Деление натуральных чисел: правила, примеры и решения

Свойства деления

Деление имеет ряд правил, которые обязательно нужно запомнить. К счастью, их всего три:

У нас есть $\textcolor{orange}{5}$ яблок, мы должны разделить их на $\textcolor{darkgreen}{ноль}$ человек. Такая задача не имеет решений.

У нас все те же $\textcolor{orange}{5}$ яблок. Теперь мы делим их на $\textcolor{darkgreen}{1}$ человека. Очевидно, что этому человеку и достанутся все $\textcolor{orange}{5}$ яблок.

Вернемся к нашим яблокам. Разделим $\textcolor{orange}{5}$ яблок на $\textcolor{orange}{5}$ человек. Сколько яблок достанется каждому? Правильно, по $\textcolor{darkgreen}{одному}$ яблоку будет у каждого человека.

{"questions":,"explanations":,"answer":}},"hints":[]}]}

{"questions":,"answer":0}},"step":1,"hints":}]}

Деление на единицу с любым количеством нулей

При делении на единицу натуральное число, над которым проводится операция деления, не будет меняться, так как деление на единицу в результате дает делимое. По сути, число делится лишь один раз: полностью и без остатков.

При делении на единицу с любым количеством нулей данное количество должно учитываться в результате. Так как число остается в таком же виде, нули уходят вперед или отбрасываются.

Если делимое содержит нули, то количество нулей делимого отбрасывается ровно на столько, сколько нулей в делителе.

Данное действие приведет к появлению десятичной дроби, то есть дроби, где сначала записывается нуль, потом запятая, а после некоторое количество нулей и разделенное число.

Слайд 40 Особого внимания заслуживают те случаи, когда оба множителя оканчиваются нулями, например,

20 . 30, 400 . 50, 800 . 70 и т.д. Сначала при решении учащиеся рассуждают так: чтобы умножить 300 на 50, надо три сотни умножить на пять, а затем полученное число умножить на 10, будет 150 сотен, или 15 тысяч. Такие примеры записываются в строчку и решаются устно. Аналогичным образом рассуждают ученики и при письменном умножении в том случае, когда оба множителя оканчиваются нулями. Запись удобна следующая:               7800            3670                                                       х   30              х 20                                                       234000          73400    Выполняя умножение, ученики замечают, что сначала они умножили, например, число 78 или 367 на однозначное, а затем к полученному произведению приписали столько нулей, сколько их в конце множителей

Правило произведения целых чисел.

Определение:Произведением двух целых чисел не равных нулю называют произведение их модулей и результат будет со знаком плюс, если эти числа одинаковых знаков, и со знаком минус, если они разных знаков.

Самое главное в произведении целых чисел это правильно посчитать знак ответа. Например, оба множителя могут быть положительными или оба отрицательными числами, или один множитель положительный, а другой отрицательный.

Нужно запомнить:

Плюс на плюс дает плюс.“+ ∙ + = +”

Минус на минус дает плюс.“– ∙ – =+”

Минус на плюс дает минус.“– ∙ + = –”

Плюс на минус дает минус.“+ ∙ – = –”

Каждый случай ниже разберем подробно.

Задачи с применением деления

Приведем примеры задач, для которых нужно уметь делить одно натуральное число на другое.

1. Первый тип задач – это те, в которых нужно найти, сколько множеств получится после деления исходного множества на равные части, а также близкие к ним задачи на вычисление количества предметов в каждом множестве после деления. Ранее мы уже приводили примеры таких задач. Добавим еще несколько.

Допустим, у нас есть 40 ручек, которые нужно распределить поровну между 4 коробками. Как вычислить, сколько ручек положить в каждую из них?

Ответ: 10

На ужин было приготовлено 12 котлет. Каждому члену семьи должно достаться по две. Сколько всего человек будут ужинать?

2. Второй тип задач очень схож с первым, однако в них необходимо вычислить не количество предметов, а изменения физических величин (времени, температуры, длины и др.)

Например, у нас есть полная бочка молока объемом 100 л. Сколько надо взять двухлитровых бутылок, чтобы перелить туда все имеющееся молоко?

Ответ: 100

Ответ: 3

3. Третий тип задач – это те, где нужно найти, во сколько раз уменьшилось исходное количество чего-либо, или выяснить, во сколько одно множество предметов или величина больше, чем другое. Например:

Планировалось построить дом площадью 120 кв м., но в итоге построили в два раза меньше. Какую площадь имеет в итоге построенный дом?

Ответ: 60

Какие действия в математике можно выполнять с нулём

С нулём выполняются все арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. При выполнении сложения и вычитания с нулём обычно проблем и сложностей не возникает. Здесь всё просто. 

Если к любому числу добавить 0, это означает, что к нему не прибавилось ничего. Слагаемое каким было, таким и осталось, сколько раз ноль ни прибавляй.

То же самое будет, если отнять ноль. 

Если ноль разделить на любое ненулевое число, то в результате тоже получится ноль. 

А вот операция умножения гораздо менее очевидна. Не все понимают, почему при умножении на 0 получается 0. Именно умножение на ноль мы сейчас рассмотрим подробнее, так как в нём содержатся некоторые нюансы. А заодно поговорим немного и о делении на ноль.

Представление делимого в виде разности двух натуральных чисел

Иногда делимое проще представить в виде разности двух натуральных чисел, чем в виде суммы, что значительно ускоряет процесс деления. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Разделите 594 на 6.

Решение.

Несомненно, мы можем воспользоваться алгоритмом из предыдущего пункта, по которому делимое 594 представляется в виде суммы 540+54. При этом мы получим 594:6=(540+54):6=540:6+54:6=90+9=99.

Но проще поступить немного иначе. Несложно видеть, что делимое 594 можно представить в виде разности 600−6, причем натуральные числа 600 и 6 легко делятся на 6. Тогда 594:6=(600−6):6. Теперь по полученное частное (600−6):6 равно разности 600:6−6:6, которая очень легко вычисляется: 600:6−6:6=100−1=99.

Ответ:

594:6=99.

Разберем решение еще одного примера.

Пример.

Вычислите частное 483:7.

Решение.

Натуральное число 483 удобно представить в виде разности 490−7, в которой и уменьшаемое и вычитаемое легко делятся на 7. Получаем 483:7=(490−7):7=490:7−7:7=70−1=69.

Ответ:

483:7=69.

Вы здесь

Таблица деления

Деление в математике – это действие, противоположное умножению. Смысл слова «деление» в русском языке намного шире, более того иногда оно применяется с разными оттенками и смыслами, а порой возможны и совсем необычные повороты, как, например, во фразе «клетка размножается путем деления», но на этой странице речь пойдет именно о делении в математике в общепринятом на сегодня смысле. Во многих случаях речь будет идти о ситуации, когда происходит преобразование единого целого или совокупности множества составных частей в самостоятельные или отдельно рассматриваемые части. Также в математике часто можно встретить термин «операция деления». Какой же практический смысл этого действия? Представим, что в корзинке есть 12 яблок. Если разделить яблоки поровну между Васей, Петей и Колей, то по сколько яблок достанется каждому? Итак по условию задачи 12 яблок мы будем делить между тремя мальчиками, тогда в результате каждому из них достанется по 4 яблока. В письменном виде это можно записать как 12 : 3 = 4. В качестве знака деления также используют и другие символы, например /, ÷ . То же самое выражение можно записать дробью, где над чертой будет 12, а под чертой 3. При любой из этих записей справедливо следующее: в операции деления все числа представлены в виде делимого, делителя и частного.
     На первом месте (или в верхней части дроби) будет всегда находиться делимое. На втором месте (в этом примере под чертой) – делитель. После знака равно всегда находится результат деления (частное). Следует отметить, что делителей может быть несколько. Например, 10 : 2 : 5=1. Здесь только одно делимое, одно частое, но два делителя (2 и 5). Для лучшего понимания необходимо хорошо разобраться, где находится делимое, где делитель, а где частное. Для быстрого счета в уме таблицу деления часто запоминают наизусть также, как и таблицу умножения. Как правило, если таблица умножения «отскакивает от зубов», проблем с таблицей деления не возникает. Но стоит отметить, что есть и другие способы быстрого деления в уме (способы счета описаны в специальном разделе). Самый простой вариант записи таблицы деления – с помощью равенств.
     Также деление может быть представлено в виде квадратной таблицы. В зависимости от того, что на что мы будем делить, результат может быть получен различный. Ниже представлен пример записи результатов в такой таблице.
     В данной таблице в строке указано делимое, в столбце делитель, в ячейках на пересечении – частное. Так как не всегда в результате получаются целое число и при этом не все люди, изучающие деление, уже умеют использовать десятичные дроби, запись в ячейках сделана с помощью знака /. Существует и другой способ записи, когда в столбцах указано делимое, в строке — делитель. Частное по-прежнему находится в ячейках на пересечении.
     Как видим, таблица уже приняла совсем другой вид. Поэтому, с такой таблицей нужно быть внимательным, желательно в начале её использования произвести проверку умножением. К примеру, мы выполняли действие 10 : 5 = 2. С помощью умножения можно проверить, правильно ли мы записали ответ: 2 х 5 = 10. Следовательно, все было выполнено верно. Также, для поиска ответа можно воспользоваться обыкновенной таблицей Пифагора. Сразу стоит отметить, что в таблице в примере ниже высота всех строк и ширина всех столбцов одинаковая

Это важно, и поможет при соотнесении умножением с площадью прямоугольника. Рассмотрим пример деления 45 на 9 (45 : 9).
Находим ячейку со значением 45

Поднимаемся или идем мысленно в бок до цифры 9. Дорисовываем (опять же мысленно или с помощью карандаша) до прямоугольника и находим оставшееся значение, равное 5. Как видим, операция деления довольно проста, особенно, если до этого была хорошо изучена тема умножения или под рукой имеется соответствующая табличка.

материал

Проверка результата деления натуральных чисел делением

Проверить результат деления натуральных чисел можно не только при помощи умножения, но и при помощи деления. Сформулируем правило, позволяющее проводить проверку результата деления делением.

Чтобы проверить, правильно ли найдено частное от деления двух натуральных чисел, нужно делимое разделить на полученное частное. При этом, если получается число, равное делителю, то деление выполнено верно, в противном случае, где-то в вычислениях была допущена ошибка.

Это правило основано на достаточно очевидной связи делимого, делителя и частного. Проследить эту связь нам помогут следующие рассуждения. Пусть мы разделили a предметов в b кучек, после чего в каждой кучке оказалось c предметов в каждой. Понятно, что если эти a предметов разложить в кучки по c предметов в каждой, то таких кучек получится b штук. Таким образом, если a:b=c, то a:c=b, аналогично, если a:c=b, то a:b=c. Об этом же мы упоминали выше в пункте .

Осталось рассмотреть несколько примеров проверки результата деления натуральных чисел при помощи деления.

Пример.

При делении натурального числа 104 на 13 было получено число 8. Правильно ли было выполнено деление?

Решение.

Несомненно, правильность полученного результата можно проверить, выполнив умножение частного 8 на делитель 13. Имеем 8·13=104. Вычисленное число 104 равно делителю 104, значит, деление было выполнено верно.

Проверить результат можно было и с помощью деления. Для этого можно разделить делимое 104 на натуральное число 8 и посмотреть, получится ли число, равное делителю 13. Выполним деление: 104:8=(80+24):8=80:8+24:8=10+3=13. Следовательно, деление было выполнено правильно.

Ответ:

да, правильно.

Пример.

Вычислите частное 240:15, результат проверьте делением.

Решение.

Чтобы выполнить деление, делимое 240 представляем в виде суммы 150+90 по алгоритму, разобранному в одном из предыдущих пунктов этой статьи, получаем 240:15=(150+90):15=150:15+90:15=10+6=16.

Осталось выполнить проверку делением. Для этого разделим делимое 240 на полученное число 16. Имеем 240:16=(160+80):16=160:16+80:16=10+5=15. Так как получили число, равное делителю, то можно говорить, что частное 240:15 вычислено правильно.

Ответ:

240:15=16.

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Публикация «Умножение числа нуль и на нуль, Деление нуля» размещена в разделах

• Математика. Деление чисел. Конспекты уроков
• Математика. Умножение. Конспекты уроков
• Счёт. Цифры и числа, количество
• Темочки

Планируемые результаты: учащиеся научатся выполнять умножение 0 на число, число на 0, делить 0; пользоваться таблицей умножения и деления; решать задачи изученных видов; оценивать правильность выполнения действий.

Оборудование: карточки для игры “Почтальон”; таблица с геометрическими фигурами, раздаточный материал, персональный компьютер, медиа-проектор, учебник «Математика» М. Н. Перова (4 класс).

Тип урока: новая тема.

Вид урока: урок-игра.

Распределительные свойства деления

К распределительным свойствам деления относятся операции:

• деление суммы на число;
• деление разности на число;
• деление произведения на число;
• деление числа на произведение.

При делении суммы на число необходимо каждое из слагаемых поделить на число, а потом сложить результаты частных.

При делении разности на число необходимо также каждое из чисел примера поделить на делитель, но при этом нужно соблюдать строгую последовательность. Сначала необходимо провести деление уменьшаемого, потом — вычитаемого, и только после этого провести операцию вычитания.

Деление произведения на число подразумевает деление только одного из сомножителей и дальнейшее умножение без изменений. Выбор множителя зависит от величины делителя и удобности проведения операции деления.

Смысл данного правила заключается в том, что при делении произведения его результат уменьшается в количество раз, определяемое делителем. Если любой из множителей произведения уменьшить в данное количество раз, результат произведения также автоматически уменьшится во столько же раз.

Деление числа на произведение требует проведение операций деления в строгом порядке. Для решения примера потребуется деление первого сомножителя, деление результата на второй сомножитель, третий и так далее.

Ход урока

I. Орг. момент:

Проверка домашнего задания.

II. Устный счет.

Учитель: вспоминаем табличное умножение и деление. Сейчас мы поиграем в игру “Почтальоны”. Света, ты будешь почтальоном. На доске домики с номерами. Твоя задача – взять пример-письмо, правильно его решить и определить в какой дом нам нужно отнести письмо.

3х4 2х2 9х2 3х1 3х8 25:5

6х2 16: 4 3х6 9: 3 6х4 5:1

4: 1 3:1

Учитель: вставьте пропущенный знак действия.

4…0=4 1…3=4 5…1=6

4…4=0 1…3=3 5…1=5

3…3=0 1…0=1 9…0=0

III. Знакомство с новым материалом

ПРО НОЛЬ

Напрасно думают, что ноль

Играет маленькую роль,

Когда-то многие считали

Что ноль не значит ничего

И, как ни странно полагали

Что он совсем не есть число.

Но о его особых свойствах

Мы поведем теперь рассказ

Коль ноль к числу ты прибавляешь

Иль отнимаешь от него

В ответе тотчас получаешь

Опять то самое число

Попав как множитель средь чисел

Он мигом сводит все на нет

И потому в произведенье

Один за всех несет ответ

А относительно деленья

Нам твердо помнить нужно то,

Что уж давно в научно мире

Делить на ноль запрещено

И впрямь: какое из известных

Число за частное нам взять

Когда с нулем в произведенье

Все числа ноль лишь могут дать

Учитель: Давай проверим, все ли в стихотворении правильно:

7+0=7 7-0=7 7•0= 0 7:0

Учитель: применим переместительное свойство умножения и заменим умножение сложением : 7•0=0•7=0+0+0+0+0+0+0=0

Что получилось?

Учитель: мы знаем, что деление проверяется умножением : тогда частное умножим на 0 – должно получиться 7, но это не возможно! Какое бы число мы не умножали на 0, всегда в произведении будет 0.

IV. Физминутка

V. Закрепление изученного материала

1. Решение задачи (с. 143 № 7)

Учитель: о чем говорится в задаче?

Ученик: о ремонте, фундаменте, кирпичах.

Учитель: что нужно узнать?

Ученик: сколько кирпичей осталось уложить.

Учитель: сможем ли мы сразу ответить на этот вопрос?

Ученик: нет.

Учитель: почему?

Ученик: потому что мы не знаем, сколько кирпичей рабочий использовал.

Учитель: сможем ли мы это узнать?

Ученик: да.

Учитель: каким действием?

Ученик: делением.

Учитель: сможем ли мы теперь ответить на вопрос задачи?

Ученик: да.

Учитель: каким действием?

Ученик: вычитанием.

Учитель: сколько же кирпичей осталось уложить рабочему?

Ученик: ( 40:5=8, 40-8=32) 32 кирпича.

2. Самостоятельная работа (с. 144 № 18)

7* 0 7:1 3* 0 8:1

7*1 0*7 0* 3 0:8

1*6 0*1 3*1 0*8

0* 6 0:1 1*3 0*1

3. Работа у доски (с. 144 № 11)

7*0 0* 8 0:5 1*3 5+0

7+ 1 0:8 6*0 1+3 5*0

7-1 8+0 8-0 4-1 5-1

VI. Повторение

1. Круговые примеры

Учитель: Мы будем лесниками. Нам надо определить высоту некоторых деревьев, для этого необходимо решить круговые примеры.

2. Арифметический диктант

Учитель: А сейчас будем стенографистами. Я диктую, а ты записываешь – стенографируешь с помощью карточек.

• Сумму чисел 45 и18 (45+18=63)

• Произведение чисел 8 и 3 (8*3=24)

• Разность чисел 35 и 7 (35-7=22)

• Частное чисел 20 и 4 ( 20:4=5)

3. Геометрический материал.

Учитель: последнее задание. Какие геометрические фигуры вы видите?

Посчитайте и скажите, сколько раз встречается каждая фигура.

(Круг – 12, квадрат – 6, треугольник – 6, прямоугольник – 5.)

VII. Рефлексия

Самостоятельное выполнение с. 144 № 17 (1,2 ст.). Ответы записаны на доске:0,0,0;5,5,5.

Оцени свою работу на уроке смайликом.

VIII. Домашнее задание

С. 144 № 12.

Правило нахождения делимого, делителя и частного

Делимое — это число, которое мы делим на другое число. Например, в задаче «15 разделить на 3», 15 является делимым.

Делитель — это число, на которое мы делим другое число. В примере выше, 3 является делителем.

Частное — это результат деления делимого на делитель. В нашем примере, частное равно 5, так как 15 поделено на 3 равно 5.

Если, в задаче дано только результат деления и делитель, то для нахождения делимого нужно умножить делитель на частное. Например, если дано «12 поделено на 4 равно 3», чтобы найти делимое нужно выполнить операцию: 4 умножить на 3, получится 12.

Если, мы знаем делимое и частное, но не знаем делитель, то для его нахождения нужно разделить делимое на частное. Например, если дано «24 поделено на 6 равно 4», чтобы найти делитель нужно выполнить операцию: 24 разделить на 4, получится 6.

Важно запомнить правила нахождения делимого, делителя и частного, так как они являются основой при решении задач по математике и не только

Решение задач с понятиями «масса» и «количество»

Мои ребята любят печеную картошку. А знаете ли вы, что в Россию картофель завез Петр Первый ещё в 17 веке.

В картофеле много витамина В6, витамина С, калия, фосфора и других полезных микроэлементов. Он богат клетчаткой и полезен для пищеварения и сосудов. Но жаренная на масле картошка вредит сосудам и сердцу. Лучше употреблять ее вареной или печеной без жира.

На рынке купили картофель в сетках. Давайте опишем покупку с помощью математики.

Нам понадобится величина. Это такое свойство предметов, которое можно измерить и результат записать с помощью числа. Величина, характеризующая вес тела, называется масса.

В качестве единицы массы часто используют килограмм. В 1799 году ученые придумали такую мерку для измерения веса.

Чему равна масса одной сетки? 

10кг

Назовите количество сеток.

3

Задача 1. Определите массу всей покупки.

Как узнать, сколько всего килограммов картофеля купили? 10 ∙ 3 = 30 кг

Задача 2. Для консервирования купили шесть коробок помидоров весом 54 килограмма. Определите массу одной коробки.

Рассуждаем так: 54 кг – это масса всех коробок, таких коробок – 6.

Решение задачи.

Массу одной коробки узнаем действием деления.

54 : 6 = 9(кг)

Ответ: 9 кг весит одна коробка.

Задача 3.

В одну банку входит 8 кг варенья. Сколько нужно банок, чтобы разлить в них поровну 56 кг варенья?

Рассуждаем так: разливаем всю массу варенья по 8кг на банку действием деления.

Решение.

56 : 8 = 7(б.)

Ответ: нужно 7 банок.

Запомните правила, как решаются задачи на массу и количество.

Задача 4.

В подвал на хранение разложили 36 кг слив в 4 ящика. Сколько яблок в 6, а груш в 7 таких ящиках, если масса каждого ящика с фруктами одинаковая?

Что нужно сделать?

Найти массу

Как представить краткую запись?

В виде таблицы

Начертите столбцы, занесите условие и вопрос задачи построчно.

Что надо знать, чтобы найти массу 6 ящиков? 7 ящиков?

Массу одного ящика

36 : 4 = 9(кг)

Каким действием узнаете массу 6 ящиков? 7 ящиков?

9 ∙ 6 = 54(кг)

9 ∙ 7 = 63(кг)

Решите задачу, какая масса ящиков с яблоками и грушами выражением.

36 : 4 ∙ 6 = 54

36 : 4 ∙ 7 = 63

Ответ: в 6 ящиках 54 кг яблок, в 7 ящиках 63 кг груш.

Это интересно: Зимой малиновое варенье становится не только лакомством, но ещё и крайне эффективным лекарством. Оно содержит витамин С, понижает температуру и укрепляет иммунитет.

Повторим, как решать задачи с величинами цена, количество, стоимость

Задача 5.

Прочитайте условие.

Мама купила 7 кг варенья и 8 кг свежих ягод по одинаковой цене. За варенье она заплатила 700 рублей. Сколько стоили ягоды?

Что поможет ответить на вопрос задачи?

Правильно, таблица.

Решение:

1. Стоимость разделим на количество, получим цену.  

700 : 7 = 100 (руб.) – цена 1 кг варения

2. Ответим на вопрос задачи. Цену умножим на количество, получим стоимость.  

100 ∙ 8 = 800 (руб.) – стоимость ягод.

Ответ: 800 рублей.

Вы, ребята, молодцы. Есть у нас условный знак – нужно пальцы сделать так.

Только это тайна.

Урок наш подходит к концу и нам нужно подвести его итог:

Продолжите фразу:

сегодня я научился            

было интересно              

было трудно    

Все хорошо потрудились. Спасибо.

Деление на 10, 100, 1 000 и т.д.

Сразу дадим формулировку правила деления натуральных чисел на 10, 100, 1 000, … (будем считать, что такое деление возможно) и приведем пример, а потом приведем необходимые разъяснения.

Результатом деления натурального числа на 10, 100, 1 000 и т.д. является натуральное число, запись которого получается из записи делимого, если справа отбросить один, два, три и так далее нулей (то есть, отбрасывается столько цифр , сколько их содержится в записи делимого).

Например, частное от деления числа 30 на 10 равно 3 (от делимого 30 справа отбросили одну цифру ), а частное 120 000:1 000 равно 120 (от 120 000 справа убрали три цифры ).

Озвученное правило достаточно просто обосновать. Для этого достаточно вспомнить Приведем пример. Пусть нам требуется вычислить частное 10 200:100. Так как 102·100=10 200, то в силу связи между сложением и умножением результатом деления натурального числа 10 200 на 100 является натуральное число 102.

Что такое деление

Рассмотрим пример применения деления в повседневной жизни. Прежде чем съесть арбуз Образавр разделил его на $4$ части, он применил деление к арбузу.

Иными словами, с помощью деления мы можем разделить число на столько равных частей, сколько нам нужно.

{"questions":[{"content":"У Образавра было $4$ яблока, он отдал половину Вообразавру. По сколько яблок стало у каждого динозавра?`image-1``choice-7`","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/yabloki-01-1.svg","width":"450"},"choice-7":{"type":"choice","options":,"answer":}}}]}

Деление многозначного числа на многозначное

При делении многозначного числа на многозначное поступаем точно так же, как поступали при делении многозначного числа на однозначное.

Разделяя число 37207 на 47, мы прежде всего определяем, из скольких цифр состоит частное. Частное меньше 1000 и больше 100, ибо 37207 меньше 47000 (47 × 1000) и больше 4700 (47 × 100), следовательно, частное состоит из сотен, десятков и единиц. Начиная с сотен, мы определяем каждую цифру частного отдельно:

1. Определяем сотни частного:

   Делимое 37207 имеет 372 сотни. Десятки и единицы делимого не имеют влияния на цифру сотен частного. В частном может быть только 7 сотен, ибо 47 содержится в 372 семь раз; пишем в частном 700.

   Умножая делитель на частное и вычитая из делимого, получаем первый остаток 4307.

2. Определяем десятки частного:

   Остаток 4307 содержит 430 десятков. Единицы не имеют влияния на цифру десятков частного. Делитель 47 содержится в 430 девять раз; пишем в частном 90.

   Умножая 90 на частное 47 и вычитая произведение 4330, получаем в остатке 77.

3. Определяем единицы частного:

   47 содержится в 77 один раз. Пишем в частном 1 и, вычитая из 77 произведение единицы на делитель, получаем в остатке 30.

Итак, после деления имеем в целом частном 791 и в остатке 30.

Если не писать каждый раз лишних нулей и принимать в соображение только те цифры делимого, которые имеют влияние на частное, ход вычисления изобразится письменно:

словесно:

1. Отделяем в делимом от левой руки к правой столько цифр, чтобы делитель мог содержаться в отделенной части делимого. В данном случае отделяем 3 цифры, 47 содержится в 372 семь раз; умножаем делитель 47 на 7, цифру частного, и, вычитая произведение 47 × 7 = 329 из 372, получаем в остатке 43.

2. К остатку 43 сносим 0, следующую цифру делимого; 47 содержится в 430 девять раз, пишем в частном 9. Умножая 47 на 9 и вычитая произведение 423 из 430, получаем остаток 7.

3. Сносим к остатку следующую цифру частного 7; 47 содержится в 77 один раз. Пишем единицу в частном.

Умножая ею делитель и вычитая 47 из 77, получаем в остатке 30 и в целом частно 791.

Пример. Разделить 671064 на 335. Деление изобразится письменно:

словесно:

1. Отделяем 671 в делимом; 335 содержится в 671 два раза, пишем в частном 2. Умножая 335 на 2 и вычитая произведение 670, получим в остатке 1.

2. Сносим 0, следующую цифру делимого; 335 не содержится в 10, — пишем для второй цифры частного 0.

3. Сносим 6, следующую цифру делимого; 335 не содержится в 106, — пишем для третьей цифры частного 0.

4. Сносим следующую цифру делимого 4; 335 содержится в 1064 три раза, — пишем в частном 3. Умножая делитель на 3 и вычитая произведение, получим в остатке 59 и в целом частном 2003.

Из предложенных примеров выводим следующее правило:

1. Чтобы разделить многозначное число на однозначное или многозначное, нужно отделить в делимом от левой руки к правой столько цифр, сколько их находится в делителе. Если делитель не содержится, отделяют в делимом одной цифрой больше. Разделив отделенное число на делитель, получают первую цифру частного, умножают ей делитель и полученное произведение вычитают из отделенной части делимого.

2. К остатку сносят следующую цифру делимого и снова задаются.

3. Если при этом получается число меньше делителя, пишут в частном нуль, сносят следующую цифру и снова задаются.

4. Получив новую цифру частного, поступают с нею так же, как и с первой цифрой.

5. Деление продолжают до тех пор, пока не снесут всех цифр делимого и не получат таким образом всех цифр частного.

Всякий раз, когда приходится делить, нужно задаваться в частном такою цифрой, чтобы остаток был меньше делителя

Чтобы легче найти такую цифру частного, при делении многозначного числа на многозначное обращают внимание на одну или две старшие цифры делителя и задаются только ими в соответствующей части делимого. При этом в делимом и в делителе отделяют от правой руки к левой одинаковое число цифр

Так, определяя, сколько раз содержится 6373 в 27302, мы задаемся четырьмя, ибо 6 в 27 содержится 4 раза.

Полученная при этом цифра частного будет или равна или больше действительной. В последнем случае ее нужно уменьшить.

Иногда при делении не подписывают произведение цифры частного на делитель, а, подразумевая его в уме, подписывают один остаток. Сокращая таким образом деление, изображают его письменно:

словесно:

1. 8 в 43 содержится 5 раз; 5-ю 8 — сорок. Вычитая 40 из 43, получаем в остатке 3.

2. Сносим 2; 8 в 32 содержится 4 раза; 4-жды 8 составляет 32. Вычитая 32, получим в остатке нуль.

3. Сносим 8; 8 в 8-ми содержится 1 раз, 1-жды 8 составляет 8. Вычитая 8, получаем в остатке нуль и в частном 541.

Представление делимого в виде произведения

Иногда провести деление натуральных чисел позволяет представление делимого в виде произведения двух чисел, хотя бы одно из которых делится на делитель. Этот способ деления основан на .

Рассмотрим один из самых простых характерных примеров.

Пример.

Разделим 30 на 3.

Решение.

Очевидно, что делимое 30 можно представить в виде произведения натуральных чисел 3 и 10. Имеем 30:3=(3·10):3. Воспользоваться свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем (3·10):3=(3:3)·10=1·10=10. Итак, частное от деления 30 на 3 равно 10.

Ответ:

30:3=10.

Приведем решения еще пары аналогичных примеров.

Пример.

Разделите 7 200 на 72.

Решение.

В этом случае делимое 7 200 можно рассматривать как произведение чисел 72 и 100. При этом получаем следующий результат: 7 200:72=(72·100):72=(72:72)·100=1·100=100.

Ответ:

7 200:72=100.

Пример.

Разделим 1 600 000 на 160.

Решение.

Очевидно, что 1 600 000 – это произведение 160 и 10 000, поэтому 1 600 000:160=(160·10 000):160=(160:160)·10 000=1·10 000=10 000.

Ответ:

1 600 000:160=10 000.

В более сложных примерах при представлении делимого в виде произведения приходится ориентироваться на таблицу умножения. Из следующих примеров будет понятно, что мы имеем в виду.

Пример.

Выполните деление натурального числа 5 400 на 9.

Решение.

По таблице умножения мы можем разделить 54 на 9, поэтому делимое 5 400 логично представить в виде произведения 54·100 и закончить деление: 5 400:9=(54·100):9=(54:9)·100=6·100=600.

Ответ:

5 400:9=600.

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного примера.

Пример.

Вычислим частное 120:4.

Решение.

Для этого делимое 120 представим в виде произведения 12 и 10, после чего воспользуемся свойством деления произведения двух чисел на натуральное число. Имеем 120:4=(12·10):4=(12:4)·10=3·10=30.

Ответ:

120:4=30.

Умножение на ноль, правило математики

Чтобы разобраться, чем отличается умножение числа на ноль от умножения других чисел друг на друга, нужно для начала понять определение умножения в целом. Умножение — одно из основных действий в математике. Умножение — это арифметическое действие, когда сложение одинаковых чисел происходит искомое количество раз. В этом действии участвуют два составляющих компонента — множимое и множитель. Результат их умножения называют произведением. То есть для натуральных чисел умножением, по сути, является многократное сложение. Таким образом, чтобы умножить число a на число b, необходимо b раз сложить a.        

                            a ⋅ b = a + a + … + a} b

Так, пример 4 х 3 = 12 можно заменить следующим выражением: 4 + 4 + 4 = 12. То есть число 4 было взято 3 раза. 

А можно ли умножать на ноль? Можно, только это бессмысленно и бесполезно. Ведь ноль — это ничто, пустота. А какой смысл умножать на пустоту? Тут, как ни крути, всё равно будет получаться ноль. 

Как на примере объяснить это правило детям? Попробуем вот так:

• если съесть пять раз по два яблока, получится 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, то есть в итоге будет съедено 10 яблок;
• если съесть по два яблока трижды, получится 2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6, в итоге будет съедено 6 яблок;
• если съесть по два яблока ноль раз, то 2 * 0 = 0 * 2 = 0 + 0 = 0, в итоге не съедено ни одного яблока.

Ведь съесть ноль раз — это означает не съесть ни одного. Ноль — это ничего, а когда у вас нет ничего, то на сколько его ни умножай, всё равно будет ноль.

Правда, иногда выдвигаются следующие возражения: предположим, у человека в руке 2 яблока. Если он не съел их, то яблоки не пропадут, они так и останутся у него в руке. Почему же тогда результат равен нулю? Да, яблоки действительно из руки никуда не денутся. Но ведь в примере мы считаем именно съеденные яблоки, то есть те из них, которые были съедены, проще говоря, оказались в желудке человека. А в последнем случае они туда не попали. Поэтому человек съел ноль яблок. 

Итак, основное правило гласит: при умножении числа на ноль и при умножении нуля на число в ответе всегда будет получаться ноль.

a ⋅ 0 = 0

0 ⋅ a = 0

Это правило умножения на ноль в математике действительно для любых чисел: положительных, отрицательных, целых, дробей, разрядных, рациональных, иррациональных. В любом случае произведение будет нулевым.

Для лучшего запоминания правила приведём примеры умножения на ноль:

0 ⋅ 3 = 0 + 0 + 0 = 0

0 ⋅ 4 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

756 ⋅ 0 = 0

293 ⋅ 0 = 0

Деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами 0

Здесь нам потребуется вспомнить . Поясним, для чего. Чтобы выполнить деление натуральных чисел, записи которых оканчиваются цифрами , делитель представляется в виде произведения двух натуральных чисел, после чего применяется упомянутое свойство деления.

Разберемся с этим на примерах. Возьмем два натуральных числа, записи которых оканчиваются цифрами ноль, и разделим их.

Пример.

Разделим 490 на 70.

Решение.

Так как 70=10·7, то 490:70=490:(10·7). Последнее выражение в силу свойства деления натурального числа на произведение равно (490:10):7. Делить на 10 мы научились в одном из предыдущих пунктов, получаем (490:10):7=49:7. Полученное частное находим по таблице умножения, в итоге получаем 490:70=7.

Ответ:

490:70=7.

Для закрепления материала рассмотрим решение еще одного более сложного примера.

Пример.

Вычислим частное 54 000:5 400.

Решение.

Представляем 5 400 в виде произведения 100·54 и выполняем деление натурального числа на произведение: 54 000:5 400=54 000:(100·54)=(54 000:100):54=540:54. Здесь осталось представить 540 как 54·10 (при необходимости вернитесь к предыдущему пункту) и закончить вычисления: 540:6=(54·10):54=(54:54)·10=1·10=10. Итак, 54 000:5 400=10.

Ответ:

54 000:5 400=10.

Информацию этого пункта можно подытожить следующим утверждением: если в записи и делимого и делителя справа находятся цифры , то в записях нужно избавиться от одинакового количества крайних справа нолей, после чего выполнить деление полученных чисел. Например, деление натуральных чисел 818 070 000 и 201 000 сводится к делению чисел 818 070 и 201 после того, как мы в записях делимого и делителя справа уберем по три цифры .

Умножение натуральных чисел в столбик

Порядок умножения:

1. Умножить число на число единиц трехзначного числа и получить первое неполное произведение;

2. Умножить число на число десятков трехзначного числа и получить второе неполное произведение (начинать подписывать под десятками);

3. Умножить число на число сотен трехзначного числа и получить третье неполное произведение (начинать подписывать под сотнями);

4. Сложить неполные произведения.

Рассмотрим умножение в столбик умножая на 111

Сначала умножаем единицы; при умножении на десятки дописываем справа к получившемуся произведению, при умножении на сотни — 00 и т.д. Затем складываем получившиеся числа.

Рассмотрим более сложный пример

Объяснение примера умножения в столбик:

1. Умножаем число 397 на 3 единицы второго множителя, получаем первое неполное произведение 1 191;

2. Умножаем 397 на 2 десятка второго множителя. Получаем второе неполное произведение 794;

3. Умножаем 397 на 2 сотни второго множителя. Получаем третье неполное произведение 794;

4. Складываем неполные произведения 1 191, 794 и 794, получаем 88 531.