Объемы фигур (егэ 2022)

Слайды и текст этой презентации

Слайд 2Цель проекта: Показать применение интеграла

Слайд 3Общая формула для объема тела вращения Пусть криволинейная трапеция опирается

на отрезок оси Ox и ограничена сверху графиком функции

f, неотрицательной и непрерывной на отрезке от . При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси Ox получили тело, объем которого находится по формуле:

V= ƒ²(x)dx

Действительно, каждая плоскость перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг с радиусом ƒ(x) и площади S(x)= ƒ²(x)Sкр= R² ; R=ƒ(x) S(x)= ƒ²(x)V= S(x)dx= ƒ²(x)dx

Слайд 4объем конуса Дано: y=kx ; x=0 ; x=h ; y=0

Криволинейная трапеция

ox-ось вращенияДоказать: V= 1/3Sh

x

y

y=kx

h

r

Доказательство: y=kx ; R=tg r/hV = (2/hx)²dx = r²/h²·x³/3 | = r²/h²·h³/3 = 1/3 r²h = 1/3Sh

т

h

o

h

π

V= ƒ²(x)

Слайд 5Объём шара V = ƒ²(x)dx -RRy =

Шар получается путём вращения полукруга вокруг диаметра.y =

X = -Rx = Ry = o

Криволинейная трапеция

Vт.вр. = ƒ²(x)dx ƒ(х) = ; Vм = 2 (R²-x²)dx = 2 (R²x-x³/3) | 2 (R²-R³/3) = 2 ·2R³/3 = 4/3 R³

т

R

o

o

R

= a = R-h,

b = RVш.сегм.= (R²-x²)dx= (R²x-x²/3)| = ((R³-R³/3)-(R²(R-h)-(R-h)³/3))=

ƒ²(x)dx ; ƒ(x) =

x²

R²

−

R

R-h

(2/3R³-(R³-R²h-1/3(R³-3R²h+3Rh²-h³))= (2/3R³-(R³-R²h-1/3R³+R²h-Rh²+h³/3))== (2/3R³-R³+R²h+1/3R³-R²h+Rh²-1/3h³)= (Rh²-1/3h³)= h²(R-1/3h)

π

(АВС)(А2В2С2) – сечение(А2В2С2) Ох(А2В2С2) Ox = xS

(x) = SABC т.к. ∆АВС = ∆А2В2С2 по ССС т.к. А2АВ2В ; ВВ2С2С – параллелограммыV = = = Sx | = Sh

Т

Т

U

Замечания: объём произвольной наклонной призмы равен сумме объёмов треугольных призм:V = V1 + V2 + Vn = S1h + S2h + … Snh = h ( S1 + S2 + …Sn ) = ShОбъём наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым рёбрам и пересекающей их.

h

Слайд 8 Объём пирамидыОбъём пирамиды равен одной трети произведения площади

основания на высоту.ВСАВ1С1МОhМ1A11x

Дано: OABC – пирамида h – высота S – площадь основания Д – ть: V = 1/3Sh Д – во:ОМ = h – высота; ОМ с Ох; (А1В1С1) Ох (А1В1С1) II (АВС); Ох (А1В1С1) = М1S(x) – площадь сечения

Т

∆А1ОВ1 ∞ ∆АОВ (по 2м углам) А1В1/AB=A1O/AO∆А1ОM1 ∞ ∆АОM (по 2м углам) A1O/AO=ОМ1/OM=X/h;Аналогично ОВ1/OB=ОМ1/OM=X/h ∆А1В1C1 ∞ ∆АВC S(x)/S=(x/h)² S(x) = Sx²/h² По основной формуле объёмов тел:V = S(x)dx = S/h²x²dx = S/h² (x³/3) | = S/h² · h²/3 = 1/3Sh Ч.Т.Д.

Выразим S(x) через S;h;x (абсциссы т. М1):

o

h

V = 1/3Sh

Слайд 9 ВыводОбъёмы различных тел мы вычисляли опираясь на основную формулу

объёмов тел с помощью интеграла. Это является ещё одним

подтверждением того, что определённый интеграл есть некоторый фундамент для изучения математики.

