Технологическая карта по математике в 3 классе. воспитателям детских садов, школьным учителям и педагогам

Простые и составные числа

Числовые значения в математике делятся на простые и составные. Ошибка многих новичков при решении задач состоит в том, что многие из них не знают о наличии специальных таблиц. Для «распознания» простого числа существуют два способа:

Ручной.
Табличный.

Первым методом рекомендуется пользоваться, когда нет возможности определить простое число при помощи таблицы или вычислительной машины (компьютера). Для этих целей существует специальный алгоритм, который состоит из набора шагов на нахождение делителя. Он имеет следующий вид:

Произвести перебор всех множителей.
Записать результат или убедиться, что число является простым.

Он является простым, но для понимания его математического смысла следует разобрать определенный пример для числа 5678913. Решение задания нужно осуществлять по следующей схеме:

1: делится, то есть 5678913 / 1 = 5678913.
2: не является четным. Следовательно, этого делителя не существует.
3: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 + 3 = 39 = 3 + 9 = 12 (делится).
4: множитель отсутствует, поскольку 13 не делится на 4.
5: число не заканчивается на 0 или 5 (не делится).
6: сумма цифр равная 12, и делится на 2 и 3 (делится).
7: 5|678|913 = 6 + 7 + 8 + 9 + 1 + 3 = 34 (нет делителя).
8: 913 не делится на 8, 4 и 2.
9: не делится, поскольку сумма цифр эквивалентна 12.

Когда нужно доказать, что число является простым, тогда можно завершить упражнение на третьем шаге. Для этого необходимо минимальное количество операций, поскольку дальше их выполнять не имеет смысла. Если суть решения заключается в нахождении делителей, то его можно продолжать до 9 пункта включительно.

Разложение на слагаемые

Интересным вариантом алгоритма является метод разложения числа на слагаемые. Его суть очень проста: представление делимого в виде суммы нескольких слагаемых, при условии деления каждого из них на выбранное число. Инструкция является очень простой. Она может стать дополнительным математическим тренажером для ребенка, поскольку развивает мышление и улучшает память. Для деления любого числа на другое нужно строго выполнить следующие шаги:

Методом подбора разложить число на слагаемые, каждое из которых должно делиться на делитель.
Разделить значения в первом пункте на заданный делитель.
Сложить результаты для получения итоговой суммы.

На первом шаге специалисты рекомендуют слагаемые отделить от делителя круглыми скобками. Записывать нужно в одну строчку для наглядности. Далее следует выполнить деление или сократить слагаемые на множитель. Полученную сумму сложить и записать ответ. Например, следует вычислить 156/4.

Выполняется эта процедура таким образом:

Разложение: 156 = (140 + 16) = (160 — 4).
Деление: (140 + 16) / 4.
Результат: 35 + 4 = 39.

Специалисты рекомендуют представлять число в удобной форме, а не только в виде суммы. Доказывать, что это значение является простым не нужно, поскольку не стоит такая задача. Этот алгоритм необходимо записать на картонную карточку. Чтобы научиться по нему решать, можно также написать текст или инструкцию. Одним словом, следует руководствоваться удобством для ребенка.

Секреты устного счёта

Существуют приемы устного счета — простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.

Прибавляем числа 7,8,9

Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры:

56+7=56+10-3=63

47+8=47+10-2=55

73+9=73+10-1=82

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры:

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем — единицы.

Пример:

57+32=57+30+2=89

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

32+57=32+60-3=89

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел — это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример:

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры:

67-9=67-10+1=58

576-88=576-100+12=488

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример:

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247

Умножить и разделить

Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. Таблица умножения — это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении. Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения — с 11 до 19!

Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например:

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.

Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

умножить на 4 — это дважды умножить на 2;
умножить на 6 — это значит умножить на 2, а потом на 3;
умножить на 8 — это трижды умножить на 2;
умножить на 9 — это дважды умножить на 3.

Например:

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2)·3=824·3=2472

Аналогично:

разделить на 4 — это дважды разделить на 2;
разделить на 6 — это сначала разделить на 2, а потом на 3;
разделить на 8 — это трижды разделить на 2;
разделить на 9 — это дважды разделить на 3.

Например:

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Как умножать и делить на 5

Число 5 — это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.

Пример:

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

или

37*9=37*10 — 37=370-37=333

Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264. При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко — это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.

Задание 3: нахождение значения частного (в столбик)

Вычислите значение выражений:

Решение

1. Рассмотрим, как выполнить деление чисел и .

Начиная с высшего разряда, выделим в записи делимого такое число, при делении которого на делитель мы получим однозначное число, не равное . Это число называется первым неполным делимым. В данном случае это и оно обозначает сотни.

Определим количество цифр в значении частного. Это поможет нам контролировать наши действия. Так как первое неполное делимое обозначает сотни, первая цифра в значении частного тоже будет обозначать сотни. А если в числе есть сотни, значит, оно содержит разряды десятков и единиц. В записи значения частного будет цифры. Обозначим их точками (рис. 1).

