Многочлен стандартного вида

Содержание

• Слайд 1

  МНОГОЧЛЕНЫ

  Сумма и разность многочленов
  Многочлен и его стандартный вид
  Сложение и вычитание многочленов
  Произведение одночлена и многочлена
  Умножение одночлена на многочлен
  Вынесение общего множителя за скобки
  Произведение многочленов
  Умножение многочлена на многочлен
  Разложение многочлена на множители способом группировки

  АЛГЕБРА
  pptcloud.ru

• Слайд 2

  Многочленом называется сумма одночленов
  4xz-5xy+3x-1
  одночлены, из которых составлен многочлен, называют — членами многочлена. Так. Членамимногочлена 4xz-5xy+3x-1является 4xz, -5xy, 3x и -1. Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом, если из трёх членов- трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. В многочлене 5аz+2+4ab-3az-7члены5az и -3azявляется подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми является и члены 2 и -7, не имеющие буквенную часть.

• Слайд 3

  Если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, записывают с теми же знаками.
  (5x+7b-9)+(-3x-6b+8)=5x+7b-9-3x-6b+8=2x+b-1
  Если перед скобками ставится знак «минус», то члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками.
  (x+5c-b+8)-(x-7b-1)=x+5c-b+8-x+7b+1=5c+6b+9

• Слайд 4

  Произведение одночлена и многочлена Умножение одночлена на многочлен

  Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночленна на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
  -3x+2x(b+8)=-3x+2xb+16x=19x-3x

  МНОГОЧЛЕН

• Слайд 5

  Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют – разложением многочлена на множители.
  -15xy-30xyz+45bxy=-15xy(1+2z-3b)
  Применённый способ разложения на множители называют – вынесением общего множителя за скобки.

• Слайд 6

  Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другова многочлена и полученные произведения сложить.
  Умножим многочлен a+b на многочлен c+d. Составим произведение этих многочленов.
  (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

• Слайд 7

  Разложения многочлена на множители способом группировки

  Разложим на множители многочлен ab-2b+3a-6
  cгруппируемего члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:
  ab-2b+3a-(ab-2b)+(3a-6)
  В первой группе вынесем за скобки множитель b, а во второй –множитель 3:
  (ab-2b)+(3a-6)=b(a-2)(a-2)
  каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель a-2.Вынесем за скобки.
  b(a-2)+3(a-2)=(a-2)(b+3)
  Способс помощью которого мы разложили многочлен на множители, называют – способом группировки.

Посмотреть все слайды

Вычитание многочленов

Пусть требуется из какого-нибудь числа или алгебраического выражения m вычесть многочлен а — b + с, что можно обозначить так:

m — (а — b + с).

Для этого, согласно правилу вычитания, достаточно прибавить к m число, противоположное числу а — b + с. Такое число есть — а + b — с; значит:

m — (а — b + с) = m + (— а + b — с)

Применяя теперь правило сложения многочленов, получим:

m — (а — b + с) = m — а + b — с.

Значит, чтобы из какого-нибудь алгебраического выражения вычесть многочлен, достаточно к этому выражению приписать все члены вычитаемого многочлена с противоположными знаками (и сделать приведение).

Если требуется вычесть из одного многочлена другой многочлен и в этиx многочленах имеются подобные члены, то вычитаемый многочлен полезно писать под уменьшаемым, переменяя знаки у вычитаемого многочлена на противоположные, и так, чтобы подобные члены стояли под подобными. например, вычитание (7а2 — 2аb + b2) — (5а2 + 4аb — 2b2) лучше всего расположить так:

(в вычитаемом многочлене верхние знаки поставлены те, какие были заданы, а внизу они переменены на противоположные).

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак + или —

Пусть в выражении

2а + (а —3b + с) — (2а — b + 2с)

требуется раскрыть скобки. Это надо понимать так, что требуется над многочленами, стоящими внутри скобок, произвести те действия, которые указаны знаками, стоящими перед скобками. В нашем примере перед первыми скобками стоит знак +, перед вторыми знак-. Произведя сложение и вычитание по данным нами правилам, получим выражение без скобок:

2а + а —3b + с — 2а + b — 2с = а — 2 b — с

Таким образом, мы должны помнить, что, раскрывая скобки, перед которыми стоит знак +, мы не должны изменять знаки внутри скобок, а раскрывая скобки, перед которыми стоит знак -, мы должны перед всеми членами, стоящими внутри скобок, переменить знаки на противоположные.

