Свойства сложения

Раскрытие скобок при умножении

Действия по раскрытию скобок при умножении основаны на работе дистрибутивного или ассоциативного свойства умножения.

Применение того или иного свойства умножения зависит от действия в скобках. Если есть сложение или вычитание, работает распределительное свойство. При умножении или делении используется свойство ассоциативности.

1. Открывающие скобки в соответствии со свойством распределения.

При добавлении:

Правило 2

Чтобы умножить сумму на число, умножьте каждый член на это число и сложите результаты.

а ∙ (б + с) = аб + ас

(а + б) ∙ с = ​​ас + Ьс

При вычитании:

Правило 3

Чтобы умножить разность на число, умножьте на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое и из первого произведения вычтите второе.

а ∙ (б — в) = аб — ас

(а – б) ∙ с = ​​ас – bc

Заметка 2

В математике для сокращения записей знак умножения не ставится перед числом и скобками.

Если общий множитель имеет отрицательное значение, все значения в скобках умножаются на (–1) и меняются местами:

-х(у + г) = -ху — хг

-х(у — г) = -ху + хг

2. Открывающие скобки по свойству ассоциативности:

Правило 4

Произведение трех и более факторов не изменится, если эту группу факторов заменить их произведением.

(а ∙ б) ∙ с = ​​а ∙ б ∙ с

(б ∙ в ∙ г) ∙ а = б ∙ в ∙ д ∙ а

В случае, если умножение выполняется в скобках, раскрытие происходит как при сложении — скобки просто раскрываются и перемножаются все значения:

а ∙ (б ∙ с) = а ∙ б ∙ с

(б ∙ в) ∙ а = б ∙ с ∙ а

Заметка 3

При раскрытии скобок необходимо учитывать правило знака.

При умножении:

(+) · (+) = (+)

(+) · (-) = (-)

(-) · (+) = (-)

(-) · (-) = (+)

При совместном использовании:

(+) : (+) = (+)

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)

(-) : (-) = (+)

При делении в скобках расширение происходит следующим образом:

Если общий множитель стоит перед скобками, то:

общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе число:

а ⋅ (б : с) = а ⋅ б : с;

или общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое число:

а ⋅ (б : с) = а : с ⋅ б.

Если общий множитель стоит после скобок, то:

общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе:

(а : б) ⋅с = с ⋅ а : б;

общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое:

(а : б) ⋅ с = с : б ⋅ а.

Скобка на скобку

Если вы хотите перемножить несколько скобок вместе, умножьте каждый элемент первой скобки на каждый член второй скобки:

(a + b) ⋅ (c — d) = a ⋅ (c — d) + b ⋅ (c — d) = ac — ad + bc — bd

Алгоритм действий при открытии скобки для скобки:

1. Первая скобка раскрывается, каждое из слагаемых умножается на вторую скобку.
2. Число умножается на скобки, даются аналогичные термины.

(5х + 7) ⋅ (10х — 2) =

5 х (10 х — 2) + 7 (10 х — 2) =

50x² — 10x + 70x — 14 =

50x² + 60 — 14

Скобка в скобке

В математике могут быть примеры, когда одни скобки заключаются в другие скобки.

Алгоритм действий такого типа примера:

1. Каждая скобка раскрывается последовательно, начиная с внутренней.
2. Скобки раскрываются в соответствии с принятыми правилами раскрытия скобок при сложении, вычитании, умножении и делении.
3. Аналогичные термины даны для дальнейшего решения математического выражения или уравнения

8x + y(4 — (2x — y)) = 8x + y(4 — 2x + y) = 8x + 4y — 2xy + y²

Порядок вычисления простых выражений

Существует четкое правило, определяющее порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются в порядке слева направо
• сначала выполняются умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Из этого правила становится понятнее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, приходится разбирать каждый пример и выбирать решение самостоятельно.

Что первично, умножение или деление? — По порядку слева направо. Сначала умножение или сложение? Умножь и прибавь.

Порядок действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято писать слева направо. А необходимость сначала умножать или делить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить расчет: 11 − 2 + 5.

Как мы решаем:

В нашем выражении нет умножения, деления и скобок, поэтому все операции выполняем слева направо. Сначала вычтите два из одиннадцати:

11 — 2 = 9

Затем прибавляем к результату пять, и в итоге получаем четырнадцать:

9 + 5 = 14

Вот полное решение: 11 − 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Ответ: 14.

Пример 2. В каком порядке следует производить вычисления в выражении: 10 : 2 × 7 : 5?

Как мы спорим:

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление, а значит, мы сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала делим десять на два:

10 : 2 = 5

Теперь умножьте результат на семь:

5 х 7 = 35

И полученное число делится на пять:

35 : 5 = 7

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 × 7 : 5 = 5 × 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Ответ: 7.

Пока не известны новые знания, чтобы не путать последовательность действий при вычислении значения выражения, числа удобно ставить над знаками арифметических действий, соответствующих порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример с действиями:

Основные свойства сложения целых чисел

Для начала нужно сказать, что все свойства сложения натуральных чисел справедливы для сложения целых чисел. Это обусловлено тем, что натуральные числа являются составной частью целых чисел. Перечислим основные свойства сложения.

Во-первых, сложение целых чисел обладает переместительным свойством. Это свойство заключается в том, что результат сложения двух целых чисел не зависит от порядка следования слагаемых. То есть, для двух целых чисел a и b справедливо равенство a+b=b+a. К примеру, в силу рассмотренного свойства справедливо равенство 3+21=21+3; также справедливо равенство (−564)+45=45+(−564); сумма целых отрицательных чисел −2 и −6 754 равна сумме (−6 754)+(−2).

Во-вторых, сложение целых чисел обладает сочетательным свойством. Сочетательное свойство заключается в том, что результат сложения целого числа с суммой двух целых чисел равен результату сложения суммы двух первых целых чисел с третьим. Это свойство сложения проще усвоить, когда оно записано в буквенном виде: a+(b+c)=(a+b)+c, где a, b, c – произвольные целые числа. Приведем пару примеров. Рассмотренное свойство сложения целых чисел позволяет говорить о справедливости равенства 54+((−17)+(−3 400))=(54+(−17))+(−3 400); аналогично сумма вида 10+((−100)+1 000) равна сумме (10+(−100))+1 000.

Следует заметить, что значение сочетательного свойства сложения целых чисел состоит еще и в том, что оно позволяет однозначно определить .

Для сложения целых чисел характерны еще несколько очень важных свойств.

Одно из них связано с существованием нуля. Это свойство сложения целых чисел утверждает, что прибавление к любому целому числу нуля не изменяет это число. Запишем данное свойство сложения с помощью букв: a+0=a и 0+a=a (это равенство справедливо в силу переместительного свойства сложения), a – любое целое число. Можно услышать, что целое число нуль называют нейтральным элементом по сложению. Приведем пару примеров. Сумма целого числа −78 и нуля равна −78; если к нулю прибавить целое положительное число 999, то в результате получим число 999.

Сейчас мы дадим формулировку еще одного свойства сложения целых чисел, которое связано с существованием противоположного числа для любого целого числа. Сумма любого целого числа с противоположным ему числом равна нулю. Приведем буквенную форму записи этого свойства: a+(−a)=0, где a и −a – противоположные целые числа. Например, сумма 901+(−901) равна нулю; аналогично сумма противоположных целых чисел −97 и 97 равна нулю.

Раскрытие скобок при делении

1. Случаи, когда сложение или вычитание выполняется в круглых скобках.

Правило 5

Если знак деления стоит после скобок, то каждое число в скобках делится на делитель, стоящий после скобок:

(а + b): с = а: с + b: с;

(а — б): с = а: с — б: с.

Если перед скобками стоит знак деления, делимое делится на каждое число в скобках:

с: (а + Ь) = с: а + с: Ь;

с : (а — б) = с : а — с : б.

1. Если умножение выполняется в скобках, то:

Если знак деления стоит перед скобкой:

делимое делится на первое число в скобках и делится на второе:

а : (б ⋅ с) = а : б : с;

либо делимое делится на второе число в скобках, а затем делится на первое:

а : (б ⋅ с) = а : с : б.

Если знак деления стоит после скобки:

первое число в скобках делится на делитель и умножается на второе:

(б ⋅ с): а = (б : а) ⋅ с ;

или второе число в скобках делится на делитель и умножается на первое:

(б ⋅ с) : а знак равно (с : а) ⋅ б .

Если деление выполняется в круглых скобках:

делимое делится на первое число в скобках и умножается на второе:

а : (б : с) = а : б ⋅ с;

первое число в скобках делится на делитель и делится на второе число:

(б : в) : а = б : с : а.

Не забывайте, что при раскрытии скобок необходимо учитывать правило символов, описанное выше:

При умножении:

(+) · (+) = (+)

(+) · (-) = (-)

(-) · (+) = (-)

(-) · (-) = (+)

При совместном использовании:

(+) : (+) = (+)

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)

(-) : (-) = (+)

Свойство сложения с нулем.

При сложении числа с нулем, в результате сумма будет тем же самым числом.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

В буквенном выражение сложение с нулем будет выглядеть так:

a+0=a 0+a=a

Вопросы по теме сложение натуральных чисел:Таблица сложения, составьте и посмотрите как работает свойство переместительного закона?
Таблица сложения от 1 до 10 может выглядеть так:

Второй вариант таблицы сложения.

Если посмотрим на таблицы сложения, видно как работает переместительный закон.

В выражении a+b=c суммой, что будет являться?
Ответ: сумма — это результат сложения слагаемых. a+b и с.

В выражении a+b=c слагаемыми, что будет являться?
Ответ: a и b. Слагаемые – это числа, которые мы складываем.

Что произойдет с числом если к нему прибавить 0?
Ответ: ничего, число не поменяется. При сложении с нулем, число остается прежнем, потому что нуль это отсутствие единиц.

Сколько слагаемых должно быть в примере, чтобы было можно применить сочетательный закон сложения?
Ответ: от трех слагаемых и больше.

Запишите переместительный закон в буквенном выражении?
Ответ: a+b=b+a

Примеры на задачи.Пример №1:
Запишите ответ у представленных выражений: а) 15+7 б) 7+15
Ответ: а) 22 б) 22

Пример №2:
Примените сочетательный закон к слагаемым: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Ответ: 20.

Пример №3:
Решите выражение:
а) 5921+0  б) 0+5921
Решение:
а) 5921+0 =5921
б) 0+5921=5921

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать круглые скобки, обозначающие порядок выполнения математических операций, в этом случае действует правило:

Сначала выполните действия в скобках, при этом умножая и деля по порядку слева направо, а затем сложите и вычтите.

Выражения в скобках рассматриваются как компоненты исходного выражения. Они сохраняют уже известную нам последовательность действий.

Рассмотрим последовательность действий на примерах со скобками.

Пример 1 Вычислить: 10 + (8 − 2 × 3) × (12 −​​​​​​​​4): 2.

Как правильно решить пример:

Во-первых, давайте определимся с планом действий. Выражение содержит скобки, поэтому мы сначала выполним действия над выражениями, заключенными в эти скобки.

Что первично, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание.

Итак, мы определили первые три действия:

Когда все действия в скобках выполнены, по правилу надо выполнить умножение и деление, и, наконец, сложение. Теперь мы знаем, в каком порядке решать пример:

Осталось решить пример с действиями:

1. 2 х 3 = 6
2. 8 — 6 = 2
3. 12 — 4 = 8
4. 2 х 8 = 16
5. 16 : 2 = 8
6. 10 + 8 = 18

На этом все действия завершены.

Ответ: 10 + (7 — 2 × 3) × (12 — 4): 2 = 18.

Вы можете встретить выражения, содержащие скобки внутри скобок. Для их решения необходимо последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и переходить к внешним. Покажем пример.

Пример 2. Выполните действия над выражением: 9 + (5 + 1 + 4 × (2 + 3)).

Как мы решаем:

Сначала определим процедуру

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий должно начинаться с выражения в скобках, то есть с 5+1+4×(2+3). Но это выражение также содержит круглые скобки, поэтому сначала начнем с действий внутри них:

Теперь давайте перейдем к выражению во внешних скобках. Первой операцией по правилу будет умножение, а затем слева направо — две операции сложения:

И последний шаг — выполнить сложение:

Рассчитываем по действиям:

1. 2 + 3 = 5
2. 4 х 5 = 20
3. 5 + 1 = 6
4. 6 + 20 = 26
5. 9 + 26 = 35

Ответ: 4 + (3 + 1 + 4 × (2 + 3)) = 35.

Порядок действий без скобок

Установленный порядок арифметических операций без скобок:

1. Если выражение содержит только операции сложения и вычитания, то они выполняются в следующем порядке — слева направо:
2. Если выражение содержит только операции умножения и деления, то операции выполняются в следующем порядке — слева направо:
3. Если выражение содержит как умножение и деление, так и сложение и вычитание, то сначала умножение и деление выполняются в их порядке (слева направо), а затем сложение и вычитание выполняются в их порядке (слева направо):

Порядок действий со скобками

Если выражение содержит скобки, сначала выполняются все действия внутри скобок, а затем выполняются все действия вне скобок.

В числовых выражениях со скобками порядок арифметических операций такой же, как и в выражениях без скобок.

Скобки используются для обозначения действий, которые должны быть выполнены в первую очередь. Скобки не влияют на порядок других действий в выражении, остальные действия выполняются в указанном порядке.

Сочетательный закон умножения

Сочетательный закон умножения говорит о том, что если выражение состоит из нескольких сомножителей, то произведение не будет зависеть от порядка действий.

Рассмотрим следующее выражение:

2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Сначала можно перемножить числа 2 и 3, и полученный результат умножить на 4:

Либо сначала можно перемножить числа 3 и 4, и полученный результат перемножить с числом 2

Таким образом, между выражениями (2 × 3) × 4 и 2 × (3 × 4) можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

Запишем сочетательный закон умножения с помощью переменных:

a × b × с = (a × b) × с = a × (b × с)

Пример 2. Найти значение выражения 1 × 2 × 3 × 4

Данное выражение можно вычислять в любом порядке. Вычислим его слева направо в порядке следования действий:

Что важнее – умножение или сложение?

При решении примеров Расставь порядок действий. Умножить или разделить – на первом месте.

Для выражений, в которых присутствуют не сложение либо вычитание, а умножение или деление, действует то же правило: все действия с числами выполняются по порядку, начиная с левого:

81 : 9 х 2 = ?

1. 81 : 9 = 9;
2. 9 х 2 = 18.

Сложнее случай – когда в одной задаче встречаются умножение или деление со сложением или вычитанием. Каков порядок вычислений тогда?

Рассмотрим пример:

8 : 2 + 2 = ?

Если выполнять все действия по порядку, сначала деление, затем сложение. В итоге получим:

1. 8 : 2 = 4;
2. 4 + 2 = 6.

Правило третье: Если в задаче необходимо произвести умножение или деление, они выполняются в первую очередь.

Значит, пример решен правильно. А если в нем будут скобки?

8 : (2 + 2) = ?

1. 2 + 2 = 4;
2. 8 : 4 = 2.

То, что заключено в скобки, всегда в приоритете. Для того они и стоят в выражении. Поэтому порядок вычислений в подобных выражениях будет следующим:

1. Раскрываем скобки. Если их несколько, делаем вычисления для каждых.
2. Умножение либо деление.
3. Вычисляем конечный результат, выполняя действия слева направо.

Пример:
81 : 9 + (6 – 2) + 3 = ?

1. 6 – 2 = 4;
2. 81 : 9 = 9;
3. 9 + 4 = 13;
4. 13 + 3 = 16.

81 : 9 + (6 – 2) + 3 = 16.

А что будет приоритетным: умножение — или деление, вычитание — или сложение, если оба действия встречаются в задаче? Ничего, они равны, в таком случае действует первое правило – действия производятся одно за другим, начиная слева.

Алгоритм решения выражения:

1. Анализируем задачу – есть ли скобки, какие математические действия нужно будет выполнить.
2. Выполняем вычисления в скобках.
3. Делаем умножение и деление.
4. Выполняем сложение и вычитание.

Пример:

28 : (11 – 4) + 18 – (25 – = ?

Порядок вычисления:

1. 11 – 4 = 7;
2. 25 – 8 = 17;
3. 28 : 7 = 4;
4. 4 + 18 = 22;
5. 22 – 17 = 5.

Ответ: 28 : (11 – 4) + 18 – (25 – = 5.

Важно! Если в выражении есть буквенные обозначения, порядок действий остается прежним

Взаимосвязь между действием сложения и действием вычитания

Итак, ты выучил два математических действия: сложение и вычитание. Одно из них используется при объединении предметов в единое множество, а другое при удалении из целого множества его части.

Ты вспомнил, что обозначает каждое действие?

Эти действия связаны между собой, но имеют противоположное значение. При сложении мы получаем больший результат, а при вычитании предметов становится меньше. Вот, например, представь, что у тебя было несколько конфет и тебе дадут еще пару штук. Что получится?

Правильно, у тебя конфет станет больше.

А если ты съешь несколько конфет? Что у тебя останется?

Правильно, у тебя останется меньше конфет.

А теперь давай проверим, какая именно взаимосвязь между действиями сложения и вычитания. Разберем одну ситуацию и составим по ней математическое выражение.

У Белоснежки День рождения. Гномики решили устроить для нее праздник. Посчитай, сколько их всех на картинке.

Правильно, их трое.

К Белоснежке на День рождения пришли зверята. Посчитай, сколько их.

Верно, пять зверят.

Подумай, какое действие мы должны использовать, чтобы составить выражение?

Ну конечно, действие сложение. Ведь теперь их всех вместе стало больше.

Было три, пришло еще пять. Посчитай, сколько теперь всех вместе.

Правильно, восемь.

Запишем в виде выражения.

3 + 5 = 8

3 – это первое слагаемое, оно показывает, сколько элементов было в первом множестве.

5 – это второе слагаемое, оно показывает, сколько элементов было во втором множестве.

8 – это сумма, она обозначает количество элементов в общем множестве.

Теперь на полянке и гномики с Белоснежкой (это наше первое множество), и зверята (это второе множество). Они все вместе.

Получается, что на празднике веселились 8 друзей. Когда праздник закончился, зверята ушли домой. Как ты думаешь, какое математическое действие надо использовать в этом случае?

Правильно, действие вычитание. Ведь зверята ушли и на полянке останется меньше друзей.

Итак, 5 зверят ушло. Кто остался? Сколько их?

Верно, остались гномики с Белоснежкой. Их 3.

Составим математическое выражение.

8 – 5 = 3

Мы видим, что если из общего множества (суммы) убрать элементы второго множества (второе слагаемое), то останутся только элементы первого множества (первое слагаемое).

А если было наоборот, из 8 друзей первыми с полянки ушли гномики с Белоснежкой (их 3). Кто на ней останется?

Правильно, останутся зверята. Их 5.

Посмотри, как это запишем.

8 – 3 = 5

Теперь мы из общего множества (суммы) убрали элементы первого множества (первое слагаемое) и остались только элементы второго множества (второе слагаемое).

Итак, у нас получается, что мы при сложении два множества объединяем в одно целое. А если из этого общего множества убрать какое-то одно из составляющих множеств, то останется другое. 

В математике это правило взаимосвязи между компонентами сложения звучит так: если из суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.

Мы видим, что в примере на сложение есть два слагаемых. Поэтому можно сделать следующий вывод: из одного математического выражения с действием сложения можно составить два выражения с действием вычитания.

8 – 3 = 5

8 – 5 = 3

Это очень важное правило, которое поможет тебе в дальнейшем быстро и легко учить таблицы вычитания. А на сегодня все

Гномики помогли нам получить очень важные и ценные знания. Нужно обязательно поблагодарить их за это

А на сегодня все. Гномики помогли нам получить очень важные и ценные знания. Нужно обязательно поблагодарить их за это.

Переместительный закон сложения

Переместительный закон сложения говорит о том, что от перестановки мест слагаемых сумма не изменяется. Действительно, прибавьте пятерку к двойке — получите семёрку. И наоборот, прибавьте двойку к пятерке — опять получите семёрку:

5 + 2 = 7

2 + 5 = 7

Если на одну чашу весов положить пакет, в котором 10 килограмм яблок, и на другую чашу так же положить пакет, в котором 10 килограмм яблок, то весы выровнятся, и не важно что яблоки в пакетах лежат вразброс. Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм

От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес

Если мы возьмём пакет с весов и перемешаем яблоки находящиеся в нём, словно шары в лотерейном мешке, пакет всё так же будет весить 10 килограмм. От перестановки мест слагаемых сумма не изменится. Слагаемые в данном случае это яблоки, а сумма это итоговый вес.

Таким образом,  между выражениями 5 + 2 и 2 + 5 можно поставить знак равенства. Это будет означать, что их сумма равна:

5 + 2 = 2 + 5

7 = 7

Полагаем что вы изучили один из предыдущих уроков, который назывался выражения, поэтому мы без тени смущения запишем переместительный закон сложения с помощью переменных:

a + b = b + a

Записанный переместительный закон сложения будет работать для любых чисел. Например, возьмём любых два числа. Пусть а = 2, b = 3. Мы присвоили переменным a и b значения 2 и 3 соответственно. Эти значения отправятся в главное выражение a + b = b + a и подставятся куда нужно. Число 2 подставится вместо а, число 3 место b

Дробная черта

Дробную черту в выражении можно заменить знаком деления, в этом случае все, что было выше и ниже дробной черты, необходимо заключить в круглые скобки. Например:

13+2	= (13 + 2): (10 — 7).
10 — 7

Знак деления в выражении может быть заменен дробной косой чертой только в том случае, если это не нарушает порядок действий. Например, выражение:

20: 4(2+3)

не может быть заменен на

20	,
4(2+3)

потому что такая замена нарушила бы порядок операций в этом выражении.

<td> ;

20: 4(2+3) ≠	20
4(2+3)

20	= 20: (4(2 + 3)).
4(2+3)

Дробная черта в выражении заменяет скобки и означает, что необходимо вычислить отдельно выражение в числителе и отдельно выражение в знаменателе, и разделить первый результат на второй.

Алгоритм выполнения действий первой и второй ступени

Во многих справочниках порядок арифметических действий делится на первоочередные и второстепенные. Чтобы понять это, необходимо сформулировать правило более точно.

К первоочередным относят сложение и вычитание, ко второй ступени относят деление и умножение.

Точнее записать это правило можно следующим образом:

1. сначала выполнить умножение и деление в порядке слева направо;
2. далее выполняем сложение и вычитание в том же порядке.

Рассмотрим несколько простых примеров на умножение и деление, сложение и вычитание с числовыми или переменными значениями. Также подробно рассмотрим формулы со скобками, содержащие степени, корни и пр.