Рис. 1. Письменное деление в столбик

Разделим сотен на . Будет сотни. Запишем в значении частного на месте разряда сотен. Чтобы узнать, сколько сотен разделили без остатка, умножим:

Находим остаток. Для этого выполняем действие: . Столько сотен осталось разделить (рис. 2).

Рис. 2. Письменное деление в столбик (продолжение)

Сравниваем остаток с делителем. Остаток меньше делителя , поэтому деление выполнили верно.

Образуем второе неполное делимое. Запишем цифру следующего разряда делимого рядом с остатком . Получаем , это число обозначает количество десятков (рис. 3).

Рис. 3. Письменное деление в столбик (продолжение)

Разделим на . Получится – это количество десятков в значении частного. Запишем в частном на месте разряда десятков и узнаем, сколько десятков разделили без остатка. Для этого выполним умножение:

Найдем остаток:

Столько десятков осталось разделить.

Сравниваем остаток и делитель: . Значит, деление выполнено верно.

Образуем третье неполное делимое. Запишем цифру следующего разряда делимого, то есть (рис. 4).

Рис. 4. Письменное деление в столбик (продолжение)

Число обозначает количество единиц. Разделим на , получится . Это количество единиц в значении частного. На месте разряда единиц запишем в частном . Узнаем, сколько единиц разделили без остатка. Умножим:

Остаток равен нулю (рис. 5).

Рис. 5. Письменное деление в столбик (продолжение)

Значит, значение частного – .

2. Найдем значение частного чисел и .

Определим первое неполное делимое. Для этого, начиная с высшего разряда, выделим в записи делимого такое число, при делении которого на делитель мы получим однозначное число, не равное . В данном случае это и оно обозначает сотни.

Определим количество цифр в значении частного. Так как первое неполное делимое обозначает сотни, первая цифра в значении частного тоже будет обозначать сотни. А если в числе есть сотни, значит, оно содержит разряды десятков и единиц. В записи значения частного будет цифры. Обозначим их точками (рис. 6).

Рис. 6. Письменное деление в столбик

Разделим сотен на . Будет сотня. Запишем в значении частного на месте разряда сотен. Чтобы узнать, сколько сотен разделили без остатка, умножим:

Находим остаток. Для этого выполняем действие: . Ноль можно не писать (рис. 7).

Рис. 7. Письменное деление в столбик (продолжение)

Образуем второе неполное делимое. Запишем цифру следующего разряда делимого, то есть цифру . Она обозначает количество десятков (рис. 8).

Рис. 8. Письменное деление в столбик (продолжение)

Найдем остаток:

Столько десятков осталось разделить.

Сравниваем остаток и делитель: . Значит, деление выполнено верно.

Образуем третье неполное делимое. Запишем цифру следующего разряда делимого рядом с остатком. Получили число (рис. 9).

Рис. 9. Письменное деление в столбик (продолжение)

Сравниваем остаток и делитель: . Значит, деление выполнено верно. Мы разделили сотни, десятки, единицы. При этом осталось 2 единицы (рис. 10).

Рис. 10. Письменное деление в столбик (продолжение)

Значит, значение частного – и остаток – .

Ответ: 1. ; 2. (ост.).

Закрепление — умножение двухзначного и трёхзначного числа на однозначное с переходом через разряд

Учитель: — А младший Хын Бу, был человек бедный, но добрый, приветливый. У него было много детей. Тесно и голодно было в его ветхом домишке, но жила вся семья дружно. Каким был человеком

Хын Бу?

Дети: — Добрым, честным и не завидовал никому.

Учитель: — Зачем ты лепишь гнездо под моей бедной кровлей? Она не защитит твоё гнездо от холодного ветра, и ты не найдёшь на моём дворе ни зёрен, ни крошек. Что имел в виду Хын Бу этими словами?

Дети: — Что ласточка останется голодным и может замёрзнуть?

Ученики записывают выражения у доски с комментированием.

1 ряд — Вам принёс свои примеры голубь? 27*3
186*2
2 ряд — Вам принёс свои примеры ласточка? 49*4
236*2

— Вам нужно будет решить эти примеры столбиком с объяснением у доски?

Алгоритм деления трёхзначного числа на однозначное

Просмотр содержимого документа
«Алгоритм деления трёхзначного числа на однозначное»

Алгоритм деления трёхзначного числа на однозначное

Я собрал 536 грибов.

По сколько грибов я могу съедать в месяц,

чтобы грибов хватило на 4 месяца?

Ребята, помогите мне

ответить на вопрос!

А можно число

536

зарисовать

графически?

Как число 536 разбить на сумму удобных слагаемых, каждое из которых будет делиться на 4.

120

400

I способ

Разбиение делимого на сумму «удобных» слагаемых и деление «по частям»

536:4=

=(400+120+16):4=

=400:4+120:4+16:4=

=100+30+4=134

II способ

Деление с остатком крупных счётных единиц и последовательный переход к делению более мелких

536:4

5 с.:4=1с.(ост.1с.)
13д.:4=3д.(ост.1д.)
16ед.:4=4ед.

