Окружность и круг

Площадь круга

Если формула нахождения площади окружности не требует доказательств, формула площади круга нуждается в объяснении и подтверждении. Один из первых вариантов доказательства формулы предложил Архимед. По Архимеду, если разрезать круг на части и сложить из этих частей более простые фигуры, можно вычислить площадь более простым способом.

Например, если мы разрежем пиццу на восемь кусочков и сложим их так, как показано на рисунке, получится фигура, похожая на прямоугольник. Конечно, на иллюстрации фигура скорее напоминает параллелограмм, однако если разрезать пиццу не на восемь частей, а на большее их количество, угол между сторонами будет приближаться к прямому.

Можно догадаться, что боковые стороны будут равны по длине радиусу окружности. Верхняя и нижняя стороны равны полудлине окружности. Таким образом, мы получаем равенство: R*πR=πR2.

Тогда площадь круга можно найти, воспользовавшись формулой: S=πR2.

Технологическая карта урока «Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности»

Организация: МБОУ ООШ № 5

Населенный пункт: Оренбургская область, г. Бугуруслан

Класс: 8
Тема: Взаимное расположение прямой и окружности

Касательная к окружности.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Вид урока: лекция, учебный практикум.
Цель: познакомить с тремя случаями взаимного расположения прямой и окружности, с понятиями касательная и секущая к окружности, обучить использовать полученные на уроке факты, определения для решения простых задач.
Задачи: 1.Обеспечить усвоение обучающимися взаимного расположения прямой и окружности, понятий касательной к окружности и секущей; выработать умения решать простейшие геометрические задачи, опираясь на изученную тему, проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя изученный материал.
2.Создать условия для развития творческой, коммуникативной и исследовательской компетентностей.
3.Сформулировать убеждение в практической значимости изученной темы и важности умения применять эти знания в повседневной жизни.
Планируемые результаты:
Познавательные: умеют принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации; осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, классификации.
Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.
Коммуникативные: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.
Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений
Применяемые элементы педагогических технологий: Применяются элементы таких педагогических технологий, как личностно – ориентированного обучения, информационно – коммуникационная, технология развития критического мышления, развивающего обучения, здоровьесберегающая, проблемного обучения.
Применяемые формы и методы обучения: Формы: индивидуальная, парная, групповая, коллективная (фронтальная) работа обучающихся на уроке. Основные группы методов:
— словесные (беседа);
— наглядные (использование технических средств, раздаточный материал);
— практические (практические задания)
Оборудование: мультимедийная презентация, учебник, раздаточный материал.
Литература:
1

Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян . – М.: Просвещение, 2019.
2. https://math7-vpr.sdamgia.ru/
3. РЭШ
4. Якласс

Приложения:

1. file0.pptx.. 5,3 МБ

Опубликовано: 04.10.2023

Основные характеристики окружности

1. Радиус — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. У любой окружности можно провести бесконечно много радиусов, которые будут иметь одну и ту же длину. Обозначают радиус r или R. На Рис.2 представлена окружность с центром в точке О радиусом ОА.

2. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. У любой окружности можно провести бесконечно много хорд. На Рис.3 ВС и KD — хорды окружности с центром в точке О.

3. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр (т.е. диаметр — это частный случай хорды). У любой окружности можно провести бесконечно много диаметров, которые будут иметь одну и ту же длину. На Рис.4 МN — диаметр окружности с центром в точке О. Обозначают диаметр d или D. Диаметр в два раза больше радиуса, т.е. d = 2r (D = 2R), откуда r = d : 2 (R = D : 2), следовательно, центр окружности (точка О) является серединой диаметра.

4. Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. На Рис.5 KDC и KBC — дуги, ограниченные точками К и С.

Через какие параметры ее можно найти

Окружность, радиус которой равен r, а центр совпадает с началом декартовой системы координат, можно описать уравнением:

\(r^{2}=x^{2}+y^{2}\)

Данная формула в алгебре является основной.

Если имеется окружность, радиус которой равен r, а центр совпадает с точкой, имеющей координаты (a, b) в декартовой системе координат, то уравнение рассматриваемой окружности приобретает следующий вид:

\(r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}
\)

Параметрическое уравнение окружности, которая имеет радиус r и центр в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат, записывают следующим образом:

\(\begin{cases}x = a + r cos t\\y = b + r sin t\end{cases}
\)

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности в декартовой системе координат $xOy$. Пусть центр окружности $C$ имеет координаты $(x_0,y_0)$, а радиус окружности равен $r$. Пусть точка $M$ с координатами $(x,y)$ — произвольная точка этой окружности (рис. 2).

Рисунок 2. Окружность в декартовой системе координат

Расстояние от центра окружности до точки $M$ вычисляется следующим образом

Но, так как $M$ лежит на окружности, то по определению 3, получаем $CM=r$. Тогда получим следующее

Уравнение (1) и есть уравнение окружности с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат. То уравнение окружности имеет вид

Окружность и круг: основные различия

В геометрии окружность и круг смыслово связаны, но имеют некоторые отличия. Окружность — это геометрическая фигура, представляющая собой линию, состоящую из всех точек, равноудаленных от центра. Круг же — это теоретическая плоская фигура, ограниченная окружностью.

Главным отличием между окружностью и кругом является то, что окружность не имеет площади, в то время как круг — это круглая фигура с определенной площадью. Круг может быть задан с помощью радиуса и центра, который является точкой внутри круга.

Другое различие между окружностью и кругом заключается в их диаметрах. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр круга. В окружности диаметром считается любой отрезок, проходящий через центр, в то время как в круге диаметр — это двойной радиус.

Таким образом, главная разница между окружностью и кругом заключается в том, что окружность является линией, состоящей из точек, равноудаленных от центра, в то время как круг — это ограниченная этой окружностью плоская фигура с определенной площадью. Кроме того, окружность не имеет площади, в отличие от круга.

Определение и форма

Окружность и круг — две понятия из области геометрии, которые отличаются друг от друга. Окружность — это геометрическая фигура, состоящая из множества точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра. Центр окружности — это точка, от которой все точки окружности расположены на одинаковом расстоянии, называемом радиусом.

Теория окружностей в геометрии изучает их свойства и особенности. Окружность является формой, которая не имеет начала и конца, она представляет собой замкнутую линию, состоящую из бесконечного числа точек.

Круг — это закрашенная фигура, которая образуется при закрашивании внутренней части окружности. Круг представляет собой плоскую геометрическую фигуру, ограниченную окружностью. Диаметр круга — это отрезок, соединяющий две точки на окружности круга и проходящий через его центр. Диаметр является максимальной длиной от точки к точке на окружности.

В качестве иллюстрации можно представить таблицу с описанием различий между окружностью и кругом:

Окружность	Круг
Геометрическая фигура	Закрашенная фигура
Бесконечная линия	Ограниченная плоская фигура
Состоит из множества точек на одинаковом расстоянии от центра	Состоит из закрашенной области внутри окружности
Центр и радиус определяют окружность	Центр и радиус определяют круг, а также диаметр

Что такое окружность?

Окружность – это геометрическая фигура, которая представляет собой замкнутую линию на плоскости. Она состоит из всех точек, расположенных на одинаковом расстоянии от определенной точки, которую называют центром окружности.

Один из основных параметров окружности – это радиус, который определяет расстояние от центра до любой точки на окружности. Также можно выразить радиус через диаметр окружности. Диаметр – это отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две противоположные точки на окружности.

Окружность можно охарактеризовать свойствами ее периметра и площади. Периметр окружности вычисляется по формуле 2πr, где r – радиус окружности. Площадь окружности вычисляется по формуле πr².

Чтобы иллюстрировать свойства окружности и ее параметры, можно использовать таблицу или графические примеры. Например, в таблице можно привести значения радиуса, диаметра, периметра и площади окружности для различных значений.

Что такое круг?

Круг — это геометрическая фигура, которая образуется на плоскости при вращении точки вокруг определенной оси, которая называется центром. Линия, которую описывает точка при вращении, называется окружностью. Окружность состоит из всех точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Одной из основных характеристик круга является его радиус. Радиус — это расстояние от центра круга до любой его точки. Другая основная характеристика круга — диаметр. Диаметр — это отрезок, который соединяет две противоположные точки на окружности и проходит через центр.

Также важным понятием в теории круга является площадь. Площадь круга вычисляется по формуле S = π * r^2, где π — приближенное значение математической константы, равное примерно 3.14, а r — радиус круга.

Круг можно представить с помощью таблицы, где будут указаны его основные характеристики: радиус, диаметр, площадь. Используя эту таблицу, можно легко вычислить значение радиуса или площади круга, если известны другие характеристики.

Окружность

• Окружность — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до центра окружности равно.
• Центр окръжности
• Радиус: расстояние от центра окружности до его границы.

Диаметр: наибольшее расстояние от одной границы окружности до другой. Диаметр равен двум радиусам.
$d = 2cdot r$

1. Периметр (длина окружности): длина границы окружности.
   Длина окружности $= pi cdot$ диаметр $= 2 cdot pi cdot$ радиус
2. Длина окружности $= pi cdot d = 2 cdot pi cdot r$

$pi$ — pi: число, равное 3,141592… или $approx frac{22}{7}$, то есть отношение $frac{ ext{длины окружности}}{ ext{диаметр}}$ любого окружности.

Дуга: изогнутая линия, которая является частью окружности.
Дуги окружности измеряется в градусах или радианах.
Например: 90° или $frac{pi}{2}$ — четверть круга,
180° или $pi$ — половина круга.

• Сумма всех дуг окружности составляет 360° или $2pi$
• Хорда: отрезок прямой, соединяющей две точки на окружности.
• Сектор: похож на часть пирога (клин).
• Касательная к окружности: прямая, перпендикулярна к радиусу, и имеющая ТОЛЬКО одну общую точку с окуржностью.

Формулы

1. Длина окружности $=pi cdot ext{диаметр} = 2cdot pi cdot ext{радиус}$
2. Площадь круга $= pi cdot$ радиус2
3. Радиус обозначается как r, диаметр как d,
   длина окружности как P и площадь как S.
4. $P = pi cdot d = 2cdot pi cdot r$
   $S = pi cdot r^2$

• Площадь сектора круга K: (с центральным углом $ heta$ и радиусом $r$).
  Если угол $ heta$ в градусах, тогда площадь = $frac{ heta}{360} pi r^2$
• Если угол $ heta$ в радианах, тогда площадь, тогда площадь = $frac{ heta}{2} r^2$

Центральный угол

Если длина дуги составляет $ heta$ градуов или радиан, то значение центрального угла также $ heta$ (градусов или радиан).

Если вы знаете длину дуги (в дюймах, ярдах, футах, сантиметрах, метрах …) вы можете найти значение её соответствующего центрального угла ($ heta$) по формуле:

$ heta = 360 cdot frac{l}{P} = frac{360 cdot l}{2 cdot pi cdot r} = frac{180 cdot l}{pi cdot r}$

$l$ — длина дуги.

Вписанный угол

Вписанный угол это угол с вершиной на окружности и со сторонами, которые содержат хорды окружности.
На рисунке, угол APB это вписанный угол.

Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается.

1. Пример:
   $widehat{AB} = 84^circ$
2. $angle APB = frac{84}{2} = 42^circ$
3. Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются.
На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50°
тогда углы 1 и 2 равны $frac{1}{2}(60^circ + 50^circ)=55^circ$

Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

$angle ABC =frac{1}{2}(x — y)$

На рисунке дуга AB=80° и дуги CD=30°.
$angle ABC = frac{1}{2}(80 — 30) = frac{1}{2} cdot 50 = 25^circ$

Окружность и круг

Круг — это замкнутая плоская кривая, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от определенной точки. Эта точка называется центром окружности. Линия, соединяющая центр и точки на окружности, называется радиусом. Длина линии также называется радиусом.

Окружность — это часть плоскости, которая лежит внутри окружности. Другими словами, это совокупность точек на плоскости, расстояние которых от определенной точки, называемой центром окружности, не превышает определенного неотрицательного числа. Номер. Это называется радиусом круга.

Определение окружности и круга

Значение. Круг — это фигура, состоящая из всех точек плоскости на определенном расстоянии от определенной точки.

Эта точка называется центром окружности. Расстояние точки от центра окружности называется радиусом окружности. Радиусом также называется часть окружности, соединяющая точку и ее центр.

Значение. Часть окружности, соединяющая две точки, называется струной. Нить, проходящая через центр, называется диаметром.

На рисунке 2.151 изображена окружность с центром в точке O. Отрезок OA — радиус окружности, BD — строка окружности, а CM — диаметр окружности.

Значение. Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости на расстоянии, меньшем или равном одной конкретной точке.

Эта точка называется центром окружности, а это расстояние — радиусом окружности. Граница окружности — это окружность, центр и радиус которой совпадают (рис. 2.152).

Пример:

Какое максимальное количество различных отрезков, не имеющих ничего общего, кроме своих границ, может разделить уровень на a) две окружности и b) три окружности?

Используйте эту диаграмму, чтобы показать соответствующий случай согласования. Запишите ответы: а) четыре сегмента (рис. 2.153) — б) восемь сегментов (рис. 2.154).

Центральные углы и дуги окружности

Предположим, что вершина угла совпадает с центром окружности (рис. 2.155). Угол AOB называется центральным углом.

Определение. Центральный угол окружности — это плоский угол с центром в вершине.

Внутренняя круговая часть угла называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу.

Значение. Пересечение окружности и ее центрального угла называется дугой окружности.

Мера градуса дуги окружности равна мере градуса соответствующего центрального угла.

Градусная мера дуги АВ на рисунке 2.155 равна градусной мере угла АОВ. Градусная мера дуги АВ обозначается

Можно ввести еще одну важную единицу дуги. При измерении углового значения дуги окружности единицей измерения является угловое значение этой дуги окружности, длина которой равна радиусу окружности. Эта единица измерения размера угловой дуги называется радиусом.

Сформулируем некоторые свойства измерения дуги окружности.

-Измеренный порядок дуги не зависит от размера окружности.

-Соответствующие дуги двух концентрических окружностей на рис. 2.156 имеют одинаковый порядок (размер).

-По мере увеличения размера дуги (в пределах определенной окружности) ее мера также увеличивается.

Окружности (или круги) равны, если у них равные радиусы. Мы можем говорить о равных дугах, но равная дуга может быть либо одной окружностью, либо равной окружностью.

Значение. Две дуги одинаковых или равных окружностей называются равными, если они имеют одинаковую степень меры.

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr,

где:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p},

где p = \frac{a + b + c}{2}

Формулы для окружности и круга

Мы рассмотрели окружности и круг, а также их элементы, однако ни одну задачу не получится решить без формул. Давайте рассмотрим их. 

Однако перед этим необходимо ввести еще несколько терминов. 

Длина окружности – это длина кривой, которая образует окружности. 

Если мы с помощью сантиметровой ленты измерим длину нашего обруча, то как раз получим длину окружности. 

Длина дуги – это длина части кривой, которая образует окружность. 

Отличие от длины окружности только в том, что тут измеряется не вся кривая, а только ее часть. 

В таблице ниже приведены основные формулы, которые могут встретиться при решении задач. 

Выводы

Круг – плоская, двухмерная фигура. Шар – объемное трехмерное геометрическое тело. Тем не менее, они имеют массу сходств (наличие ограничивающей поверхности, диметра и радиуса, наполненность структуры в отличие от той же окружности, возможност вычислить площадь).

Чем же отличается круг от шара? Круг плоский, шар же имеет объем. Именно объемность шара позволяет ему делиться на сечения, которые по своей сути являются кругами. Круг, напротив, делится на сектора.

Публикации по теме:

Детско-родительский игровой сеанс «Круг» для детей ОВЗ Игровое занятие КРУГ для детей ОВЗ Тема «Осень. Природные явления» Цели и задачи занятия КРУГ Главная цель занятия КРУГ – дать каждому ребенку.

Конкурс профессионального мастерства «Солнечный круг» (фотоотчет) С 12 по 26 октября 2015 года в нашем детском саду проходил конкурс профессионального мастерства «Воспитатель года». Цель конкурса: выявление.

Конспект НОД по ФЭМП «Знакомьтесь: круг» Конспект НОД по ФЭМП во второй младшей группе «Знакомьтесь- круг» Цель: развитие познавательных интересов детей Задачи: Познакомить.

НОД по математике «Круг и квадрат» (младшая группа) Тема: «Круг и квадрат» (младшая группа) Образовательная область: познание Цель: Продолжать учить находить один и много предметов в специально.

Поделки в технике «объемный квиллинг» Здравствуйте, коллеги! Недавно открыла для себя технику объемного квиллинга. Искусство, которое на русском языке называют «бумагокручением»,.

Проект по математическому развитию «Круг, квадрат и треугольник-фигуры важные, фигуры нужные» Номинация проекта – «Дошкольный возраст» Вид проекта: долгосрочный, фронтальный. Участники проекта: подгруппа детей средней группы, воспитатель.

«Снежинка 3-D». Объемный модуль для украшения интерьера Приближаются Новогодние праздники и перед нами, как воспитателями опять стоит вопрос «Чем же удивить детей и взрослых?». Просторы Интернета.

Совместная образовательная деятельность по ФЭМП «Круг и квадрат» Совместная образовательная деятельность взрослого и детей ФЭМП «Круг и квадрат». Цель: закреплять умение различать и называть круг и квадрат.

Весенний объемный тюльпан на открытке в подарок маме Не за горами прекрасный весенний праздник 8 Марта. И уже сейчас многие педагоги задумались над тем, что бы смастерить с детьми мамам в.

На уроках геометрии в школе все мы изучали свойства различных фигур и линий. Каждая из них имеет свои особенности, а порой некоторые из них взаимосвязаны друг с другом. Взять для примера хотя бы круг и окружность – между ними есть определенная связующая линия. Только вот какая? Давайте вместе разберемся в этом вопросе.Окружность
представляет собой бесчисленное множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной единственной, называемой центром окружности. Соединенные между собой точки формируют кривую линию, которая и будет окружностью. Все точки, которые находятся на другом расстоянии от центра окружности, не будут находиться на этой линии, поэтому не будут входить в окружность. Соответственно, окружность – это геометрическая фигура, которая представляет собой определенную линию, а все, что находится внутри нее либо снаружи, к окружности не относится. По этой причине имеется четкое понятие, что окружность делит всю плоскость на две части – внутреннюю, ограниченную линией окружности, и внешнюю, безграничную, поскольку плоскость в общем понимании не имеет границ.Круг
является геометрической фигурой, граница которой состоит из бесчисленного множества точек, равноудаленных от центра круга. Все внутреннее пространство, а также центр круга принадлежат ему, таким образом, можно говорить о том, что круг представляет собой некую площадь пространства, ограниченную множеством точек. А поскольку эти точки равноудалены от центра, то границей круга будет окружность. Все внешнее пространство кругу не принадлежит, зато он охватывает всю ту часть плоскости, которая очерчена при помощи окружности.
Различия между кругом и окружностью не столь велики, поскольку эти фигуры представляют собой неисчисляемое количество точек плоскости, находящихся от одной центральной точки на одинаковом расстоянии. Но важным отличительным признаком является тот факт, что внутреннее пространство не принадлежит окружности, но обязательно является составной частью круга. Иными словами, круг представляет собой не только окружность, которая является его границей, но также и то бесконечное число точек, находящихся внутри этой окружности.