Пусть еще требуется раскрыть скобки в выражении:

10р — .

Для этого всего удобнее раскрыть сначала внутренние скобки, а потом внешние:

10р — = 10р — 3p — 5p + 10 + 4] = 2p + 14.

Заключение в скобки части многочлена

Для преобразования многочлена иногда бывает полезно заключить в скобки совокупность некоторых его членов, причем перед скобками иногда желательно поставить + т. е. изобразить многочлен в виде суммы, а иногда знак -, т.е. изобразить многочлен в виде разности. Пусть, например, в многочлене а + b — с мы желаем заключить в скобки два последних члена, поставив перед скобками знак +. Тогда пишем так:

а + b — с = а +( b — с),

т. е. внутри скобок оставляем те же знаки, какие были в данном многочлене. Что такое преобразование верно, убедимся, если раскроем скобки по правилу сложения; тогда получим снова данный многочлен.

Пусть в том же многочлене требуется заключить в скобки два последние числа, поставив перед скобками знак минус.

Тогда напишем так:

а + b — с = а — ( — b + с) = а — ( с — b ),

т. е. внутри скобок перед всеми членами переменяем знаки на противоположные. Что такое преобразование верно, убедимся, если раскроем скобки по правилу вычитания; тогда получим снова данный многочлен.

Замечание. Можно и весь многочлен заключить в скобки, поставив перед ними знак + или -. например, можно написать:

а — b + с = + (а — b + с) и а — b + с = — (- а + b — с).

Сложение многочленов

Пусть требуется к какому-нибудь числу или алгебраическому выражению m прибавить многочлен а — b + с. Искомую сумму можно выразить так:

m + (а — b + с).

Чтобы преобразовать это выражение, примем во внимание, что многочлен а — b + с представляет собой сумму а + (- b ) + с, а, чтобы прибавить сумму, можно прибавить каждое слагаемое одно за другим; поэтому:

m + (а — b + с) = m + а + (- b ) + с

Но прибавить — b все равно, что вычесть b; поэтому:

m + (а — b + с) = m + а — b + с

Правило. Чтобы к какому-нибудь алгебраическому выражению прибавить многочлен, надо приписать к этому выражению все члены многочлена один за другим с их знаками (причем перед первым членом многочлена, если перед ним не стоит никакого знака, надо подразумевать знак +) и сделать приведение подобных членов, если они окажутся.

Пример.

3а2 — 5ab + b2 + (4ab — b2 + 7a2).

Первое слагаемое, которое мы обозначали сейчас одной буквой m, дано в этом примере в виде многочлена 3а2 — 5ab + b2 . Применяя указанное правило, найдем:

3а2 — 5ab + b2 + (4ab — b2 + 7a2) = 3а2 — 5ab + b2 + 4ab — b2 + 7a2 = 10а2 — ab

Если данные для сложения многочлены содержат подобные члены (как в нашем примере), то слагаемые полезно писать одно под другим так, чтобы подобные члены стояли под подобными:

Вычитание одночленов

Пусть требуется из одночлена 10ax вычесть одночлен —3ax. Искомая разность выразится так:

10ax — (- 3ax).

Согласно правилу вычитания, вычитание — 3ax можно заменить прибавлением числа, противоположного числу — 3ax. Такое число есть + 3ax, поэтому:

10ax — (- 3ax) = 10ax + (+ 3ax) = 10ax + 3ax = 13ax.

Значит, чтобы вычесть одночлен, достаточно приписать его к уменьшаемому с противоположным знаком (и сделать приведение подобных членов, если они окажутся).

