Параллелограмм и трапеция

Площадь выпуклых многоугольников

Нередко при решении различных задач элементарной геометрии появляется необходимость определить площадь выпуклого многоугольника. Предположим, что (Xi. Yi), i = 1,2,3… n представляет собой последовательность координат всех соседних вершин многоугольника, не имеющего самопересечений. В этом случае его площадь вычисляется по такой формуле:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

где (Х 1 , Y 1) = (X n +1 , Y n + 1).

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию

Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

На этом уроке мы приступим уже к новой теме и введем новое для нас понятие «многоугольник». Мы рассмотрим основные понятия, связанные с многоугольниками: стороны, вершины углы, выпуклость и невыпуклость. Затем докажем важнейшие факты, такие как теорема о сумме внутренних углов многоугольника, теорема о сумме внешних углов многоугольника. В итоге, мы вплотную подойдем к изучению частных случаев многоугольников, которые будут рассматриваться на дальнейших уроках.

Тема: Четырехугольники

Урок: Многоугольники

Виды многоугольников, свойства

Как писалось выше, многоугольники бывают из трех, четырех, пяти отрезков и называются они соответствующим образом. Также бывают n–угольники.

Многоугольники разделяются на выпуклые, невыпуклые, правильные и звездчатые.

Звездчатый многоугольник — это самопересекающийся многоугольник, у которого все углы и стороны равны.

Свойства выпуклого многоугольника:

1. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна .
2. Сумма внешних углов выпуклого n-угольника равна .
3. Число диагоналей выпуклого n-угольника равно .
4. Диагонали, выходящие из одной вершины, разбивают выпуклый n-угольник на  треугольника.

Свойства правильного многоугольника:

1. Каждый угол правильного многоугольника равен , где n— число его углов.
2. Центр правильного многоугольника равноудален от его вершин.
3. Центр правильного многоугольника равноудален от его сторон.
4. В правильный многоугольник можно вписать окружность, и около него можно описать окружность.
5. Центры вписанной и описанной окружности совпадают с центром правильного многоугольника.
6. Периметры правильных многоугольников относятся как радиусы описанных окружностей.

4. Теорема о сумме внешних углов выпуклого n-угольника

Тео­ре­ма. О сумме внеш­них углов вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка (n-уголь­ни­ка).

, где  – ко­ли­че­ство его углов (сто­рон), а , …,  – внеш­ние углы.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим вы­пук­лый n-уголь­ник на Рис. 6 и обо­зна­чим его внут­рен­ние и внеш­ние углы.

Рис. 6. Вы­пук­лый n-уголь­ник с обо­зна­чен­ны­ми внеш­ни­ми уг­ла­ми

Т.к. внеш­ний угол свя­зан со внут­рен­ним как смеж­ные, то  и ана­ло­гич­но для осталь­ных внеш­них углов. Тогда:

.

В ходе пре­об­ра­зо­ва­ний мы вос­поль­зо­ва­лись уже до­ка­зан­ной тео­ре­мой о сумме внут­рен­них углов n-уголь­ни­ка .

До­ка­за­но.

Из до­ка­зан­ной тео­ре­мы сле­ду­ет ин­те­рес­ный факт, что сумма внеш­них углов вы­пук­ло­го n-уголь­ни­ка равна  от ко­ли­че­ства его углов (сто­рон). Кста­ти, в от­ли­чие от суммы внут­рен­них углов.

Далее мы более по­дроб­но будем ра­бо­тать с част­ным слу­ча­ем мно­го­уголь­ни­ков – че­ты­рех­уголь­ни­ка­ми. На сле­ду­ю­щем уроке мы по­зна­ко­мим­ся с такой фи­гу­рой, как па­рал­ле­ло­грамм, и об­су­дим его свой­ства.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2

http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse

https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144

Все о параллелограмме

Чем отличаются свойства от признаков?Свойства нельзя путать с признаками, хоть они и очень похожи. Например, свойствами параллелограмма обладает фигура, уже являющаяся параллелограммом, а признаки предназначены для выявления параллелограммов среди четырехугольников.

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны равны.

2. Противолежащие стороны параллельны.

3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

4) Сумма углов прилежащих к любой стороне равна 180°. 

Это так, потому что, как в примере на картинке, стороны AD и BC — параллельные прямые, а AB — секущая. Следовательно, по свойству двух параллельных прямых и секущей, это односторонние углы и их сумма равна 180°.

5) Противолежащие углы попарно равны. Это доказывается через третий признак равенства треугольников, ведь, например, у треугольников ABD и BDC все стороны равны, а значит и углы тоже.

Теперь перейдем к признакам параллелограмма. Это то, что нам помогает понять, что четырехугольник является параллелограммом.

У параллелограмма есть три основных признака. Если для четырехугольника выполняется хотя бы один из признаков, такой четырехугольник можно называть параллелограммом.

Признаки параллелограмма

1. Две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны.

2. Противоположные стороны четырехугольника попарно равны.

3. Диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Теперь рассмотрим биссектрису в параллелограмме.

Биссектриса параллелограмма – это луч, исходящий из вершины угла параллелограмма, делящий этот угол на два равных угла и пересекающий одну из сторон параллелограмма.

Рассмотрим два полезных факта, связанных с биссектрисой в параллелограмме.

1. Биссектриса, проведенная из угла параллелограмма, отсекает от него равнобедренный треугольник. 

Это тоже доказывается с помощью параллельных прямых. Рассмотрим две параллельные прямые: AD и BC, а также секущую AF. Углы FAD и BFA равны, так как они накрест лежащие. А так как AF — биссектриса, то углы BAF и FAD, углы FAD и BFA тоже, значит и BAF = BFA. Следовательно, треугольник BAF — равнобедренный.

2. Биссектрисы углов, принадлежащих одной стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом.

Мы почти закончили изучение параллелограмма. Осталось только рассмотреть формулы для нахождения площади. Их всего три.

1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними.

3. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Какая фигура является антагонистом параллелограмма?Есть такая фигура, которая называется «антипараллелограмм». Это плоский и самопересекающийся четырехугольник, в котором две противоположные стороны равны между собой, но не параллельны. Напомним, что у параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны между собой.

Мы рассмотрели всю теорию, связанную с параллелограммом. Давайте теперь решим задание для закрепления материала.

Решим задание, которое может встретиться на ЕГЭ по профильной математике в задании №1.Задание. Стороны параллелограмма равны 10 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 12. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Решение. Примем искомую высоту за x. Как мы уже знаем, площадь параллелограмма можно найти с помощью высоты и стороны, к которой эта высота проведена. Соответственно, с помощью этой формулы мы и можем найти x:\(S = a*h_1=b*h_2\)\(S=10*12=15*h_2\)\(h_2=\frac{10*12}{15}\)\(h_2=8\)Ответ: 8

На этом мы закончили изучение параллелограмма, так что можем двигаться дальше!

Трапеция

Определение 3

Трапеция — это четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны между собой, а другие две противоположные стороны не параллельны между собой (рис. 4).

Рисунок 4. Трапеция

При этом параллельные стороны называют основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами трапеции.

Выделяют следующие виды трапеций.

Если у трапеции не параллельные (боковые) стороны равны между собой, то её называют равнобедренной.

Определение 4

Если у трапеции два один угол прямой, то её называют равнобедренной.

Определение 5

В отличных от определений $4$ и $5$ случаях, трапецию называют разнобокой (рис. 5).

Рисунок 5. Виды трапеций

Трапеция обладает следующим свойством.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции (рис. 6).

Средняя линия трапеции»>Рисунок 6. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}$

С другой стороны $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$

Сложим два последних равенства, получим

\

Следовательно

\

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Параллелограммы, возникающие из других фигур

Доказательство без слов теоремы Вариньона :

1. Произвольный четырехугольник и его диагонали.
2. Основания подобных треугольников параллельны синей диагонали.
3. То же самое и с красной диагональю.
4. Пары оснований образуют параллелограмм с половиной площади четырехугольника, A _q , как сумма площадей четырех больших треугольников, A _l равно 2 A _q (каждая из двух пар восстанавливает четырехугольник), а площадь маленького треугольников, A _s составляет четверть A _l (половина линейных размеров дает четверть площади), а площадь параллелограмма равна A _q минус A _s .

Автомедианный треугольник

Automedian треугольник является одним которого медиана в тех же пропорциях, что и его сторон (хотя и в другом порядке). Если ABC — автомедианный треугольник, в котором вершина A стоит напротив стороны a , G — центр тяжести (где три медианы ABC пересекаются), а AL — одна из расширенных медиан ABC с L, лежащим на описанной окружности ABC , то BGCL — параллелограмм.

Вариньонный параллелограмм

В серединах сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, называется его Varignon параллелограмм. Если четырехугольник выпуклый или вогнутый (то есть не самопересекающийся), то площадь параллелограмма Вариньона составляет половину площади четырехугольника.

Касательный параллелограмм эллипса

Для эллипса два диаметра называются сопряженными тогда и только тогда, когда касательная линия к эллипсу в конечной точке одного диаметра параллельна другому диаметру. Каждая пара сопряженных диаметров эллипса имеет соответствующий касательный параллелограмм , иногда называемый ограничивающим параллелограммом, образованный касательными линиями к эллипсу в четырех конечных точках сопряженных диаметров. Все касательные параллелограммы данного эллипса имеют одинаковую площадь.

Можно восстановить эллипс из любой пары сопряженных диаметров или из любого касательного параллелограмма.

Как вычислить площадь параллелограмма?

Существует несколько вариантов нахождения площади:

1. По основанию и высоте: S=a*h.
2. Зная значение двух смежных сторон и угла между ними: S=a*b*sin(α)°.
3. По длине диагоналей и углу между ними: S=1/2*d₁*d₂*sin α.

Разберем подробнее последнюю формулу площади на примере. Дан параллелограмм с диагоналями АС и BD. Точка пересечения — О. Угол пересечения диагоналей в точке O = 60°. Отрезки AO=6 см и OD=5 см Площадь находится по формуле:

S=1/2*d₁*d₂*sin α

Зная свойство деления диагоналей точкой пересечения пополам, получаем:

AC=AO*2=12 см и DB=OD*2=10 см

Подставляем полученные значения в формулу:

S=1/2 * 12*10*1/2√3=51,962 см2

Разновидности выпуклых многоугольников

Определение выпуклого многоугольника не указывает на то, что их существует множество видов. Причем у каждого из них имеются определенные критерии. Так, выпуклые многоугольники, у которых есть внутренний угол равный 180°, называются слабовыпуклыми. Выпуклая геометрическая фигура, что имеет три вершины, называется треугольником, четыре — четырехугольником, пять — пятиугольником и т. д. Каждый из выпуклых n-угольников отвечает следующему важнейшему требованию: n должно равняться или быть больше 3. Каждый из треугольников является выпуклым. Геометрическая фигура данного типа, у которой все вершины располагаются на одной окружности, называется вписанной в окружность. Выпуклый многоугольник называют описанным, если все его стороны около окружности прикасаются к ней. Два многоугольника называют равными только в том случае, когда при помощи наложения их можно совместить. Плоским многоугольником называют многоугольную плоскость (часть плоскости), что ограничена этой геометрической фигурой.

Треугольный многоугольник

Такую фигуру называют треугольником. Она состоит из трёх углов и такого же числа сторон. Их, принято обозначать маленькими буквами a, b, c или подписывать двумя заглавными по названиям вершин, которые являются началом и концом отрезка. Например, треугольник ABC содержит стороны: AB = a, BC = b, AC = c.

В зависимости от особенностей, фигура может называться:

• разносторонней — многоугольник, у которого все 3 стороны не равны;
• равнобедренной — длины любых двух граней совпадают;
• равносторонней (правильной) — все стороны фигуры одинаковые.

Но несмотря на классификацию, все перечисленные виды обладают общими свойствами. Считается, что угол любого плоского треугольника образуется при пересечении двух лучей, содержащих его стороны, то есть если говорят об ∠A, то подразумевают, что был лучи AB и АС, при построении которых он и образовался. Таким образом, он заключается не между сторонами, а лучами.

Эти 3 параметра определяют свойства треугольной фигуры. С их помощью можно находить, площадь, стороны, значения углов. Определение медианы звучит так: это прямая, проведённая из угла к противолежащей стороне таким образом, что разделяет её пополам. Под биссектрисой же понимают отрезок, разделяющий угол на 2 равные части. Высотой называют перпендикуляр, опущенный на противоположную сторону из вершины.

Треугольник, который выглядит, как прямой угол, называют прямоугольным. То есть построив в любом многоугольнике с тремя углами высоту, можно получить две фигуры, обе из которых точно будут прямоугольными. Боковые грани, перпендикулярные друг другу, называют катетами, а оставшуюся сторону — гипотенузой. По сути, тело представляет собой разделённый диагональю квадрат. Отсюда площадь многоугольника будет равняться произведению катетов, делённых на 2: S = a*b/2. А также следует отметить, что у равнобедренного треугольника медиана, высота и биссектриса совпадают.

Окружность многоугольника

Выпуклые многоугольники могут быть вписанными и описанными. Окружность, касающаяся всех сторон этой геометрической фигуры, называется вписанной в нее. Такой многоугольник называют описанным. Центр окружности, которая вписана в многоугольник, представляет собой точку пересечения биссектрис всех углов внутри данной геометрической фигуры. Площадь такого многоугольника равняется:

где r — радиус вписанной окружности, а p — полупериметр данного многоугольника.

Окружность, содержащую вершины многоугольника, называют описанной около него. При этом данная выпуклая геометрическая фигура называется вписанной. Центр окружности, которая описана около такого многоугольника, представляет собой точку пересечения так называемых серединных перпендикуляров всех сторон.

Свойства выпуклых многоугольников

Выпуклые многоугольники имеют определенные свойства. Так, отрезок, который соединяет любые 2 точки такой геометрической фигуры, обязательно располагается в ней. Доказательство:

Предположим, что Р — данный выпуклый многоугольник. Берем 2 произвольные точки, например, А, В, которые принадлежат Р. По существующему определению выпуклого многоугольника эти точки расположены в одной стороне от прямой, что содержит любую сторону Р. Следовательно, АВ также имеет это свойство и содержится в Р. Выпуклый многоугольник всегда возможно разбить на несколько треугольников абсолютно всеми диагоналями, которые проведены из одной его вершины.

Диагональ

Диагональ многоугольника
— это отрезок , соединяющий вершины двух углов, не имеющих общей стороны. Например, отрезок AD
является диагональю:

Единственным многоугольником, который не имеет ни одной диагонали, является треугольник, так как в нём нет углов, не имеющих общих сторон.

Если из какой-нибудь вершины многоугольника провести все возможные диагонали, то они разделят многоугольник на треугольники:

Треугольников будет ровно на два меньше, чем сторон:

t
= n
— 2

где t
— это количество треугольников, а n
— количество сторон.

Разделение многоугольника на треугольники с помощью диагоналей используется для нахождения площади многоугольника, так как чтобы найти площадь какого-нибудь многоугольника, нужно разбить его на треугольники, найти площадь этих треугольников и полученные результаты сложить
.

Виды многоугольников:

Как найти площадь параллелограмма

1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Как видно из чертежа, произведение b sin α равно высоте, опущенной на другую сторону, что в итоге дает нам предыдущую формулу
3. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
4. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними 
5. Площадь параллелограмма также можно найти через формулу Герона, рассмотрев одну из диагоналей как треугольник и вычислив удвоенную площадь этого треугольника
6. Для нахождения полупериметра треугольника из предыдущей формулы мы используем две стороны параллелограмма и его диагональ. Поскольку каждая диагональ разбивает его на два равных треугольника, то не имеет значения, какую из диагоналей мы выберем

Как найти стороны параллелограмма

• Размеры диагоналей и угол между ними (формулы 1 и 2) 
• Через длины диагоналей и одну из сторон можно найти вторую (формулы 3 и 4)
• Через высоту, опущенную на сторону и угол между сторонами (формулы 5 и 6)
• Через площадь и высоту, опущенную на заданную сторону, можно найти величину этой стороны (Формулы 7 и

Как найти диагонали параллелограмма

• Диагональ параллелограмма можно найти через длины его сторон и косинус угла между ними (Формулы 1-4)
• Также диагональ может быть найдена через длины сторон и размер второй диагонали (Формулы 5-6)
• Диагональ может быть найдена из площади, длины второй диагоналями и угла между ними (Формулы 7-8)

Как найти периметр параллелограмма

• через его стороны (Формула 1)
• через одну из сторон и длину двух диагоналей (Формулы 2 и 3)
• через сторону, высоту и угол между сторонами (Формулы 4-6)

Содержание главы:

Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны

Параллелограмм (часть 2)

Площадь параллелограмма

Высота параллелограмма

Трапеция, описанная вокруг окружностиОписание курса Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны   

Необычные многогранники

Помимо названных фигур, существует и множество других. Количество углов в многоугольнике может быть бесконечно велико, но встречаются такие фигуры только при использовании правила многоугольника. Это правило используют при сложении вектором.

Существует отдельное понятие правильных многоугольников, то есть фигур, у которых все стороны и углы равны. Плоские фигуры в гранях объемных объектов образуют многогранники с замысловатыми названиями:

• Тетраэдр.
• Октаэдр.
• Додекаэдр.

Что мы узнали?

Мы поговорили о многоугольниках. Выделили основные виды многоугольников, немного поговорили о каждом из видов. Рассказали, зачем нужно точно знать вид многоугольника, который прописан в условии задачи.

1. /10

   Вопрос 1 из 10

Теорема Фалеса

Свойства параллелограмма помогают доказать одну из древнейших теорем планиметрии – теорему Фалеса. Она названа в честь философа, который считается родоначальником всей древнегреческой науки. Можно сказать, что Фалес – это самый ранний из всех ученых-геометров, чье имя дошло до наших дней. Сформулируем теорему Фалеса:

Здесь на прямой m отложили равные друг другу отрезки А₁А₂, А₂А₃,А₃А₄ и т.д.:

Далее через концы отрезков провели параллельные линии (показаны синим цветом), которые пересекли некоторую прямую n в точках В₁, В₂,В₃ и т.д. Теорема утверждает, что получившиеся при этом отрезки равны между собой:

Для доказательства теоремы нужно рассмотреть два случая. Сначала изучим ситуацию, когда прямые m и n параллельны друг другу:

Рассмотрим четырехуг-к А₁В₁В₂А₂. Его противоположные стороны лежат на параллельных прямых:

Тогда этот четырехуг-к по определению оказывается параллелограммом, а в нем, как известно, противоположные стороны одинаковы, то есть

Однако отрезки А₁А₂, А₂А₃,А₃А₄ равны друг другу, следовательно, и равные им отрезки В₁В₂, В₂В₃, В₃В₄ и т. д. будут также равными, что мы и пытаемся доказать.

Более сложным является случай, когда исходные прямые m и n непараллельны друг другу:

В этом случае проведем через В₁ отрезок В₁С₂, параллельный m. При этом точка С₂ будет лежать на прямой А₂В₂. Аналогично проведем отрезки В₂С₃, В₃С₄ и т. д. , каждый из которых будет параллельным прямой m:

Рассмотрим фигуры А₁В₁С₂А₂, А₂В₂С₃А₃, А₃В₃С₄А₄ и т. д. Это четырехуг-ки, у каждого из которых противоположные стороны параллельны. Значит, все эти фигуры – параллелограммы. Но у него противоположные стороны одинаковы:

Далее заметим, что прямая n является секущей для параллельных прямых В₁С₂, В₂С₃, В₃С₄ и т.д. Это значит, что можно записать равенство углов:

Эта же прямая является секущей для параллельных прямых А₁В₁, А₂В₂ и т. д., поэтому можно записать равенство углов:

Наконец, рассмотрим треуг-ки ∆В₁В₂С₂, ∆В₂В₃С₃, ∆В₃В₄С₄. Только что мы выяснили, что у них есть по два равных угла. Но так как сумма углов в любом треуг-ке равна 180°, то и третьи углы у них также будут равными.

Но тогда эти треуг-ки оказываются равными друг другу, так как у них равны стороны В₁С₂, В₂С₃, В₃С₄ и т.д. Из равенства треуг-ков вытекает и равенство сторон:

Именно это равенство мы и пытались доказать.

Данная теорема может быть очень полезна при практических построениях. Пусть на клетчатом листке бумаги изображен такой треуг-к:

Предположим, требуется найти середину стороны АВ, а также разделить сторону ВС на три равные части. Для этого достаточно провести напротив этих сторон вертикальные линии, которые можно разделить на равные части буквально «по клеточкам». Далее надо просто провести уже горизонтальные линии, которые и разделят стороны АВ и ВС в нужных пропорциях:

Итак, из этого урока мы узнали о понятии выпуклого четырехуг-ка и изучили один из его частных случаев – параллелограмм. В будущем мы познакомимся и с другими видами четырехуг-ков.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Как доказать эту формулу?

Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, вспомним, какой многоугольник называется выпуклым. Выпуклым называется такой многоугольник, который целиком находится по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Например такой, который изображен на этом рисунке:

Если же многоугольник не удовлетворяет указанному условию, то он называется невыпуклым. Например, такой:

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна , где — количество сторон многоугольника.

Доказательство этого факта основано на хорошо известной всем школьникам теореме о сумме углов в треугольнике. Уверен, что и вам эта теорема знакома. Сумма внутренних углов треугольника равна .

Идея состоит в том, чтобы разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников. Сделать это можно разными способами. В зависимости от того, какой способ мы выберем, доказательства будут немного отличаться.

1. Разобьём выпуклый многоугольник на треугольники всеми возможными диагоналями, проведёнными из какой-нибудь вершины. Легко понять, что тогда наш n-угольник разобьётся на треугольника:

Причём сумма всех углов всех получившихся треугольников равна сумме углов нашего n-угольника. Ведь каждый угол в получившихся треугольниках является частичной какого-то угла в нашем выпуклом многоугольнике. То есть искомая сумма равна .

2. Можно также выбрать точку внутри выпуклого многоугольника и соединить её со всеми вершинами. Тогда наш n-угольник разобьется на треугольников:

Причём сумма углов нашего многоугольника в этом случае будет равна сумме всех углов всех этих треугольников за вычетом центрального угла, который равен . То есть искомая сумма опять же равна .

1. Понятие «многоугольник»

В курсе гео­мет­рии мы изу­ча­ем свой­ства гео­мет­ри­че­ских фигур и уже рас­смот­ре­ли про­стей­шие из них: тре­уголь­ни­ки и окруж­но­сти. При этом мы об­суж­да­ли и кон­крет­ные част­ные слу­чаи этих фигур, такие как пря­мо­уголь­ные, рав­но­бед­рен­ные и пра­виль­ные тре­уголь­ни­ки. Те­перь при­шло время по­го­во­рить о более общих и слож­ных фи­гу­рах – мно­го­уголь­ни­ках.

С част­ным слу­ча­ем мно­го­уголь­ни­ков мы уже зна­ко­мы – это тре­уголь­ник (см. Рис. 1).

Рис. 1. Тре­уголь­ник

В самом на­зва­нии уже под­чер­ки­ва­ет­ся, что это фи­гу­ра, у ко­то­рой три угла. Сле­до­ва­тель­но, в мно­го­уголь­ни­ке их может быть много, т.е. боль­ше, чем три. На­при­мер, изоб­ра­зим пя­ти­уголь­ник (см. Рис. 2), т.е. фи­гу­ру с пятью уг­ла­ми.

Рис. 2. Пя­ти­уголь­ник. Вы­пук­лый мно­го­уголь­ник

Опре­де­ле­ние.Мно­го­уголь­ник – фи­гу­ра, со­сто­я­щая из несколь­ких точек (боль­ше двух) и со­от­вет­ству­ю­ще­го ко­ли­че­ства от­рез­ков, ко­то­рые их по­сле­до­ва­тель­но со­еди­ня­ют. Эти точки на­зы­ва­ют­ся вер­ши­на­ми мно­го­уголь­ни­ка, а от­рез­ки – сто­ро­на­ми. При этом ни­ка­кие две смеж­ные сто­ро­ны не лежат на одной пря­мой и ни­ка­кие две несмеж­ные сто­ро­ны не пе­ре­се­ка­ют­ся.

Опре­де­ле­ние.Пра­виль­ный мно­го­уголь­ник – это вы­пук­лый мно­го­уголь­ник, у ко­то­ро­го все сто­ро­ны и углы равны.

Любой мно­го­уголь­ник раз­де­ля­ет плос­кость на две об­ла­сти: внут­рен­нюю и внеш­нюю. Внут­рен­нюю об­ласть также от­но­сят кмно­го­уголь­ни­ку.

Иными сло­ва­ми, на­при­мер, когда го­во­рят о пя­ти­уголь­ни­ке , имеют в виду и всю его внут­рен­нюю об­ласть, и гра­ни­цу. А ко внут­рен­ней об­ла­сти от­но­сят­ся и все точки, ко­то­рые лежат внут­ри мно­го­уголь­ни­ка, т.е. точка  тоже от­но­сит­ся к пя­ти­уголь­ни­ку (см. Рис. 2).

Мно­го­уголь­ни­ки еще ино­гда на­зы­ва­ют n-уголь­ни­ка­ми, чтобы под­черк­нуть, что рас­смат­ри­ва­ет­ся общий слу­чай на­ли­чия ка­ко­го-то неиз­вест­но­го ко­ли­че­ства углов (n штук).

Опре­де­ле­ние. Пе­ри­метр мно­го­уголь­ни­ка – сумма длин сто­рон мно­го­уголь­ни­ка.

Те­перь надо по­зна­ко­мить­ся с ви­да­ми мно­го­уголь­ни­ков. Они де­лят­ся на вы­пук­лые и невы­пук­лые. На­при­мер, мно­го­уголь­ник, изоб­ра­жен­ный на Рис. 2, яв­ля­ет­ся вы­пук­лым, а на Рис. 3 невы­пук­лым.

Рис. 3. Невы­пук­лый мно­го­уголь­ник