Пирамида (геометрия) 1

Примечание

1. ↑ Погорелов А.В. Геометрия: 10-11 классы. — М.: Просвещение, 2014. — 175 с.
2. ↑ Киселёв А.П. Геометрия / Под ред.Глаголева Н.А.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 328 с.
3. Начала Евклида. Книги XI-XV / пер. с греч. Д.Д.Мордухай-Болтовского. — М.—Л.: Гос.изд-во технико-теоретической литературы, 1950. — 334 с.
4. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. Т.1 / под ред. А.П.Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — 353 с.
5. Математический энциклопедический словарь / Под ред. Прохорова Ю.В.. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
6. ↑ Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. — М.: Просвещение, 2013. — 255 с.
7. Математическая энциклопедия. Т.4 / Под ред. Виноградова И.М.. — М.: Советская энциклопедия, 1983. — 608 с.
8. . Дата обращения: 30 июля 2023.

Миф 2. Пирамиды идеально спроектированы

Ранние пирамиды имели ступенчатую форму, и были довольно грубо спроектированы. Первая из них — пирамида Джосера — это мастаб в несколько ступеней, т. е. несколько мастабов друг на друге. Саркофаг, находящийся в ней, представлял собой каменное сооружение с круглой пробкой сверху, и напоминал неолитические дольмены, которые встречаются повсеместно в Азии, Африке, Европе и на юге России.

Пирамида ДжосераФото: ВикипедияГрань пирамиды ДжосераФото: ВикипедияСаркофаг Джосера

Южная пирамида фараона Снофру получила необычную «ломаную» форму, из-за того, что начала разрушаться еще при строительстве и сохранить её можно было только изменив угол наклона, что и сделал архитектор.

Южная «ломаная» пирамида фараона СнофруФото: Википедия

Параллелепипед

Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом.

У параллелепипеда все грани – параллелограммы.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

Диагональю параллелепипеда, как и многогранника вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Прямоугольным параллелепипедом называется такой прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.

Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами.

У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений:

В прямоугольном параллелепипеде верно:

В прямоугольном параллелепипеде, как и во всяком параллелепипеде, есть центр симметрии – точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно парам противолежащих граней. На первом рисунке, приведённом выше, показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда.

Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме трёх названных.

Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то есть он является правильной четырёхугольной призмой, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на втором рисунке.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.

Диагональ куба в квадратный корень из трёх раз больше его стороны:

для площади полной поверхности:

Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками (одно из них показано на рисунке) – эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям.

У куба девять плоскостей симметрии:

• три из них, проходя через середины четырёх параллельных ребер куба, дают в сечениях квадраты;
• остальные шесть – это все плоскости диагональных сечений куба.

Свойства пирамиды

Среди свойств, которыми обладает многоугольник в виде пирамиды, можно отметить следующие:

1. В случае равенства всех боковых ребер фигуры вокруг ее основания можно описать круг, центр которого совпадет с центром основания пирамиды. Кроме того, через эту точку пройдет перпендикуляр, который опустили из вершины многоугольника.
2. Равенство всех ребер пирамиды говорит о том, что они расположены под равными углами к плоскости основания.
3. Равенство боковых ребер будет соблюдаться в том случае, когда ими образованы равные углы с плоскостью основания, либо имеется возможность описать вокруг основания многоугольника круг.
4. При наклоне боковых граней к плоскости основания под одинаковым углом можно вписать круг в основание пирамиды. При этом проекция вершины пирамиды будет совпадать с центральной точкой данной окружности.
5. Равенство апофем боковых граней пирамиды возможно в том случае, когда углы наклона боковых граней к основанию равны.

Свойства правильной пирамиды

Правильную пирамиду характеризуют следующие особенности:

• вершина такой геометрической фигуры расположена на одинаковом расстоянии от всех углов основания;
• равенство всех боковых ребер;
• равенство углов наклона всех боковых ребер к плоскости основания;
• равенство апофем всех боковых граней;
• равенство площадей, которыми обладают все боковые грани;
• для всех граней характерно наличие одинаковых двугранных или плоских углов;
• вокруг такой пирамиды можно описать сферу, центром которой будет являться точка пересечения перпендикуляров, пересекающих середину ребер геометрической фигуры;
• в данный многоугольник можно вписать сферу с центром в точке, в которой пересекаются биссектрисы, выходящие из угла, разделяющего ребро и основание;
• при совпадении центра вписанной сферы с центральной точкой описанной сферы сумма плоских углов при вершине равна π (числу «пи», или 180-ти градусам), или наоборот, один угол соответствует π/n, где n является количеством углов в основании пирамиды.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами[]

Сфера

• около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
• в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус

• Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
• Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр

• Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
• Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Правильная треугольная пирамида

Определение: правильной n-угольной пирамидой называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, и высота проецируется в центр этого n-угольника (рис. 1).

Рис. 1

Правильная треугольная пирамида

Для начала рассмотрим ∆ABC (рис. 2), в котором AB=BC=CA (то есть в основании пирамиды лежит правильный треугольник). У правильного треугольника центр вписанной и описанной окружности совпадают и являются центром самого треугольника. В данном случае центр находится следующим образом: находим середину АВ – С1, проводим отрезок СС1, который является медианой, биссектрисой и высотой; аналогично находим середину AC – B1 и проводим отрезок BB1. Пересечением BB1 и СС1 будет точка О, которая является центром ∆АВС.

Если соединить центр треугольника O с вершиной пирамиды S, то получим высоту пирамиды SO ⊥ ABC, SO = h.

Соединив точку S с точками А, В и С получим боковые ребра пирамиды.

Мы получили правильную треугольную пирамиду SABC (рис. 2).

Рис. 2

Пирамида Хефрена

Вторая по высоте — пирамида Хафра (Хефрена). Он правил после Хеопса.

Высота пирамиды — 136,4 м, а длина ее основания — 210 м.

Пирамида стоит на плато выше уровня остальных на почти 10 м, отчего кажется больше Великой пирамиды Хеопса. Но это не так.

Внутри пирамида Хефрена имеет две погребальных камеры и проходы между ними. Внутрь нее также есть возможность спуститься.

Пирамида изначально была облицована шлифованными камнями, но в бедные времена египтяне отделили их и использовали для строительства своих домов. К слову, облицованы были все три пирамиды Гизы, но только на пирамиде Хефрена осталась часть облицовки на самых верхних участках. Это и отличает ее от других внешне.

Пирамида Хефрена,  kairoinfo4u

Решение задачи 3

Правильная треугольная пирамида РАВС с высотой  и стороной основания  рассечена плоскостью , проходящей через середину  высоты РН параллельно основанию АВС. Найти площадь боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

Решение. Проиллюстрируем:

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

АСВ – правильный треугольник, Н – центр данного треугольника (центр вписанной и описанной окружностей). РМ – апофема заданной пирамиды.  – апофема усеченной пирамиды. Согласно свойству параллельных плоскостей (две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны), имеем несколько пар подобных треугольников с равным коэффициентом подобия. В частности нас интересует отношение:

Отсюда:

Найдем НМ. Это радиус окружности, вписанной в основание, соответствующая формула нам известна:

Теперь из прямоугольного треугольника РНМ по теореме Пифагора найдем РМ – апофему исходной пирамиды:

Из начального соотношения:

Теперь нам известны все элементы для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды:

Итак, мы ознакомились с понятиями усеченной пирамиды и правильной усеченной пирамиды, дали основные определения, рассмотрели свойства, доказали теорему о площади боковой поверхности. Следующий урок будет посвящен решению задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/piramida-pravilnaya-i-usechyonnaya-piramidy

https://www.youtube.com/watch?v=3SNed3CCsZs

Усеченная пирамида

http://1.bp.blogspot.com/-mVfd5cZ9sMo/T1TPcqgVyQI/AAAAAAAAA9o/rq9cdW1KM1s/s1600/Geom_17.jpg

http://infourok.ru/zadaniya_dlya_ustnogo_scheta_po_temeusechennaya_piramida_geometriya_10_klass-566065.htm

http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/

http://5klass.net/geometrija-10-klass/Piramidy/001-Piramida.html

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/usechennaya-piramida

Стандартные задания на пирамиды (Sосн,Sбок ,ha)

Известны стороны основания – а и высота пирамиды – h. Необходимо найти:

1. Sосн

2. Sбок  ,ha

3. ∠(AB)

4. ∠(SC)

Решение:

1. Найти Sосн

Если есть ∆АВС (рис. 3), сторона которого равна а, то

Рис. 3

2. Найти Sбок ,hа

Отрезок SC1 называется апофемой ha(рис. 2). Апофему найдем из прямоугольного треугольника SC1O. Известен катет SO=h, второй катет С1О найдем из ∆АВС (рис. 3).

Для начала найдем высоту АА1 из прямоугольного треугольника АА1С:

Высота АА1 состоит из радиуса вписанной окружности r=С1О и из радиуса описанной окружности R (причем R=2r). 

Следовательно

Зная катеты ∆SC1O, мы можем найти гипотенузу

Найдя апофему haможно без труда найти

И

Поверхности и формы

Пирамида:

Пирамида — это многогранник, у которого основание является многоугольником, а все боковые грани соединены вершиной, которая находится выше основания. Поверхность пирамиды состоит из боковых граней и основания.

Основание пирамиды может быть треугольным, четырехугольным, пятиугольным и т.д. Количество боковых граней пирамиды зависит от формы основания.

Каждая боковая грань пирамиды является треугольником, а высота пирамиды — это расстояние от вершины до основания, проведенное перпендикулярно.

Примеры пирамид: пирамиды с треугольным основанием, пирамиды с четырехугольным основанием (тетраэдр).

Тетраэдр:

Тетраэдр — это один из простейших многогранников, который состоит из четырех треугольных граней. Каждая грань соединены общими ребрами.

Тетраэдр имеет форму пирамиды, у которой основание является треугольником.

Все ребра тетраэдра равны между собой, а его высота — это расстояние от вершины до плоскости, в которой лежит треугольник.

Примеры тетраэдра: равносторонний тетраэдр, прямоугольный тетраэдр, правильный тетраэдр.

Таким образом, пирамида и тетраэдр отличаются как формами, так и количеством боковых граней. Пирамида имеет большее количество граней, которые могут иметь различную форму основания, в то время как тетраэдр имеет только одну форму основания — треугольник.

Решение задачи 2

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите на примере треугольной пирамиды, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Доказательство. Проиллюстрируем:

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 2

Задана пирамида РАВС. РО – высота пирамиды. Пирамида рассечена плоскостью , получена усеченная пирамида , причем . Точка  – точка пересечения высоты РО с плоскостью основания усеченной пирамиды . Необходимо доказать:

Ключом к решению является свойство параллельных плоскостей. Две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны. Отсюда: . Из параллельности соответствующих прямых вытекает наличие четырех пар подобных треугольников:

Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон. Важная особенность заключается в том, что коэффициенты подобия у этих треугольников одинаковы:

Отсюда:

Что и требовалось доказать.

Миф 7. Рядом с пирамидами должны быть целые города, в которых жили рабочие, но их нет

Найдены не только казармы, где жили рабочие, но и столовые, в которых они питались, множество костей животных, которых они ели, посуда и личные вещи, погребальницы, в которых их хоронили, и даже свалки, куда выбрасывали мусор. Такие раскопки введутся и сейчас, и мы находим всё новые и новые объекты, подтверждающие наличие у пирамид городов, населённых древнеегипетскими рабочими.

Гробница рабочих в ГизеПоселение ремесленников, работавших над созданием храмов Долины царей и Долины царицФото: Википедия

Еще:

• «Мифы» о здоровье, оказавшиеся правдой
• «Пивного» живота не существует
• 5 аргументов от сторонников теории плоской Земли
• 10 аргументов антипрививочников, при помощи которых они отстаивают свою позицию
• Как «проблема аистов» объясняет появление конспирологических теорий

Миф 1. Ничего не было и вдруг появились пирамиды

Технология каменного строительства развивалась постепенно. До пирамид, ещё при первой царской династии, египтяне строили мастабы — каменные сооружения с погребальными камерами, находящимися в земле по под ними. В качестве строительного материала использовались саманы — кирпичи из глинистого грунта с добавлением соломы. Этой технологии около семи тысяч лет и она до сих пор используется при строительстве домов в регионах с сухим климатом, в том числе на юге нашей страны.

Мастаба Шепсескафа в СаккареФото: ВикипедияПлан классической мастабы. Глубокая шахта уходит под землю в погребальную камеру. Вход ведет в молельню со статуями и барельефами.Район мастаб в ГизеФото: humus.livejournal.comВход в мастабу ДебхэнаФото: humus.livejournal.comМолельня внутри мастабы Иду

Свойства пирамиды[]

Если все боковые ребра равны, то:

• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
• также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Новости и Акции

• Акция на фильм «Быть»

  07.02.2023
  Минпросвещения России и киностудия «Илья Муромец» приглашают вас и ваших учеников в кино на сеанс полнометражного художественного фильма «БЫТЬ» по специальной цене 100 рублей за 1 билет.

• Новогодние розыгрыши билетов

  29.12.2022

• Поздравляем с Новым годом и Рождеством!

  29.12.2022

• Интернет голосование на «ПРИЗ ЗРИТЕЛЬСКИХ СИМПАТИЙ» конкурса детских рисунков

  21.12.2022
  В период с 17 декабря по 17 января 2023 года, пройдёт интернет голосование на «ПРИЗ ЗРИТЕЛЬСКИХ СИМПАТИЙ» среди победителей Краевого конкурса детских рисунков «ЗИМНИЕ ФАНТАЗИИ» учащихся ДХШ и ДШИ Камчатского края.
  Поддержите участников, проголосуйте за понравившийся Вам рисунок!

• Розыгрыш двух билетов в кино

  18.07.2022
  На новый голливудский мультфильм «Пес-самурай и город кошек» в нашей группе ВКонтакте

• Подписывайся на наши аккаунты Вк и Телеграм

  06.07.2022
  Подписывайся на наши аккаунты в ВКонтакте и Телеграм
  Будь в курсе новинок и новостей кино
  Участвуй и выигрывай в конкурсах

  t.me/cinema_piramida_kam

  https://vk.com/cinema_piramida

• с1 по 3 июля Хоррор фест

  29.06.2022
  Только в кинотеатре Пирамида эксклюзивный показ фильмов:
  1 июля
  «Твин Пикс: Сквозь огонь» (18+) 19:45
  «Страшные истории для рассказа в темноте» (18+) 22:30
  2 июля
  «Солнцестояние» (18+) 18:00
  «Реинкарнация» (18+) 21:00
  3 июля
  «Убийство священного оленя» (18+) 17:00
  «Антивирус» (18+) 19:30

• 1 июня

  24.05.2022
  Ежегодный праздник детства «Краски лета»

• О работе в режиме повышенной готовности в связи с COVID-19

  25.09.2020
  Для предотвращения распространения новой коронавирусной инфекции киноцентр «Пирамида» принял дополнительные меры.

• Киноцентр «Пирамида» закрыт

  27.03.2020
  С 28 марта по 5 апреля киноцентр закрыт.

• Приёмная Деда Мороза

  20.12.2019
  С 1 по 4 Января
  С 12:00 до 17:00
  Большая фотосессия в сказочных декарациях для детей и взрослых в фойе Синего зала.

• Детская художественная школа совместно с киноцентром «Пирамида» представляет проект «Шаг к успеху»

  20.12.2019
  Выставка-конкурс учащихся на тему: «ЗИМНИЕ ФАНТАЗИИ»
  С 15 декабря по 15 января
  Голосуйте: vk.com/cinema_piramida
  25-24-93, 221-701

• Не время для героизма

  08.10.2019
  11 Октября
  14:00 — Короткометражный фильм «Не время для героизма»

• Дни японской культуры на Камчатке

  18.09.2019
  4 Октября
  18:00 — Церемония открытия кинофестиваля
  18:20 — Демонстрация фильма «Каждый день — хороший» 12+

• Дни японской культуры на Камчатке

  18.09.2019
  5 Октября
  10:00 — Демонстрация анимационного фильма «Попин Кью» 0+
  11:45 — Мастер-класс по каллиграфии
  13:00 — Демонстрация фильма «Никто меня не защитит» 12+

• Белорусский вокзал

  21.06.2019

• Ежегодный праздник детства «Краски лета»

  20.05.2019
  1 июня с 12.00 часов

• Конкурс детского рисунка «Краски лета»

  15.05.2019
  Рисунки принимаются 15-31 мая на кассе кинотеатра «Пирамида»

• Участвуй в розыгрыше и получи приз от нашего кинобара к фильму «Мстители: Финал»!

  26.04.2019
  Вечером 29 апреля, мы определим победителя!

• Комбо САЛЬСА

  12.11.2018

Миф 4. Мы не знаем, откуда египтяне доставали материал для строительства

Это тоже известно. Гранит возили с Юга, белый известняк, который использовался в облицовке, доставляли с противоположного берега Нила, а основной строительный материал — нуммулитовый известняк — высекался рядом с пирамидой. Найдены площадки, где вырубались камни, следы пропилов, пандусы и дороги, по которым их перетаскивали.

Каменоломня в карьере у пирамиды ХефренаНезаконченный обелиск из древнеегипетского каменного карьера. На поверхности обелиска сохранились линии разметки, а также следы от инструментов рабочихФото: ВикипедияСлева: инструменты рабочих. Справа: фреска с изображением людей за работой

Особые случаи пирамиды[]

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Тогда она обладает такими свойствами:

• боковые ребра правильной пирамиды равны;
• в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;
• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π{\displaystyle \pi }, а каждый из них соответственно πn{\displaystyle \frac{\pi}{n}}, где n — количество сторон многоугольника основания;

площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Слайд 13Отметим некоторые свойства правильной n-угольной пирамиды на примере треугольной пирамиды.

Как известно центр правильного треугольника совпадает с центром вписанной и

описанной около него окружности. Поэтому отрезки АО, ВО и СО равны как радиусы.
Поэтому прямоугольные треугольники АОМ, ВОМ и СОМ равны по двум катетам (МО-общая). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: АМ=ВМ=СМ – боковые ребра равны.
Свойство 1: В правильной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.
Из равенства ребер следует и равенство боковых граней. Треугольники АВМ, ВСМ и АСМ равны по трем сторонам.Свойство 2: Все боковые грани правильной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники, поэтому все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны.
Из равенства прямоугольных треугольников ОРМ, ОТМ и ОКМ (ОТ=ОР=ОК как радиусы вписанной окружности; МО — общая) следует равенство всех двугранных углов при основании пирамиды РОРМ=РОТМ=РОКМСвойство 3: В правильной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основании равны.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 4Пирамида– это многогранник, состоящий из n-угольника А1А2А3…Аn (основание) и n

треугольников (боковые грани), имеющих общую вершину (Р). РА1А2А3АnHРА1; РА2; РА3;

… ; РАn – боковые ребраА1А2; … ;А1Аn – ребра основанияРH – высота пирамиды — h

h

основания; боковые ребра – равны; боковые грани – равные равнобедренные

треугольники.

H – высота,

h – апофема

H

h

квадрат)

H

h

a

a

A

B

D

O

P

К

К – середина DC

C

а – сторона основания

высота, h – апофема AOBChHSDa

Как известно центр правильного треугольника совпадает с центром вписанной и

описанной около него окружности. Поэтому отрезки АО, ВО и СО равны как радиусы.
Поэтому прямоугольные треугольники АОМ, ВОМ и СОМ равны по двум катетам (МО-общая). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: АМ=ВМ=СМ – боковые ребра равны.
Свойство 1: В правильной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.
Из равенства ребер следует и равенство боковых граней. Треугольники АВМ, ВСМ и АСМ равны по трем сторонам.Свойство 2: Все боковые грани правильной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные треугольники, поэтому все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны.
Из равенства прямоугольных треугольников ОРМ, ОТМ и ОКМ (ОТ=ОР=ОК как радиусы вписанной окружности; МО — общая) следует равенство всех двугранных углов при основании пирамиды РОРМ=РОТМ=РОКМСвойство 3: В правильной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основании равны.

тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти

высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата.

О

E

S

D

С

В

А

Решение:

1. AC  ВD = О

2. Пирамида правильная SО  (АВС)

3. ОЕ  АD  ОЕ  СD 

4. SЕ  СD (по теореме о 3 перпендикулярах)

5.  SОЕ – п\у tg E = SО : ОЕ

6. ОЕ = 0,5АD =115м

7. SО = ОЕ • tg E = 115 • 1,2 = 138 м

Ответ: 138 м.

высота пирамиды 138 м. Найти боковое ребро самой высокой египетской

пирамиды.

О

230 м

S

D

С

В

А

Решение:

1. AC  ВD = О

3. Пирамида правильная SО  (АВС)

4.  SОD – п\у

по т. Пифагора DS2 = DО2+ОS2 = 26450 + 1382== 26450 +19044 = 45494DS  213 м

Ответ: 213 м.

