Понятие многогранника. призма

Что такое призма — понятие в геометрии

Многоугольник, который лежит в основании призмы, напрямую обуславливает наименование призмы. Так, если основанием является треугольник, то перед нами треугольная призма, если четырехугольник, то перед нами четырехугольная призма, а если пятиугольник, то перед нами пентапризма и так далее.

Призма состоит из следующих элементов:

Оснований.
Боковых граней.
Боковой поверхности.
Полной поверхности.
Боковых ребер.
Высоты.
Диагонали.
Диагональной плоскости.
Диагонального сечения.
Перпендикулярного сечения.

Рассмотрим каждый элемент подробно. Перед вами чертеж призмы:

Понятие многогранника

Определение 1

Многогранником называется геометрическое тело в пространстве, которое ограниченно несколькими многоугольниками.

Примеры многогранников Вы можете видеть на рисунке 1.

Рисунок 1. Примеры многогранников

При этом многоугольники, из которых состоят многогранники, называют гранями многогранника, стороны многоугольников — сторонами многогранника, а вершины многоугольников — вершинами многогранника.

Определение 2

Если многогранник всегда будет лежать по одну сторону от любой плоскости его граней, то многогранник называется выпуклым (рис. 2).

Рисунок 2. Выпуклый многогранник

Получи помощь с рефератом от ИИ-шки

ИИ ответит за 2 минуты

Рассмотрим далее детально, как пример выпуклого многогранника, призму.

Призмы (теория)

Рассмотрим два равных многоугольникаи находящихся в параллельных плоскостях так, что отрезки параллельны.

Многогранник, образованный многоугольниками и а также параллелограммами называется (n-угольной) призмой.

Многоугольники называются основаниями призмы,

параллелограммы – боковыми гранями, отрезки – боковыми ребрами.

Таким образом, боковые ребра призмы параллельны и равны между собой

Высота призмы – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к плоскости другого основания.

Если боковые ребра не перпендикулярны основанию, то такая призма называется наклонной (рис. 1), в противном случае – прямой. У прямой призмы боковые ребра являются высотами, а боковые грани – равными прямоугольниками.

Если в основании прямой призмы лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

Теорема

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Площадь боковой поверхности — сумма площадей боковых граней призмы.
Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы:

Параллелепипед – это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

Все грани параллелепипеда (их 6: 4 боковые грани и 2 основания) представляют собой параллелограммы, причем противоположные грани (параллельные друг другу) представляют собой равные параллелограммы (рис. 2).

Диагональ параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, не лежащие в одной грани (их 8:AC₁, A₁C, BD₁, B₁D).

Прямоугольный параллелепипед — это прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник. Т.к. это прямой параллелепипед, то боковые грани представляют собой прямоугольники. Значит, вообще все грани прямоугольного параллелепипеда – прямоугольники.

Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны (это следует из равенства треугольников и т.д.).

Замечание: Таким образом, параллелепипед обладает всеми свойствами призмы.

Теорема

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда равна

Теорема

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его ребер, выходящих из одной вершины (три измерения прямоугольного параллелепипеда):

Теорема

Диагональ d прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (где a, b, c, измерения параллелепипеда)

Куб — это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.

Таким образом, три измерения равны между собой:

Значит, верны следующие

Теоремы

Объем куба α с ребром равен .
Диагональ куба ищется по формуле .
Площадь полной поверхности куба .

Призма

Определение 3

Геометрическая фигура, образованная двумя равными $n-$угольниками, лежащими в параллельных плоскостях, вершины которых соединены между собой так, что соответствующая вершина первого $n-$угольника соединена с соответствующей вершиной второго $n-$уголника, называется призмой (рис. 3).

Рисунок 3. Призма

Параллельные $n-$уголники называются основаниями призмы, параллелограммы их соединяющие — боковыми гранями, стороны параллелограммов — сторонами призмы, а вершины $n-$угольников — вершинами призмы.

В зависимости от количества углов в основании призмы ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 4).

Рисунок 4.

Замечание 1

Отметим, что параллелепипед является частным случаем четырехугольной призмы.

Определение 4

Призма, у которой все двугранные углы равны ${90}^0$ называется прямой (рис. 5). В противном же случае она является наклонной.

Рисунок 5. Прямая призма

Определение 5

Прямая призма, в основании которой лежат правильные $n-$уголники называется правильной (рис. 6).

Рисунок 6.

Задача 4

Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите:

а) диагональ призмы;

б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;

в) площадь боковой поверхности призмы.

Рис. 10

Дано: ABCD – квадрат,

АВ = а, АА1⊥ АВС.

∠(АС1, АВС) = 45°.

Найти:

а) АС1;

б) ∠(АС1, АD1C1);

в) Sбок

Решение:

а) ABCDA1B1C1D1 — правильная четырехугольная призма. Это означает, что в её основании лежит квадрат АВСD.

Сторона квадрата АВСD по условию равна а, тогда диагональ АС = а√2.

Угол между диагональю АС1 и плоскостью основания ABC равен 45°. Угол между диагональю АС1 и плоскостью основания ABC – это угол между прямой АС1 и её проекцией на плоскость ABC, то есть угол С1АС, значит, ∠С1АС = 45°. Так как треугольник С1АС прямоугольный, то и угол АС1С равен 45°. Значит, треугольник С1АС – равнобедренный. Значит, СС1 = АС = а√2.

Из прямоугольного треугольника АС1С находим по теореме Пифагора АС1.

Ответ: 2а.

б) Прямая С1D1 перпендикулярна всей плоскости АDD1. Угол между прямой АС1 и гранью АDD1 — это угол между прямой АС1 и её проекцией АD1 на плоскость АDD1. Значит, искомый угол — ∠С1АD1.

Прямая С1D1 перпендикулярна всей плоскости АDD1, а значит, и прямой АD1. Найдем ∠С1АD1 из прямоугольного треугольника С1АD1.

Значит, ∠С1АD1 = 30°.

Ответ: 30°.

в) Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Ответ: .

Задача 3

Основание призмы – правильный треугольник АВС (рис. 8). Боковое ребро АА1 образует равные острые углы со сторонами основания АВ и АС. Докажите, что

a) BC ⊥ AA1;

b) грань ВВ1С1С – прямоугольник.

Рис. 8

Дано: АВСА1В1С1 – призма.

АВ = ВС = АС,

∠А1АВ = ∠А1АС,

∠А1АВ < 90°.

Доказать:

a) BC ⊥ AA1;

b) грань ВВ1С1С – прямоугольник.

Рис. 9

Доказательство:

а) Проведём перпендикуляр А1О к плоскости АВС. Из точки О опустим перпендикуляры ОМ к АВ и OL к АС.

А1О — перпендикуляр к плоскости АВС. ОМ – проекция наклонной А1М на плоскость АВС. Так как проекция ОМ перпендикулярна прямой АВ из плоскости АВС, то и наклонная А1М перпендикулярна прямой АВ (по теореме о трех перпендикулярах).

ОL – проекция наклонной А1L на плоскость АВС. Так как проекция ОL перпендикулярна прямой АC из плоскости АВС, то и наклонная А1L перпендикулярна прямой АC(по теореме о трех перпендикулярах).

Получаем, что треугольники А1АМ и А1АL – прямоугольные. В этих треугольниках гипотенуза АА1 – общая и углы ∠А1АВ и∠А1АС равны. Значит, треугольники А1АМ и А1АL равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников имеем: АМ = АL и А1М = А1L.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АОМ и АОL. Гипотенуза АО общая, катеты АМ и АL равны. Из равенства треугольников получаем равенство углов: ∠ОАМ = ∠ОАL.

Так как ∠ОАМ = ∠ОАL, то АО – биссектриса. Треугольник АВС – равносторонний, значит, АО — и биссектриса, и медиана, и высота. То есть прямая ВС из плоскости треугольника АВС перпендикулярна АО, а АО – это проекция наклонной АА1. Значит, прямая ВС и АА1 перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах.

б) Все боковые ребра между собой параллельны. Мы доказали, что прямая ВС перпендикулярна одному боковому ребру, значит прямая ВС перпендикулярна и остальным боковым ребрам, ВС ⊥ ВВ1, ВС ⊥ СС1. А это означает, что параллелограмм ВВ1С1С является прямоугольником, что и требовалось доказать.