Правильные многоугольники

Понятие правильного многоугольника

У выпуклого многоугольника могут быть одинаковы одновременно и все стороны, и все углы. В таком случае он именуется правильным многоугольником.

Нам уже известны некоторые правильные многоуг-ки. Например, правильным является равносторонний треугольник. У него все стороны одинаковы по его определению, а все углы составляют по 60°. Поэтому иногда его так и называют – правильный треугольник. Среди четырехугольников правильной фигурой является квадрат, у которого также по определению одинаковы стороны, а углы составляют уже по 90°.

Заметим, что бывают фигуры, у которых одинаковы все стороны, а углы различны. Примером такой фигуры является ромб. Возможна и обратная ситуация – все углы у фигуры одинаковы, но стороны отличаются своей длиной. Таковым является прямоугольник

Важно понимать, такие фигуры (в частности, ромб и прямоугольник) НЕ являются правильными

Для любого заданного числа n, начиная от n = 3, можно построить правильный n-угольник. На рисунке ниже показано несколько примеров таких n-угольников:

Существует зависимость, которая позволяет определить величину угла правильного многоугольника. Мы уже знаем, что в любом выпуклом n-угольнике сумма углов равна величине 180°(n– 2). Обозначим угол правильного многоуг-ка буквой α. Так как у n-угольника ровно n углов, и все они одинаковы, мы можем записать равенство:

Легко проверить, что эта формула верна для равностороннего треуг-ка и квадрата и позволяет правильно определить углы в этих фигурах. Для треугольника n = 3, поэтому мы получаем 60°:

Задание. Какова величина углов в правильном пятиугольнике, шестиугольнике, восьмиугольнике, пятидесятиугольнике?

Решение. Надо просто подставить в формулу число сторон правильного многоугольник. Сначала считаем для пятиугольника:

Задание. Сколько сторон должно быть у правильного многоуг-ка, чтобы каждый угол в нем был равен 179°?

Решение. В формулу 

Задание. Может ли существовать правильный многоуг-к, угол которого равен 145°?

Решение. Предположим, что он существует. Тогда по аналогии с предыдущей задачей найдем количество его сторон:

Получили не целое, а дробное количество сторон. Естественно, что это невозможно, а потому такой многоуг-к существовать не может.

Ответ: не может.

Элементы правильного многоугольника

Для рисунка выше:

• a – сторона/ребро;
• α – угол между смежными сторонами;
• O – центр фигуры/масс (совпадает с центрами описанной и вписанной окружностей);
• β – центральный угол описанной окружности, опирающийся на сторону многоугольника.

Диагонали n — угольника

Фигура	Рисунок	Описание
Диагональ многоугольника		Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины		Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника
Все диагонали n – угольника		Число диагоналейn – угольника равно

Диагональ многоугольника

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника

Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины

Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника

Все диагонали n – угольника

Число диагоналей n – угольника равно

Внешний угол многоугольника

Определение 5 . Два угла называют смежными, если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

Рис.1

Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

Рис.2

Замечание. Мы рассматриваем только выпуклые многоугольники выпуклые многоугольники .

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению  180°  и количеству сторон без двух.

s = 2d(n — 2),

где  s  — это сумма углов,  2d  — два прямых угла (то есть  2 · 90 = 180°),  а  n  — количество сторон.

Если мы проведём из вершины  A  многоугольника  ABCDEF  все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна  180°  (2d),  то сумма углов всех треугольников будет равна произведению  2d  на их количество:

s = 2d(n — 2) = 180 · 4 = 720°.

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна  360°  (или  4d).

s = 4d,

где  s  — это сумма внешних углов,  4d  — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна  180°  (2d),  так как они являются смежными углами. Например,  ∠1  и  ∠2:

Следовательно, если многоугольник имеет  n  сторон (и  n  вершин), то сумма внешних и внутренних углов при всех  n  вершинах будет равна  2dn.  Чтобы из этой суммы  2dn  получить только сумму внешних углов, надо из неё вычесть сумму внутренних углов, то есть  2d(n — 2):

s = 2dn — 2d(n — 2) = 2dn — 2dn + 4d = 4d.

Основные свойства, определение правильного n-угольника

Правильный n-угольник представляет собой особый вид многоугольника с равными между собой сторонами и углами.

Существует формула, с помощью которой можно определить его длину при известном радиусе вписанной в него окружности:

\(\alpha =2r*\tan \frac{180^{0}}{n}\)

\(\alpha =2r*\tan \frac{\pi }{n}\)

При этом радиус вписанной окружности n-угольника определяют через длину стороны:

\(r=\frac{a }{2\tan \frac{180^{0}}{n}}\)

\(r=\frac{a }{2\tan \frac{\pi }{n}}\)

Сторону правильного n-угольника можно определить на основании радиуса описанной вокруг него окружности:

\(a=2R*\sin \frac{180^{0}}{n}\)

\(a=2R*\sin \frac{\pi }{n}\)

Таким образом, радиус описанной окружности n-угольника составляет:

\(R=\frac{a}{2\sin \frac{180^{0}}{n}}\)

\(R=\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{n}}\)

Площадь правильного n-угольника можно определить, зная длину стороны, по формуле:

\(S=\frac{na^{2}}{4}*ctg\frac{180^{0}}{n}\)

При известном радиусе вписанной окружности, площадь n-угольника равна:

\(S=nr^{2}*\tan \frac{180^{0}}{n}\)

Если известен радиус описанной окружности, то площадь n-угольника определяется по формуле:

\(S=\frac{nR^{2}}{2}*\sin \frac{360^{0}}{n}\)

Периметр правильного n-угольника составляет:

\(P=na\)

Определить угол между сторонами правильного n-угольника можно с помощью формулы:

\(\alpha _{n}=\frac{n-2}{n}*180^{0}\)

Известно, что треугольник можно задать с помощью длин трех его сторон. Однако в случае правильного треугольника необходимо знать только одну длину стороны, так как все правильные треугольники подобны. Таким образом, при отсутствии данных о масштабе или метрики, правильные треугольники эквивалентны друг другу.

Такими же свойствами обладает квадрат, то есть правильный четырехугольник.

В качестве примеров таких геометрических фигур можно рассмотреть правильные пяти, шести и сколь угодно большие n-угольники. Предельным случаем при бесконечно увеличивающемся n является окружность. Для всех таких многоугольников характерны следующие свойства:

• геометрические фигуры задают с помощью одного параметра, то есть длиной элемента;
• рассматриваемые многоугольники подобны всем многоугольникам своего класса.

В геометрии можно встретить разные виды правильных n-угольников. Все они обладают не только одним параметром, с помощью которого задаются, но и характеризуются осями и центром симметрии. Правильный треугольник возможно три раза повернуть вокруг центра. При этом разница между данными положениями отсутствует.

Квадрат можно повернуть таким же способом четыре раза. Предельным случаем является окружность, которую можно повернуть бесконечное число раз, но результат при этом не изменится, то есть данная геометрическая фигура обладает бесконечным количеством осей симметрии.

В природе невозможно найти идеальную окружность или любой другой правильный n-угольник. В реальности предметы рассматривают лишь в качестве их приближений. Однако многие практические задачи характеризуются достаточно точным приближением, что позволяет применять правильные многоугольники в их решении, как полезный инструмент. Свойства таких геометрических фигур изучают и фиксируют.

В дальнейшем при рассмотрении окружности в качестве предельного случая правильных n-угольников эти свойства переносят на нее для получения полезных утверждений не для ломаной, а для гладкой кривой.

Известно, что равносторонний треугольник представляет собой правильный треугольник. Необходимо выяснить, является ли любой равносторонний многоугольник также правильным многоугольником.

Напомним, что правильными многоугольниками являются те, которые имеют равные стороны и равные углы.

В случае треугольника достаточным условием является равенство сторон. Так как из этого следует равенство его углов. При рассмотрении других n-угольников это утверждение не верно.

Построение правильных многоугольников

При использовании транспортира или иного прибора, позволяющего откладывать заранее заданные углы, построение правильного многоуг-ка проблем не вызывает. Например, пусть надо построить пятиугольник со стороной, равной 5 см. Сначала по известной формуле вычисляем величину его угла:

Однако напомним, что в геометрии большой интерес вызывают задачи, связанные с построением с помощью всего двух инструментов – циркуля и линейки, то есть без использования транспортира. В таком случае построение многоугольников правильной формы становится значительно более сложной задачей. Если речь идет не о таких простых фигурах, как квадрат и равносторонний треугольник, то при построении обычно приходится использовать описанную окружность.

Сначала рассмотрим построение правильного шестиугольника по заранее заданной стороне. Ранее мы уже узнали, что его сторона имеет такую же длину, как и радиус описанной окружности:

a₆ = R

На основе этого факта предложен следующий метод построения шестиугольника. Сначала строится описанная окружность, причем в качестве ее радиуса берется заданная сторона а₆. Далее на окружности отмечается произвольная точка А, которая будет первой вершиной шестиугольника. Из нее проводится ещё одна окружность радиусом а₆. Точки, где она пересечет описанную окружность (В и F), будут двумя другими вершинами шестиугольника. Наконец, и из точек B и F проводим ещё две окружности, которые пересекутся с исходной окружностью в точках С и F. Наконец, из С (можно и из F)провести последнюю окружность и получить точку D. Осталось лишь соединить все точки на окружности (А, В, С, D, Еи F):

Данное построение довольно просто. Однако для пятиугольника построение несколько более сложное, а для семиугольника и девятиугольника вообще невозможно осуществить точное построение. Этот факт был доказан только в 1836 г. Пьером Ванцелем.

Если удалось возможно построить правильный n-угольник, вписанный в окружность, то несложно на его основе построить многоуг-к, у которого будет в два раза больше сторон (его можно назвать 2n-угольником) и который будет вписан в ту же окружность. Рассмотрим это построение на примере квадрата и восьмиугольника.

Изначально дан квадрат, вписанный в окружность. Надо построить восьмиугольник, вписанный в ту же окружность. Обозначим любые две вершины квадрата буквами А и В. Для начала нам надо разбить дугу ⋃АВ на две равные дуги. Для этого мы проводим из А и В окружности радиусом АВ. Они пересекутся в некоторых точках С и D. Соединяем их отрезком, который в свою очередь пересечется с исходной окружностью в точке Е.

Е – это середина дуги ⋃АВ. Точки А, В и Е как раз являются тремя первыми точками восьмиугольника. Для получения остальных точек необходимо из вершин квадрата строить окружности радиусом АЕ. Точки, где эти окружности пересекутся с исходной окружностью, и будут вершинами восьмиугольника. Также его вершинами являются вершины самого квадрата:

Аналогичным образом можно из шестиугольника получить 12-угольник, из восьмиугольника – 16-угольник, из 16-угольника – 32-угольник. То есть можно удвоить число сторон многоуг-ка.

Древние греки умели строить правильные многоуг-ки с 3, 4, 5, 6 и 15 сторонами, а также умели на их основе строить многоуг-ки с вдвое большим числом сторон. Лишь в 1796 г. Карл Гаусс смог построить 17-угольник. Также удалось найти способ построения 257-угольника и 65537-угольника, причем описание построения 65537-угольника занимает более 200 страниц.

В этом уроке мы узнали о правильных многоуг-ках и их свойствах

Особенно важно то, что для каждого такого многоуг-ка можно построить описанную и вписанную окружность, причем их центры совпадают. Это позволяет использовать правильные многоуг-ки для более глубокого исследования свойств окружности

Презентация 9 класса по предмету «История» на тему: «История правильных многоугольников Дубовка Анастасия Ученица 9-Б класса Одесской ООШ 43.». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:

1

Истоприя правильных многоугольников Дубовка Анастасия Ученица 9-Б класса Одесской ООШ 43

2

Введение Свое начало учение о правильных многоугольниках ведет из глубокой древности. В орнаментах, обнаруженных археологами, часто встречаются такие фигуры, в том числе, вписанные в окружность. Но если древние художники создавали орнаменты без всякой научной теоприи, то позднее правильные многоугольники стали предметом внимательного изучения. Построение этих фигур интересовало и ученых, и практиков представителей искусства и различных ремесленных профессий.

3

Многоугольники в Древней Греции В Древней Греции учение о правильных многоугольниках превратилось в строгую математическую теоприю. Задача о построении правильных многоугольников решалась с использованием циркуля и линейки. Евклид (III в. до н.э.) в «Началах» изложил правила построения правильных n-угольников для п 3,4,5,6,10, и дал метод получения правильного 2 п-угольника из данного п- угольника. Однако для большинства п точное построение правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки найти не удавалось. Архимед (ок гг. до н. э.) в трактате «Книга о построении круга, разделенного на семь равных частей» дал построение с помощью циркуля, линейки и, вероятнее всего, конических сечений правильного семиугольника, вызвавшее позднее большой интерес у ученых средневекового Ближнего и Среднего Востока. Древнегреческими математиками делались попытки построить правильные многоугольники пприближенно. Герон Александприйский (I в.) вычислил длины сторон правильных многоугольников, не допускающих точного построения

4

Сочинения арабских ученых имеются в рукописях, которые находятся в хранилищах разных стран, но исследованы они далеко не полностью. Только недавно переведены и опубликованы многие работы восточных математиков, трактующие вопрос о правильных многоугольниках. Оказалось, что к таким задачам в своих работах обращались самые выдающиеся арабские ученые, в том числе Абу-л- Вафа ал-Бузджани, ас- Сагани, ал-Кухи, Аси жизни и многие другие. Восточные многоугольники Чаще всего, истоприки науки недооценивают эти труды. Наппример, Б.И. Аргунов и М.Б. Балк утверждают: «Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометприи, хотя ею занимались многие математики этого времени.» Опровержением этому служит целый ряд сочинений арабских ученых о точном построении правильных семиугольников и девятиугольников задачах, с которыми древнегреческие математики не справились. Хотя средневековые восточные ученые использовали теоприю конических сечений, разработанную в Древней Греции, но пприменение ее к задачам о правильных многоугольниках в их работах встречается впервые.

5

Многоугольник Возрождения Целый ряд методов построения правильных многоугольников предложили великие ученые эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер ( ) и Леонардо да Винчи ( ). Наряду с точными ими были даны и пприближенные методы. Создание этих методов они объясняли стремлением облегчить построение правильных фигур художникам и архитекторам, которые не имели больших познаний в математике, но постоянно встречались с необходимостью строить такие фигуры. Подсчеты погрешностей решений Леонардо да Винчи позволяют утверждать, что их вполне можно было использовать в практической деятельности.

6

Задача Гаусса Задача о правильных многоугольниках, рассматпривавшаяся на протяжении всей своей истоприи как чисто геометприческая, в общем виде оказалась разрешимой в области алгебры. Только на рубеже XVIII и XIX вв. К.Ф. Гаусс показал, что построение правильного п-угольника с помощью циркуля и линейки возможно лишь в случае, когда п = 2 тр 1 р 2. при где т > 0, р» простые различные числа вида 22* + 1; к = 0, 1, 2, 3,. Разработав теоприю деления круга, он получил один из наиболее глубоких результатов высшей априфметики.

7

Многоугольник и настоящее Но истоприя знаменитой задачи древности в геометприи на этом не оборвалась. После решения К.Ф. Гауссом задачи деления окружности на п равных частей возникли новые подходы к этому вопросу: упрощение полученных решений, отыскание новых точных и пприближенных способов решения, перенос задачи в неевклидовы геометприи. В результате дальнейших исследований был получен еще ряд интересных результатов и опригинальных построений правильных многоугольников.

8

Спасибо за внимание!

Правильные косые многоугольники

Куб содержит перекос регулярного шестиугольника , рассматривается как 6 красных края зигзаги между двумя плоскостями , перпендикулярной осью диагонали кубы.

Зигзагообразные боковые края n — антипризмы представляют собой правильный перекос 2 n —угольников, как показано на этой 17-угольной антипризме.

Регулярный пространственный многоугольник в 3-пространстве можно рассматривать как неплоская дорожку зигзагов между двумя параллельными плоскостями, определяются как боковые края однородной антипризмы . Все края и внутренние углы равны.

В Платоновых тела ( тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр ) имеет Petrie многоугольники, увиденные в красном цвете здесь, со сторон 4, 6, 6, 10 и 10 соответственно.

В более общем случае правильные косые многоугольники могут быть определены в n -пространстве. Примеры включают многоугольники Петри , многоугольные пути ребер, которые делят правильный многогранник на две половины и которые рассматриваются как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогонами .

Как найти периметр многоугольника и определить диагонали

Периметром многоугольника называется сумма длин его сторон.

Для четырехугольника ABCD периметр будет равен сумме его сторон: AB + BC + CD + DA.

Пример

Задание: Длина одной стороны четырехугольника ABCD равна 3 см. Требуется найти
периметр четырехугольника.

Решение: AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 3 + 3 = 12 см

Ответ: периметр четырехугольника ABCD равен 12 см.

Диагональю многоугольника является отрезок, который соединяет вершины противоположных углов.

Например, отрезок AD будет являться диагональю фигуры ABCDEF:

Свойство треугольников: если треугольник не имеет углов с общими сторонами, диагональ он иметь не может.

Если из вершин провести несколько диагоналей, то они разделят фигуру на несколько треугольников:

Количество треугольников будет на 2 меньше, чем число сторон:

Если t — количество треугольников, а n — количество сторон, то формула будет выглядеть так: t = n – 2.

Разделение многоугольника диагоналями на несколько треугольников помогает быстро найти площадь.

Чтобы найти площадь многоугольника, нужно разделить его на треугольники, затем найти их площадь и сложить полученные результаты.

Правильные многоугольники как грани многогранников

A равномерный многогранник имеет правильные многоугольники как грани, так что для каждых двух вершин существует изометрия, отображающая один в другой (точно так же, как есть для правильного многоугольника).

A квазирегулярный многогранник — это однородный многогранник, имеющий всего два вида граней, чередующихся вокруг каждой вершины.

A правильный многогранник — это однородный многогранник, имеющий только одну грань.

Остающиеся (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона.

Многогранник с правильными треугольниками в качестве граней называется дельтаэдром..

Удвоение числа сторон правильного описанного многоугольника

Чтобы удвоить число сторон правильного описанного многоугольника нужно разделить дуги ab, bc, cd, … пополам и провести через точки деления отрезки mn, pg, rs, … до пересечения их со сторонами данного многоугольника (черт. 199).

В этом случае образуется многоугольник равноугольный, ибо его углы измеряются одинаковой мерой. В равноугольном же описанном многоугольнике стороны равны (теорема 120).

Периметр описанного многоугольника с удвоенным числом сторон уменьшается.

Действительно,

An > αn
Bp > βp, следовательно,
AB > αn + np + pβ

Такие же равенства имеют место и для сторон BC, CD, … и т. д. Сложив их, находим, что

AB + BC + CD + … > mn + np + pq + …
или P_n > P_2n

где P_n и P_2n означают периметры правильных описанных многоугольников, имеющих n и 2n сторон.

Теорема 125. Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу (a₆ = r).

Дано. Пусть AB сторона правильного шестиугольника (черт. 200), вписанного в круг, радиус которого обозначим через r.

Требуется доказать, что AB = a₆ = r.

Доказательство. Дуга AB равна 60°. Соединив A и B с центром O, имеем треугольник ABO, у которого угол AOB имеет 60° = (2/3)d.

Углы A и B равны, следовательно, из равенства A + B + O = 2d, имеем:

2A + (2/3)d = 2d, откуда A = B = (2/3)d

Таким образом треугольник ABO равносторонний и следовательно AB = AO = r.

Теорема 126. Сторона правильного вписанного треугольника равна радиусу, умноженному на √3 (a₃ = r√3).

Дан правильный вписанный треугольник ABC (черт. 201).

Требуется доказать, что AB = r√3.

AE = EB = DE = EO и AB ⊥ DO.

Из треугольника AEO вытекает равенство

AE2 = AO2 — EO2

Так как AE = AB/2, EO = DO/2 = r/2, то это равенство дает

AB2/4 = r2 — r2/4 = (3/4)r2, откуда
AB = a₃ = r√3 (ЧТД).

Теорема 127. Сторона вписанного квадрата равна радиусу, умноженному на √2.

Дан правильный вписанный четырехугольник или квадрат ABCD (черт. 202).

Требуется доказать, что AB = r√2.

Доказательство. Соединим B с D. Отрезок BD есть диаметр, ибо прямой угол B опирается на концы диаметра.

Из прямоугольного треугольника ABD вытекает равенство

AB2 + AD2 = BD2

Так как AB = AD, BD = 2r, то

2AB2 = 4r2, откуда AB = a₄ = r√2 (ЧТД).

Теорема 128. Сторона правильного вписанного десятиугольника равна большей части радиуса, разделенного в крайнем и среднем отношении.

Дано. Положим AB есть сторона правильного вписанного десятиугольника (черт. 203), следовательно, дуга AB = 1/10 окружности и

∠AOB = (4d)/10 = (2/5)d.

Требуется доказать, что AB есть большая часть радиуса среднепропорциональная между целым радиусом и меньшей его частью.