2.  АОD – п\у, р\б

по т. ПифагораАD2 = DО2+ОА2 2ОD2= 2302 = 52900ОD2 = 26450

0,5а2sin600 = =

равна 230 м и высота 138 м.ОESDСВАРешение:2. AC  ВD

= О

3. Пирамида правильная SО  (АВС)

4. ОЕ  СD  ОЕ  АD 

5. SЕ  АD (по теореме о 3 перпендикулярах)

6.  SОЕ – п\у по т. ПифагораЕS2 = ЕО2+ОS2 = 1152 + 1382 == 13225 +19044 = 32269ЕS  180

7. ES — высота АSD

SАSD = 0,5 ЕS•АD = 0,5 •180 • 230 =20700 м2

Ответ: 82800 м2

1. Sб.пов=4Sтр

8. Sб.пов=4Sтр = 4 • 20700 = 82800 м2

Определите угол наклона бокового ребра к плоскости основания. ОSDСВАРешение:1. AC

 ВD = О

2. Пирамида правильная SО  (АВС)   SОD –п\у

4.  D = 300

Ответ: 300.

3. SD = 2• SO

нижнее снованиеA1B1B2A2; …; AnBnB1A1 – боковые грани – трапеции A1B1; A2B2; …; AnBn – боковые ребраOO1= H – высота

собой равнобокие трапеции.Δ ABC и Δ A1B1C1 – равносторонниеOO1 =

H – высота КК1 = h – апофема

A

C

A1

B1

C1

O1

O

H

K1

K

h

B

a

b

собой равнобокие трапеции.ABCD и A1B1C1D1 – квадратыOO1 = H –

высота KK1 = h – апофема

A1

A

B

C

D

B1

C1

D1

O

O1

H

K

K1

h

a

b

углы в 600. Верно ли это утверждение?2). Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.3). Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».

Примечания[]

1. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений Изд. 2-е. Просвещение. 2003 г.. ISBN 5-09-010773-4.
2. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Под ред. Л.В. Сабинина. М., Просвещение, 1978. 320 с. С. 253.
3. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. КомКнига. 2007 г.. ISBN 978-5-484-00848-3.
4. Апофема, БСЭ
5. Изучение геометрии в 10-11-х классах.
6. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Просвещение. 2008 г.. ISBN 978-5-09-019708-3.
7. И. Кушнир Триумф школьной геометрии
8. «Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу» Э. Готман. — научный журнал «Квант», 1998 г., 4 выпуск

Это заготовка статьи по стереометрии.

Википедия Пирамида (геометрия) 1 адрес Викисловарь — адрес Викицитатник — адрес Викиучебник — адрес Викитека — адрес Викиновости — адрес Викиверситет — адрес Викигид — адрес

Выделить Пирамида (геометрия) 1 и найти в: Вокруг света (геометрия) 1 адрес Академик (геометрия) 1/ru/ru/ адрес Астронет адрес Элементы (геометрия) 1+&search адрес Научная Россия (геометрия) 1&mode=2&sort=2 адрес Кругосвет (геометрия) 1&results_per_page=10 адрес Научная Сеть Традиция — адрес Циклопедия — адрес Викизнание — (геометрия) 1 адрес

Bing Yahoo Яндекс Mail.ru Рамблер Нигма.РФ Спутник Google Scholar Апорт Архив Интернета Научно-популярные фильмы на Яндексе Документальные фильмы

Список ru-вики Вики-сайты на русском языке Список крупных русскоязычных википроектов Каталог wiki-сайтов Русскоязычные wiki-проекты Викизнание:Каталог wiki-сайтов Научно-популярные сайты в Интернете Лучшие научные сайты на нашем портале Лучшие научно-популярные сайты Каталог научно-познавательных сайтов НАУКА В РУНЕТЕ: каталог научных и научно-популярных сайтов

• Страница — краткая статья
• Страница 1 — энциклопедическая статья
• Разное — на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
• Прошу вносить вашу информацию в «Пирамида (геометрия) 1 1», чтобы сохранить ее

Формулы, связанные с пирамидой[]

V=13Sh,{\displaystyle V = \frac{1}{3} S h,}

где  S{\displaystyle \ S} — площадь основания и  h{\displaystyle \ h} — высота;

Также объём пирамиды может быть вычислен по формуле :

V=16a1a2dcos⁡φ,{\displaystyle V = \frac{1}{6} a_{1} a_{2} d \cos \varphi,}

где a1,a2{\displaystyle a_1,a_2} — скрещивающиеся рёбра , d{\displaystyle d} — расстояние между a1{\displaystyle a_1} и a2{\displaystyle a_2} , φ{\displaystyle \varphi} — угол между a1{\displaystyle a_1} и a2{\displaystyle a_2};

Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

Sb=∑iSi{\displaystyle S_b = \sum_{i}^{}S_i}

Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

 Sp=Sb+So{\displaystyle \ S_p = S_b + S_o}

Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

Sb=12Pa=n2b2sinα{\displaystyle S_b = \frac{1}{2} P a = \frac{n}{2} b^2 sin \alpha}

где a{\displaystyle a} — апофема ,  P{\displaystyle \ P} — периметр основания,  n{\displaystyle \ n} — число сторон основания,  b{\displaystyle \ b} — боковое ребро, α{\displaystyle \alpha} — плоский угол при вершине пирамиды.

Пирамида

Пирамидой (например, SABCDE ) называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (пятиугольник ABCDE ) – основания пирамиды, точки ( S ), не лежащей в плоскости основания,– вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Отрезки ( SA , SB , SC , SD , SE ), соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основания (пятиугольник ABCDE ) и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды:

ΔSAB , ΔSBC , ΔSCD , ΔSDE , ΔSEA – боковые грани.

Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Высотой пирамиды ( SО ) называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.

Пирамида называется n -угольной, если ее основанием является n -угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

α – угол наклона бокового ребра SA пирамиды к плоскости её основания;

β – угол наклона боковой грани ( SED ) пирамиды к плоскости её основания.

Основание высоты пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

• все боковые ребра равны;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;
• боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды.

Основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

• боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом;
• высоты боковых граней равны;
• боковые грани образуют равные углы с высотой пирамиды.

Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды:

Площадь полной поверхности любой пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.

Плоскость, которая пересекает пирамиду и параллельна её основанию, делит её на две части:

многогранник, называемый усеченной пирамидой ( AВСA₁В₁С₁ ).

Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях ( ΔАВС и ΔA₁В₁С₁ ), называются основаниями, остальные грани ( АA₁В₁В , АA₁С₁С , ВВ₁С₁С ) называются боковыми гранями.

Основания усеченной пирамиды представляют собой подобные многоугольники, боковые грани – трапеции.

Высота усеченной пирамиды ( ОО₁ ) – это расстояние между плоскостями её оснований.

Если S₁ и S₂ – площади оснований усечённой пирамиды и h – её высота, то для объёма усеченной пирамиды верно:

Пирамида (например, SABCD ) называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник ( ABCD – квадрат ), а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника ( О – центр описанной и вписанной окружностей основания).

Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.

Боковые ребра правильной пирамиды равны.

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды ( SL ), проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:

Усеченная пирамида (например, АВСDA₁В₁С₁D₁ ), которая получается из правильной пирамиды, также называется правильной.

Боковые грани правильной усеченной пирамиды ( АA₁В₁В , АA₁С₁С , DD₁С₁С , АA₁D₁D ) – равные равнобокие трапеции; их высоты называются апофемами.

Развёртка пирамиды[]

Этот раздел не завершён.Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).
Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру — ее разверткой.

Другие сооружения

Плато Гизы включает в себя, помимо трех гигантских пирамид, несколько пирамид-спутников. Они гораздо меньше по размерам и объему. По версии ученых, пирамиды такого рода предназначались для жен фараонов и государственных деятелей.

Рядом с пирамидой Хеопса находится так называемый Музей Солнечной ладьи. В нем хранится дошедшая до наших дней деревянная ладья, которая у древних египтян считалась транспортом в потусторонний мир. На ней тело фараона по Нилу доставлялось к гробнице. Ладья же оставлялась у пирамиды, чтобы правитель далее продолжил свой путь в загробное царство.

Самым известным объектом комплекса пирамид Гизы является Большой сфинкс. Сфинкс — это существо с головой человека и туловищем льва. По некоторым сведениям ученых, голова сфинкса имеет сходство с чертами фараона Хафра (Хефрена), пирамида которого расположена рядом со статуей.

Сфинкс является предметом споров ученых наравне с пирамидами. Неизвестна точная дата его постройки и ее цели. Основная версия историков: сфинкс призван охранять долину Гизы. Так или иначе, статуя очень гармонично вписывается в пейзаж местности и привлекает миллионы туристов в год.

Maksim Starostin