Основные свойства объема фигур в геометрии

Понятие объема тела

Объем является количественным параметром пространства, занятого телом или веществом.

Термин объема можно рассматривать совместно с понятием вместимости. Это обозначение для объема какого-то внутреннего пространства сосуда, коробки и тому подобного. Объем тела, как и вместимость некой емкости, зависит от таких характеристик, как:

• форма;
• линейные размеры.

Главным свойством объема принято считать аддитивность.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Аддитивность означает равенство объема какого-либо тела сумме объемов частей этого тела, которые не пересекаются между собой.

Согласно СИ, единицей измерения объема является метр кубический (м³). В процессе решения задач можно встретить единицы измерения объемов тел в виде см³, дм³, или литров. В иностранной литературе также используются указания объемов веществ, находящихся в жидком или сыпучем состоянии, в таких единицах измерения, как, например, галлон, баррель и другие.

Величина объема используется при составлении различных уравнений и неравенств. При этом данный параметр обозначают с помощью буквы V. Это сокращение от латинского слова volume, которое в переводе означает объем или наполнение.

Вопрос-ответ:

Каковы основные правила записи объема в математике?

Объем всегда записывается в кубических единицах. Это означает, что мы используем третью степень единицы измерения длины.

Как правильно записывать формулу объема геометрических фигур?

Формула объема каждой геометрической фигуры уникальна. Необходимо сначала изучить соответствующие формулы и знать, какую величину следует возвести в куб.

Могут ли быть единицы измерения объема различными?

В операциях умножения и деления объема, единицы измерения должны быть одинаковыми. Например, кубические сантиметры и кубические метры не могут складываться или вычитаться.

Какую формулу использовать для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда?

Формула объема прямоугольного параллелепипеда такова: V = l * w * h, где l — длина, w — ширина и h — высота. Результат вычисляется в кубических единицах.

Как правильно записывать результаты измерения объема жидкости в литрах?

Объем жидкости измеряется в литрах, которые могут быть записаны в рациональных (например, 2,5 л) или десятичных дробях (например, 0,5 л).

Какие единицы измерения следует использовать при работе с объемом твердых тел?

В качестве единиц измерения объема твердых тел обычно используются кубические метры, кубические дециметры или кубические сантиметры.

Какие геометрические фигуры имеют одинаковую формулу объема?

Фигуры с одинаковой формулой объема — это те фигуры, у которых объем вычисляется одной и той же формулой. Например, призма и цилиндр оба вычисляются по формуле V = B * h, где B — площадь основания, h — высота.

Задания для самостоятельного решения

Задача 1. Длина прямоугольника составляет 6 см, а ширина 2 см. Найдите периметр.

Решение

P = 2(a + b)

a = 6, b = 2P = 2(6 + 2) = 12 + 4 = 16 см

Ответ: периметр прямоугольника равен 16 см.

Задача 2. Длина прямоугольника составляет 6 см, а ширина 2 см. Найдите площадь.

Решение

S = aba = 6, b = 2S = 6 × 2 = 12 см2

Ответ: площадь равна 12 см2.

Задача 3. Площадь прямоугольника составляет 12 см2. Длина составляет 6 см. Найдите ширину прямоугольника.

Решение

S = abS = 12, a = 6, b = x12 = 6 × xx = 2

Ответ: ширина прямоугольника составляет 2 см.

Задача 4. Вычислите площадь квадрата со стороной 8 см

Решение

S = a2a = 8S = 82 = 64 см2Ответ: площадь квадрата со стороной 8 см равна 64 см2

Задача 5. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого 6 см, ширина 4 см, высота 3 см.

Решение

V = abca = 6, b = 4, c = 3V = 6 × 4 × 3 = 72 см3.

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого 6 см, ширина 4 см, высота 3 см равен 72 см3

Задача 6. Объем прямоугольного параллелепипеда составляет 200 см3. Найдите высоту параллелепипеда, если его длина равна 10 см, а ширина 5 см

Решение

V = abcV = 200, a = 10, b = 5, c = x200 = 10 × 5 × x200 = 50xx = 4

Ответ: высота прямоугольного параллелепипеда равна 4 см.

Задача 7. Площади земельного участка, засеянные пшеницей и льном, пропорциональны числам 4 и 5. На какой площади засеяна пшеница, если под льном засеяно 15 га

Решение

Число 4 отражает площадь, засеянную пшеницей. А число 5 отражает площадь, засеянную льном.
Сказано что площади, засеянные пшеницей и льном пропорциональны этим числам.

Проще говоря, во сколько раз изменяются числа 4 или 5, во сколько же раз изменится и площадь, которая засеяна пшеницей или льном. Льном засеяно 15 га. То есть число 5, которое отражает площадь, засеянную льном, изменилось в 3 раза.

Тогда число 4, которое отражает площадь засеянную пшеницей, нужно увеличить в три раза

4 × 3 = 12 га

Ответ: пшеницей засеяно 12 га.

Задача 8. Длина зернохранилища 42 м, ширина составляет длины, а высота – 0,1 длины. Определите сколько тонн зерна вмещает зернохранилище, если 1 м3 его весит 740 кг.

Решение

a — длинаb — ширинаc — высота

a = 42 мb = мc = 42 × 0,1 = 4,2 м

Определим объем зернохранилища:

V = abc = 42 × 30 × 4,2 = 5292 м3

Определите сколько тонн зерна вмещает зернохранилище:

5292 × 740 = 3916080 кг

Переведём килограммы в тонны:

Ответ: зернохранилище вмещает 3916,08 тонн зерна.

Задача 9. 12. Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого равна 5,8 м, а ширина – 3,5 м. Две трубы наполняют его водой в течение 13 ч 32 мин., причём через одну из них вливается 25 л/мин, а через вторую – 0,75 этого количества. Определите высоту (глубину) бассейна.

Решение

Определим сколько литров в минуту вливается через вторую трубу:

25 л/мин × 0,75 = 18,75 л/мин

Определим сколько литров в минуту вливается в бассейн через обе трубы:

25 л/мин + 18,75 л/мин = 43,75 л/мин

Определим сколько литров воды будет залито в бассейн за 13 ч 32 мин

43,75 × 13 ч 32 мин = 43,75 × 812 мин = 35 525 л

1 л = 1 дм3

35 525 л = 35 525 дм3

Переведём кубические дециметры в кубические метры. Это позволит вычислит объем бассейна:

35 525 дм3 : 1000 дм3 = 35,525 м3

Зная объём бассейна можно вычислить высоту бассейна. Подставим в буквенное уравнение V=abc имеющиеся у нас значения. Тогда получим:

V = 35,525a = 5.8b = 3.5c = x

35,525 = 5,8 × 3,5 × x35,525 = 20,3 × xx = 1,75 м

с = 1,75

Ответ: высота (глубина) бассейна составляет 1,75 м.

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Слайд 15№ 653. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет

угол в 30 0 с плоскостью боковой грани и угол

в 45 0 с
боковым ребром. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда.

Дано: ABCDA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед,. B1D — диагональ, B1D = 18 см,  (B1D; (АВВ1)) = 30 0,  B1D D 1 = 450Найти: V параллелепипедаРешение1 )Δ В1ВА – прямоугольный, т.к. В1ВАВ (по условию АВСDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед). Δ B1AD -прямоульный, т.е. В1А = ПР (АА1В) B1D,  (B1D; (AA1B1)) =  DB1A = 300.2) Δ B1AD — прямоугольный c углом в 300: AD= 9 см.3) Δ B1D1D – прямоугольный, т.к. 4)По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда B1D2=AD2+DC2+DD12. Ответ: см3

A

A1

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

1. Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
2. Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
3. Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
4. Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Понятие объема

Понятие объема тел будем связывать с такой геометрической фигурой, как куб. За единицу объема фигуры будем принимать объем куба с ребром, равным единице. Из этого очевидно, что объем куба будет равняться кубу длины его ребра. Введем несколько свойств, для понятия объема геометрических фигур.

1. У равных геометрических тел равные объемы.

2. Тело, состоящее из нескольких тел, имеет своим объемом сумму объемов тел, из которых оно состоит.

Одной из основных формул для вычисления объемов тел является формула вычисления объема тел с помощью определенного интеграла:

Здесь $S\left(x\right)$ — функция площади сечения фигуры плоскостью, перпендикулярной оси $Ox$ (рис. 1).

Рисунок 1.

Статья: Объем тела

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Выведем теперь объемы фигур, хорошо известных в курсе стереометрии. Для это будем рассматривать поиск объемов как задачи на использование формулы нахождения объема с помощью интеграла.

Видео по теме:

Вопрос-ответ:

Каковы основные правила записи объема в математике?

Объем всегда записывается в кубических единицах. Это означает, что мы используем третью степень единицы измерения длины.

Как правильно записывать формулу объема геометрических фигур?

Формула объема каждой геометрической фигуры уникальна. Необходимо сначала изучить соответствующие формулы и знать, какую величину следует возвести в куб.

Могут ли быть единицы измерения объема различными?

В операциях умножения и деления объема, единицы измерения должны быть одинаковыми. Например, кубические сантиметры и кубические метры не могут складываться или вычитаться.

Какую формулу использовать для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда?

Формула объема прямоугольного параллелепипеда такова: V = l * w * h, где l — длина, w — ширина и h — высота. Результат вычисляется в кубических единицах.

Как правильно записывать результаты измерения объема жидкости в литрах?

Объем жидкости измеряется в литрах, которые могут быть записаны в рациональных (например, 2,5 л) или десятичных дробях (например, 0,5 л).

Какие единицы измерения следует использовать при работе с объемом твердых тел?

В качестве единиц измерения объема твердых тел обычно используются кубические метры, кубические дециметры или кубические сантиметры.

Какие геометрические фигуры имеют одинаковую формулу объема?

Фигуры с одинаковой формулой объема — это те фигуры, у которых объем вычисляется одной и той же формулой. Например, призма и цилиндр оба вычисляются по формуле V = B * h, где B — площадь основания, h — высота.

Объём известной фигуры: как его найти?

Вычисление объема фигур – это один из важных этапов в математике. Объем – это количество пространства, занимаемого фигурой. Зная размеры фигуры, можно вычислить ее объем.

Обобщенно формула вычисления объема выглядит следующим образом:

Объем (V) = Площадь сечения (S) x Высота (h)

Например, объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его сторон. А объем куба можно найти возведением в куб соответствующей длины одной из его сторон.

Если же фигура не является простой, то ее объем можно найти разбив ее на более простые фигуры, вычислив их объемы и сложив их.

Однако, для некоторых фигур существуют стандартные формулы для вычисления объема. Например, для сферы, прямой круговой цилиндра или конуса.

В общем, вычисление объема фигур – это достаточно простой процесс, требующий всего лишь знаний по геометрии и формул для конкретной фигуры.

Примеры решения задач на объем

Пример 1: Найдите объем куба со стороной 4 см.

Решение: Формула для нахождения объема куба:

V = a^3

где a — длина стороны куба. Подставляем значение из условия:

V = 4^3 = 64 см^3

Ответ: объем куба равен 64 кубическим сантиметрам.

Пример 2: Найдите объем цилиндра высотой 7 см и радиусом основания 3 см.

Решение: Формула для нахождения объема цилиндра:

V = πr^2h

где r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра, π — число пи, примерно равное 3,14. Подставляем значения из условия:

V = 3,14 × 3^2 × 7 = 197,58 см^3

Ответ: объем цилиндра равен 197,58 кубическим сантиметрам.

Пример 3: Найдите объем пирамиды, основание которой является квадрат со стороной 6 см, а высота равна 8 см.

Решение: Формула для нахождения объема пирамиды:

V = 1/3Sх

где S — площадь основания пирамиды, x — высота пирамиды. Подставляем значения из условия:

S = 6^2 = 36 см^2

V = 1/3 × 36 × 8 = 96 см^3

Ответ: объем пирамиды равен 96 кубическим сантиметрам.

Формулы прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями является кубом . Все 6 граней куба являются равными квадратами .

Обозначим длину ребра куба как n, тогда площадь 1-ой грани:

У прямоугольного параллелепипеда есть еще одно измерение – объем параллелепипеда (обозначается как V).

Прямоугольники, которые составляют поверхность параллелепипеда, являются гранями параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед определяют 3-мя измерениями:

Высота (обозначают как h) равняется длине ребра № 1.

Длина (обозначают как m) равняется длине ребра № 2.

Ширина (обозначают как n) равняется длине ребра № 3.

Площадь всей поверхности параллелепипеда обозначают как S:

В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Площадь боковой поверхности:

где a, b — стороны основания,

c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности:

Объем прямой призмы

Рассмотрим сначала прямую призму, в чьем основании располагается прямоугольный треугольник. Ее можно достроить до прямоугольного параллелепипеда:

Ясно, что объем параллелепипеда будет вдвое больше объема исходной призмы, ведь он состоит из двух таких призм. Аналогично и площадь основания у параллелепипеда будет вдвое больше. Обозначим площадь основания призмы буквой S, а ее высоту как h, тогда площадь основания параллелепипеда будет 2S, а его объем составит 2S•h. Тогда объем призмы будет вдвое меньше, то есть он окажется равным S•h.

Далее рассмотрим прямую призму, в основании которой лежит уже произвольный треугольник. Проведем в этом треугольнике высоту, которая упадет на противоположную сторону (такую высоту всегда можно провести). Далее через эту высоту проведем плоскость, перпендикулярную основанию. В результате мы разделим призму на две прямых призмы, в основании каждой из которых будет лежать прямоугольный треугольник:

Пусть площади получившихся прямоугольных треугольников обозначены как S₁и S₂, а общая площадь основания исходной призмы – это S. Мы можем вычислить объемы этих призм:

Теперь, наконец, рассмотрим прямую призму, чье основание – произвольный многоугольник. Этот многоугольник можно разбить на несколько треугольников с площадями S₁, S₂, S₃…, а призма соответственно будет разбита на несколько треугольных призм с объемами V₁, V₂, V₃ и. т. д.

Объем каждой треугольный призмы мы можем рассчитать:

Задание. Все ребра правильной шестиугольной призмы одинаковы, их длина обозначена буквой а. Найдите объем такой призмы.

Решение. Сначала необходимо найти площадь основания призмы, то есть площадь правильного шестиугольника. Напомним формулы для правильных многоугольников, изученные ещё в девятом классе:

Для вычисления объема надо лишь умножить полученную площадь на высоту призмы, а она также равна а:

Задание. В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ через середины ребер СD и BC проведено сечение, параллельное ребру СС₁. Это сечение отсекает от куба треугольную призму, чей объем равен 19. Найдите объем куба.

Решение. Ясно, что и куб, и треугольная призма будут прямыми призмами, причем у них одинаковая высота СС₁. Тогда можно утверждать, что отношение их объемов равно отношению площадей их оснований:

Пусть сторона АВ имеет длину а. Тогда площадь квадрата АВСD будет составлять а2. Отрезки ЕС и FC будут вдвое короче АВ, то есть их длина составляет a/2. ∆EFC – прямоугольный, и его площадь может быть рассчитана как половина произведения его катетов:

Как записывать объём в математике?

Объём – это величина, показывающая, сколько места занимает тело в трехмерном пространстве. Объём измеряется в кубических метрах, кубических сантиметрах или кубических миллиметрах – это три разных единицы измерения объёма. В математике и физике для записи объёма используют букву «V» (от английского слова «volume»).

Часто вместо «L x W x H» используют запись в кубических единицах измерения – например, для нашего прямоугольного параллелепипеда можно записать: «V = 24 м³». Это значит, что тело занимает 24 кубических метра пространства.

Если у тела есть форма, которую невозможно сравнить с простейшими геометрическими фигурами (такими как прямоугольник, треугольник, круг), то объём можно вычислить экспериментально – с помощью разливки воды или другого жидкого вещества, затем измерения объёма этой жидкости.

Важно правильно записывать единицы измерения, чтобы было понятно, в каких размерностях считается объём тела. Например, «7 м» – это длина, «7 м²» – это площадь, а «7 м³» – это объём

Выводы Объём измеряется в кубических метрах, сантиметрах или миллиметрах. Объём обозначают буквой «V». Объём вычисляют по формуле «V = L x W x H». Запись «V = 24 м³» означает, что тело занимает 24 кубических метра пространства. Для нестандартных фигур объём можно вычислить экспериментальным путем – с помощью разливки жидкости и измерения объёма

Важно правильно записывать единицы измерения, чтобы не возникало путаницы

Вычисление объема

Предположим, у нас есть вот такая прозрачная коробка и маленькие кубики с ребром $1$ $см.$

Чтобы найти объем коробки, заполним ее кубиками и посчитаем их количество:

У нас получился вот такой прямоугольный параллелепипед. Его длина — $4$ кубика, ширина — $3$ кубика, а высота — $2$ кубика.

Объем всей фигуры будет равен $24$ кубикам или $24$ $см^3.$

формула объема

Объем обозначается буквой $V$. В буквенном виде формулу объема можно записать так:$$V=\textcolor{coral}{a}\textcolor{blue}{b}\textcolor{orange}{c}$$

{"questions":[{"content":"Найдите объем коробки, если ее длина — $\\textcolor{coral}{10 \\space см}$, ширина — $\\textcolor{blue}{5 \\space см}$, а высота — $\\textcolor{orange}{20 \\space см}.$`image-1``choice-15`","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/box-.svg","width":"300"},"choice-15":{"type":"choice","options":,"answer":}},"step":1,"hints":}]}

Объем куба

Все измерения куба одинаковы, поэтому формула объема куба будет выглядеть так:$$V=\textcolor{coral}{a}^3$$

куб числа

Третью степень числа ($n^3$) часто называют кубом числа $n.$

{"questions":,"answer":},"image-2":{"type":"image","url":""}},"step":1,"hints":}]}

Формула объёма шара

Шар представляет собой круглую геометрическую фигуру, каждая точка которой равноудалена от центральной точки. Объём шара вычисляется двумя методами:

• через радиус;
• через диаметр.

Если вычислять объём шара через радиус, то применяется формула, имеющая вид V = (4/3)πR3, т. е. произведение 4/3 кубического радиуса на константу π, выражающую отношение длины окружности к её диаметру и равную ≈ 3, 14.

Например, задан шар с радиусом 5 см. Подставим его в формулу объёма через радиус: V = (4/3) ∙ π ∙ (5)3 = (4/3) ∙ 3,14 ∙ 125 = 510,25 см3.

Вычисление объёма шара через его диаметр производится по формуле V = (4/3) ∙ π ∙ (d/2)3. Очевидно, что в формуле вместо радиуса в кубе присутствует половина диаметра, поскольку диаметр равен двум радиусам. Например, задан шар, диаметр которого составляет 8 см. Нужно вычислить объём заданной фигуры. Используем формулу объёма шара через его диаметр: V = (4/3) ∙ π ∙ (8/2)3 = (4/3) ∙ 3,14 ∙ 64 = 261,2 см3.

Как узнать объём прямоугольной тары

В сфере строительства все показатели объёма приведены к конкретным величинам. Расчёты могут проводиться в литрах или дм 3 , но чаще всего для определения количества того или иного материала используются кубические метры. Как рассчитать кубатуру самых простых прямоугольных ёмкостей опишем дальше на конкретном примере.

Для работы нам понадобится тара, строительная рулетка и блокнот с ручкой или карандашом для проведения вычислений. Из курса геометрии известно, что объём подобных тел вычисляется умножением длины, ширины и высоты изделия. Формула расчётов сводится к следующему

V=a*b*c, где a, b и с – стороны тары.

Например, длина нашего изделия равняется 150 сантиметрам, ширина 80 сантиметрам, высота 50 сантиметров. Для правильного подсчёта кубатуры указанные величины переводим в метры и проводим необходимые расчёты V=1,5*0,8*0,5=0,6м3.

Объём куба: формула и примеры

Куб — это геометрическое тело, состоящее из шести граней, каждая из которых является квадратом. Все грани куба равны и перпендикулярны друг другу.

Для расчета объёма куба используется одна из базовых формул геометрии:

V = a3,

где V — объём куба, а a — длина ребра куба.

Например, если ребро куба равно 5 см, то его объём будет:

V = 53 = 5 x 5 x 5 = 125 см3.

Примечание: Объем куба всегда выражается в кубических единицах измерения, таких как кубический сантиметр (см3), кубический метр (м3), и т.д.

Также можно использовать таблицу, чтобы посчитать объём куба при разных значениях длины ребра:

Длина ребра (см)Объём (см3)

2	8
3	27
4	64
5	125

Таким образом, расчет объёма куба — это простая процедура, основанная на знании формулы и измерении длины его ребра.

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда

Докажем важную вспомогательную теорему:

Действительно, пусть у двух параллелепипедов одинаковы основания. Тогда их можно совместить. Пусть общим основанием будет АВСD, а высотами параллелепипедов будут отрезки АР и АК, причем АР <АК. Объем меньшего параллелепипеда с высотой АР обозначим как V_Р, а большего – как V_K:

Нам надо доказать, что объемы фигур пропорциональны их высотам:

Для начала рассмотрим случай, когда отношение высот является рациональным числом. Это означает, что существует некоторая дробь m/n, такая, что

где m и n – натуральные числа. Тогда разобьем отрезок АК как раз на n равных отрезков. В этом случае отрезок АР будет состоять в точности из m таких отрезков. Далее через концы отрезков проведем плоскости, параллельные основанию:

В результате мы получили n равных параллелепипедов («пластин»), которые все вместе образуют большой параллелепипед объемом V_K. Поэтому объем одной такой пластины равен величине V_K/n:

Итак, мы доказали теорему для случая, когда отношение высот является рациональным числом. Теперь перейдем к более сложному случаю, когда это отношение представляет собой иррациональное число. Здесь можно рассуждать от противного. Предположим, что теорема ошибочна, тогда для каких-нибудь двух параллелепипедов отношение их объемов будет равно не отношению их высот, а какому-то другому числу k:

Это значит, что k либо меньше, либо больше, чем отношение АР/АК. Рассмотрим случай, когда k< АР/АК (случай, когда k> АР/АК, рассматривается аналогичным образом). Тогда возьмем какое-нибудь рациональное число R, находящееся между числами k и АР/АК:

(Примечание. Здесь мы неявно используем утверждение, которое можно доказать в рамках алгебры – между любыми двумя различными действительными числами располагается хотя бы одно рациональное число).

Умножим это неравенство на длину АК:

Построим параллелепипеды с общим основанием АВСD и высотами АК и АР, а также с высотой АЕ = R•АК. Так как R•АК < АР, то точка Е будет лежать между А и Р:

Объем параллелепипеда с высотой АЕ обозначим как V_Е. Ясно, что

ведь число k не может быть одновременно и больше, и меньше R. Полученное противоречие означает, что исходное предположение об ошибочности теоремы неверно, и на самом деле она справедлива, ч. т. д.

Теперь с помощью доказанной теоремы можно вывести известную ещё из младших классов формулу для расчета объема прямоугольного параллелепипеда.Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда являются числами а, b и c. Построим:

• единичный куб;
• параллелепипед с габаритами а, 1, 1 с объемом V₁;
• параллелепипед с габаритами а, b, 1 с объемом V₂;
• параллелепипед с габаритами а, b, c с объемом V.

Тогда можно последовательно вычислить их объемы. Объем первого параллелепипеда будет в а раз больше объема единичного куба, то есть он будет равен а. Объем второго параллелепипеда будет больше ещё в bраз, а третьего – ещё в с раз:

Соответственно, для расчета объема параллелепипеда используется формула

Иногда эту формулу формулируют несколько иначе: объем параллелепипеда – это произведение площади его основания на длину высоты, перпендикулярной этому основанию.

Задание. Три смежных ребра прямоугольного параллелепипеда имеют длины 9, 4 и 7 см. Каков объем параллелепипеда?

Решение. Здесь надо просто перемножить габариты параллелепипеда:

Ответ: 252 см3.

Куб можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями. Поэтому для вычисления его объема надо умножить ребро куба само на себя дважды, то есть возвести его в куб.

Задание. Вычислите объем куба с ребром 8 метров.

Решение. Просто возводим сторону ребро куба в третью степень:

Задание. Если ребро куба увеличить на 2 дм, то его объем вырастет на 98 дм3. Какова длина ребра этого куба?

Решение. Обозначим длину ребра буквой х. Тогда объем куба будет составлять х3 дм. Если ребро увеличить на 2 дм, то оно будет иметь длину х + 2 дм, и тогда объем куба будет равен уже (х + 2)3 дм. Условие задачи можно записать в виде уравнения:

Это квадратное уравнение имеет два корня, 3 и (– 5), что можно проверить с помощью теоремы Виета. Корень х = – 5 не имеет геометрического смысла, поэтому остается ответ х = 3.

Ответ: 3 дм.

Далее рассмотрим перевод единиц измерения объема. Например, как перевести 1 м3 в кубические сантиметры? Рассмотрим куб с ребром 1 м. Ясно, что его объем будет равен 1 м3. С другой стороны, можно сказать, что длина ребра этого куба составляет 100 см:

Тогда объем этого куба можно посчитать так:

Аналогично можно переводить и другие единицы измерения.