Перпендикулярность в пространстве с примерами решения

Четырехугольная правильная пирамида и угол при ее основании

Предположим, что дана правильная пирамида с квадратным основанием. Длина стороны квадрата равна a, высота фигура составляет h. Найдем угол между основанием пирамиды и ее боковой стороной.

Поместим начало координатной системы в центр квадрата. Тогда координаты точек A, B, C, D, показанных на рисунке, будут равны:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

D = (0; 0; h).

Рассмотрим плоскости ACB и ADB. Очевидно, что направляющий вектор n₁¯ для плоскости ACB будет равен:

n₁¯ = (0; 0; 1).

Для определения направляющего вектора n₂¯ плоскости ADB поступим следующим образом: найдем произвольные два вектора, которые ей принадлежат, например, AD¯ и AB¯, затем, вычислим их векторное произведение. Его результат даст координаты n₂¯. Имеем:

AD¯ = D — A = (0; 0; h) — (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B — A = (a/2; a/2; 0) — (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n₂¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a2/2).

Поскольку умножение и деление вектора на число не изменяет его направления, то преобразуем полученный n₂¯, разделив его координаты на -a, получим:

n₂¯ = (h; 0; a/2).

Мы определили направляющие вектора n₁¯ и n₂¯ для плоскостей основания ACB и боковой стороны ADB. Остается воспользоваться формулой для угла φ:

φ = arccos (|(n₁¯ × n₂¯)| / (|n₁¯| × |n₂¯|)) = arccos (a / (2 × √h2 + a2/4)).

Преобразуем полученное выражение и перезапишем его так:

φ = arccos (a / √(a2 + 4 × h2)).

Мы получили формулу для двугранного угла при основании для правильной четырехугольной пирамиды. Зная высоту фигуры и длину ее стороны, можно рассчитать угол φ. Например, для пирамиды Хеопса, сторона основания которой составляет 230,4 метра, а начальная высота равнялась 146,5 метра, угол φ будет равен 51,8o.

Определить двугранный угол для четырехугольной правильной пирамиды также можно с помощью геометрического метода. Для этого достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный высотой h, половиной длины основания a/2 и апофемой равнобедренного треугольника.

Просмотры: 13

ЭМГеометрия

Фигура, в которой не все точки находятся в плоскости, Фигура, в которой не все точки лежат в плоскости, называется пространственной.

В дополнение к геометрическим твердым телам, пространственные формы также включают в себя двугранные и многогранные углы и другие наборы точек, линий и поверхностей. Основными элементами, составляющими пространственные формы, являются точки и линии, плоскости. Каждая фигура может свободно перемещаться в пространстве, не изменяя своего размера или формы.

Две фигуры считаются одинаковыми, если они могут быть выровнены по всем точкам.

Стереометрия изучает свойства пространственных форм. Две линии в пространстве могут находиться в одном и том же плоскости, и затем либо пересекаются, либо параллельны.

Считается, что две прямые пересекаются, если одна из них не входит ни в одно из бесконечных множеств плоскостей, через другую линию.

Изображение (рисунок или эскиз) пространственной фигуры на плоскости выполнена в соответствии с правилами параллельного проецирования, которые мы также должны знать при чтении чертежа.

(α) Если прямые в пространстве параллельны, то их проекции на чертеже параллельны или одновременны; если прямые на чертеже параллельны, то соответствующие прямые на пространственной фигуре параллельны.

(b) Если линии на чертеже пересекаются, то соответствующие линии в пространстве пересекаются или скрещиваются. При переходе от плоского рисунка пространственной фигуры к ее модели (физической или воображаемой) необходимо научиться уверенно различать пересекающиеся и пересекаемые линии. Без этого невозможно научиться стереометрии.

c) Отношение отрезков параллельных прямых (или прямой) в пространственной фигуре равно отношению их соответствующих отрезков на чертеже. Из этого следует, что в одной группе параллельных сегментов каждый сегмент сокращается один раз при переходе от пространственной фигуры к рисунку, а в другой группе параллельных сегментов другое (но фиксированное для этой группы) количество раз.

г) Углы пространственной фигуры на рисунке обычно меняют свою величину, например, прямой угол пространственной фигуры может быть представлен как острый или тупой. углом.

Невидимые линии пространственной формы представлены на рисунке пунктирными линиями.

Основные свойства плоскости Следующие математические утверждения могут быть выражены следующим образом.

Если две точки лежат на прямой на плоскости, тогда все точки на этой прямой на плоскости.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, имеют общую точку. плоскость, притом только одну.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку, т.е. пересекаются.

Через эту точку и точку, не лежащую на этой прямой, можно провести прямую. плоскость, притом только одну.

Две пересекающиеся линии могут быть проведены с помощью плоскость и только одну.

Две параллельные прямые можно провести через плоскость, притом только одну.

Углы между плоскостями

Мы точно знаем, что угол между стеной и полом равен 90°. Также, как и угол между стеной и потолком, или полом и любым предметом мебели. 

Но чему равен угол между двумя открытыми страницами тетради? Или угол между стеной и полуоткрытой дверью? Угол между перилами и плоскостью пола? Все эти углы достаточно легко найти. И ответы на все эти вопросы нам дает именно стереометрия. 

Начнем разбирать в углах между плоскостями с того, что введем понятие двугранного угла. 

Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. 

Если мы откроем книгу не полностью и посмотрим на пространство между двумя страницами, это пространство и будет двугранным углом.

На рисунке: АВ — общая прямая для плоскостей, ее называют ребром двугранного угла;a, b  — плоскости, которые образуют двугранный угол, они называются гранями двугранного угла.  

Как мы сталкиваемся с двугранными углами, когда читаем книгу?Если раскрыть книгу не полностью, то ее страницы будут образовывать двугранный угол, то есть часть пространства, заключенную между двумя страницами.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей обычно образуется четыре двугранных угла. Нас интересует меньший из них.

Настало время ввести понятие угла между двумя плоскостями. Но для этого нам нужно провести перпендикуляры к ребру двугранного угла в каждой плоскости

Важно, чтобы перпендикуляры пересекались в одной точке

Проведенные перпендикуляры образовали четыре угла. Меньший из них и будет называться углом между плоскостями.

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях. 

Обозначим нужный нам угол на рисунке как угол COD. Он и будет являться углом между данными плоскостями. 

Угол COD также будет называться линейным углом двугранного угла. 

Линейный угол двугранного угла показывает градусную меру двугранного угла. Поскольку двугранный угол — это часть пространства, то в этом пространстве можно провести множество линейных углов, которые будут равны между собой. 

Как и обычные углы, углы между плоскостями бывают трех видов:

• Острые, то есть меньше 90
• Прямые, равные 90
• Тупые, которые больше 90и меньше 180

Как уже было сказано выше, за угол между плоскостями всегда принимается острый угол, образованный этими плоскостями.

А что будет, если между плоскостями получится прямой угол?

Такие плоскости называются перпендикулярными. 

Где в комнате можно найти перпендикулярные плоскости?Достаточно посмотреть на стены и пол, или стены и потолок. А еще на углы потолка — в них будет три перпендикулярные плоскости.

У перпендикулярных плоскостей есть одна очень интересная особенность: все углы, образованные ими, равны между собой и равняются 90° градусам. 

Чтобы найти угол между плоскостями, необходимо следовать следующему алгоритму. 

Алгоритм нахождения угла между плоскостями1 шаг. Найти линию пересечения плоскостей.2 шаг. Достроить к этой линии перпендикуляр в каждой плоскости. 3 шаг. Найти острый угол между построенными перпендикулярами.

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Упростить решение множества задач и изучение стереометрии позволяет знание основных положений и правил. К примеру, существуют аксиомы, которые не нуждаются в доказательстве. С их помощью достаточно просто выполнять построение классических и сложных фигур, производить разнообразные вычисления. Перечислим их.

Аксиома 1: Если 3 точки не принадлежат общей прямой, то через них допустимо построить плоскость в единственном экземпляре.

Аксиома 2: При нахождении 2 точек какой-то прямой в некой плоскости можно сделать вывод о расположении в этой же плоскости остальных точек рассматриваемой прямой.

Аксиома 3: В том случае, когда пара плоскостей обладает общей точкой, можно сделать вывод о наличии у таких плоскостей одной прямой, содержащей каждую из точек пересечения рассматриваемых плоскостей.

Аксиома 4: В какой-либо пространственной плоскости справедлива каждая из аксиом планиметрии.

При анализе перечисленных аксиом можно сформулировать некоторые закономерности. Такие утверждения называют следствиями. Перечислим их.

Следствие 1

Если имеется какая-то прямая и точка, ей не принадлежащая, то через данные элементы допустимо провести единственную плоскость.

Следствие 2

Если 2 прямые линии пересекаются между собой, то с их помощью допустимо построить единственную плоскость.

Следствие 3

В том случае, когда имеется пара прямых, расположенных параллельно относительно друг друга, через них допустимо провести единственную плоскость.

Следствие 4

Когда прямая не расположена на некоторой плоскости, данные элементы обладают максимум одной единой точкой.

Трехгранный угол

Выберем в пространстве произвольную точку K. Далее из нее проведем три луча КА, КВ и КС так, чтобы они не находились в одной плоскости:

В результате мы получили фигуру, которую именуют трехгранным углом. Она состоит их трех плоских углов: ∠АКС, ∠АКВ и ∠ВКС. Эти углы так и называются – плоские углы трехгранного угла. Сам же трехгранный угол обозначают четырьмя буквами: КАВС

Обратите внимание, что через каждую пару лучей КА, КВ и КС можно провести плоскость. Таким образом, название «трехгранный» угол показывает, что в точке К сходятся три грани

Чаще всего в стереометрии такой угол возникает при рассмотрении вершин тетраэдра, в котором есть сразу четыре трехгранных угла:

Доказательство. Пусть в пространстве из точки D выходят лучи AD, BD и CD

Важно понимать, что мы можем свободно «передвигать» точки А, В и С по лучам, и величина плоских углов при этом меняться не будет. Если среди плоских углов нет наибольшего, то теорема очевидно выполняется

Поэтому надо рассмотреть лишь случай, когда один из углов – наибольший. Пусть им будет ∠BDC:

Это возможно сделать, ведь ∠BDC > AD, поэтому внутри ∠BDC можно провести луч DK. Далее «сместим» точку А на луче АD так, чтобы DK = AD. Естественно, что при этом плоские углы трехгранного угла никак не изменятся, также как останется верным равенство

Сравним ∆ADC и ∆DKC. У них есть общая сторона DC, одинаковы стороны DK и AD, а также совпадают углы между ними. Значит, эти треугольники равны, и тогда можно записать, что:

Теперь сравним ∆ABD и ∆DBK. У них BD – общая сторона, а DK = AD. При этом BK < AB. В таком случае против меньшей стороны будет лежать меньший угол (смотри примечание после доказательства), то есть

Именно это неравенство и необходимо было доказать.

Примечание. В ходе доказательства было использовано утверждение, что если у двух треугольников две стороны одинаковы, в третьи стороны отличаются, то против меньшей третьей стороны будет располагаться меньший угол:

Это утверждение часто не рассматривается в курсе планиметрии, поэтому есть смысл доказать его отдельно. Действительно, пусть есть ∆АВС и ∆А’B’C’, АС = А’C’ и АВ = A’B’, а СВ < C’B’. Надо показать, что ∠А <∠A’. Для этого выразим стороны СВ и C’B’ (а точнее говоря, их квадраты) с помощью теоремы косинусов:

Из последнего неравенства на основе определения косинуса для углов из интервала от 0° до 180° вытекает, что и

Основные понятия введения в стереометрию

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два из которых, имеющие общую сторону, не лежат в одной плоскости. При этом сами многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами многогранника, а их вершины – вершинами многогранника.

Фигура, образованная всеми гранями многогранника, называется его поверхностью (полной поверхностью), а сумма площадей всех его граней – площадью (полной) поверхности.

Куб – это многогранник, имеющий шесть граней, которые являются равными квадратами. Стороны квадратов называются ребрами куба, а вершины – вершинами куба.

Параллелепипед – это многогранник, у которого шесть граней и каждая из них – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра, а имеющие общее ребро называются смежными. Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми ребрами.

Прямой параллелепипед – это такой параллелепипед, у которого боковые грани – прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, у которого все грани – прямоугольники. Заметим, что всякий прямоугольный параллелепипед является прямым параллелепипедом, но не любой прямой параллелепипед есть прямоугольный.

Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий противолежащие вершины параллелепипеда, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.

Призма (n-угольная) – это многогранник, у которого две грани – равные n-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. Равные n-угольники называются основаниями, а параллелограммы – боковыми гранями призмы.

Прямая призма – это такая призма, у которой боковые грани – прямоугольники. Правильная n-угольная призма – это призма, у которой все боковые грани – прямоугольники, а ее основания – правильные n-угольники.

Сумма площадей боковых граней призмы называется площадью ее боковой поверхности (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней призмы называется площадью поверхности призмы (обозначается Sполн).

Пирамида (n-угольная) – это многогранник, у которого одна грань – какой-нибудь n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной; n-угольник называется основанием; треугольники, имеющие общую вершину, называются боковыми гранями, а их общая вершина называется вершиной пирамиды. Стороны граней пирамиды называются ее ребрами, а ребра, сходящиеся в вершине, называются боковыми.

Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды (обозначается Sбок). Сумма площадей всех граней пирамиды называется площадью поверхности пирамиды (площадь поверхности обозначается Sполн).

Правильная n-угольная пирамида – это такая пирамида, основание которой – правильный n-угольник, а все боковые ребра равны между собой. У правильной пирамиды боковые грани – равные друг другу равнобедренные треугольники.

Треугольная пирамида называется тетраэдром, если все ее грани – равные правильные треугольники. Тетраэдр является частным случаем правильной треугольной пирамиды (т.е. не каждая правильная треугольная пирамида будет тетраэдром).

В стереохимии

Имена конфигурацийпо двугранному углу	син н-БутанПроекция Ньюмана	син н-Бутан проекция козлы

Диаграмма свободной энергии п-бутан как функция двугранного угла.

В стереохимия, а угол кручения определяется как частный пример двугранного угла, описывающего геометрическое соотношение двух частей молекулы, соединенных химическая связь. Каждый набор из трех неколлинеарных атомов молекула определяет плоскость. Когда две такие плоскости пересекаются (т.е. набор из четырех последовательно связанных атомов), угол между ними составляет двугранный угол. Двугранные углы используются для определения молекулярная конформация.Стереохимический устройства, соответствующие углам от 0 ° до ± 90 °, называются син (s), соответствующие углам от ± 90 ° до 180 ° анти (а). Точно так же расположения, соответствующие углам от 30 ° до 150 ° или от -30 ° до -150 °, называются клинальный (c) и от 0 ° до ± 30 ° или от ± 150 ° до 180 ° называются перипланарный (п).

Эти два типа терминов можно комбинировать, чтобы определить четыре диапазона углов; От 0 ° до ± 30 ° синпериплоскостной (sp); От 30 ° до 90 ° и от -30 ° до -90 ° синклинально (sc); От 90 ° до 150 ° и от -90 ° до -150 ° антиклиналь (ас); От ± 150 ° до 180 ° антиперипланарный (ap). Синперипланарное строение также известно как син— или же СНГ-конформация; антиперипланарный как анти или же транс; и синклинальный как бестактный или же перекос.

Например, с п-бутан две плоскости могут быть определены в терминах двух центральных атомов углерода и любого из атомов углерода метила. В син-конформация, показанная выше, с двугранным углом 60 ° менее стабильна, чем анти-конформация с двугранным углом 180 °.

Для использования макромолекул символы T, C, G+, ГРАММ−, А+ и А− рекомендуются (ap, sp, + sc, −sc, + ac и −ac соответственно).

Белки

Изображение белок, показывая двугранные углы позвоночника

А Рамачандран сюжет (также известная как диаграмма Рамачандрана или [φ,ψ] сюжет), первоначально разработанный в 1963 г. Г. Н. Рамачандран, Ч. Рамакришнан и В. Сасисехаран, способ визуализации энергетически разрешенных областей для двугранных углов позвоночника ψ против φ из аминокислота остатки в структура белка. На рисунке справа показано определение φ и ψ двугранные углы позвоночника (называется φ и φ ′ Рамачандрана).

В белок цепочка трех двугранных углов определяется как φ (фи), ψ (psi) и ω (омега), как показано на схеме. Планарность пептидная связь обычно ограничивает ω быть 180 ° (типичный транс случай) или 0 ° (редкий СНГ дело). Расстояние между Cα атомы в транс и СНГ изомеры составляет примерно 3,8 и 2,9 Å соответственно. Подавляющее большинство пептидных связей в белках являются транс, хотя пептидная связь с азотом пролин имеет повышенную распространенность СНГ по сравнению с другими парами аминокислот.

Двугранные углы боковой цепи обозначены χ_п (чип). Они имеют тенденцию группироваться около 180 °, 60 ° и -60 °, что называется транс, грубый+, и бестактный− конформации. На стабильность некоторых двугранных углов боковой цепи влияют значения φ и ψ. Например, существуют прямые стерические взаимодействия между Cγ боковой цепи в бестактный+ ротамера и основного азота следующего остатка, когда ψ около -60 °.

Преобразование двугранных углов в декартовы координаты в цепочках

Основы полимеров, особенно белков, обычно представляют в внутренние координаты; то есть список последовательных двугранных углов и длин связей. Однако некоторые виды вычислительная химия вместо этого используйте декартовы координаты. При оптимизации вычислительной структуры некоторым программам необходимо переключаться между этими представлениями во время своих итераций. Эта задача может доминировать над временем расчета. Для процессов с большим количеством итераций или с длинными цепочками это также может привести к кумулятивной численной неточности. Хотя все алгоритмы преобразования дают математически идентичные результаты, они различаются по скорости и числовой точности.

Вам также будет интересно

Редакция Без Сменки

29 июня, 2022
1 мин

РОМАНТИЗМ

️ Где тебя могут о нём спросить?
— в 17 задании в качестве одного из терминов/аргументов
— в 17…

491

Редакция Без Сменки

29 июня, 2022
1 мин

Отечественная война 1812 года

Начнем мы рассматривать отношения Александра с Наполеоном не с 1812 года. Забежим чуть-чуть…

511

Редакция Без Сменки

28 июня, 2022
1 мин

Пружинный маятник

Это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
Пока пружина не…

1087

Редакция Без Сменки

30 июня, 2022
1 мин

ЧТО ТАКОЕ ЛЕКСИКА?

На какие большие группы делится русская лексика?
синонимы (контекстные синонимы) — близкие или…

1780

Редакция Без Сменки

11 февраля, 2022
6 мин

Особенности русской пунктуации

Ловите шпаргалку по важной теме — русской пунктуации! В некоторых случаях так и хочется поставить… 1121. Редакция Без Сменки

06 июня, 2022
1 мин

Редакция Без Сменки

06 июня, 2022
1 мин

Банковская система

Главным компонентом является банк — это финансовое учреждение, которое занимается привлечением…

873

В физике полимеров

В некоторых научных областях, таких как физика полимеров можно рассматривать цепочку точек и связей между последовательными точками. Если точки последовательно пронумерованы и расположены на позициях р₁, р₂, р₃и т. д. векторы облигаций определяются как ты₁=р₂—р₁, ты₂=р₃—р₂, и ты_я=р_{я + 1}—р_я, в более общем смысле. Это случай кинематические цепи или же аминокислоты в структура белка. В этих случаях часто интересуют плоскости, определяемые тремя последовательными точками, и двугранный угол между двумя последовательными такими плоскостями. Если ориентация была выбрана для всей цепочки, каждая пара последовательных точек определяет вектор, и сумма всех этих векторов ты_я вектор, указывающий от начала до конца цепочки. Если ты₁, ты₂ и ты₃ три последовательных таких вектора, у одного ситуация аналогична предыдущему случаю, за исключением того, что пересечение плоскостей ориентировано. Это позволяет определить двугранный угол, принадлежащий интервалу (–π, π]. Этот двугранный угол определяется формулой

потому что⁡φ=(ты1×ты2)⋅(ты2×ты3)|ты1×ты2||ты2×ты3|грех⁡φ=ты2⋅((ты1×ты2)×(ты2×ты3))|ты2||ты1×ты2||ты2×ты3|,{ displaystyle { begin {align} cos varphi & = { frac {( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})} {| mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2} | , | mathbf {u} _ {2 } times mathbf {u} _ {3} |}} sin varphi & = { frac { mathbf {u} _ {2} cdot (( mathbf {u} _ {1} раз mathbf {u} _ {2}) times ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3}))} {| mathbf {u} _ {2} | , | mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2} | , | mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3} |}}, конец {выровнено}}}

или, используя функцию atan2,

φ=atan2⁡(ты2⋅((ты1×ты2)×(ты2×ты3)),|ты2|(ты1×ты2)⋅(ты2×ты3)).{ displaystyle varphi = operatorname {atan2} ( mathbf {u} _ {2} cdot (( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) times ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})), | mathbf {u} _ {2} | , ( mathbf {u} _ {1} times mathbf { u} _ {2}) cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})).}

Этот двугранный угол не зависит от ориентации цепочки (порядка, в котором рассматриваются точки). Фактически, изменение этого порядка заключается в замене каждого вектора его противоположным вектором и замене индексов 1 и 3. Обе операции не изменяют косинус и меняют знак синуса. Таким образом, вместе они не меняют угол.

Более простая формула для того же двугранного угла следующая (доказательство приводится ниже)

потому что⁡φ=(ты1×ты2)⋅(ты2×ты3)|ты1×ты2||ты2×ты3|грех⁡φ=|ты2|ты1⋅(ты2×ты3)|ты1×ты2||ты2×ты3|,{ displaystyle { begin {align} cos varphi & = { frac {( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})} {| mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2} | , | mathbf {u} _ {2 } times mathbf {u} _ {3} |}} sin varphi & = { frac {| mathbf {u} _ {2} | , mathbf {u} _ {1} cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})} {| mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2} | , | mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3} |}}, end {align}}}

или эквивалентно,

φ=atan2⁡(|ты2|ты1⋅(ты2×ты3),(ты1×ты2)⋅(ты2×ты3)).{ displaystyle varphi = operatorname {atan2} (| mathbf {u} _ {2} | , mathbf {u} _ {1} cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3}), ( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) cdot ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3})).}

Это можно вывести из предыдущих формул, используя вектор четырехкратное произведение формула, и тот факт, что скалярное тройное произведение равен нулю, если он содержит дважды одинаковый вектор:

(ты1×ты2)×(ты2×ты3)=(ты2×ты3)⋅ты1ты2−(ты2×ты3)⋅ты2ты1=(ты2×ты3)⋅ты1ты2{ displaystyle ( mathbf {u} _ {1} times mathbf {u} _ {2}) times ( mathbf {u} _ {2} times mathbf {u} _ {3}) = mathbf {u} _ {2} — mathbf {u} _ {1} = mathbf {u} _ {2}}

Особые случаи φ=π{ displaystyle varphi = pi}, φ=+π3{ displaystyle varphi = + pi / 3} и φ=−π3{ displaystyle varphi = — pi / 3}, которые называются транс, бестактный+, и бестактный− конформации.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 3

А

С

В

П-р

Н-я

П-я

Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

К

D

Повторение.

Слайд 4

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.

АВСD – четырехугольник, АС — диагональ.

А

В

П-р

Н-я

П-я

Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК

К

С

D

2

1

Повторение.

Слайд 5

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.

АВСD – четырехугольник, АС – диагональ.

А

В

П-р

Н-я

П-я

Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК

К

С

D

9

6

5

тупой

Повторение.

Слайд 7 Определение: Две пересекающиеся плоскости называются

Слайд 8 Примером взаимно перпендикулярных плоскостей

плоскости стены и потолка

Слайд 9 Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую,

перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны

А

С

Слайд 10Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются

Слайд 11 Плоскости

и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите,

что любая прямая плоскости , перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости .

№ 178.

c

C

Подсказка

Слайд 12 Докажите, что плоскость

той же плоскости, параллельны.

№ 180.

c

Подсказка

Слайд 14 Плоскости

и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a. Из

точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник.

№ 182.

a

С

М

Слайд 15 Плоскости

и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к

плоскости . Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости .

№ 183.

Слайд 16 Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется

прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания

представляют собой прямоугольники.

Слайд 18 10. В прямоугольном параллелепипеде все шесть

граней – прямоугольники. 20. Все

двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

= a2 + b2Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов

трех его измерений.

d2 = a2 + b2 + с2

прямоугольного параллелепипеда равны.d2 = a2 + b2 + с2

Слайд 21 Ребро куба равно а.

Найдите диагональ куба.№ 188.DАВСА1D1С1В1d2 = a2 + b2 + с2d2

= 3a2

а

а

а

Слайд 22 Найдите расстояние от вершины

куба до плоскости любой грани,

в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m. б) диагональ куба равна d.

№ 189.

D

А

В

С

D1

С1

m

Подсказка

В1

А1

Слайд 23 Дан куб. Найдите следующие

двугранные углы: a) АВВ1С;

б) АDD1B; в) А1ВВ1К, где K – середина ребра А1D1.

№ 190.

D

А

В

С

А1

D1

С1

В1

Слайд 24 Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите,

что плоскости АВС1 и А1В1D

перпендикулярны.

№ 191.

D

А

В

С

А1

D1

С1

В1

Слайд 25 Найдите тангенс угла между

диагональю куба и плоскостью одной

из его граней.

№ 192.

D

А

В

С

А1

D1

С1

В1

Подсказка

П-Р

Н-я

Слайд 26№ 193.DАВСА1D1С1В1Подсказка Дан

расстояние между: а) прямой А1С1 и и плоскостью АВС;

Слайд 27№ 193.DАВСА1D1С1В1Подсказка Дан

Найдите расстояние между: б) плоскостями АВВ1 и DCC1;

Слайд 28№ 193.DАВСА1D1С1 Дан прямоугольный

параллелепипед АВСDА1В1С1D1. Найдите расстояние

между: в) прямой DD1 и плоскостью АСС1.

Подсказка

В1

Слайд 29 Ребро куба равно а.

а) диагональ куба и ребро куба;

№ 194.

D

А

В

С

D1

С1

а

В1

А1

Подсказка

Слайд 30 Ребро куба равно а.

б) диагональ куба и диагональ грани куба.

№ 194.

D

А

В

С

D1

С1

а

В1

А1

Подсказка

Слайд 31№ 196.DВD1С1 Изобразите куб

АВСDА1В1С1D1 и постройте его

сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА1 и перпендикулярной к плоскости ВВ1D1;

А

А1

С

В1

Слайд 32№ 196. Изобразите куб

АВСDА1В1С1D1 и постройте его

сечение плоскостью, проходящей через: б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости СDA1.

D

В

D1

С1

А

А1

В1

С

Перпендикулярность плоскостей

В частном случае, когда угол составляет 90°, говорят, что пересекающиеся плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярны друг другу пол и стены в доме, смежные грани кубика, стенки коробки. Существует особый признак перпендикулярности плоскостей.

Действительно, пусть плоскости α и β пересекаются по линии n, и в β есть такая прямая m, что m⊥α. Тогда m и n должны пересекаться в какой-нибудь точке К. Проведем в плоскости α через К прямую р, перпендикулярную n. Ясно, что m⊥р, ведь m⊥α. Получается, угол между m и р как раз и является углом между плоскостями α и β, ведь m⊥n и р⊥n. И этот угол равен 90°, ведь m⊥p, ч т. д.

Из доказанного признака вытекает следующее утверждение:

Углы между прямой и плоскостью

Если нарисовать две прямые на листе бумаги, мы с легкостью можем измерить угол между ними с помощью транспортира. А если провести прямую к плоскости, как точно измерить угол между ними?

И в этом вопросе к нам снова на помощь приходит стереометрия. Но для начала рассмотрим, что такое угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. 

Что такое проекция? Предположим, мы проткнем лист бумаги (плоскость) очень длинной иглой. 

А теперь сделаем этот рисунок ближе к чертежу. Пусть плоскость а пересекает прямая а в точке О. 

Начнем строить проекцию. Прежде чем разобраться, что такое проекция прямой на плоскость, найдем проекцию точки на плоскость. 

Возьмем на нашей прямой а точку А и опустим из нее перпендикуляр к плоскости а. Точка, в которой перпендикуляр пересечет плоскость, будет называться проекцией точки на плоскость. На рисунке обозначим ее как А₁. 

Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. 

Теперь, если мы будем брать каждую точку на прямой и проектировать ее на плоскость а, то получим проекцию этой прямой на плоскость. Но поскольку на прямой бесконечное множество точек, достаточно соединить точки А₁ и О, получаем, что А₁О — проекция прямой а на плоскость а. 

Заметим, что если мы проведем из любой точки прямой проекцию к плоскости, то попадем на прямую А₁О. 

Проекция прямой а на плоскость — это прямая а₁, образованная проекциями всех точек прямой а на плоскость. 

Таким образом можно построить проекции не только прямой, но и любой фигуры.

Мы построили угол из определения. Тогда углом между прямой а и плоскость а будет угол А₁ОА. 

В этом случае мы также берем острый угол, образованный прямой и плоскостью. 

Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостьюШаг 1. Построить проекцию прямой на плоскость.Шаг 2. Найти угол между прямой и построенной проекцией.

Если прямая параллельна плоскости угол будет равен 0. 

Проекция прямой на плоскость будет этой же прямой, просто лежащей в плоскости.  

Когда прямая перпендикулярна плоскости, проекцией прямой на плоскость будет точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью будет равен 90°.

Чуть подробнее остановимся на случае, когда прямая перпендикулярна плоскости. 

Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости. 

А что делать, если прямая будет перпендикулярна только одной прямой из плоскости? По определению обязательно, чтобы она была перпендикулярна всем прямым из плоскости. Как тогда проверить перпендикулярность?

Для этого существует признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости. 

Следовательно, если необходимо в задаче доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно доказать, что прямая будет перпендикулярна всего двум пересекающимся прямым в этой плоскости, а не всему множеству прямых, лежащий в данной плоскости.

Рассмотрим несколько интересных свойств, связанных с прямой, перпендикулярной к плоскости. 

Свойство 1. Через любую точку пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную плоскости. 

Попробуйте подставить уголок к стене из любой точки. Получится ли у вас сделать так, что из одной и той же точки уголок встанет перпендикулярно стене несколько раз? Нет. 

Свойство 2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то такие прямые параллельны. 

Здесь тоже просто все доказать. Достаточно построить в плоскости прямую, которая пересечет две данные прямые и посмотреть на рисунок “сбоку”. Заметим, что соответственные углы равны, а значит, прямые параллельны. 

Подробнее про соответственные углы и параллельные прямые можно прочитать в статье “Основы планиметрии”. 

Свойство 3. Если к одной прямой перпендикулярны две плоскости, то такие плоскости параллельны. 

Тут такие же рассуждения, как и в предыдущем свойстве: достаточно построить прямые, принадлежащие плоскостям, и посмотреть на них “сбоку”. 

Свойство 4. Если через перпендикулярную к плоскости прямую проходит плоскость, то данные плоскости будут перпендикулярны. 

Это легко проверить, если найти любой двугранный угол между построенными плоскостями. 

Что такое двугранный угол

Двугранным углом называют геометрическую фигуру, которая сформирована парой полуплоскостей, выходящие из общей прямой.

Заметим, что угол, измеряемый в градусах, разделяющий пару плоскостей, является минимальным из количества двугранных углов, которые сформированы в результате пересечения плоскостей.

Примечание 1

Важно отметить, что по модели двугранный угол может быть острым и тупым. При этом угол, разделяющий две плоскости, является острым

Это необходимо учитывать в решении задач, чтобы избежать путаницы.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут