История[]
Правильные многогранники известны с древнейших времён.
Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона.
В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.
В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками.
Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору.
Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона.
В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.
Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела».
Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру.
Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры);
воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры);
в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды.
По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».
Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.
Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал.
Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке.
Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра.
В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников.
Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида.
Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.
В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками.
В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну).
Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб.
Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками.
Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).
Пять правильных многогранников
Вероятно, куб и правильный тетраэдр являются первыми правильными многогранниками, открытыми человечеством. Уже во времена Пифагора люди знали и о третьем правильном многограннике – октаэдре. Каждая его грань – это равносторонний треуг-к, но, в отличие от тетраэдра, из каждой его вершины исходит уже не три, а четыре ребра. Выглядит правильный октаэдр так:
Можно доказать, что октаэдр состоит из двух правильных пирамид, у которых общее основание, но вершины располагаются по разные стороны от плоскости основания. Название октаэдра происходит от греческого слова «окта», означающее число 8. Легко увидеть, что у октаэдра как раз 8 граней. Также видно, что он имеет 6 вершин и 12 ребер.
Следующие два правильных многогранника как раз и были открыты Теэтетем Афинским. Это икосаэдр и додекаэдр. Икосаэдр также состоит из равносторонних треуг-ков, но каждая его вершина принадлежит сразу 5 ребрам.Правильный икосаэдр довольно сложно нарисовать на плоскости, поэтому его внешний вид мы покажем с помощью анимации:
Гранями додекаэдра являются правильные пятиугольники, причем в каждой его вершине соприкасаются ровно 3 грани, и, соответственно, сходятся 3 ребра. Нарисовать правильный додекаэдр ещё тяжелее, поэтому снова посмотрим на него с помощью gif-анимации:
Для подсчета количества ребер, граней и вершин у додекаэдра и икосаэдра можно применить теорему Эйлера. Начнем с икосаэдра. Обозначим количество его граней буквой Г. Теперь подсчитаем ребра (Р), принадлежащие каждой грани. Так как эти грани являются треуг-ками, то получится 3Г ребер. Но при этом каждое ребро мы посчитали дважды, ведь ребра принадлежат строго двум граням. То есть у икосаэдра количество ребер равно 3Г/2 = 1,5Г.
Также подсчитаем и вершины (В), находящиеся вокруг граней. На каждую грань приходится 3 вершины, но при этом каждая вершины принадлежит уже 5 граням. Тогда общее количество вершин составит 3Г/5 = 0,6Г.
Записываем теорему Эйлера и подставляем в ней полученные значения:
Теперь проведем аналогичные расчеты для додекаэдра. Его грани – пятиугольники, поэтому количество его ребер составляет 5Г/2. В каждой вершине додекаэдра сходятся три грани, а потому количество вершин составит 5Г/3. Используем теорему Эйлера:
Теперь составим таблицу, в которой отразим основные сведения о пяти известным нам правильных многогранниках:
Возникает вопрос – существуют ли ещё какие-нибудь правильные многогранники? Оказывается, что нет. Действительно, каждая вершина правильного многогранника является одновременно и вершиной многогранного угла. Напомним, что сумма плоских углов в многогранном угле всегда меньше 360°. Легко подсчитать, что в правильном шестиугольнике каждый угол составляет 120°, а в многоуг-ках с большим количеством сторон (семиугольник, восьмиугольник…) этот угол ещё больше. Это значит, что если трехгранный угол образован тремя шестигранниками, то сумма его плоских углов составит ровно 120°•3 = 360°, что невозможно. Также невозможно, чтобы трехгранный угол и любой другой многогранный угол был образован правильными семиугольниками, восьмиугольниками и т. д. То есть грани правильного многогранника могут быть исключительно треуг-ками, четырехуг-ками или пятиугольниками.
Рассмотрим случай, когда грани – это треуг-ки. У равностороннего треуг-ка угол составляет 60°. У тетраэдра в вершине смыкаются 3 грани, у октаэдра – 4 грани, а у икосаэдра – 5 граней. А 6 треуг-ков уже не могут образовать многогранный угол, ведь сумма углов составит 6•60° = 360°.
Теперь рассмотрим случай с четырехуг-ком. Правильный четырехуг-к – это квадрат с углом 90°. Варианту с 3 смыкающимися квадратами соответствует куб, а 4 квадрата уже не образуют многогранный угол, ведь сумма углов снова составит 4•90° = 360°.
Остался случай с пятиугольником. У правильного пятиугольника угол равен 108°. Значит, 4 таких фигуры не смогут сомкнуться и образовать многогранный угол, а варианту с тремя пятиугольниками соответствует додекаэдр.
Итак, мы рассмотрели все возможные варианты, и оказалось, что никаких других правильных многогранников, кроме пяти описанных, существовать не может, ч. т. д. Отметим также, что этот факт можно доказать и без применения свойства многогранного угла, используя только теорему Эйлера.
Почему правильные многогранники получили такие названия
Это связано с числом их граней. В переводе с греческого языка:
эдрон — грань, окто — восемь, значит, октаэдр — восьмигранник
тетра — четыре, поэтому тетраэдр — пирамида, состоящая из четырех равносторонних треугольников,
додека — двенадцать, додекаэдр состоит из двенадцати граней,
гекса — шесть, куб — гексаэдр, так как у него шесть граней,
икоси — двадцать, икосаэдр — двадцатигранник.
Совершенство форм, красивые математические закономерности, присущие правильным многогранникам, явились причиной того, что им приписывались различные магические свойства
Они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии»
Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр — воду, т.к. он самый «обтекаемый»; куб — землю, как самый «устойчивый»; октаэдр — воздух, как самый «воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе «все сущее», символизировал все мироздание, считался главным.
Понятие правильного многогранника
Ранее мы уже рассматривали такой выпуклый многогранник, как куб. Легко заметить, что каждая грань куба – это квадрат, то есть правильный многоугольник. Более того, все грани куба одинаковы, а из каждой вершины исходит одинаковое количество ребер (по три ребра).
Однако куб – не единственная фигура, обладающая такими свойствами. Так же нам знаком правильный тетраэдр. У него каждая грань – это равносторонний треугольник (а это правильный многоуг-к), а из каждой вершины также выходит по 3 ребра тетраэдра.
И куб, и правильный тетраэдр являются примерами так называемых правильных многогранников. Дадим определение понятию правильного многогранника:
Иногда правильные многогранники именуют иначе – платоновыми телами. Дело в том, что древнегреческий философ Платон использовал их в своей философии, однако огромный вклад в их исследование внес другой ученый – Теэтет Афинский.
Ясно, что все ребра правильных многогранников имеют одинаковую длину. Можно доказать, что и двугранные углы, образованные смежными гранями таких многогранников, также одинаковы.
Правильные многогранники в природе
Каждое из Платоновых тел встречается в природе в той или иной форме.
Тетраэдр, куб и октаэдр встречаются в виде кристаллов. Этим ни в коем случае не исчерпывается количество возможных форм кристаллов (Smith, 1982, p212), которых 48. Среди них нет ни правильного икосаэдра, ни правильного додекаэдра, но кристаллы могут иметь форму пиритоэдра, который визуально практически неотличим от правильного додекаэдра. Истинно икосаэдрические кристаллы могут быть образованы из квазикристаллических материалов, которые очень редки в природе, но могут быть получены в лаборатории.
Более недавнее открытие относится к серии новых типов молекула углерода, известная как фуллерены (см. Curl, 1991). Хотя C 60, наиболее легко производимый фуллерен, выглядит более или менее сферическим, некоторые из более крупных разновидностей (например, C 240, C 480 и C 960) предположительно принимают форму слегка закругленных икосаэдров, несколько нанометров в поперечнике.
Radiolaria
Многогранники также встречаются в биологии. В начале 20 века Эрнст Геккель описал ряд видов Radiolaria, некоторые из которых скелеты имеют форму различных правильных многогранников (Haeckel, 1904). Примеры включают Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometryus и Circorrhegma dodecahedra; формы этих существ обозначены их именами. Внешние белковые оболочки многих вирусов образуют правильные многогранники. Например, HIV заключен в правильный икосаэдр.
В древности пифагорейцы считали, что существует гармония между правильными многогранниками и орбитами планет. В 17 веке Иоганн Кеплер изучал данные о движении планет, составленные Тихо Браге, и в течение десятилетия пытался установить пифагорейский идеал, найдя соответствие между размерами многогранников и размеры орбит планет. Его поиски не достигли своей первоначальной цели, но из этого исследования явились открытия Кеплера твердых тел Кеплера как правильных многогранников, осознание того, что орбиты планет не являются кругами, и законы движения планет, для которых он теперь известен. Во времена Кеплера было известно только пять планет (не считая Земли), что точно соответствовало количеству Платоновых тел. Работа Кеплера и открытие с того времени Урана и Нептуна опровергли идею Пифагора.
Примерно в то же время, что и пифагорейцы, Платон описал теорию материи, в которой каждый из пяти элементов (земля, воздух, огонь, вода и дух) составлял крошечные копии одного из пяти обычных твердых тел. Материя была составлена из смеси этих многогранников, причем каждая субстанция имела разные пропорции в смеси. Две тысячи лет спустя атомная теория Дальтона покажет, что эта идея находится в правильном направлении, хотя не имеет прямого отношения к правильным твердым телам.
Почему их только 5
А все-таки, почему же правильных многогранников только пять? Ведь правильных многоугольников на плоскости — бесконечное число.
а) Пусть грани правильного многогранника — правильные треугольники, каждый плоский угол при этом равен 60о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то 60о n < 360o , n < 6,
n = 3, 4, 5, т.е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.
б) Пусть грани правильного многогранника — квадраты, каждый плоский угол составляет 90о. Для n — гранных углов 90о n<360о, n < 4,
n = 3, т.е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами — куб.
в) Пусть грани — правильные пятиугольники, каждый плоский угол равен 180о (5 — 2) : 5 = 108о, 108о n<360о, n< n = 3, додекаэдр.
г) У правильного шестиугольника внутренние углы:
L = 180о (6 — 2 ) : 6 = 120о
В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.
Ссылки[]
- Смирнов Е. Ю. Группы Кокстера и правильные многогранники // Летняя школа «Современная математика». — Дубна: 2008.
- Ошибка скрипта: Модуля «MathWorld» не существует.
- Фанаты математики/геометрия. (англ.)
- Бумажные модели правильных многогранников. (англ.)
- Наука/геометрия/платоновы и архимедовы тела. (англ.)
- Платоновы, Архимедовы тела, призмы, тела Кеплера-Пуансо и усечённые тела Кеплера-Пуансо. (англ.)
- Веннинджер Магнус. Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974. — 236 с. (см. ISBN )
Гончар В. В. Модели многогранников. — Москва: Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2. (см. ISBN )
Гончар В. В., Гончар Д. Р. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8. (см. ISBN )
Многогранники. Волшебные грани — наборы для сборки моделей многогранников. — Москва: Многогранники, 2012. — С. 20. (см. ISBN )
(рус.)
| Это заготовка статьи по геометрии. |
|
Выделить Правильный многогранник и найти в:
|
|
|
- Страница — краткая статья
- Страница 1 — энциклопедическая статья
- Разное — на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
- Прошу вносить вашу информацию в «Правильный многогранник 1», чтобы сохранить ее
Символы Шлефли
Задача классификация правильных многогранников в целом различных размерностей — одна из важных задач геометрии, которую проще всего оказалось решить комбинаторными средствами.
Людвиг Шлефли (1814-1895) — швейцарский математик, специалист в области многомерной геометрии и комплексного анализа. Преподавал в Бернском университете
В своей диссертации Шлефли дал полную классификацию правильных многогранников для n-размерных пространств. С тех пор в научный оборот вошел т.н. символ Шлефли {n,m}, где n — количество углов в грани, m — количество граней, которые сходятся в вершине.
Додекаэдр — это правильный многогранник, имеющий по 3 пятиугольника вокруг каждой вершины. И да, куб — это гексаэдр в том смысле, что у него восемь вершин.
Запомните эти символы. Они встретятся нам в конце повествования. Переходим к следующему инструменту.
История
Предыстория
Камни, вырезанные по форме, напоминающей группы сфер или шишек, были найдены в Шотландии, и им может быть около 4000 лет.. Некоторые из этих камней демонстрируют не только симметрии пяти Платоновых тел, но и некоторые из отношений дуальности между ними (то есть, центры граней куба дают вершины октаэдра). Примеры этих камней выставлены в зале Джона Эванса Эшмоловского музея в Оксфордском университете. Почему были созданы эти предметы и как их создатели черпали вдохновение для них, остается загадкой. Есть сомнения относительно математической интерпретации этих объектов, поскольку многие из них имеют неплатонические формы, и, возможно, только один из них оказался истинным икосаэдром, в отличие от повторной интерпретации дуального икосаэдра, додекаэдра.
Также возможно, что этруски предшествовали грекам в их знании по крайней мере некоторых правильных многогранников, о чем свидетельствует открытие около Падуи (в Северной Италии ) в конце 19 века из додекаэдра, сделанного из мыльного камня, возраст которого превышает 2500 лет (Lindemann, 1987).
Греки
Самые ранние известные письменные упоминания о правильных выпуклых телах происходят из классической Греции. Когда все эти твердые тела были открыты и кем неизвестно, но Теэтет (афинянин ) был первым, кто дал математическое описание всех пяти (Van der Waerden, 1954), (Евклид, книга XIII). Х.С.М. Коксетер (Coxeter, 1948, раздел 1.9) приписывает Платону (400 г. до н.э.) создание их моделей и упоминает, что один из более ранних пифагорейцев, Тимей Локри, использовал все пять в соответствии между многогранниками и природой вселенной, как она тогда воспринималась — это соответствие записано в диалоге Платона Тимей. Ссылка Евклида на Платона привела к их обычному описанию как платоновых тел.
Греческое определение можно охарактеризовать следующим образом:
- Правильный многоугольник — это (выпуклая ) плоская фигура со всеми равными краями и всеми углами.
- A правильный многогранник — это сплошная (выпуклая) фигура, все грани которой являются конгруэнтными правильными многоугольниками, одно и то же число расположено одинаково вокруг каждой вершины.
Это определение исключает, например, квадратную пирамиду (поскольку хотя все грани правильные, квадратное основание не совпадает с треугольными сторонами) или форма, образованная соединением двух тетраэдров вместе (поскольку, хотя все грани этой треугольной бипирамиды были бы равносторонними треугольниками, то есть, конгруэнтные и правильные, одни вершины имеют 3 треугольника, а другие 4).
Эта концепция правильного многогранника оставалась неизменной почти 2000 лет.
Правильные звездные многогранники
Правильные звездные многоугольники, такие как пентаграмма (звездный пятиугольник), также были известны древним грекам — использовалась пентаграмма пифагорейцами в качестве своего тайного знака, но они не использовали их для построения многогранников. Лишь в начале 17 века Иоганн Кеплер понял, что пентаграммы можно использовать как грани правильных звездных многогранников. Некоторые из этих звездных многогранников могли быть открыты другими до времени Кеплера, но Кеплер был первым, кто осознал, что их можно считать «правильными», если убрать ограничение, что правильные многогранники выпуклые. Двести лет спустя Луи Пуансо также разрешил звездные вершинные фигуры (обходы вокруг каждого угла), что позволило ему открыть два новых правильных звездных многогранника наряду с повторным открытием Кеплера. Эти четыре — единственные правильные звездчатые многогранники, получившие название многогранников Кеплера – Пуансо. Лишь в середине XIX века, через несколько десятилетий после публикации «Пуансо», Кэли дал им их современные английские названия: (Кеплера) малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр, и ( Пуансо) большой икосаэдр и большой додекаэдр.
Многогранники Кеплера – Пуансо могут быть построены из платоновых тел с помощью процесса, называемого звездчатой . Обратный процесс звездчатости называется фасетированием (или фасетированием). Каждая звездчатость одного многогранника двойственна, или обратна некоторой грани двойного многогранника. Правильные звездные многогранники также можно получить, ограняя платоновы тела. Впервые это сделал Бертран примерно в то же время, когда Кэли дал им имя.
Таким образом, к концу XIX века правильных многогранников было девять — пять выпуклых и четыре звездных.
Характеристики
Эквивалентные свойства
Свойство наличия аналогичная организация Элемент граней вокруг каждой вершины может быть заменен любым из следующих эквивалентных условий в определении:
- Все вершины многогранника лежат на сфере.
- Все двугранные углы многогранники равны
- Все фигуры вершин многогранника являются правильными многоугольниками.
- Все телесные углы многогранника совпадают.
Концентрические сферы
У правильного многогранника есть все три связанных сферы (у других многогранников нет хотя бы одного вида), имеющих общий центр:
- insphere, касательная ко всем граням.
- Межсфера или средняя сфера, касательная ко всем ребрам.
- A описанная сфера, касательная ко всем вершинам.
Симметрия
Правильные многогранники симметричный всех многогранников. Они находятся всего в трех группах симметрии, которые названы в честь Платоновых тел:
- Тетраэдр
- Октаэдрический (или кубический)
- Икосаэдрический (или додекаэдрический)
Любые формы с икосаэдрической или октаэдрической симметрией также будут иметь тетраэдрическую симметрию.
Эйлерова характеристика
Пять Платоновых тел имеют Эйлерову характеристику, равную 2. Это просто отражает то, что поверхность является топологической двумерной сферой, и это также верно, например, любого многогранника, звездообразного относительно некоторой внутренней точки.
Внутренние точки
Сумма расстояний от любой точки внутри правильного многогранника до сторон не зависит от местоположения точки (это расширение Вивиани. теорема.) Однако обратное неверно, даже для тетраэдров.
Двойственность правильных многогранников
В двойственной паре многогранников вершины одного многогранника соответствуют граням другого, и наоборот.
Правильные многогранники демонстрируют эту двойственность следующим образом:
- тетраэдр самодвойственен, то есть соединяется сам с собой.
- Куб и октаэдр двойственны друг другу.
- икосаэдр и додекаэдр двойственны друг другу.
- малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр двойственны друг другу.
- большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр являются двойственные друг к другу.
Символ Шлефли в двойственности — это просто оригинал, записанный в обратном порядке, например, двойственное для {5, 3} — это {3, 5}.
Классификация двумерных полиэдров
Наша задача состоит в том, чтобы связать символы Шлефли {n,m} с количеством вершин, ребер и граней. Для примера рассмотрим тетраэдр и попытаемся выяснить зависимость.
-
У тетраэдра 4 грани, в каждой из которых три угла. Т.о., если умножить 4 грани на 3 угла получим 12 чего-то там, что в два раза больше, чем количество его ребер (каждое из них посчитано дважды).
-
В каждой вершине сходятся m=3 граней. Если умножить 4 вершины на 3 грани получим 12 чего-то там, что в два раза больше количества ребер (их так же считали дважды
В качестве упражнения можно посчитать для куба. В каждой из 6 граней 4 угла, отсюда (6*4)/2 = 12 ребер. В каждой из 8 вершин сходятся 3 грани, что даёт (8*3)/2 = 12 ребер.
Получили три уравнения с тремя неизвестными, которые будем сейчас решать, чтобы получить в чистом виде зависимость от составляющих символа Шлефли:
Такую систему уравнений удобно решить, воспользовавшись параметризацией через некое t. Во второй строчке подставили данные в уравнение Эйлера и затем привели дроби к одному знаменателю
Из очевидных соображений, что t > 0 , мы должны потребовать положительности знаменателя. Остается в целых числах решить соответствующее неравенство:
Не только лишь все натуральные числа при умножении дают результат, меньший 4, поэтому у нас не так много работы:
А теперь вспомните рисунок с символами Шлефли для платоновых тел! Как видите, мы получили одно и то же с помощью решения обычной системы уравнений! Алгебраизация — один из самых мощных способов исследования окружающего нас мира.