Итак, 534:4=134

Блок-схема

Найти первое неполное делимое

Определить число цифр в частном

Найти цифры в каждом разряде частного

Первое неполное делимое

534

Нахожу первое неполное делимое –

5 сотен

Определение числа цифр в частном

534

Первое неполное делимое –

5 сотен

Значит, в частном будет

3 цифры

Нахождение цифр частного

Делим сотни

536

5 сотен делим на 4

Берём по 1

1*4=4

Находим остаток

5-4=1

Остаётся 1 сотня

Нахождение цифр частного

Делим десятки

536

1 сотня=10 десятков

10 десятков+3 десятка =

=13 десятков

13 десятков:4

Берём по 3

3*4=12

Находим остаток

13-12=1

Остаётся 1 десяток

Нахождение цифр частного

Делим единицы

536

1 десяток=10 единиц

10 единиц+ 6 единиц=16 единиц

16 единиц :4

Берём по 4

4*4=16

Находим остаток

16-16=0

Остатка нет

Спасибо, ребята!

Ведь я ещё научился делить

трёхзначное число

на однозначное.

До встречи!

Итак, 536:4=134.

Значит, мне можно съедать

по 134 гриба в месяц.

Завершить показ

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить 780 на 12, записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число 7, так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число 78 больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число 78 будет неполным делимым, неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра — 0, это значит, что частное будет состоять из 2 цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз 12 содержится в числе 78. Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа 1, 2, 3, …, пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число 6, записываем его под делитель, а из 78 (по правилам вычитания столбиком) вычитаем 72 (12 · 6 = 72). После того, как мы вычли 72 из 78, получился остаток 6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше. К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

К получившемуся остатку — 6, сносим следующую цифру делимого — 0. В результате, получилось неполное делимое — 60. Определяем, сколько раз 12 содержится в числе 60. Получаем число 5, записываем его в частное после цифры 6, а из 60 вычитаем 60 (12 · 5 = 60). В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 780 разделилось на 12 нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

780 : 12 = 65.

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить 9027 на 9.

Определяем неполное делимое — это число 9. Записываем в частное 1 и из 9 вычитаем 9. В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль (0 : 9 = 0) и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого — 2. В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое (2) меньше, чем делитель (9). В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз 9 содержится в числе 27. Получаем число 3, записываем его в частное, а из 27 вычитаем 27. В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число 9027 разделилось на 9 нацело:

9027 : 9 = 1003.

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить 3000 на 6.

Определяем неполное делимое — это число 30. Записываем в частное 5 и из 30 вычитаем 30. В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0:

Сносим следующую цифру делимого — 0. Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из 0 вычитаем 0. Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток — 0. Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит 3000 разделилось на 6 нацело:

3000 : 6 = 500.

Общие сведения

Любую математическую операцию можно осуществить в столбик. Деление не является исключением. Следует отметить, что оно бывает без остатка и с ним. Если выполняется операция первого типа, то необходимо знать признаки деления. Последними называются правила, по которым можно определить — делится ли число на другое без остатка. Однако во втором случае в конце вычислений получается определенное значение. Его математики называют остатком.

Деление такого типа широко применяет в языках программирования для создания различных условий. Если необходимо произвести деление в столбик на однозначное число без остатка, то нужно знать признаки делимости. Последние не нужны в том случае, когда следует осуществить деление с остатком трехзначного числа на однозначное. Следует отметить, что нужно различать терминологию. Не все люди знают основное различие между цифрами и числами. Первые применяются для образования вторых, то есть первые — набор знаков.

Основным требованием, необходимым для осуществления этой операции, является доскональное знание таблицы умножения. Без последней не обходится ни один урок, письменное отчетное задание или сдача экзамена. Операция деления применяется реже сложения, вычитания или умножения. Однако ее следует знать досконально и уметь производить вычисления не только при помощи калькулятора или компьютера, но и в ручном режиме.

Иногда ученики сталкиваются с непониманием материала, который не может объяснить доходчиво учитель для каждого индивидуально. Если у ребенка проблемы в какой-либо учебной четверти, то не стоит затягивать с решением проблемы. Родителям нужно разработать собственную систему обучения или воспользоваться уже готовой. Однако некоторые из них начинают кричать на ребенка, травмируя психику. Следует помнить, что он часто копирует поведение родителей. Когда они его приучают к эмоциональному решению проблем, тогда и вырастают неуверенные в себе молодые люди.

Следует помнить, что для изучения любой точной науки необходимо терпение. Сразу ничего не получалось даже у знаменитых математиков. Необходимо дома создать уютный уголок с тренажерами для тренировок по решению математических задач. Пусть это будет своеобразный офис для малыша. Ему необходимо помочь его оборудовать: распечатать необходимый математический материал и сделать хорошее освещение.

Счет на пальцах

Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы — это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа — единицам. В нашем примере — 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это — из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9. А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения? Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь.