкой $C$;
2. точка $H$ принадлежит отрезку $AC$ и не совпадает с его концами;
3. точка $H$ лежит за пределами отрезка $AH$.

Первый случай

Пусть высота из точки $B$ падает в один из
концов отрезка $AC$, например в вершину $C$.

Тогда $BC=BH$ и $\triangle ABC$ – прямоугольный, следовательно, по
теореме получаем $S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

Второй случай

Пусть высота $BH$ падает внутрь отрезка $AC$.

Тогда высота $BH$ разбивает треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $ABH$ и $BHC$,
следовательно, $S_{ABC}=S_{ABH}+S_{BHC}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
AH+\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
(AH+HC)=\frac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

Третий случай

Пусть высота $BH$ падает вне отрезка $AC$, например за точку $C$.

Тогда

$S_{ABC}=S_{ABH}-S_{BCH}=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
AH-\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot CH=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot
(AH-CH)=\dfrac{1}{2}\cdot BH\cdot AC$.

Площадь произвольного треугольника

Перейдем к более сложному случаю, когда необходимо подсчитать площадь произвольного треугольника, не являющегося прямоугольным. Предположим, надо найти площадь произвольного ∆АВС. Опустим из А на сторону ВС высоту АН:

В результате мы получили два прямоугольных треуг-ка, ∆АВН и ∆АCН. Мы уже знаем, как найти их площади:

Общая площадь всего ∆АВС равна сумме площадей ∆АВН и ∆АСН. Запишем ее и вынесем общий множитель АН/2 за скобки:

В скобках стоит сумма ВН + НС. Но ведь эта сумма равна длине стороны ВС! Тогда окончательно формулу можно записать в виде:

Получили, что для вычисления площади произвольного треугольника надо сначала умножить его высоту на сторону, на которую она падает, а далее поделить результат на 2. Однако для полного доказательства этого факта надо рассмотреть особый случай, когда высота в треуг-ке падает не на сторону, а на ее продолжение (такая ситуация возникает в тупоугольном треуг-ке):

На рисунке снова получились всё те же прямоугольные треуг-ки ∆АСН и ∆АВН. Запишем формулы их площади:

Отличие в том, что на этот раз площадь АВС можно вычислить не как сумму, а как разницу этих площадей:

Итак, можно сформулировать следующее правило:

Примечание. Часто сторону, на которую опущена высота, называют основанием треуг-ка.

Задание. Вычислите площадь ∆АВС, если сторона АВ имеет длину 7, а высота СН равна 4.

Решение. В данной задаче на сторону длиной 7 падает высота длиной 4. Надо просто подставить эти числа в формулу:

Задание. Докажите, что медиана треуг-ка разбивает его на два равновеликих треуг-ка.

Решение.

Пусть в ∆АВС проведена медиана СМ. Требуется доказать, что

Важно заметить, что СН будет являться высотой не только для ∆АВС, но также и для ∆СВМ и ∆САМ. Обозначим СН как h, а АВ как а

Тогда мы можем найти длины отрезков ВМ и АМ, ведь медиана делит сторону АВ пополам:

Получили одно и то же значение, то есть площади треуг-ков равны.

В рассмотренной задаче мы использовали тот факт, что у нескольких треуг-ков может быть общая высота. Общая высота используется и в многих других геометрических задачах.

Задание. Предложите способ, как разделить треуг-к, показанный на рисунке, на три равновеликих треуг-ка:

Чтобы треуг-ки были равновелики, достаточно, чтобы у них была общая высота, а основания, на которые эта высота падает, были бы равны друг другу. Поэтому можно просто поделить нижнюю сторону на три одинаковых отрезка (длиной по 7 клеток) и соединить концы полученных отрезков с противоположной вершиной:

Красной линией здесь показаны границы треуг-ков, а штриховой – их общая высота СН. Вычислить площадь каждого из треуг-ков можно по следующим формулам:

Но отрезки BD, DE и EA одинаковы (по 7 клеточек), поэтому одинаковы будут и площади:

Заметим, что необязательно делить на три одинаковых отрезка именно нижнюю сторону. Допустимы и два других варианта решения:

Но и это не единственные решения задачи. Попробуйте самостоятельно предложить ещё несколько вариантов.

Формула площади треуг-ка показывает, что между длинами высот и сторон есть взаимосвязь.

Задание.В ∆РЕТ РЕ = 72, ЕТ = 45. Высота ТН имеет длину 40. Найдите высоту РМ.

Решение.

Зная ТН и РЕ, мы сможем найти площадь треуг-ка:

Теперь запишем эту формулу площади в ином виде, когда используется высота МР и сторона ЕТ

Величину S_РЕТ мы только что вычислили, а длина ЕТ известна из условия, поэтому можно подставить их в формулу:

Площадь треугольника формула

*То есть если нам будет известна любая сторона треугольника и высота опущенная на эту сторону, то мы всегда сможем вычислить площадь этого треугольника.

Формула вторая

Как уже было изложено в статье о площади параллелограмма формула имеет вид:

Площадь треугольника равна половине его площади, значит:

*То есть если будут известны любые две стороны в треугольнике и угол между ними, мы всегда сможем вычислить площадь такого треугольника.

Формула Герона (третья)

Данную формулу выводить сложно и вам это ни к чему. Посмотрите какая она красивая, можно сказать, что сама запоминается.

*Если даны три стороны треугольника, то по данной формуле мы всегда можем вычислить его площадь.

Формула четвёртая

где r – радиус вписанной окружности

*Если известны три стороны треугольника и радиус вписанной в него окружности, то мы всегда можем найти площадь этого треугольника.

Формула пятая

где R – радиус описанной окружности.

*Если известны три стороны треугольника и радиус описанной около него окружности, то мы всегда можем найти площадь такого треугольника.

Возникает вопрос: если  известны три стороны треугольника, то не проще ли его площадь найти по формуле Герона!

Да, бывает проще, но не всегда, иногда возникает сложность. Это связано с извлечением корня. Кроме того, данные формулы очень удобно применять в задачах, где дана площадь треугольника, его стороны и требуется найти радиус вписанной или описанной окружности. Такие задания имеются  в составе ЕГЭ.

Давайте отдельно рассмотрим формулу:

Она является частным случаем формулы площади многоугольника, в который вписана окружность:

Рассмотрим её на примере пятиугольника:

Соединим центр окружности с вершинами данного пятиугольника и опустим из центра перпендикуляры к его сторонам. Получим пять треугольников, при чём  опущенные перпендикуляры являются радиусами вписанной окружности:

Площадь пятиугольника равна:

Теперь понятно, что если речь идёт о треугольнике, то данная формула приобретает вид:

Формула шестая

Пусть сторона треугольника равна a, из противоположной вершины к этой стороне проведён произвольный отрезок образующий с ней угол (фи):

Тогда

Данная формула используется очень редко на практике, возможно вы её видите впервые, ну так просто написал, чтобы знали. Её ещё можно вывести преобразовав формулу площади четырёхугольника:

Также она является следствием из :

Что добавить? Есть ещё формулы треугольника связанные с координатами  вершин, векторами на которых он построен. Об этом будет статья в будущем, не пропустите!

Площадь прямоугольного треугольника. Тут всё просто — она равна половине площади прямоугольника, то есть одной второй произведения катетов.

На этом всё! Успеха Вам!

Что такое треугольник

Треугольник – это геометрическая фигура. По определению, это многоугольник, имеющий три стороны. Следовательно, треугольник также должен иметь три угла.

Чтобы иметь возможность вычислить площадь треугольника, мы должны сначала знать меру его основания, а также высоту. Основание треугольника представляет одну из его сторон. Высота, с другой стороны, представляет собой каждую из трех прямых линий, которые проходят через одну из вершин треугольника и перпендикулярны стороне, лежащей напротив принятой вершины (то есть перпендикулярно основанию).

Прежде всего, помните, что треугольник состоит из трех сторон и трех углов. Это значит, что у него должно быть три вершины. Треугольник, вершинами которого являются A, B и C, может быть представлен как: ΔABC. Существуют разные виды треугольников. Они могут быть классифицированы двумя различными способами: либо по свойству его сторон, либо по свойству его углов.

#Принадлежность точки

Опять же, начнём с треугольников. Требуется определить, находится ли точка точка $P$ в треугольнике $ABC$, заданном против часовой стрелки. Тогда она должна лежать слева от всех трёх отрезков $AB$, $BC$ и $CA$. Это условие задаст пересечение трёх полуплоскостей, которое и будет нужным треугольником.

Подобную проверку можно обобщить на случай выпуклых многоугольников. Для этого нужно пройтись по вершинам против часовой стрелки и проверить, что точка $P$ лежит «слева» от всех ребер.

Чтобы проверить, что многоугольник выпуклый, можно пройтись по ребрам многоугольника и проверять векторным произведением, что мы «поворачиваем» всегда в одну сторону, то есть для всех последовательных точек $a$, $b$, $c$ проверить, что $(b-a)\times(c-a) > 0$.

В постановке задачи, когда у нас многоугольник фиксирован, и поступают запросы проверки вхождения, задачу можно решить быстрее чем за линейное время.

Произвольный многоугольник

В более общем случае есть два популярных подхода, оба за $O(n)$.

Первый заключается в подсчете углов. Пройдемся по всем вершинам в порядке обхода и будем последовательно рассматривать углы с вершиной в точке $P$ и лучами, проходящими через соседние вершины многоугольника. Если просуммировать эти ориентированные углы, то получится какая-то величина $\theta$. Если точка $P$ лежит внутри многоугольника, то $\theta = \pm 2 \pi$, иначе $\theta = 0$.

Второй заключается в подсчете, сколько раз луч, выпущенный из $P$, пересекает ребра многоугольника.

Если из произвольной точки пустить любой луч, и если этот луч пересечет многоугольник, то он рано или поздно выйдет из этого многоугольника — потому что луч бесконечный, а многоугольник нет.

Если посчитать число пересечений с многоугольником, то для точки, находящейся внутри, это число будет нечетным («наружу-внутрь-наружу», 3 пересечения), в противном случае — четным.

Чтобы не обрабатывать отдельно случаи, когда луч пересекает вершину (сразу 2 ребра), его можно делать случайным — вероятность, что действительнозначное направление совпадет с конечным числом точек пренебрежимо мала.

Шаг 2: Измерьте длины сторон многоугольника

Прежде чем вы сможете вычислить площадь многоугольника, вам необходимо измерить длины его сторон. Вы можете воспользоваться линейкой, мерной лентой или любым другим инструментом для измерения

Важно убедиться, что измерения точны, чтобы получить достоверные результаты

Для начала, выберите одну сторону многоугольника и пометьте ее как сторону «a». Затем отметьте начало и конец этой стороны и измерьте ее длину. Запишите полученное значение.

Повторите этот шаг для каждой стороны многоугольника, помечая их как «b», «c», «d» и так далее, и измеряя их длины. Запишите каждое измерение рядом с соответствующей стороной.

Если у вас есть многоугольник с несколькими параллельными сторонами, вы можете использовать формулу для вычисления длины параллельных сторон с помощью известной длины их перпендикуляров.

После измерения всех сторон, убедитесь, что у вас есть точные и корректные значения. Точные измерения обеспечат точный результат при вычислении площади многоугольника в следующем шаге.

Метод измерения сторон с использованием линейки

1. Выберите одну из сторон многоугольника, которую вы хотите измерить.
2. Поставьте начало линейки в одном конце выбранной стороны и удерживайте линейку так, чтобы она проходила через другой конец стороны.
3. Прочитайте значение на линейке, соответствующее длине измеряемого отрезка. Обычно линейки поделены на сантиметры или дюймы, поэтому убедитесь, что вы используете нужные единицы измерения.
4. Повторите эти шаги для каждой стороны многоугольника, которую вы хотите измерить.

Важно учитывать, что точность измерений зависит от качества и метрологических характеристик линейки. Поэтому при измерении стоит выбирать линейку с хорошей метрологической проверкой и четкими делениями

После того, как вы измерили все стороны многоугольника, вы можете использовать полученные значения для вычисления его площади с помощью соответствующей формулы или алгоритма. Применяйте правильную формулу в зависимости от типа многоугольника и входных данных.

Использование гониометра для измерения углов многоугольника

Чтобы использовать гониометр для измерения углов многоугольника, выполните следующие шаги:

1. Выберите гониометр, который соответствует размерам многоугольника. Для маленьких и средних многоугольников можно использовать обычный гониометр, а для больших многоугольников — цифровой гониометр или сонар.
2. Расположите гониометр на основании многоугольника так, чтобы его ось была параллельна одной из его сторон.
3. Подведите гониометр к первой стороне многоугольника, начиная с точки пересечения этой стороны с осями гониометра.
4. Поворотом гониометра измерьте угол между первой и второй стороной многоугольника.
5. Запишите измеренный угол и повторите процедуру для остальных сторон многоугольника.
6. Просуммируйте все измеренные углы, чтобы получить общую сумму углов многоугольника.

После того как вы определите все углы многоугольника, можно приступить к вычислению его площади. Для этого можно использовать различные методы, такие как разбиение многоугольника на треугольники и вычисление площади каждого из них, или использование специальных формул для расчета площади многоугольника.

Использование гониометра для измерения углов многоугольника является важным инструментом в расчете его площади. Следуя указанным шагам и получив точные измерения, вы сможете получить более точный результат при вычислении площади многоугольника.

Площадь параллелограмма

Для вычисления площади параллелограмма введем понятие «высота параллелограмма». Так называют перпендикуляр, опущенный на сторону параллелограмма (ее в такой ситуации часто называют основанием) из одной из вершин параллелограмма

Важно понимать, что высоты могут упасть не на само основание, а на его продолжение. Так как у каждого параллелограмма есть 4 вершины, а из каждой из них можно опустить высоту на две противоположных вершины, то всего у параллелограмма должно быть 8 высот:

На рисунке синим показаны высоты параллелограмма, а красным цветом отмечены продолжения оснований. Оказывается, что площадь параллелограмма равна произведению его высоты и основания, на которую она опущена. Докажем это.

Опустим в параллелограмме АВСD высоты ВН и СК:

В результате получили четырехуг-к ВНКС, который является прямоугольником, ведь все его углы прямые. Очевидно, что ∆АВН и ∆DCK равные. Это можно доказать тем, что они являются прямоугольными, у них есть одинаковые гипотенузы АВ и CD (они равны как противоположные стороны параллелограмма) и одинаковые катеты ВН и СК (это уже противоположные стороны прямоугольника ВНКС).

Раз они равны, то одинаковы и их площади:

Но величину S₃ можно заменить на S₂. В свою очередь полученная сумма равна площади прямоугольника ВНКС, которая может быть вычислена как произведение его смежных сторон:

Но ВН – это высота, а НК – основание параллелограмма. То есть мы доказали следующее утверждение:

Задание. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке:

Решение. По рисунке несложно определить длину как основания, так и высоты параллелограмма:

Далее надо просто перемножить эти длины:

Примечание. Конечно, если вы вдруг забыли формулу площади параллелограмма, можно просто разделить его на прямоугольник и два прямоугольных треуг-ка:

Дальше можно просто посчитать по отдельности S₁, S₂и S₃, после чего сложить их. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Задание. Площадь параллелограмма равна 162 см2, а одна из его высот вдвое короче основания, к которому она проведена. Найдите эту высоту и основание.

Решение. В данной задаче не потребуется даже рисунок. Обозначим высоту буквой h, тогда основание, которое вдвое длиннее, составляет 2h. Произведение этих чисел – это площадь, то есть оно равно 162:

Высота равна 9, а основание будет вдвое больше, то есть его длина равна 18.

Ответ: 9 и 18.

Задание. Смежные стороны параллелограмма ABCD имеют длину 12 и 14 см, а угол между ними равен 30°. Вычислите его площадь.

Решение. Опустим на сторону длиной 14 см высоту:

Для вычисления площади надо сначала найти высоту ВН. Её можно определить из ∆АВН. Он является прямоугольным, а его острый угол∠А = 30°. У такого треуг-ка катет, лежащий против 30°, вдвое меньше АВ: