Основные задачи и действия на обыкновенные дроби

Действия с Дробями

Дробить — значит разбивать на более мелкие части. И в математике дробь — это что-то меньше, чем целая единица. Мне нравится использовать для примера тортики. Почему-то ученики с удовольствием придумывают способы для того, чтобы разделить тортики на несколько равных частей. Собственно, это и есть применение математики в жизни.

Если мы разделим тортик на две части, то их называют половинки, или если в виде
дроби — «одна вторая».

1 число над дробью называется ЧИСЛИТЕЛЬ, он показывает какое количество (ЧИСЛО) частей мы взят.
2 число под дробью называется ЗНАМЕНАТЕЛЬ, он показывает на сколько равных частей мы разбили целое (тортик, например)

Если ученик сам не смог вспомнить — как называются числитель и знаменатель, то надо ему на них показать, назвать и попросить самому дать определения этим словам, а потом потренировать, показывая ему на примеры дробей. Эти слова часто используют
в математике, физике и даже просто в жизни: вы слышали когда-нибудь — «надо их к одному знаменателю привести»? «Привести», кстати, в математике означает не «переместить к нужному пункту что-то или кого-то». Как «привести машину к подъезду».

В математике «привести» — значит сделать действия в соответствии с правилами, чтобы получилось что-то одно или одинаковое с чем-то. То есть надо сделать так, чтобы у дробей были одинаковые знаменатели.
Попросите ученика разделить «тортики» (круги) на 4 равные части, на 8 частей,
на 3 части. Пусть поищут способы, чтобы части были равными.

Скажите, что когда делим на 4 части, то одна из частей называется одна ЧЕТВЁРТАЯ,
две таких части — две четвёртых, три — три четвертых. Пусть он попрактикуется в названии разных дробей пока не поймёт это очень хорошо.
Потом спросите — как нам сложить одинаковые части? Одна четвёртая и одна четвёртая будет сколько? Правильно — две четвёртых. То есть, если мы складываем дроби с одинаковым знаменателем — мы не трогаем знаменатели, они остаются теми же,
а числители складываем. Если ученик будет складывать знаменатели (например, одна вторая и одна вторая у него будет получаться две четвёртых, а это неверно!), попросите его
нарисовать на тортике — что у него получается, какие части торта и пусть он сравнит наглядно с тем, что должно получиться при правильном сложении.
Далее нам надо сложить дроби с разными знаменателями. Если у него трудности, то мы объясняем, как это делается на таком примере:

Примеры с десятичными дробями 5 класс с объяснением

Много вопросов у детей вызывают примеры на несколько действий. Разберем пару таких примеров.

Пример 1.

( 0,4 · 8,25 — 2,025 ) : 0,5 = 

Первым действием находим произведение чисел 8,25 и 0,4. Выполняем умножение по правилу. В ответе отсчитываем справа налево три знака и ставим запятую.

Второе действие находится там же в скобках, это разность. От 3,300 вычитаем 2,025. Записываем действие в столбик, запятая под запятой.

Третье действие-деление. Полученную разность во втором действии делим на 0,5. Запятая переносится на один знак. Результат  2,55.

Ответ: 2,55.

Пример 2.

( 0, 93 + 0, 07 ) : ( 0, 93 — 0, 805 ) =

Первое действие сумма в скобках.Складываем в столбик, помним, что запятая под запятой. Получаем ответ 1,00.

Второе действие разность из второй скобки. Так как у уменьшаемого меньше знаков после запятой, чем у вычитаемого, добавляем недостающий. Результат вычитания 0 ,125.

Третьим действие делим сумму на разность. Запятая переносится на три знака. Получилось деление 1000 на 125.

Ответ: 8.

❓Вопросы и ответы

А ещё предлагаем обратить внимание на ответы на некоторые часто задаваемые вопросы по умножению дробей

Что обозначает знаменатель?

Знаменателем называется число в дроби, которое обозначает, на сколько частей разделено общее число. Знаменатель дроби делится на числитель для получения дробного числа.

Какие дроби называются многоэтажными?

Составная (или многоэтажная) дробь – это дробь, где в числителе или знаменателе, или в обоих элементах содержится одна или несколько дробей. Упрощение составной дроби может быть легким или сложным в зависимости от количества дробей в числителе и знаменателе, а также от наличия в них переменных и их типов.

Черта дроби как знак деления

Представление исходного предмета в виде n долей представляет собой не что иное как деление на n равных частей. После того как предмет разделен на n долей, мы его можем разделить поровну между n людьми – каждый получит по одной доле.

Если же у нас есть изначально m одинаковых предметов, каждый из которых разделен на n долей, то эти m предметов мы можем поровну разделить между n людьми, раздав каждому человеку по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1/n, а m долей 1/n дает обыкновенную дробь m/n. Таким образом, обыкновенную дробь m/n можно применять для обозначения деления m предметов между n людьми.

Так мы получили явную связь между обыкновенными дробями и делением (смотрите общее представление о делении натуральных чисел). Эта связь выражается в следующем: черту дроби можно понимать как знак деления, то есть, m/n=m:n.

С помощью обыкновенной дроби можно записать результат деления двух натуральных чисел, для которых не выполняется деление нацело. Например, результат деления 5 яблок на 8 человек можно записать как 5/8, то есть, каждому достанется пять восьмых долей яблока: 5:8=5/8.

Умножение дробей с целой частью и отрицательных дробей

Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.

Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:

1. Плюс на минус дает минус;
2. Минус на минус дает плюс.

До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:

1. Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
2. Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.

Все дроби переводим в неправильные, а затем выносим минусы за пределы умножения. То, что осталось, умножаем по обычным правилам. Получаем:

Еще раз напомню, что минус, который стоит перед дробью с выделенной целой частью, относится именно ко всей дроби, а не только к ее целой части (это касается двух последних примеров).

Также обратите внимание на отрицательные числа: при умножении они заключаются в скобки. Это сделано для того, чтобы отделить минусы от знаков умножения и сделать всю запись более аккуратной

Сложение дробей, объяснение

Давайте более подробно разберем, как складывать обыкновенные и десятичные дроби.

Как видно на изображении выше, у дроби одна третья и две третьих общий знаменатель три. Значит требуется сложить только числители единицу и два, а знаменатель оставить без изменения. В итоге получается сумма три третьих. Такой ответ, когда числитель и знаменатель дроби равны, можно записать как 1, так как 3:3 = 1.

Требуется найти сумму дробей две третьих и две девятых. В этом случае знаменатели различны, 3 и 9. Чтобы выполнить сложение, нужно подобрать общий. Есть очень простой способ. Выбираем наибольший знаменатель, это 9. Проверяем делится ли он на 3. Так как 9:3 = 3 без остатка, следовательно 9 подходит как общий знаменатель.

Следующим шагом находим дополнительные множители для каждого числителя. Для этого общий знаменатель 9 делим поочередно на знаменатель каждой дроби, полученные числа и будут допол. множ. Для первой дроби: 9:3 = 3, дописываем к числителю первой дроби 3. Для второй дроби: 9:9 = 1, единицу можно не дописывать, так как при умножении на нее получится то же самое число.

Теперь умножаем числители на их дополнительные множители и складываем результаты. Полученная сумма дробь восемь девятых.

Сложение десятичных дробей выполняется по тому же правилу, что и сложение натуральных чисел. В столбик, разряд записывается под разрядом. Единственное отличие в том, что в десятичных дробях нужно правильно поставить запятую в результате. Для этого дроби записываются запятая под запятой, и в сумме требуется лишь снести запятую вниз.

Найдем сумму дробей 38, 251 и 1, 56. Чтобы было удобнее выполнять действия, мы уровняли количество десятичных знаков справа, добавив 0.

Складываем дроби не обращая внимания на запятую. А в полученной сумме просто опускаем запятую вниз. Ответ: 39, 811.

Умножение и деление дробей.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…» )

Эта операция гораздо приятнее сложения-вычитания! Потому что проще. Напоминаю: чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить числители (это будет числитель результата) и знаменатели (это будет знаменатель). То есть:

Например:

Всё предельно просто. И, пожалуйста, не ищите общий знаменатель! Не надо его здесь…

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно перевернуть вторую (это важно!) дробь и их перемножить, т.е.:

Например:

Если попалось умножение или деление с целыми числами и дробями — ничего страшного. Как и при сложении, делаем из целого числа дробь с единицей в знаменателе — и вперёд! Например:

В старших классах часто приходится иметь дело с трехэтажными (а то и четырехэтажными!) дробями. Например:

Как эту дробь привести  к приличному виду? Да очень просто! Использовать деление через две точки:

Но не забывайте о порядке деления! В отличие от умножения, здесь это очень важно! Конечно, 4:2, или 2:4 мы не спутаем. А вот в трёхэтажной дроби легко ошибиться

Обратите внимание, например:

В первом случае (выражение слева):

Во втором (выражение справа):

Чувствуете разницу? 4 и 1/9!

А чем задается порядок деления? Или скобками, или (как здесь) длиной горизонтальных черточек. Развивайте глазомер. А если нет ни скобок, ни черточек, типа:

то делим-умножаем  по порядочку, слева направо!

И еще очень простой и важный приём. В действиях со степенями он вам ох как пригодится! Поделим единицу на любую дробь, например, на 13/15:

Дробь перевернулась! И так бывает всегда. При делении 1 на любую дробь, в результате получаем ту же дробь, только перевернутую.

Вот и все действия с дробями. Вещь достаточно простая, но ошибок даёт более, чем достаточно. Примите к сведению практические советы, и их (ошибок) будет меньше!

Практические советы:

1. Самое главное при работе с дробными выражениями — аккуратность и внимательность! Это не общие слова, не благие пожелания! Это суровая необходимость! Все вычисления на ЕГЭ делайте как полноценное задание, сосредоточенно и чётко. Лучше написать две лишние строчки в черновике, чем накосячить при расчёте в уме.

2. В примерах с разными видами дробей — переходим к обыкновенным дробям.

3. Все дроби сокращаем до упора.

4. Многоэтажные дробные выражения  сводим к обыкновенным, используя деление через две точки (следим за порядком деления!).

5. Единицу на дробь делим в уме, просто переворачивая дробь.

Вот вам задания, которые нужно обязательно прорешать. Ответы даны после всех заданий. Используйте материалы этой темы и практические советы. Прикиньте, сколько примеров вы смогли решить правильно. С первого раза! Без калькулятора! И сделайте верные выводы…

Помните – правильный ответ, полученный со второго (тем более – третьего) раза – не считается! Такова суровая жизнь.

Итак, решаем в режиме экзамена! Это уже подготовка к ЕГЭ, между прочим. Решаем пример, проверяем, решаем следующий. Решили все — проверили снова с первого по последний. И только потом смотрим ответы.

Вычислить:

Порешали?

Ищем ответы, которые совпадают с вашими. Я специально их в беспорядке записал, подальше от соблазна, так сказать… Вот они, ответы, через точку с запятой записаны.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

А теперь делаем выводы. Если всё получилось — рад за вас! Элементарные вычисления с дробями — не ваша проблема! Можно заняться более серьёзными вещами. Если нет…

Значит, у вас одна из двух проблем. Или обе сразу.) Нехватка знаний и (или) невнимательность. Но… Это решаемые проблемы.

В разобраны все эти (и не только!) примеры. С подробными пояснениями что, зачем и как… Такой разбор здорово помогает при нехватке знаний и навыков!

Да и по второй проблеме там есть кое-что…) Вполне практический совет, как стать внимательнее. Да-да! Совет, который может применить каждый.

Кроме знаний и внимательности для успеха нужен определенный автоматизм. Где его взять? Слышу тяжелый вздох… Да, только в практике, больше негде.

Можете для тренировки зайти на сайт 321start.ru. Там в опции «Попробовать» есть 10 примеров для всех желающих. С мгновенной проверкой. Для зарегистрированных пользователей — 34 примера от простых до суровых. Это только по дробям…

Положительные и отрицательные дроби

Каждая обыкновенная дробь отвечает положительному дробному числу (смотрите статью положительные и отрицательные числа). То есть, обыкновенные дроби являются положительными дробями. К примеру, обыкновенные дроби 1/5, 56/18, 35/144 – положительные дроби. Когда нужно особо выделить положительность дроби, то перед ней ставится знак плюс, например, +3/4, +72/34.

Если перед обыкновенной дробью поставить знак минус, то эта запись будет соответствовать отрицательному дробному числу. В этом случае можно говорить об отрицательных дробях. Приведем несколько примеров отрицательных дробей: −6/10, −65/13, −1/18.

Положительная и отрицательная дроби m/n и −m/n являются противоположными числами. К примеру, дроби 5/7 и −5/7 – противоположные дроби.

Положительные дроби, как и положительные числа в целом, обозначают прибавление, доход, изменение какой-либо величины в сторону увеличения и т.п. Отрицательные дроби отвечают расходу, долгу, изменению какой-либо величины в сторону уменьшения. Например, отрицательную дробь −3/4 можно трактовать как долг, величина которого равна 3/4.

На горизонтальной и направленной вправо отрицательные дроби располагаются левее начала отсчета. Точки координатной прямой, координатами которых являются положительная дробь m/n и отрицательная дробь −m/n расположены на одинаковом расстоянии от начала координат, но по разные стороны от точки O.

Здесь же стоит сказать о дробях вида 0/n. Эти дроби равны числу нуль, то есть, 0/n=0.

Положительные дроби, отрицательные дроби, а также дроби 0/n объединяются в рациональные числа.

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь  можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение  можно понимать, как взятие  пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится  пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения  равно 

Пример 2. Найти значение выражения 

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения 

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Как научить ребенка легко решать дроби с помощью лего

С помощью такого конструктора можно не только хорошо развивать воображение ребенка, но и объяснить наглядно в игровой форме, что такое доля и дробь.

На картинке ниже показано, что одна часть с восемью кружками это целое. Значит, взяв пазл с четырьмя кружками, получается половина, или 1/2. На картинке наглядно показано, как решать примеры с лего, если считать кружки на деталях.

Вы можете построить башенки из определенного количества частей и подписать каждую из них, как на картинке ниже. Например возьмем башенку из семи частей. Каждая часть зеленого конструктора будет 1/7. Если вы к одной такой части добавите еще две, то получится 3/7. Наглядное объяснение примера 1/7+2/7 = 3/7.

Сокращение дробей «на лету»

Умножение — весьма трудоемкая операция. Числа здесь получаются довольно большие, и чтобы упростить задачу, можно попробовать сократить дробь еще до умножения. Ведь по существу, числители и знаменатели дробей — это обычные множители, и, следовательно, их можно сокращать, используя основное свойство дроби. Взгляните на примеры:

По определению имеем:

Во всех примерах красным цветом отмечены числа, которые подверглись сокращению, и то, что от них осталось.

Обратите внимание: в первом случае множители сократились полностью. На их месте остались единицы, которые, вообще говоря, можно не писать

Во втором примере полного сокращения добиться не удалось, но суммарный объем вычислений все равно уменьшился.

Однако ни в коем случае не используйте этот прием при сложении и вычитании дробей! Да, иногда там встречаются похожие числа, которые так и хочется сократить. Вот, посмотрите:

Ошибка возникает из-за того, что при сложении в числителе дроби появляется сумма, а не произведение чисел. Следовательно, применять основное свойство дроби нельзя, поскольку в этом свойстве речь идет именно об умножении чисел.

Других оснований для сокращения дробей просто не существует, поэтому правильное решение предыдущей задачи выглядит так:

Как видите, правильный ответ оказался не таким красивым. В общем, будьте внимательны.

1. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
2. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (средний)
3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (средний)
4. Сложные логарифмические неравенства
5. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
6. Обход точек в стереометрии — 2

Что такое дроби и какие бывают дроби?

Дробью называют число, состоящее из одной или более равных частей единицы. Если говорить проще, то дробь обозначает часть чего-либо. К примеру, может быть один пирог, а может быть одна часть и еще несколько, например, один целый пирог и три кусочка.

Существуют дроби обыкновенные и десятичные:

Обыкновенные дроби – это дроби, состоящие из числителя, расположенного верху (делимое), и знаменателя, расположенного внизу (делитель).

Они могут быть разделены либо горизонтальной, либо косой чертой, обозначающей деление. Знаменателем отражается то, на сколько частей можно разделить целое, а числитель показывает, сколько частей имеется. Например: 1/₂, 3/₄, 7/₁₀. Также следует знать, что обыкновенные дроби могут быть правильными и неправильными. В правильных дробях знаменатель больше числителя (6/₈, 9/₁₅), а в неправильных дробях легко выделить целую часть и дробную (14/₅, 32/₇). Число, которое получается, принято называть смешанной дробью.

Десятичные дроби – это дроби, в знаменателе которых расположена степень числа «10». Записываются такие дроби несколько иначе – через запятую, и имеют вид 0,7 или 0, 63 и т.п.

А еще советуем запомнить, что есть дроби:

• Числовые, т.е. состоящие из чисел. Например: 6/₈, 0,3 и т.п.
• Алгебраические, т.е. состоящие из переменных. Например: (a + b)(a – b). Причем здесь значение дроби будет зависеть от значений переменных.

С этими дробями и приходится работать в школе или вузе, а некоторым еще и по роду деятельности. Кстати, стоит заметить, что некоторые люди, как мы и сказали, производят математические операции с дробями ради развлечения, для тренировки своих математических способностей и/или поддержания в тонусе мозга.

Зачем уметь работать с дробями?

Дроби используются в различных областях жизни, в том числе:

• Математика: вычисление дробных величин, операции с дробями и т.д.
• Кулинария: расчет ингредиентов для приготовления блюд.
• Финансы: вычисление процентов, деление денежных сумм на части и т.д.
• Строительство: расчет объема материалов и работ.
• Производственные процессы: расчет долей ресурсов и материалов.
• Образование: вычисление средних оценок, расчет долей в статистике.
• Медицина: расчет доз лекарств и необходимого количества компонентов.
• Геодезия: расчет длины линий и площади.
• Дизайн: расчет пропорций и размеров.
• Технологии: расчет долей энергии, памяти, дискового пространства и т.д.

И это далеко не полный список – дроби можно встретить и во многих других сферах. И в каждой из этих областей дроби используются для точного вычисления величин и удобного представления частей целого.

Кроме того, решение математических задач – прекрасный инструмент для тренировки математических навыков и отличная гимнастика для мозга. Вот лишь несколько причин, почему полезно время от времени умножать дроби и решать другие примеры:

• Это развивает логику: математические задачи требуют применения логических умений, учат связывать факты и делать выводы.
• Это улучшает память: математика требует запоминать формулы и методы решения задач, что способствует улучшению памяти.
• Это способствует креативному мышлению: некоторые математические задачи требуют применения нестандартных подходов и инициативности.
• Это улучшает мышление: математическая активность тренирует мозг на устойчивость к сложным концептам и улучшает способность к анализу и синтезу.

В целом, решение математических задач может улучшать ментальные способности и способствовать развитию мозга. Поэтому знать, как умножать дроби, и уметь это делать полезно любому человеку, а школьникам, студентам и специалистам, чья деятельность связана с математикой, особенно.

Дробные выражения

Рассмотрим дробь $\frac{a}{b}$, которая равна частному $a\div b$. В таком случае частное от деления одного выражения на другое удобно записывать также с помощью черты.

Пример 6

Например, выражение $(13,5–8,1)\div (20,2+29,8)$ можно записать следующим образом:

$\frac{13,5-8,1}{20,2+29,8}$.

После выполнение расчетов получим значение данного выражения:

$\frac{13,5-8,1}{20,2+29,8}=\frac{5,4}{50}=\frac{10,8}{100}=0,108$.

Определение 1

Дробным выражением называется частное двух чисел или числовых выражений, в котором знак $«:»$ заменен дробной чертой.

Пример 7

$\frac{2,4}{1,3 \cdot 7,5}$, $\frac{\frac{5}{8}+\frac{3}{11}}{2,7-1,5}$, $\frac{2a-3b}{3a+2b}$, $\frac{5,7}{ab}$ – дробные выражения.

Определение 2

Числовое выражение, которое записывается выше дробной черты, называется числителем, а числовое выражение, которое записывается ниже дробной черты, – знаменателем дробного выражения.

В числителе и знаменателе дробного выражения могут стоять числа, числовые или буквенные выражения.

Для дробных выражений могут применяться правила, которые справедливы для обыкновенных дробей.

Пример 8

Найти значение выражения $\frac{5 \frac{3}{11}}{3 \frac{2}{7}}$.

Решение.

Умножим числитель и знаменатель данного дробного выражения на число $77$:

$\frac{5 \frac{3}{11}}{3 \frac{2}{7}}=\frac{5 \frac{3}{11} \cdot 77}{3 \frac{2}{7} \cdot 77}=\frac{406}{253}=1,6047…$

Ответ: $\frac{5 \frac{3}{11}}{3 \frac{2}{7}}=1,6047…$

Пример 9

Найти произведение двух дробных чисел $\frac{16,4}{1,4}$ и $1 \frac{3}{4}$.

Решение.

$\frac{16,4}{1,4} \cdot 1 \frac{3}{4}=\frac{16,4}{1,4} \cdot \frac{7}{4}=\frac{4,1}{0,2}=\frac{41}{2}=20,5$.

Ответ: $\frac{16,4}{1,4} \cdot 1 \frac{3}{4}=20,5$.

Пример 10

Найти сумму двух дробей $\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4}$.

Решение.

$\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4}=\frac{4+3}{1,4}=\frac{7}{1,4}=\frac{70}{14}=5$.

Ответ: $\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4}=5$.

Для выполнения сложения дробных выражений удобно сразу их преобразовать к виду обыкновенных дробей, а затем выполнить сложение:

$\frac{2}{0,7}+\frac{3}{1,4}=\frac{20}{7}+\frac{30}{14}=\frac{20}{7}+\frac{15}{7}=\frac{35}{7}=5$.

Пример 11

Найти значение выражения: $\frac{\frac{7}{11} \cdot \frac{33}{21}+1,23}{5,1-2,8}$.

Решение.

$\frac{\frac{7}{11} \cdot \frac{33}{21}+1,23}{5,1-2,8}=\frac{\frac{7 \cdot 33}{11 \cdot 21}+1,23}{2,3}=\frac{1+1,23}{2,3}=\frac{2,23}{2,3}=\frac{9,79}{2,3}=0,96956…$

Ответ: $\frac{\frac{7}{11} \cdot \frac{33}{21}+1,23}{5,1-2,8}=0,96956…$

Пример 12

Найти значение выражения $\frac{2,48+3 \frac{5}{9} \cdot 1 \frac{1}{8}}{6,1-3,7}$.

Решение.

В числителе смешанные числа преобразуем к виду неправильных дробей и выполним вычисления:

$\frac{2,48+3 \frac{5}{9} \cdot 1 \frac{1}{8}}{6,1-3,7}=\frac{2,48+\frac{32}{9} \cdot \frac{9}{8}}{2,4}=\frac{2,48+4}{2,4}=\frac{6,48}{2,4}=2,7$.

Ответ: $2,7$.

Умножение дробей на натуральные числа

При умножении дробей на натуральные числа мы снова можем столкнуться с умножением как обычных, так и десятичных дробей.

Умножение на натуральные числа обыкновенных дробей

При умножении обыкновенной дроби на натуральное число необходимо умножить лишь числитель, а знаменатель не менять. Если в результате получается неправильная дробь, нужно выделить из нее целую часть, чтобы прийти к смешанному числу.

Пример:

При умножении смешанного числа достаточно перевести его в неправильную дробь, а далее умножить по такой же схеме:

Но есть и еще один вариант. Вы можете разделить знаменатель на имеющееся натуральное число, оставив числитель без изменений. Такой способ лучше всего использовать при делении знаменателя на натуральное число без остатка.

Пример:

Можете попробовать решить парочку примеров двумя разными способами, и вы увидите, что ответ останется неизменным.

Умножение на натуральные числа десятичных дробей

При умножении десятичной дроби на натуральное число можно применить тот же способ, что и для умножения дроби на дробь. Сначала умножьте числа столбиком, а затем отсчитайте количество цифр, имеющееся после запятой в десятичной дроби. В этом месте должна стоять запятая.

Пример:

Когда требуется умножить десятичную дробь на 10, на 100, на 1000 и т.п., нужно просто переместить запятую вправо на количество знаков равное количеству нулей после единицы. К примеру: 0,025 х 10 = 0,25 или 0,025 х 100 = 2,5.

Как вы заметили, умножать дроби очень просто, несмотря на то что изначально примеры с дробями могут пугать и вводить в ступор. Немного попрактиковавшись, вы научитесь решать массу математических задач и выполнять вычисления, требующие дробных ответов, в различных областях, таких как финансы, наука, инженерия и, конечно же, математика.

Вопросы и ответы

А ещё предлагаем обратить внимание на ответы на некоторые часто задаваемые вопросы по умножению дробей

Что обозначает знаменатель?

Знаменателем называется число в дроби, которое обозначает, на сколько частей разделено общее число. Знаменатель дроби делится на числитель для получения дробного числа.

Какие дроби называются многоэтажными?

Составная (или многоэтажная) дробь – это дробь, где в числителе или знаменателе, или в обоих элементах содержится одна или несколько дробей. Упрощение составной дроби может быть легким или сложным в зависимости от количества дробей в числителе и знаменателе, а также от наличия в них переменных и их типов.

Действия с дробями

Одно действие с обыкновенными дробями – сравнение дробей — мы уже рассмотрели выше. Определены еще четыре арифметических действия с дробями – сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Остановимся на каждом из них.

Общая суть действий с дробями аналогична сути соответствующих действий с натуральными числами. Проведем аналогию.

Например, сложение дробей 1/8 и 5/8 можно интерпретировать как следующее действие: на тарелке находится одна восьмая часть яблока, после чего на эту же тарелку кладут еще пять восьмых частей такого же яблока, в результате на тарелке оказывается сумма 1/8+5/8 яблока. Сложение дробей проводится по определенным правилам, а результатом сложения двух обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (в частном случае она сократится до натурального числа). Дальнейшая детальная информация по теме собрана в статье сложение дробей – правила, примеры и решения.

Вычитание дробей является действием, обратным к сложению. То есть, по одной известной дроби и известной сумме двух дробей находится неизвестная вторая дробь. Если говорить о вычитании обыкновенных дробей (без рассмотрения отрицательных дробей), то это действие возможно лишь тогда, когда вычитаемая обыкновенная дробь меньше уменьшаемой дроби. Продолжение смотрите в статье вычитание дробей – правила, примеры и решения.

Умножение дробей можно рассматривать как действие, при котором находится дробь от дроби. Для пояснения приведем пример. Пусть у нас есть 1/6 часть яблока и нам нужно взять 2/3 части от нее. Нужная нам часть является результатом умножения дробей 1/6 и 2/3. Результатом умножения двух обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (которая в частном случае равна натуральному числу). Дальше рекомендуем к изучению информацию статьи умножение дробей – правила, примеры и решения.

Обратным действием к умножению дробей является деление дробей. Оно заключается в нахождении дроби, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей. Продолжением материала является статья деление дробей – правила, примеры и решения.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).