Формулы площадей фигур

Как найти площадь геометрических фигур?

Что такое площадь?

Площадь – характеристика замкнутой геометрической фигуры (круг, квадрат, треугольник и т.д.), которая показывает ее размер. Площадь измеряется в квадратных сантиметрах, метрах и т.д. Обозначается буквой S (square).

1. Самая известная формула площади треугольника по стороне и высоте:

S = a · h

где a – длина основания, h  – высота треугольника, проведенная к основанию.

Причем, основание не обязательно должно находиться снизу. Так тоже сойдет.

Если треугольник тупоугольный, то высота опускается на продолжение основания:

Если треугольник прямоугольный, то основанием и высотой являются его катеты:

2. Другая формула, которая является не менее полезной, но которую почему-то всегда забывают:

S =   a · b · sinα  

где a и b – две стороны треугольника,  sinα  – синус угла между этими сторонами.

• Главное условие – угол берется между двумя известными сторонами.
• 3. Формула площади по трем сторонам (формула Герона):

S =  

где a, b и с – стороны треугольника, а р – полупериметр. p = (a + b + c)/2.

4. Формула площади треугольника через радиус описанной окружности:

S =  

где a, b и с – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

5. Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности:

S =p · r

где р – полупериметр треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

1. Площадь прямоугольника находится довольно-таки просто:

S = a · b

Никаких подвохов.

1. Так как квадрат является прямоугольником, у которого все стороны равны, то к нему применяется такая же формула:

S = a · a = a2

2. Также площадь квадрата можно найти через его диагональ:

S =   d2

1. Площадь параллелограмма находится по формуле:

S = a · h

1. Это связано с тем, что если от него отрезать прямоугольный треугольник справа и приставить его слева, получится прямоугольник:
2. 2. Также площадь параллелограмма можно найти через угол между двумя сторонами:

S = a · b · sinα

Ромб по своей сути является параллелограммом, у которого все стороны равны. Поэтому для него применяются те же формулы площади.

1. Площадь ромба через высоту:

S = a · h

1. Площадь трапеции находится по следующей формуле:

S =   · h 

Что такое площадь

Понятие площади фигур рассматривается одним из разделов математики — конкретно, геометрией. Результат решения задач с нахождением площади геометрических фигур может использоваться для решения математических задач, в быту, в производстве.

Фигура, в математическом мире определяемая как множество точек на плоскости, должна быть ограничена со всех сторон, чтобы иметь понятие площади. Если фигура располагается на одной плоскости, она не имеет объема, а только площадь.

В самом простом случае, площадь фигуры можно посчитать по количеству клеток, которые она занимает. Подобным способом можно легко посчитать площадь квадрата, прямоугольника или прямоугольного равнобедренного треугольника.

Площадь в геометрии обозначается знаком S, от английского square — площадь.

Как математическая характеристика, площадь имеет четыре характеристики:

1. Положительность — величина площади не может быть отрицательной.
2. Нормировка — если сторона квадрата равна единице, то он имеет площадь 1.
3. Равнозначность — фигуры с равными сторонами и одинаковые по свойствам имеют одинаковую площадь.
4. Сложение площадей — фигуры, располагающиеся рядом, но не имеющие общих точек соприкосновения, будут иметь площадь равную сумме их отдельных площадей.

Единицы измерения площади[]

В одном квадратном сантиметре сто квадратных миллиметров

Метрические единицы

• Квадратный километр, 1 км² = 1 000 000 м²
• Гектар, 1 га = 10 000 м²
• Ар (сотка), 1 а = 100 м²
• Квадратный метр, производная единица Международной системы единиц (СИ), 1 м² = 1 са (сантиар)
• Квадратный дециметр, 100 дм² = 1 м²;
• Квадратный сантиметр, 10 000 см² = 1 м²;
• Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм² = 1 м²;
• Барн, 1 б = 10−28 м².

Русские устаревшие

• Квадратная верста = 1,13806 км²
• Десятина = 10925,4 м²
• Копна = 0,1 десятины — сенные покосы меряли копнами
• Квадратная сажень = 4,55224 м²

Мерами земли при налоговых расчётах были выть, соха, обжа, размеры которых зависели от качества земли и социального положения владельца. Существовали и различные местные меры земли: коробья, верёвка, жеребья и др.

Решение задач

А сейчас немного потренируемся:

Задание 1.

Найти площадь квадрата, диагональ которого равна 80 мм:

d = 80 мм

S = ?

Решение:

S = d² : 2

Подставим в формулу значение диагонали:

S = 802 : 2 = 6400 : 2 = 3200 мм²

Ответ: 3200 мм².

Задание 2.

Нужно найти площадь квадрата, если радиус описанной окружности равен 14 см.

R = 14 см

S = ?

Решение:

S = R² × 2

Подставляем известное нам значение в формулу:

S = 14² × 2 = 196 × 2 = 392 см²

Ответ: 392 см².

Задание 3.

Окружность вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата, если радиус окружности равен 28 см.

r = 28 см

S = ?

Решение:

S = r² × 4

Подставляем значение:

S = 28² × 4 = 784 × 4 = 3136 см²

Ответ: 3136 см².

Все о параллелограмме

Чем отличаются свойства от признаков?Свойства нельзя путать с признаками, хоть они и очень похожи. Например, свойствами параллелограмма обладает фигура, уже являющаяся параллелограммом, а признаки предназначены для выявления параллелограммов среди четырехугольников.

Свойства параллелограмма

1. Противолежащие стороны равны.

2. Противолежащие стороны параллельны.

3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

4) Сумма углов прилежащих к любой стороне равна 180°. 

Это так, потому что, как в примере на картинке, стороны AD и BC — параллельные прямые, а AB — секущая. Следовательно, по свойству двух параллельных прямых и секущей, это односторонние углы и их сумма равна 180°.

5) Противолежащие углы попарно равны. Это доказывается через третий признак равенства треугольников, ведь, например, у треугольников ABD и BDC все стороны равны, а значит и углы тоже.

Теперь перейдем к признакам параллелограмма. Это то, что нам помогает понять, что четырехугольник является параллелограммом.

У параллелограмма есть три основных признака. Если для четырехугольника выполняется хотя бы один из признаков, такой четырехугольник можно называть параллелограммом.

Признаки параллелограмма

1. Две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны.

2. Противоположные стороны четырехугольника попарно равны.

3. Диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Теперь рассмотрим биссектрису в параллелограмме.

Биссектриса параллелограмма – это луч, исходящий из вершины угла параллелограмма, делящий этот угол на два равных угла и пересекающий одну из сторон параллелограмма.

Рассмотрим два полезных факта, связанных с биссектрисой в параллелограмме.

1. Биссектриса, проведенная из угла параллелограмма, отсекает от него равнобедренный треугольник. 

Это тоже доказывается с помощью параллельных прямых. Рассмотрим две параллельные прямые: AD и BC, а также секущую AF. Углы FAD и BFA равны, так как они накрест лежащие. А так как AF — биссектриса, то углы BAF и FAD, углы FAD и BFA тоже, значит и BAF = BFA. Следовательно, треугольник BAF — равнобедренный.

2. Биссектрисы углов, принадлежащих одной стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом.

Мы почти закончили изучение параллелограмма. Осталось только рассмотреть формулы для нахождения площади. Их всего три.

1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними.

3. Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.

Какая фигура является антагонистом параллелограмма?Есть такая фигура, которая называется «антипараллелограмм». Это плоский и самопересекающийся четырехугольник, в котором две противоположные стороны равны между собой, но не параллельны. Напомним, что у параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны между собой.

Мы рассмотрели всю теорию, связанную с параллелограммом. Давайте теперь решим задание для закрепления материала.

Решим задание, которое может встретиться на ЕГЭ по профильной математике в задании №1.Задание. Стороны параллелограмма равны 10 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 12. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Решение. Примем искомую высоту за x. Как мы уже знаем, площадь параллелограмма можно найти с помощью высоты и стороны, к которой эта высота проведена. Соответственно, с помощью этой формулы мы и можем найти x:\(S = a*h_1=b*h_2\)\(S=10*12=15*h_2\)\(h_2=\frac{10*12}{15}\)\(h_2=8\)Ответ: 8

На этом мы закончили изучение параллелограмма, так что можем двигаться дальше!

По радиусу описанной окружности и стороне

Можно просто найти диаметр (умножить радиус на два) и использовать формулу выше.

Другой способ:

1. Найти квадрат радиуса (умножьте радиус на радиус).
2. Умножить квадрат радиуса на 4.
3. Найти квадрат известной стороны.
4. Отнять от четырех радиусов в квадрате квадрат известной стороны (из второго отнять третье).
5. Найти квадратный корень разности.
6. Умножить корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если радиус описанной окружности равен 5 см, а одна из сторон равна 6 см.

1. Квадрат радиуса: 5*5=25 см.
2. Четыре квадрата радиуса: 4*25 = 100 см.
3. Квадрат стороны: 6*6 = 36 см.
4. Отнимаю от четырех радиусов в квадрате квадрат стороны: 100-36 = 64 см.
5. Нахожу квадратный корень разности. Корень из 64 равен 8 см.
6. Умножаю корень на сторону: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Примечания[]

1. ↑ Площадь // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 4. (см. ISBN )

2. ↑ , с. 7—13

3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Изд. 6-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1966. — Т. 2. — С. 186—224. — 800 с. (см. ISBN )

4. ↑ Болтянский В. О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977, c.2—9
5. , с. 30—32
6. , с. 47—53
7. ↑ , с. 111—114

8. Исчерпывания метод // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2. (см. ISBN )

9. , с. 101—105
10. , p. 127—128
11. ↑ , с. 117—124
12. , с. 197—198
13. , p. 172, 219
14. , с. 131—135
15. , с. 166—171
16. , с. 174—181
17. В. Н. Дубровский, В поисках определения площади поверхности. Квант. 1978. № 5. С.31—34.
18. В. Н. Дубровский, Площадь поверхности по Минковскому. Квант. 1979. № 4. С.33—35.

Площадь в аналитической геометрии[править]

Аналитическая геометрия позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами, оперируя такими понятиями как система координат, вектор. Плоскость в трехмерном пространстве имеет две поверхности. Площади двух поверхностей обозначаются с противоположными знаками. Поскольку ориентация поверхности задается вектором нормали к ней, то площадь тоже определяют как вектор, коллинеарной нормали к поверхности.

Например, для параллелограмма, построенного на векторах a{\displaystyle \mathbf {a} } и b{\displaystyle \mathbf {b} } площадь определяется как векторное произведение:

S=a×b{\displaystyle \mathbf {S} =}.

При изменении порядка множителей в этой формуле, S{\displaystyle \mathbf {S} } меняет знак, соответствующий нормалям для двух разных сторон поверхности. Как произведение двух векторов S{\displaystyle \mathbf {S} } является псевдовектором — при изменении направления каждого из векторов a{\displaystyle \mathbf {a} } и b{\displaystyle \mathbf {b} } на противоположный, S{\displaystyle \mathbf {S} } направление не меняет.

Что делать, если …

Что делать, когда дан многоугольник, у которого пять и более углов? Конечно, можно применить его разделение на более простые составляющие фигуры — прямоугольники, треугольники, трапеции, параллелограммы, нахождение площади которых хорошо известно. Любопытное свойство многоугольников было обнаружено австрийским математиком Георгом Пиком. Он обнаружил, что многоугольник вершины которого располагаются в узлах квадратной сетки могут быть найдены по формуле:

где S — площадь многоугольника;

N — количество узлов сетки, расположенных внутри многоугольника;

M — количество узлов сетки, попадающих на стороны многоугольника и на его вершины.

Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

В примере 1. площадь нашего четырехугольника ABCD также равна 24,5. Отсюда делаем вывод, что формула Пика дает верный результат. Помимо этого, она имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:
— для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу

— формула Пика очень проста для запоминания. Очень удобна и проста в применении. А многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

Площадь произвольной фигуры

Площадь сложной фигуры можно определить, просуммировав площади ее частей. Для этого нужно просто разделить произвольную геометрическую фигуру на простые составляющие так, чтобы можно было легко определить их квадратуры.

Рис. 3. Площадь сложной фигуры.

Фигуру на рисунке 3 можно разбить на 12 квадратов со сторонами 1 см. Тогда площадь каждого квадрата будет равняться $1см^2$. Получается, что площадь рассматриваемой фигуры будет $12 см^2$.

Что мы узнали?

Мы познакомились с понятием площади. Узнали, что для каждой фигуры есть свой метод определения площади

Важно, чтобы основные параметры фигуры были выражены в одних и тех же единицах

1. /10

   Вопрос 1 из 10

Формулы площади выпуклого четырехугольника

Формула для площади четырехугольника с длинами сторон и значениями противоположных углов

Площадь прямоугольника, которая может быть описана кругом₁Формула для определения площади зависит от формы. Название района в большинстве случаев остается неизменным — это латинская заглавная буква «S». Это не правило, а лишь одна из традиций обозначения площади. В высшей математике, теплотехнике и многих других дисциплинах эта область может обозначаться другими буквами.₂Рассмотрим наиболее распространенные формулы для определения регионов:

Рисунок 1. Высота в произвольном треугольнике.

В следующем примере необходимо следить за тем, чтобы параметры рисунка были в одних и тех же единицах измерения. Например, если ширина прямоугольника указана в миллиметрах, а длина — в сантиметрах, необходимо преобразовать сантиметры в миллиметры и только после этого использовать формулу.

Рисунок 2. Площадь прямоугольника.

Характеристики понятия

Район имеет несколько особенностей:

• Положительность. Площадь не может быть отрицательной, как не может быть отрицательным пространство. Есть единственный случай, когда площадь стремится к нулю: измерение площади точки.
• Нормируемость. Что это значит? Это значит, что у площади есть какая-то норма, с которой и сравнивают поверхность любой фигуры. Норма площади это квадрат со сторонами 1 на 1. Если это квадрат со сторонами 1 на 1 см, то единица измерения площади будет называться см квадратный и т.д.
• Если две фигуры объединить, так, что они не будут иметь общих внутренних точек, то есть совместить фигуры по какой-либо стороне, то площадь получившейся фигуры будет равна сумме площадей двух изначальных фигур.

На практике площадь можно определить с помощью палки или специального измерительного прибора — планиметра.

Математика – 3 класс. Прямоугольники

Что такое прямоугольник и квадрат

Четырёхугольники, в том числе прямоугольники и квадраты, обозначаются 4 буквами – вершинами. Для обозначения вершин используют латинские буквы: A, B, C, D …
Пример.

Что такое периметр прямоугольника? Формула расчета периметра

Периметр прямоугольника – это сумма длин всех сторон прямоугольника или сумма длины и ширины, умноженная на 2. Периметр обозначается латинской буквой P. Так как периметр – это длина всех сторон прямоугольника, то он периметр записывается в единицах длины: мм, см, м, дм, км.

Например, периметр прямоугольника АВСD обозначается как PABCD, где А, В, С, D – это вершины прямоугольника.

PABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Определим PABCD.

Пример:

Задан прямоугольник ABCD со сторонами: AB=СD=5 см и AD=BC=3 см. Решение:

Нарисуем прямоугольник ABCD с исходными данными.

PABCD = 2 * (AB + BС)

Подставим в формулу наши данные:

PABCD = 2 * (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см

Ответ: PABCD = 16 см.

Формула расчета периметра квадрата

У нас есть формула для определения периметра прямоугольника.

PABCD = 2 * (AB + BC)

Применим её для определения периметра квадрата. Учитывая, что все стороны квадрата равны, получаем:

PABCD= 4 * AB

Пример:

Задан квадрат ABCD со стороной, равной 6 см. Определим периметр квадрата. Решение:

Нарисуем квадрат ABCD с исходными данными.

PABCD = 4 * AB

Подставим в формулу наши данные:

PABCD = 4 * 6 см = 24 см

Ответ: PABCD = 24 см.

Задачи на нахождение периметра прямоугольника

Измерь ширину и длину прямоугольников. Определи их периметр.

Нарисуй прямоугольник ABCD со сторонами 4 см и 6 см. Определи периметр прямоугольника. 3. Нарисуй квадрат СEOM со стороной 5 см. Определи периметр квадрата.

Где используется расчет периметра прямоугольника?

Задан участок земли, его нужно обнести забором. Какой длины будет забор?

В данной задаче необходимо точно рассчитать периметр участка, чтобы не купить лишний материал для постройки забора. 2. Родители решили сделать ремонт в детской комнате. Необходимо знать периметр комнаты и её площадь, чтобы правильно рассчитать количество обоев. Определи длину и ширину комнаты, в которой ты живешь. Определи периметр своей комнаты.

Что такое площадь прямоугольника?

Площадь – это числовая характеристика фигуры. Площадь измеряется квадратными единицами длины: см2, м2, дм2 и др. (сантиметр в квадрате, метр в квадрате, дециметр в квадрате и т.д.). В вычислениях обозначается латинской буквой S.

Для определения площади прямоугольника необходимо длину прямоугольника умножить на его ширину.

1. S AKMO = AK * KM
2. S AKMO= AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см2.

Пример:

Чему равна площадь прямоугольника AKMO, если его стороны равны 7 см и 2 см?

Ответ: 14 см2.

Формула вычисления площади квадрата

Площадь квадрата можно определить, умножив сторону саму на себя. Пример:

В данном примере площадь квадрата вычисляется умножением стороны АB на ширину BC, но так как они равны, получается умножение стороны AB на AB.

• S AВСО = AB * BC = AB * AB
• S AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см2

Пример:

Определи площадь квадрата AKMO со стороной 8 см.

Ответ: 64 см2.

Задачи на нахождение площади прямоугольника и квадрата:

1. Задан прямоугольник со сторонами 20 мм и 60 мм. Вычисли его площадь. Запиши ответ в квадратных сантиметрах.
2. Был куплен дачный участок размером 20 м на 30 м. Определи площадь дачного участка, ответ запиши в квадратных сантиметрах.

По диагонали и стороне

Должна быть известна диагональ и любая из сторон. Действия:

1. Найти квадрат диагонали, то есть умножить ее на саму себя.
2. Найти квадрат известной стороны.
3. Из квадрата диагонали вычесть квадрат стороны.
4. Найти квадратный корень получившейся разности.
5. Умножить его на известную сторону.

Пример. Сторона прямоугольника равна 3 см, а диагональ – 5 см. Найдите площадь.

1. Квадрат стороны = 3*3 = 9 см.
2. Квадрат диагонали = 5*5 = 25 см.
3. Вычитаю из квадрата диагонали квадрат стороны: 25-9 = 16 см.
4. Нахожу квадратный корень получившейся разности. Корень из 16 = 4 см.
5. Умножаю корень разности на известную сторону: 16*9 = 144 см.

Ответ: 144 см.

Площадь квартиры

Так как ремонт — это «бедствие», которое периодически нас посещает, лучше сделать план всей квартиры с подробными замерами. На этом же плане проставьте площади каждого помещения. После того, как рассчитаете квадратуру всех комнат, сложите цифры и получите метраж квартиры.

Для плана лучше рассчитать метраж каждой комнаты

Один вариант может быть как на рисунке выше — для того, чтобы знать именно площади каждого помещения. Это потребуется для закупки материалов. Но нужен будет еще план, на котором будут все длины. Простенки, ширина окон, дверей и т.д. Это потребуется, например, для разработки схем укладки ламината, напольной плитки или других покрытий. Нужен будет такой план и при планировании теплого пола.

Есть, кстати, приложение-калькулятор для телефона, при помощи которого все вычисления сделать очень просто.

По стороне и диаметру описанной окружности

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Вам надо знать диаметр этой окружности и любую из сторон прямоугольника.

Действия:

1. Найдите квадрат диаметра – умножьте диаметр на диаметр.
2. Найдите квадрат известной стороны.
3. Отнимите от квадрата диаметра квадрат стороны.
4. Найдите квадратный корень разности.
5. Умножьте квадратный корень на известную сторону.

Пример. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр описанной окружности равен 10 см, а одна из сторон равна 8 см.

1. Квадрат диаметра: 10*10 = 100 см.
2. Квадрат стороны: 8*8 = 64 см.
3. Отнимаю от квадрата диаметра квадрат стороны: 100-64 = 36 см.
4. Квадратный корень из 36 равен 6 см (потому что 6*6 = 36).
5. Умножаю сторону на корень из разности: 8*6 = 48 см.

Ответ: 48 см.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
Зависит от того, какой треугольник.

Общий метод определения площади[]

Площадь плоской фигуры

На практике чаще всего требуется определить площадь ограниченной фигуры с кусочно-гладкой границей. Математический анализ предлагает универсальный метод решения подобных задач.

Декартовы координаты

Определённый интеграл как площадь фигуры

Площадь между графиками двух функций равна разности интегралов от этих функций в одинаковых пределах интегрирования

Площадь, заключённая между графиком непрерывной функции на интервале a,b{\displaystyle } и горизонтальной осью, может быть вычислена как определённый интеграл от этой функции:

S=∫abf(x)dx{\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}

Площадь, заключённая между графиками двух непрерывных функций f(x),g(x){\displaystyle f(x),\,g(x)} на интервале a,b{\displaystyle } находится как разность определённых интегралов от этих функций:

S=∫ab|f(x)−g(x)|dx{\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\,dx}

Полярные координаты

В полярных координатах: площадь, ограниченная графиком функции r=r(θ){\displaystyle r = r(\theta)} и лучами θ=θ1,θ=θ2,θ1<θ2{\displaystyle \theta =\theta _{1},\theta =\theta _{2},\theta _{1}<\theta _{2}} вычисляется по формуле:

S=12∫θ1θ2r2(θ)dθ{\displaystyle S={1 \over 2}\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r^{2}(\theta )\,d\theta }.

Площадь поверхности

Основная статья: Площадь поверхности

Для определения площади кусочно гладкой поверхности в трёхмерном пространстве используют ортогональные проекции к касательным плоскостям в каждой точке, после чего выполняют предельный переход. В результате, площадь искривлённой поверхности A, заданной вектор-функцией r=r(u,v),{\displaystyle \mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v),}, даётся двойным интегралом:

S=∬A|∂r∂u×∂r∂v|dudv.{\displaystyle S=\iint \limits _{A}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.}

То же в координатах:

S=∬A(D(x,y)D(u,v))2+(D(y,z)D(u,v))2+(D(z,x)D(u,v))2dudv{\displaystyle S=\iint \limits _{A}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v}

Здесь D(y,z)D(u,v)=|yu′yv′zu′zv′|,D(z,x)D(u,v)=|zu′zv′xu′xv′|,D(x,y)D(u,v)=|xu′xv′yu′yv′|{\displaystyle {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y’_{u}&y’_{v}\\z’_{u}&z’_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z’_{u}&z’_{v}\\x’_{u}&x’_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x’_{u}&x’_{v}\\y’_{u}&y’_{v}\end{vmatrix}}}.

Теория площадей занимается изучением обобщений, связанных с распространением определения k-мерной площади с кусочно-гладкого погружения на более общие пространства. Для кусочно-гладкого погружения f площадь определяют способом, аналогичным указанному выше, при этом у площади сохраняются такие свойства как положительность, аддитивность, нормированность, а также ряд новых.