365 c.Мордкович А. Г., Алгебра и начала анализа : Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. Ч. I. – М.: Мнемозина, 2003. – 375 с.Интернет – ресурсыhttp://imc.rkc-74.ru/dlrstore/3/3a53fd3a-03cb-22b0-4cc0-abce209c671b/0003248G.htm Изображения многогранников. б – пирамида с треугольными гранями и квадратным основанием; в – треугольная призма; г – пятиугольная призма; д – р-угольная антипризма;

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Пусть у нас есть произвольная фигура, расположенная между двумя параллельными плоскостями:

Как найти ее объем? Поступим следующим образом. Проведем прямую, перпендикулярную этим плоскостям. Эта прямая будет осью координат х. Пусть одна из плоскостей пересекает эту ось в точке а, а другая – в точке b. Таким образом, на координатной прямой появляется отрезок . Далее разобьем этот отрезок на n равных отрезков, длина каждого из них будет равна величина ∆х. Обозначим концы этих отрезков как х, х₁, х₂…, х_n, причем точке х будет совпадать с точкой а, а точка х_n – с точкой b. Ниже показано такое построение для n = 10:

Далее через полученные точки проведем сечения, параллельные двум плоскостям, ограничивающим фигуру. Площадь сечения, проходящую через точку с номером i, обозначим как S(x_i). Эти плоскости рассекут тело на n других тел. Обозначим объем тела, заключенного между сечениями с площадями S(x_i) и S(x_i+1) как V(x_i). Можно приближенно считать, что эти тела имеют форму прямых цилиндров (напомним, что в общем случае цилиндром необязательно считается фигура, основанием которой является круг, основание может иметь и любую другую форму). Высота всех этих цилиндров будет равна величине ∆х. Тогда объем V(x_i) может быть приближенно рассчитан так:

Общий же объем исследуемой фигуры будет суммой объемов этих прямых цилиндров:

Здесь знак ∑ означает сумму i слагаемых, каждое из которых равно величине S(x_i)•∆х. Ясно, что чем больше мы возьмем число n, тем точнее будет полученная нами формула. Поэтому будет увеличивать число n до бесконечности, тогда приближенная формула станет точной:

В правой части стоит предел суммы бесконечного числа слагаемых. Мы уже сталкивались с такими пределами, когда изучали определенный интеграл в курсе алгебры. Так как х = a, а число х_n-1 при бесконечном увеличении n приближается к числу х_n, то есть к b, то можно записать следующее:

Здесь S(x) – это некоторая функция, которая устанавливает зависимость между площадью сечения объемной фигуры и координатой х, указывающей расположение этого сечения. Данная формула позволяет вычислять объем с помощью интеграла.

Итак, для вычисления объема тела необходимо:

1) выбрать в пространстве какую-то удобную ось координат Ох;

2) найти площадь произвольного сечения фигуры, проходящей перпендикулярно оси Ох через некоторую координату х;

3) найти значение чисел а и b – координат сечений, ограничивающих тело в пространстве;

4) выполнить интегрирование.

Понятно, что сразу понять, как используется эта формула, тяжело. Поэтому рассмотрим простой пример.

Задание. Фигура расположена в пространстве между двумя плоскостями, перпендикулярными оси Ох, причем координаты этих сечений равны 1 и 2. Каждое сечение фигуры с координатой х является квадратом, причем его сторона равна величине 1/х. Найдите объем тела.

Решение. В данной задаче ось Ох уже проведена. Известны и числа а и b – это 1 и 2, ведь именно плоскости, проходящие через точки х =1 и х = 2, ограничивают исследуемое тело. Теперь найдем площадь произвольного сечения с координатой х. Так как оно является квадратом со стороной 1/х, то его площадь будет квадратом этой стороны:

Шаровой сегмент

Когда плоскость проходит через шар, она рассекает его на две фигуры, которые именуются шаровым сегментом. Если из центра шара О провести радиус ОА длиной R в направлении плоскости сечения, который перпендикулярен этой плоскости, то он пересечет ее какой-то точке В. Длину отрезка АВ называют высотой шарового сегмента и обозначают буквой h:

Ясно, что при этом отрезок ОВ – это расстояние от секущей плоскости (или от основания сегмента) до центра шара, причем этот отрезок имеет длину R –h.

Можно считать, что шаровой сегмент, как и шар, получается при вращении дуги окружности вокруг оси Ох. Однако если сам шар при этом ограничен плоскостями x = R и х = – R, то сегмент ограничен другими плоскостями: х = R и х = R – h. Это значит, что его объем можно вычислить с помощью интеграла также, как и объем шара, отличаться будет лишь нижний предел интегрирования:

Заметим, что шар можно рассматривать как шаровой сегмент, чья высота вдвое больше его радиуса. И действительно, если в выведенную формулу мы подставим значение h = 2R, то получим уже известную нам формулу объема шара.

Задание. Найдите объем шарового сегмента высотой 6, если он отсечен от шара радиусом 15.

Решение. Используем выведенную формулу:

Задание. Диаметр шара разделили на три равных отрезка. Через концы этих отрезков провели секущие плоскости, перпендикулярные диаметру. Чему равен объем тела, заключенного между этими двумя плоскостями (оно называется шаровым слоем), если радиус шара обозначен буквой R?

Решение. Ясно, что для вычисления объема шарового слоя достаточно вычесть из объема шара объемы двух шаровых сегментов, образующихся при проведении секущих плоскостей. Так как они разделили диаметр на три одинаковых отрезка, то высота этих сегментов будет в три раза меньше диаметра шара:

Развёртки

Итак, житель четырёхмерного пространства может увидеть
трёхмерный объект одновременно со всех сторон.
Можем ли мы одновременно со всех сторон увидеть трёхмерный
куб? Глазом — нет. Но люди придумали способ, как
изобразить на плоском рисунке все грани трёхмерного куба одновременно.
Такое изображение называется развёрткой.

Развёртка трёхмерного куба

Как образуется развёртка трёхмерного куба все наверно знают.
Этот процесс показан на анимации.

Для наглядности края граней куба сделаны полупрозрачными.

Следует отметить, что мы способны воспринять эту двумерную картинку
только благодаря воображению. Если рассмотреть фазы разворачивания
с чисто двумерной точки зрения, то процесс будет казаться странным
и совсем не наглядным.

Он выглядит, как постепенное появление сперва очертаний
искажённых квадратов, а потом их расползание на свои места
с одновременным принятием необходимой формы.

Если смотреть на разворачивающийся куб в направлении
одной из его граней (с этой точки зрения куб выглядит как
квадрат), то процесс образования развёртки ещё менее нагляден.
Всё выглядит как выползание квадратов из начального квадрата
(не развёрнутого куба).

Но не наглядна развёртка только для глаз. Как раз
благодаря воображению из неё можно почерпнуть много информации.

Развёртка четырёхмерного куба

Сделать анимированный процесс разворачивания гиперкуба
хоть сколько нибудь наглядным просто невозможно. Но этот
процесс можно представить. (Для этого надо посмотреть на него
глазами четырёхмерного существа.)

Развёртка выглядит так.

Здесь видны все восемь кубов, ограничивающих гиперкуб.

Одинаковыми цветами покрашены грани, которые должны совместиться
при сворачивании. Серыми оставлены грани для которых парных не видно.
После свёртки самая верхняя грань верхнего куба должна совместиться
с нижней гранью нижнего куба. (Аналогично сворачивается развёртка
трёхмерного куба.)

Обратите внимание, что после свёртки все грани восьми кубиков
придут в соприкосновение, замкнув гиперкуб. И наконец, представляя
процесс свёртывания, не забывайте, что при свёртывании происходит не наложение
кубов, а оборачивание ими некой (гиперкубической) четырёхмерной области. Сальвадор Дали (1904-1989) много раз изображал распятие, а кресты
фигурируют в очень многих его картинах

На картине
«Распятие» (1954)
используется развёртка гиперкуба

Сальвадор Дали (1904-1989) много раз изображал распятие, а кресты
фигурируют в очень многих его картинах. На картине
«Распятие» (1954)
используется развёртка гиперкуба.

11 Как определить объём сферического изделия

Сферические изделия встречаются в нашей жизни почти каждый день. Это может быть элемент подшипника, футбольный мяч или пишущая часть шариковой ручки. В некоторых случаях нам необходимо узнать, как рассчитать кубатуру сферы для определения количества жидкости в ней.

Как утверждают эксперты, для вычисления объёма этой фигуры используется формула V=4/3ԉr3, где:

• V – подсчитываемый объём детали;
• R- радиус сферы;
• ԉ – постоянная величина, которая равняется 3,14.

Для проведения необходимых вычислений нам нужно взять рулетку, зафиксировать начало измерительной шкалы и провести замер, причём лента рулетки должна проходить по экваторe шара. После этого узнают диаметр детали, поделив размер на число ԉ.

А теперь ознакомимся с конкретным примером вычисления для сферы, если её длина по окружности равняется 2,5 метрам. Сначала определим диаметр 2,5/3,14=0,8 метра. Теперь подставляем это значение в формулу:

Принцип Кавальери

Из формулы (2) пункта 3 вытекает следующее утверждение, называемое принципом Кавальери.

Два кубируемых тела и (рис. 44), ограниченные параллельными плоскостями, имеют равные объемы, если плоские сечения, параллельные указанным плоскостям и проведенные на одинаковых расстояниях от оснований, имеют равные площади.

Доказательство. Обозначим через объем тела , а через — объем тела . Так как тела и кубируемы, то

По условию , значит, и .

Пример 3. Покажем, что объем полушара радиуса равен разности объемов цилиндра, радиус основания и высота которого равны , и конуса с радиусом основания (рис. 45).

Рассмотрим полушар. Обозначим через площадь сечения, параллельного плоскости основания полушара, отстоящего от него на расстоянии . Учитывая, что , найдем

Обозначим через площадь сечения тела (цилиндр без конуса) плоскостью, параллельной основанию цилиндра и отстоящей от него на расстоянии

Из подобия треугольников и имеем: или , откуда . Следовательно, , а потому и согласно принципу Кавальери объемы рассматриваемых тел равны.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Объем шара

Пришло время разобраться и с таким телом, как шар. Здесь можно использовать тот же метод интегрирования, что и в случае с конусом и пирамидой. Но можно поступить и иначе – использовать выведенную нами для тел вращения формулу

Шар как раз является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг диаметра, на который эта дуга опирается.

Напомним известное нам уравнение окружности, чей центр совпадает с началом координат:

Здесь надо уточнить, что если у получившейся функции впереди записан знак «+», то ее график соответствует полуокружности, находящейся над осью Ох. Если же используется знак «–», то получается уже нижняя полуокружность, расположенная под осью Ох:

В принципе мы можем поворачивать любую из этих полуокружностей вокруг Ох, но мы выберем верхнюю полуокружность. Заметим, что эта дуга начинается в точке х = – R и заканчивается в точке х = R, эти числа будут пределами интегрирования. Тогда объем шара равен:

Задание. Найдите объем шара с радиусом 6.

Решение. Подставляем радиус из условия в формулу:

Задание. В цилиндр вписан шар. Во сколько раз объем цилиндра больше объема такого шара?

Решение. Ясно, что так как шар вписан в цилиндр, то радиусы этих тел одинаковы. Обозначим этот радиус как R. Также ясно, что раз шар касается оснований цилиндра, то расстояние между ними (то есть высота цилиндра) равно двум радиусам шара:

Презентация на тему: » Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск.» — Транскрипт:

1

Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

2

Немного теории. Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x . H x Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

3

Немного теории. H x x С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n ), то: Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е. где H – высота тела, а S сеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x . S сеч.

4

Немного теории (базовые классы могут пропустить). H x x Если принять число разбиений бесконечно большим числом (n ), то: где H – высота тела, а S сеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x . S сеч.

5

I. Объем прямоугольного параллелепипеда с высотой H и площадью основания S. x H x 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x

6

II. Объем прямой призмы с высотой H и площадью основания S. x x H 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x

7

III. Объем n-угольной прямой призмы с высотой H и площадью основания S. x x H 0 Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x

8

IV. Объем наклонной призмы с высотой H и площадью основания S. Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания. x H x 0 x

9

V. Объем треугольной пирамиды с высотой H и площадью основания S. H x x x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных треугольников, т.е.: 0

10

VI. Объем n-угольной пирамиды с высотой H и площадью основания S. H x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n-угольников, т.е.: x x 0

11

VII. Объем усеченной пирамиды. текст

12

VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S. x x H 0 x Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

13

IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S. x x H x Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов, т.е.: 0

14

X. Объем усеченного конуса. текст

15

XI. Объем шара с радиусом R. Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную сумму площадей сечения с радиусом r, где: R x Значит, объем всего шара равен: x 0 r

16

XII. Объем шарового сегмента. Вывод объема шарового сегмента с высотой h и радиусом основания r отличается от вывода объема полушария нижним пределом интегрирования

В данном случае он равен R – h : r R h x h r Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара ( R ), а не радиус основания сегмента ( r )!

17

XIII. Объем шарового слоя. текст

18

XIV. Объем шарового сектора. текст h r R

Площадь сферы

В предыдущих уроках мы уже узнали формулу для вычисления площади сферы, однако тогда мы ее не доказывали. Однако теперь мы можем ее доказать, используя формулу объема шара. Но сначала напомним саму формулу:

Впишем сферу в многогранник с n гранями. Ясно, что расстояние от граней этого многогранника до центра сферы равно радиусы сферы R. Далее построим пирамиды, чьи вершины находятся в центре сферы, а основания – это грани многогранника. Заметим, что такие пирамиды будут иметь одинаковые высоты длиной R.

Обозначим площади граней многогранника как S₁, S₂, S₃,…S_n. Тогда объемы пирамид, построенных на этих гранях, вычисляются так:

Заметим, что в сумме эти объемы дают объем всего многогранника, а сумма площадей S₁, S₂, S₃,…S_n – это площадь всей его поверхности. Тогда можно записать:

Теперь начнем неограниченно уменьшать размеры граней многогранника. Тогда число n будет расти, объем многогранника будет приближаться к объему шара, а площадь многогранника – к площади к сфере. Тогда и доказанное равенство можно будет записать так:

Задание. Необходимо изготовить закрытый сосуд с заранее заданным объемом V. Предлагается два варианта формы этого сосуда – шар и куб. Так как поверхность сосуда покрывается очень дорогой краской, то необходимо выбрать вариант с меньшей площадью поверхности. Какую форму для сосуда следует выбрать?

Решение. Обозначим радиус шара как R, а ребро куба как а. Тогда можно записать:

Теперь надо выяснить, какое из полученных значений больше. Для этого поделим площадь куба на площадь сферы. Если получится число, большее единицы, то площадь куба больше:

Получившееся число больше единицы, ведь 6 больше числа π, равного 3,1415926… Значит, и площадь куба больше, а потому необходимо выбрать сосуд, имеющий форму шара.

Ответ: шар.

Примечание. Более сложными математическими методами можно доказать, что если второй сосуд имеет не форму куба, а вообще любую форму, отличную от шара, то всё равно следует выбирать именно сосуд в форме шара. То есть из всех поверхностей, ограничивающих определенный объем, именно сфера имеет наименьшую площадь. Этот факт имеет и физическое следствие – капли дождя и мыльные пузыри стремятся принять форму шара, также как и любые жидкости, находящиеся в невесомости.

Итак, мы научились вычислять объемы таких тел, как конус, пирамида, шар, призма. Также помощью интегрирования можно находить объемы и ещё более сложных тел, если мы можем составить функцию, описывающую площадь их сечения.

Кубируемые тела

В этой лекции рассмотрим вопрос о вычислении объемов тел. Начнем с простейших тел — прямоугольных параллелепипедов.

Выберем в пространстве прямоугольную систему координат . Пусть — допустимый прямоугольный параллелепипед (параллелепипед, стороны которого параллельны осям координат), длины ребер которого равны . Назовем число объемом этого параллелепипеда и обозначим его . Очевидно, что если параллелепипед разделен плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей, на параллелепипеды и , то выполняется равенство

Далее, если параллелепипед получается из параллелепипеда параллельным переносом, то . Наконец, объем куба с длиной ребра 1 равен 1.

Мы хотим распространить понятие объема на более широкий класс тел, чем класс допустимых параллелепипедов. Назовем ступенчатым любое тело , которое можно представить в виде объединения конечного числа таких параллелепипедов, никакие два из которых не имеют общих внутренних точек.

Пусть — разложение ступенчатого тела на такие параллелепипеды. Положим по определению, что . Это определение не зависит от того, каким способом тело разложено на параллелепипеды.

Возьмем теперь любое тело . Обозначим через числовое множество, состоящее из объемов ступенчатых тел, целиком содержащихся в , а через — множество объемов ступенчатых тел, содержащих

(внутренние ступенчатые тела),

(внешние ступенчатые тела),

Тогда числовое множество лежит левее числового множества . В самом деле, если и , то , где . Так как ступенчатое тело — часть ступенчатого тела , то , а это и значит, что .

Поскольку лежит левее , то найдется хотя бы одно число, разделяющее эти множества. Если и разделяются лишь одним числом, то тело называют кубируемым, а число, разделяющее множества и , — объемом этого тела. Его обозначают .

Итак, объемом кубируемого тела называют единственное число, разделяющее множество объемов ступенчатых тел, содержащихся в , и множество объемов ступенчатых тел, содержащих .

Применяя необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа, получаем следующее необходимое и достаточное условие кубируемости тела:

Для того чтобы тело было аудируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлись ступенчатые тела и такие, что и .

Объем тел обладает свойством аддитивности: Если и — кубируемые тела, не имеющие общих внутренних точек, то их объединение также кубируемо, причем выполняется равенство

Мы опускаем доказательство этого утверждения, поскольку оно проводится так же, как и для площадей. Отметим только, что внутренней точкой тела называется всякая точка, которая принадлежит телу вместе с некоторой своей окрестностью (т. е. открытым шаром с центром в данной точке).

Далее очевидно, что если тело кубируемо, а тело получается из параллельным переносом, то тело также кубируемо, причем . Можно доказать, что справедливо более общее утверждение: если тело конгруэнтно кубируемому телу , то кубируемо и .

Понятие объема можно определить и аксиоматически теми же требованиями 1°—4°, что и площадь. Разница состоит лишь в том, что иначе понимается условие отсутствия общих внутренних точек (окрестности берутся не на плоскости, а в пространстве) и иначе выглядит условие нормировки.

Мы будем использовать в дальнейшем следующее достаточное условие кубируемости тела: Если для любого найдутся такие кубируемые тела и , что , причем , то тело кубируемо.

Объем тела вращения

Рассмотрим на некотором промежутке \(\

\) неотрицательную функцию \(\
y=y(x)
\), которая также является непрерывной на этом отрезке. Она будет образовывать криволинейную трапецию. В процессе её вращения вокруг одной из осей, например, Ох, можно получить тело, которое называется – тело вращения.

Проведение вычислений такого типа будет частным вариантом формулы рассмотренной выше. Тогда формула, используемая для этого частного случая, будет выглядеть так \(\
V=\int_{a}^{b} S(x) \cdot d x=\pi \cdot \int_{a}^{b} y^{2}(x) \cdot d x
\)

Рассмотрим некоторую плоскую фигуру, которая в ПДСК хОу ограничена сверху кривой \(\
y=y_{1}(x)
\), в нижней части \(\
y=y_{2}(x)
\), а функции \(\
y_{1}(x) \operatorname\quad{и}\quad y_{2}(x)
\)являются неотрицательными и непрерывными. Также она имеет вертикальные ограничения по прямым x=a и x=b. В таком случае можно вычислить с использованием определенного интеграла объем образованного при вращении тела при помощи

\(\
V=\int_{a}^{b} S(x) \cdot d x=\pi \cdot \int_{a}^{b} y^{2}(x) \cdot d x
\)

Изменяя ориентацию ограничений, можно получить другую формулу для вычисления объема, если рассмотреть ограничения y=c и y=d. Если вращать эту фигуру вокруг оси Оу, то при помощи определенного интеграла вычислим объем \(\
V=\pi \cdot \int_{c}^{d}\left(x_{1}^{2}(y)-x_{2}^{2}(y)\right) \cdot d y
\)