Доказательство. Соединим точки A и B с центром и разделим угол BAO пополам.

∠AOB = (2/5)d

В равенстве ∠BAO + ∠ABO + ∠AOB = 2d

∠BAO = ∠ABO, следовательно, ∠BAO = ∠ABO = (4/5)d.

Так как ∠α = ∠β по построению, то из равенства

∠α + ∠β = (4/5)d следует, что ∠α = ∠β = (2/5)d

Треугольник ABC равнобедренный, ибо

∠α = (2/5)d, ∠B = (4/5)d,

следовательно, из равенства

∠α + ∠B + ∠ACB = 2d имеем:
(2/5)d + (4/5)d + ∠ACB = 2d и ∠ACB = (4/5)d.

Таким образом

∠ACB = ∠ABC = (4/5)d

следовательно,

AB = AC

Треугольник ACO тоже равнобедренный, ибо

∠β = (2/5)d и ∠AOB = (2/5)d

следовательно, AC = CO и таким образом AB = AC = CO.

Так как отрезок AC делит угол треугольника пополам, то имеет место пропорция (теорема 98)

AO/AB = OC/CB

Так как AB = OC и AO = OB, то

OB/OC = OC/CB

откуда видно, что OC равно большей части радиуса OB, разделенного в крайнем и среднем отношении. Так как OC = AB, то и сторона десятиугольника обладает тем же свойством.

Обозначив ее через a₁₀, а радиус через r, имеем пропорцию

r/a₁₀ = a₁₀/(r — a₁₀)

откуда положительное решение квадратного уравнения, определяющее сторону правильного вписанного десятиугольника, будет:

a₁₀ = ((√5 — 1)/2)r.

Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника

Докажем важную теорему о правильном многоугольнике.

Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами A1, A2, A3…An. Затем проводим биссектрисы углов ∠А1 и ∠А2. Они пересекаются в некоторой точке O. Соедините O с другими вершинами многоугольника отрезками OA3, OA4 и т д

∠A1 и ∠A2 совпадают по определению правильного многоугольника:

Из этого факта вытекают два сходства:

Оказывается, OA3 также является биссектрисой ∠A3. Итак, повторяя все предыдущие рассуждения, можно доказать равенство, подобное (1):

Это равенство означает, что точка O равноудалена от вершин многоугольника. Это означает, что можно построить окружность с центром в точке O, где будут лежать все вершины многоугольника:

Естественно, такая описанная окружность только одна, потому что через три точки, особенно через А1, А2 и А3, можно провести только одну окружность, часы и так далее

Продолжим рассмотрение нашей конструкции с описанной окружностью. Ясно, что ∆OA1A2, ∆OA2A3, ∆OA3A4,.. равны, потому что у них одни и те же 3 стороны. Опустим высоты OH1, OH2, OH3 из точки O на стороны многоугольника.

Так как высоты нарисованы в равных треугольниках, то и сами они равны:

Теперь нарисуем окружность с центром в точке O и радиусом отрезка OH1. Он также должен проходить через точки H2, H3,… Hn. Также отрезки OH1, OH2, OH3 будут радиусами. Поскольку они перпендикулярны сторонам многоугольника, эти же стороны будут касаться окружности (на основе касательной). Итак, этот круг вписан:

Понятно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоугольника, а значит, лежал бы на пересечении биссектрис углов ∠A1, ∠A2, ∠A3, т е в точке O Так как расстояние от О до А1А2 составляет отрезок ОН1, вторая окружность будет иметь именно такой радиус. Получается, что вторая окружность будет полностью совпадать с первой, так как их центр будет в одной точке, а радиусы будут одинаковыми.

Примечание. Точка, являющаяся центром как вписанной, так и описанной окружности, называется центром правильного многоугольника.

Еще раз вернемся к приведенному выше доказательству и заметим, что высоты OH1, OH2, OH3, . проведены в равнобедренных треугольниках ∆OA1A2, ∆OA2A3, ∆OA3A4,… Следовательно, эти высоты также являются медианами, т.е точки H1, H2, H3, .. — середины сторон многоугольника.

Упражнение. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоугольнике, быть параллельны друг другу?

Решение. Центр правильного многоугольника находится в точке пересечения всех биссектрис. То есть две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные прямые не имеют общих точек. Оказывается, биссектрисы не могут быть параллельны.

Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоугольника.