Калькулятор площади круга

Шаги

Метод 1

Метод 1 из 2:

Через диаметр

1. 1

   Запишите формулу для вычисления длины окружности через диаметр. Формула имеет вид: C = πd, где C — длина окружности, d — диаметр окружности. То есть длина окружности равна произведению диаметра на число π (π примерно равно 3,14).
   X
   Источник информации

   Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности, и проходящий через ее центр.

2. 2

   Подставьте данные вам значения в формулу и найдите длину окружности. Ниже приведен пример такого рода задачи.
   X
   Источник информации

   • Пример: у вас есть круглый бассейн диаметром 8 м, и вы хотите поставить вокруг него забор на расстоянии 6 м.
   • Чтобы рассчитать длину забора, сначала найдите диаметр окружности, то есть диаметр бассейна (8 м) плюс расстояние до забора с обеих сторон (6 м + 6 м).
   • В нашем примере диаметр равен 8 + 6 + 6 = 20 м. Подставьте это значение в формулу, нажмите на калькуляторе кнопку π (либо наберите 3,14) и вычислите длину окружности:
   • C = πd
   • C = π x 20
   • C = 62,8 м

Метод 2

Метод 2 из 2:

Через радиус

1. 1

   Запишите формулу для вычисления длины окружности через радиус. Формула имеет вид: C = 2πr, где C — длина окружности, r — радиус окружности. То есть длина окружности равна удвоенному произведению радиуса на число пи (π примерно равно 3,14).
   X
   Источник информации

   • Радиус — это любой отрезок, соединяющий точку, лежащую на окружности, с ее центром.
   • Вы наверняка заметили, что эта формула похожа на формулу C = πd. Это потому, что радиус равен половине диаметра, а диаметр, соответственно, — двум радиусам (2r).

2. 2

   Подставьте данные вам значения в формулу и найдите длину окружности. Например, вы вырезаете полоски декоративной бумаги, чтобы красиво обернуть вокруг кексов при подаче на стол. Радиус кекса равен 5 см. Подставьте это значение в формулу:
   X
   Источник информации

   • C = 2πr
   • C = 2π x 5
   • C = 10π
   • C = 31,4 см.

Советы

• Можете купить инженерный или научный калькулятор, в котором уже есть кнопка π. Так вам придется нажимать меньше кнопок, к тому же ответ будет более точным, поскольку встроенная кнопка π имеет более точное значение, чем 3,14.
• При решении задачи от вас могут потребовать писать не значок π, а его числовое значение — 3,14 (или с большим количеством знаков после запятой). Уточняйте требования у учителя.
• Чтобы вычислить окружность, зная диаметр, просто умножьте диаметр на число π.

• Радиус всегда равен половине диаметра.
  X
  Источник информации

• Не торопитесь. Помните старую пословицу: семь раз отмерь, один раз отрежь.
• Если вы не можете решить задачу, попросите помощи у друга,кого-нибудь из семьи или учителя. Они всегда помогут!
• Не забывайте перепроверять вычисления, так как любая ошибка приведет к неправильному результату.

Примеры расчета длины окружности

Рассмотрим несколько интересных и, возможно, забавных примеров вычисления длины окружности.

1. Представьте, что у вас есть огромное печенье с диаметром 20 см. Как далеко вы бы «прошли», если бы решили обойти его по краю? Используя формулу C = πD, получим C ≈ 3.14 * 20 = 62.8 см.

2. Летнее кольцо для плавания в бассейне имеет радиус 1.5 м. Какое расстояние вы пройдете, если решите обойти его, не пускаясь в плавание? C ≈ 2 * 3.14 * 1.5 = 9.42 м.

3. Ваш кот уснул на круглом коврике с радиусом 40 см. Вы бы не хотели его будить, но крайне интересно, каков периметр его мягкого «лежбища». C ≈ 2 * 3.14 * 40 = 251.2 см. Надеемся, ваш кот оценит ваши математические способности!

Площадь сектора

Напомним, что сектором называется часть круга, образованная двумя его радиусами. Если же в круге проведена хорда, то она отсекает от него сегмент:

Проведем из центра окружности 360 радиусов, причем угол между соседними радиусами будет ровно 1°. В результате мы разобьем окружность на 360 одинаковых секторов, площадь каждого такого сектора будет в 360 раз меньше площади круга:

Теперь рассмотрим сектор, который образован дугой величиной в α градусов. Если α – целое число, то такой сектор можно составить из α секторов, каждый из которых составляет по 1°. Тогда площадь сектора круга будет определяться формулой:

Задание. Круговой сектор опирается на дугу в 45°, а его радиус составляет 40. Определите площадь этого сектора.

Решение. Используем выведенную формулу:

Ответ: 12,5π.

Задание. Площадь сектора равна 200 см2. Он опирается на дугу в 30°. Каков радиус кругового сектора? При решении примите π равным 3,14.

Решение. Из формулы площади сектора выразим радиус окружности:

Ответ: ≈ 27,6 см.

Задание. На сторонах произвольного прямоугольника построены полукруги:

Докажите, что площадь полукруга, опирающегося на полуокружность, равна сумме площадей полукругов, опирающихся на катеты.

Решение. Полукруг представляет собой сектор с центральным углом α = 180°, поэтому его площадь может быть рассчитана так:

Заметим, что эти стороны являются диаметрами полукругов. Обозначим как D₁ диаметр полукруга, опирающегося на гипотенузу, а два других диаметра как D₂ и D₃. Тогда можно выполнить преобразования:

Именно это равенство нам и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим более сложную задачу, в которой необходимо определить площадь сегмента.

Задание. В окружности радиусом 20 проведена хорда длиной 12. Она разбивает окружность на два круговых сегмента. Найдите площадь каждого из них. При расчете примите π ≈3,14.

Чтобы найти площадь меньшего сегмента, можно вычесть из площади кругового сектора площадь треугольника АВО. Для нахождения обоих площадей в любом случае надо сначала определить величину угла ∠АОВ. Это можно сделать, применив теорему косинусов:

Далее надо рассчитать площадь ∆АВС. Это можно сделать с помощью разных формул, мы используем формулу с синусом угла. Для этого предварительно вычислим синус ∠АОВ, применив основное тригонометрическое тождество:

Осталось вычесть из площади сектора площадь ∆АВС, чтобы найти площадь кругового сегмента S₁:

Примечание. В подобных задачах ответы и промежуточные ответы могут немного отличаться в зависимости от того, с какой точностью берется число π, вычисляется ∠АОВ и его синус, и как именно округляются промежуточные результаты и т. п. Более точные расчеты показывают, что в описанной задаче величины S₁ и S₂ примерно равны:

Формулы для окружности и круга

Мы рассмотрели окружности и круг, а также их элементы, однако ни одну задачу не получится решить без формул. Давайте рассмотрим их. 

Однако перед этим необходимо ввести еще несколько терминов. 

Длина окружности – это длина кривой, которая образует окружности. 

Если мы с помощью сантиметровой ленты измерим длину нашего обруча, то как раз получим длину окружности. 

Длина дуги – это длина части кривой, которая образует окружность. 

Отличие от длины окружности только в том, что тут измеряется не вся кривая, а только ее часть. 

В таблице ниже приведены основные формулы, которые могут встретиться при решении задач. 

Примеры решения задач

Задача 1

Необходимо рассчитать, какова длина окружности, если ее диаметр составляет 5 см.

Решение

При известном диаметре окружности можно рассчитать ее длину с помощью формулы:

\(L = \pi D\)

Подставив известные из условия задачи значения, получим:

\(L = \pi D = 3,14 * 5 = 15,7\) (см)

Ответ: длина окружности равна 15,7 см.

Задача 2

Требуется определить длину окружности, описанной вокруг правильного треугольника, сторона которого составляет \(a=4\sqrt{3}\) дм.

Решение

Радиус окружности составляет:

\(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\)

При подстановке переменных формула будет изменена:

\(R=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)

При известном радиусе окружности можно рассчитать длину рассматриваемой окружности, используя соответствующую формулу:

\(L = 2 \pi r=2 \pi *4=2*3,14*4=25,12\) (дм)

Ответ: длина окружности составляет 25,12 дм.

Задача 3

Дана окружность, радиус которой равен 2 см. Требуется рассчитать длину окружности.

Решение

\(L = \pi d\)

d=2 *r= 4

L = 3.14 * 4 = 12,56 (см)

Ответ: длина окружности равна 12,56 см.

Задача 4

Имеется окружность с радиусом 3 см. Необходимо определить длину данной окружности.

Решение

\(L = \pi d\)

L = 3.14 * 3 = 9,42 (см)

Вычисление длины окружности

При решении задач и в повседневной жизни можно встретить множество предметов круглой формы, в связи с чем возникает необходимость в их измерении. К примеру, для расчета объема материала, необходимого для производства круглого стакана определенного размера, потребуется построить и найти длину его окружности.

Определение

Окружность представляет собой замкнутую плоскую кривую, состоящую из всех точек на плоскости, которые равноудалены от заданной точки.

Рассматриваемая в рамках этого определения точка является центром окружности. Если соединить центр с любой точкой, принадлежащей окружности, то получится радиус. Радиусом также называют длину данного отрезка.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Определение

Радиус окружности является прямым отрезком, который выходит из центра окружности и проведен до ее границы.

Таким образом, радиус окружности соединяет ее центр с точкой, расположенной на этой окружности. Для обозначения радиуса используют r.

 
Определение

Диаметр окружности – является прямым отрезком, который соединяет две точки, расположенные на границе окружности, и проходит через центр этой окружности.

Данный параметр обозначают D или d.

Круг

Окружность — это фигура, которая представляет собой замкнутую кривую линию, состоящую из всех точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

Форма круга является симметричной и имеет бесконечное количество осей симметрии.

Радиус круга представляет собой расстояние от мидпоинта окружности до ее центра.

Диаметр круга — это отрезок, который соединяет две противоположные точки на окружности, проходящий через ее центр.

Площадь круга — это количество площади, занимаемое кругом на плоскости. Она вычисляется по формуле: S = πr², где π — постоянное число, равное приблизительно 3.14159, r — радиус круга.

Круг является одной из основных фигур в геометрии и имеет множество применений в различных областях науки и практической деятельности.

Определение и свойства

У окружности есть несколько важных характеристик. Радиус — это расстояние от центра окружности до любой её точки. Окружность также имеет диаметр — это отрезок, соединяющий две противоположные точки на окружности, проходящие через её центр. Диаметр равен удвоенному значению радиуса.

Площадь круга — это количество плоскости, которое содержится внутри его границы. Она вычисляется по формуле:

S = π * r^2.

где S — площадь круга, π (пи) — математическая константа, примерное значение которой равно 3,14, r — радиус круга.

Формула круга

Для определения площади круга используется формула:

1. Найдите диаметр круга, который представляет собой отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр.
2. Разделите диаметр пополам, чтобы найти радиус, который является расстоянием от центра до любой точки на окружности.
3. Возведите радиус в квадрат.
4. Умножьте полученное значение на число Пи (π), которое приближенно равно 3,14159.
5. Полученное произведение и будет площадью круга.

Формула площади круга:

S = π * r2

Где:

• S — площадь круга;
• π (Пи) — математическая константа, приближенно равная 3,14159;
• r — радиус окружности.

Используя формулу площади круга, можно вычислить его территорию, то есть площадь, занимаемую кругом.

Примеры использования

Окружность — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки. Диаметр окружности — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр. По своей форме окружность представляет собой замкнутую кривую с одной границей.

Круг — это геометрическая фигура, образованная всеми точками плоскости, которые находятся на определенном расстоянии от заданной точки, и сама эта точка — центр круга. Также круг определяется его радиусом, который является расстоянием от центра до любой точки на окружности. Круг представляет собой фигуру, ограниченную окружностью. Территория, заключенная внутри круга, называется площадью круга.

Примеры использования окружности и круга можно найти во многих областях жизни. Например, в архитектуре использование окружностей и кругов позволяет создавать красивые и эстетически приятные формы зданий и сооружений. В инженерии они применяются для создания колес и шестерен, а также для моделирования движений и процессов. В географии и картографии окружности используются для построения меридианов и параллелей на географических картах.

Понимание различий и применение окружностей и кругов помогает визуализировать и анализировать различные формы и границы, а также решать различные задачи в области геометрии и других наук.

Как использовать калькулятор длины окружности?

Наш онлайн-калькулятор разработан таким образом, чтобы сделать процесс вычисления длины окружности максимально простым и понятным. Вам просто нужно следовать нижеуказанным шагам:

1. Откройте калькулятор на нашем сайте.

2. Выберите известное вам значение: радиус, диаметр или площадь.

3. Введите это значение в соответствующее поле.

4. Нажмите на кнопку «Рассчитать».

5. В течение нескольких секунд вы увидите результат — длину окружности.

6. Если необходимо, используйте дополнительные настройки или параметры калькулятора для уточнения результата.

7. Наслаждайтесь быстрыми и точными расчетами без необходимости вручную использовать формулы!

Основные отличия круга от круга

определения

обхват: круг — это замкнутая кривая, так что все точки кривой находятся на фиксированном расстоянии «r», называемом радиусом, от фиксированной точки «C», называемой центром круга.

круг: это область плоскости, которая ограничена окружностью, то есть все они являются точками внутри круга.

Можно также сказать, что круг — это все точки, которые меньше или равны «r» от точки «C».

Здесь вы можете заметить первое различие между этими понятиями, поскольку окружность — это только замкнутая кривая, а окружность — это область плоскости, окруженная окружностью..

Декартовы уравнения

Декартово уравнение, представляющее окружность: (x-x0) ² + (y-y0) ² = r², где «x0» и «y0» — это декартовы координаты центра круга, а «r» — радиус.

С другой стороны, декартово уравнение окружности имеет вид (x-x0) ² + (y-y0) ² ≤ r² или (x-x0) ² + (y-y0) ²

Разница между уравнениями заключается в том, что по окружности это всегда равенство, а по кругу это неравенство.

Одним из следствий этого является то, что центр круга не принадлежит окружности, в то время как центр круга всегда принадлежит кругу.

Графики в декартовой плоскости

Из-за определений, упомянутых в пункте 1, вы можете видеть, что графики круга и круга:

На изображениях вы можете увидеть разницу, которая была упомянута в пункте 1. Кроме того, проводится различие между двумя возможными декартовыми уравнениями круга. Когда неравенство строгое, край круга не включается в график.

размеры

Другое отличие, которое можно отметить, касается размеров этих двух объектов..

Поскольку окружность — это просто кривая, это одномерная фигура, поэтому она имеет только длину. Круг с другой стороны — это двумерная фигура, поэтому он имеет длинную и широкую поверхность, поэтому у него есть связанная область..

Длина круга радиуса «r» равна 2π * r, а площадь круга радиуса «r» равна π * r².

Трехмерные фигуры, которые генерируют

Если вы рассматриваете график круга, и он вращается вокруг линии, проходящей через его центр, вы получите трехмерный объект, который является сферой..

Следует отметить, что эта сфера полая, то есть это только край. Примером сферы является футбольный мяч, потому что внутри него есть только воздух.

С другой стороны, если ту же самую процедуру выполнить с кружком, будет получена сфера, но она заполнена, то есть сфера не является полой.

Примером этой заполненной сферы может быть бейсбол.

Следовательно, создаваемые трехмерные объекты зависят от того, используется ли окружность или круг.

ссылки

1. Басто, Дж. Р. (2014). Математика 3: Основная аналитическая геометрия. Патрия Редакционная группа.
2. Биллштейн Р., Либескинд С. и Лотт Дж. У. (2013). Математика: проблемный подход для учителей базового образования. Лопес Матеос Эдиторес.
3. Bult, B. & Hobbs, D. (2001). Математическая лексика (иллюстрированный ред.). (Ф. П. Кадена, Трад.) Издания АКАЛ.
4. Каллехо И., Агилера М., Мартинес Л. и Алдеа С. (1986). Математика Геометрия. Реформа верхнего цикла Э.Г.. Министерство образования.
5. Schneider, W. & Sappert, D. (1990). Практическое техническое руководство по рисованию: введение в основы промышленного технического рисования. Реверте.
6. Томас, Г. Б. и Вейр, М. Д. (2006). Расчет: несколько переменных. Пирсон Образование.

Угол между двумя хордами и секущими

А что, если интересующий нас угол НЕ вписанный и НЕ центральный, а, например, такой:

или такой?

Можно ли его как-то выразить всё-таки через какие-то центральные углы? Оказывается, можно. Смотри: нас интересует.

a) (как внешний угол для). Но — вписанный, опирается на дугу — . — вписанный, опирается на дугу — .

Для красоты говорят:

Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

Так пишут для краткости, но конечно, при использовании этой формулы нужно иметь в виду центральные углы

b) А теперь — «снаружи»! Как же быть? Да почти так же! Только теперь (снова применяем свойство внешнего угла для). То есть теперь.

И значит, . Наведём красоту и краткость в записях и формулировках:

Угол между секущими равен полуразности угловых величин дуг, заключённых в этот угол.

Ну вот, теперь ты вооружён всеми основными знаниями об углах, связанных с окружностью. Вперёд, на штурм задач!

Похожие калькуляторы

Вам могут пригодиться следующие калькуляторы на эту же тему:

• Калькулятор перевода миллиметров в дюймы. Введите длину в миллиметрах для перевода в дюймы.
• Калькулятор перевода дюймов в миллиметры. Введите длину в дюймах для перевода в миллиметры.
• Калькулятор перевода сантиметров в дюймы. Введите длину в сантиметрах для перевода в дюймы.
• Калькулятор перевода дюймов в сантиметры. Введите длину в дюймах для перевода в сантиметры.
• Калькулятор площади поверхности шара (сферы). Рассчитайте онлайн площадь поверхности шарообразного объекта (сферы) с помощью нашего онлайн-калькулятора.
• Калькулятор площади правильного шестиугольника. Рассчитайте площадь правильного (равностороннего) шестиугольника с помощью нашего онлайн-калькулятора.
• Площадь поверхности куба: калькулятор. Рассчитайте онлайн площадь поверхности куба по длине ребер, диагонали куба или диагоналям его сторон.
• Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
• Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
• Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).

Важные определения

Прежде чем отвечать на вопрос о том, как найти площадь круга
по радиусу или диаметру по формуле, нужно установить основные определения. Мы
будем пользоваться следующими терминами:

• Круг. Так называют замкнутую плоскую кривую, в которой каждая точка имеет равное удаление от центральной.
• Окружность. Это сразу множество точек, которые располагаются на плоскости. При этом расстояние удаления от центра не будет превышать диаметр.
• Радиус. Расстояние от центра круга до любой его противоположной боковой точки.
• Диаметр. Полное расстояние от двух точек, расположенных на равном удалении друг от друга.

Примеры вычисления:

Задача: Найти длину окружности диаметром 18 см.

Решение: C = πd = 3.14 * 18 ≈ 56.52 см

Ответ: 56.52 см

Задача: Диаметр окружности равен 6 см найдите длину окружности.

Решение: C = πd = 3.14 * 6 ≈ 18.84 см

Ответ: 18.84 см

Задача: Найти длину окружности радиусом 3 см.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 3 ≈ 18.84 см

Ответ: 18.84 см

Задача: Найди длину окружности радиуса 4 см.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 4 ≈ 25.12 см

Ответ: 25.12 см

Задача: Найдите длину окружности радиуса 13 см.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 13 ≈ 81.64 см

Ответ: 81.64 см

Задача: Найдите длину окружности радиуса 1 см.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 1 ≈ 6.28 см

Ответ: 6.28 см

Задача: Найдите площадь круга радиус которого равен 3 см.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 1 ≈ 6.28 см

Ответ: 6.28 см

Задача: Найдите длину окружности радиусом 8 см.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 8 ≈ 50.24 см

Ответ: 50.24 см

Задача: Найти длину окружности радиуса 10 см.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 10 ≈ 62.8 см

Ответ: 62.8 см

Задача: Найти длину окружности радиусом 14 см.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 14 ≈ 87.92 см

Ответ: 87.92 см

Задача: Найдите длину окружности радиус 6 см.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 6 ≈ 37.68 см

Ответ: 37.68 см

Задача: Найдите длину окружности радиусом 12 см.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 12 ≈ 75.36 см

Ответ: 75.36 см

Задача: Радиус окружности 15 см найдите длину окружности.

Решение: C = 2πR = 2 * 3.14 * 15 ≈ 94.2 см

Ответ: 94.2 см

Задача: Найди длину окружности диаметра 4 см.

Решение: C = πd = 3.14 * 4 ≈ 12.56 см

Ответ: 12.56 см

Задача: Найдите длину окружности диаметра 12 см.

Решение: C = πd = 3.14 * 12 ≈ 37.68 см

Ответ: 37.68 см

Задача: Найдите длину окружности диаметром 8 см.

Решение: C = πd = 3.14 * 8 ≈ 25.12 см

Ответ: 25.12 см

Задача: Найти длину окружности диаметр 16 дм.

Решение: C = πd = 3.14 * 16 ≈ 50.24 дм

Ответ: 50.24 дм

Задача: Найдите длину окружности диаметром 5 см.

Решение: C = πd = 3.14 * 5 ≈ 15.7 см

Ответ: 15.7 см

Задача: Найдите длину окружности диаметром 14 см.

Решение: C = πd = 3.14 * 14 ≈ 43.96 см

Ответ: 43.96 см

Задача: Найдите длину окружности диаметром 20 см.

Решение: C = πd = 3.14 * 20 ≈ 62.8 см

Ответ: 62.8 см

Задача: Площадь круга равна 36п найдите длину окружности.

Решение: C = 2√(πS) = 2√(36π2) = 12π = 12 * 3.14 ≈ 37.68 см

Ответ: 37.68 см

Задача: Площадь круга равна 100 п найдите длину ограничивающей его окружности.

Решение: C = 2√(πS) = 2√(100π2) = 20π = 20 * 3.14 ≈ 62.8 см

Ответ: 62.8 см

Задача: Найдите длину окружности если площадь круга равна 25 см2.

Решение: C = 2√(πS) = 2√(25π) = 2√(25 * 3.14) ≈ 17.72 см

Ответ: 17.72 см

Угол, опирающийся на диаметр

Ты уже успел заметить, что математики очень любят об одном и том же говорить разными словами? Зачем это им? Понимаешь, язык математики хоть и формальный, но живой, а поэтому, как и в обычном языке, каждый раз хочется сказать так, как удобнее. Ну вот, что такое «угол опирается на дугу» мы уже видели. И представь себе, та же самая картина называется «угол опирается на хорду». На какую? Да конечно на ту, которая стягивает эту дугу!

Когда же опираться на хорду удобнее, чем на дугу?

Ну, в частности, когда эта хорда — диаметр.

Для такой ситуации есть удивительно простое, красивое и полезное утверждение!

Смотри: вот окружность, диаметр и угол, который на него опирается.

Примеры задач с решением

Задача № 1

Найдите площадь круга, если известно, что длина окружности составляет 85 миллиметров.

Решение:

Произведем расчеты на основании известной формулы:

\(S=\frac{\mathrm L^2}{4\mathrm\pi}\)

\(S=\frac{\mathrm L^2}{4\mathrm\pi}=\frac{85^2}{4\cdot13,14}=\frac{7225}{52,56}=137,46\)

Ответ: 137,46 мм2.

Задача № 2

Детская песочница имеет квадратную форму со стороной, равной 1,5 метрам. По технологии песочницу устанавливают на прорезиненном участке круглой формы, равном кругу, в который можно вписать такую песочницу. Найдите площадь территории, на которую нужно уложить резиновую крошку.

Решение:

Воспользуемся формулой: \(S=0,5a^2\mathrm\pi=0,5\cdot1,5^2\cdot13,14=14,7825 \)

Понятие об окружности и круге

Перед тем как приводить формулу площади сектора окружности, рассмотрим, что собой представляет указанная фигура. Согласно математическому определению, под окружностью понимают такую фигуру на плоскости, все точки которой равноудалены от некоторой одной точки (центра).

Когда рассматривают окружность, то пользуются следующей терминологией:

• Радиус — отрезок, который проводится от центральной точки до кривой окружности. Его принято обозначать буквой R.
• Диаметр — это отрезок, который соединяет две точки окружности, но при этом проходит также через центр фигуры. Его обычно обозначают буквой D.
• Дуга — это часть кривой окружности. Измеряют ее либо в единицах длины, либо с использованием углов.

Круг — еще одна важная фигура геометрии, он представляет собой совокупность точек, которая ограничена кривой окружности.

Почему важно тренироваться в решении задач с площадью круга

Мы рассмотрели, как найти площадь круга по формуле. Осталось
только ответить на вопрос о том, почему понимание этого вопроса представляет
такое большое значение для школьника. Вот лишь несколько важных причин:

• Лучшее понимание геометрических терминов. Их
  проще всего освоить на практике. Это пригодится при решении значительно более
  сложных задач в старших классах.
• Освоение единиц определения площади, решение
  примеров по переводу величин друг в друга. Это поможет в геометрии и
  математике. Можно воспользоваться умственным счетом или абакусом, что
  дополнительно повысит успешность всего учебного процесса.
• Создание базиса для решения комплексных
  геометрических задач. Они часто направлены на то, чтобы ученик работал с
  разными фигурами. При этом если пропустить понимание определения площади,
  радиуса и диаметра круга, длины окружности, в будущем могут возникнуть
  проблемы, отставание от программы.

Так как в школе дети часто не понимают таких сложных
предметов как геометрия до конца, рекомендуем уделить повышенное внимание
домашним занятиям. Это нужно делать регулярно и системно, но без сильного
давления на школьника, потенциально способного отбить интерес к учебе

Длина окружности

Рассмотрим – угольникnправильный     B1B2…Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центра O окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

Рис.2

Поскольку – угольникаnплощадь   B1B2…Bn   равна

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:

C = 2πR.

Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Как найти длину окружности через диаметр

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. Формула длины окружности через диаметр:

l=πd, где

π— число пи — математическая константа, равная 3,14

d — диаметр окружности

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

l=2πr , где

π — число пи, равное 3,14

r — радиус окружности

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

где:

• π — число пи, равное 3,14
• S — площадь круга

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

l=πd, где

• π — число пи, равное 3,14
• d — диагональ прямоугольника

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

l=πa, где

• π — математическая константа, равная 3,14
• a — сторона квадрата

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

где:

• π — математическая константа, она всегда равна 3,14
• a — первая сторона треугольника
• b — вторая сторона треугольника
• c — третья сторона треугольника
• S — площадь треугольника

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.
Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

где:

• π — математическая константа, равная 3,14
• S — площадь треугольника
• p — полупериметр треугольника

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.
Формула вычисления длины окружности:

где:

• π — математическая константа, равная 3,14
• a — сторона многоугольника
• N — количество сторон многоугольника

Пример решения задачи

Покажем на примере простой задачи, как пользоваться формулами площади сектора круга и длины его дуги.

Известно, что колесо имеет 12 спиц. Когда колесо делает один полный оборот, то оно преодолевает расстояние 1,5 метра. Чему равна площадь, заключенная между двумя соседними спицами колеса, и чему равна длина дуги между ними?

Как видно из соответствующих формул, чтобы ими пользоваться, необходимо знать две величины: радиус окружности и угол дуги. Радиус можно вычислить, исходя из знания длины окружности колеса, поскольку пройденное им расстояние за один оборот, точно ей соответствует. Имеем: 2*R*pi = 1,5, откуда: R = 1,5/(2*pi) = 0,2387 метра. Угол между ближайшими спицами можно определить, зная их число. Полагая, что все 12 спиц делят равномерно круг на равные сектора, мы получаем 12 одинаковых секторов. Соответственно, угловая мера дуги между двумя спицами равна: θ = 2*pi/12 = pi/6 = 0,5236 радиан.

Мы нашли все необходимые величины, теперь их можно подставить в формулы и посчитать требуемые условием задачи значения. Получаем: S 1 = 0,5236*(0,2387) 2 /2 = 0,0149 м 2, или 149 см 2 ; L 1 = 0,5236*0,2387 = 0,125 м, или 12,5 см.