#Умножение многочленов

При умножении двух многочленов степени $n$ и $m$ получается многочлен степени $(n+m)$. Прямая формула для произведения многочленов имеет вид

Её наивный подсчёт требует $O(n^2)$ операций, но далее в этой главе мы разберем несколько более эффективных алгоритмов — самый быстрый из которых работает всего за $O(n \log n)$.

Этот факт позволяет сводить много комбинаторных задач к произведению многочленов и использованию уже известных алгоритмов для его подсчета. Разберем несколько примеров таких задач.

2-рюкзак

Рассмотрим многочлены $A(x)$ и $B(x)$, в которых коэффициент при $k$-той степени равен числу равных $k$ элементов в соответствующем массиве.

Рассмотрим произведение $C = A \cdot B$. В получившемся многочлене коэффициент $c_t$ при $x^t$ будет равен

что в свою очередь равно количеству способов набрать сумму ровно $t$.

Значит, мы можем перемножить эти два многочлена за $O(n \log n)$ и просто подсчитать число ненулевых коэффициентов результата.

Мульти-рюкзак

Задача «Вор в магазине» является небольшой модификацией предыдущей:

Опять же, рассмотрим многочлен, в котором коэффициент при $i$-той степени равен единице, если существует предмет со стоимостью $i$, и нулю в противном случае.

Если $k=2$, наша задача свелась к предыдущей: нужно домножить многочлен на самого себя и посмотреть на число ненулевых коэффициентов. В общем же случае нам нужно возвести многочлен в степень $k$ и также посчитать ненулевые коэффициенты результата.

Если возводить многочлен в $k$-ную степень наивно, то асимптотика такого решения будет $O(n k^2 \log (nk))$: нужно $O(k)$ раз перемножать два многочлена, больший из которых имеет длину $O(nk)$.

Воспользуемся бинарным возведением в степень: умножение многочленов ведь ассоциативно. В данном случае асимптотика будет не более $O(nk \log (nk) \log k)$: нужно $O(\log k)$ раз умножать два многочлена порядка $O(nk)$. Но на самом деле, так как на каждой итерации размер многочлена будет увеличиваться в два раза, в асимптотике учтется только последнее (самое большое) умножение, и поэтому в действительности время работы составит $O(nk \log (nk))$.

Свёртки

Свёрткой (англ. convolution) называется операция применения некоторой «оконной» функции ко всем отрезкам фиксированной длины исходной функции.

Свёртка «площадь функции на единичном отрезке»

В дискретном случае свертке соответствует сумме вида

то есть $k$-тый коэффициент результата равен применению какой-то оконной функции, заданной коэффициентами $B(x)$, к коэффициентам $A(x)$. Значит, подобные функции можно быстро считать через матричное умножение.

Например, так можно (неэффективно) искать битовую подстроку $t$ в строке $s$: запишем символы $s$ как коэффициенты многочлена $A(x)$ и символы $t$ в обратном порядке как коэффициенты многочлена $B(x)$ и перемножим. В позициях многочлена-результата, где коэффициенты равны $|t|$, строка $t$ входит в $s$.

Также с помощью этого трюка можно решать и другие задачи, например выполнять «fuzzy searching»: коэффициенты, равные $(|t|-d)$, соответствуют вхождениям с ровно $d$ ошибками.

Возведение многочлена в степень

После того, как мы определили умножение многочленов, можно говорить о возведении многочлена в натуральную степень. Это действие представляет собой умножение исходного многочлена на себя столько раз, сколько указывает показатель степени. Например, возведению многочлена 3·x+1 в четвертую степень соответствует произведение четырех многочленов вида (3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1)·(3·x+1).

Пример.

Возведите многочлен 2·a·b−b3 во вторую степень.

Решение.

Сначала записываем степень многочлена, дальше переходим к умножению, наконец, выполняем это действие с многочленами:(2·a·b−b3)2=(2·a·b−b3)·(2·a·b−b3)=
=2·a·b·(2·a·b)+2·a·b·(−b3)−b3·(2·a·b)−b3·(−b3)=4·a2·b2−4·a·b4+b6.

Ответ:

(2·a·b−b3)2=4·a2·b2−4·a·b4+b6.

В заключение этого пункта стоит отметить, что при возможности для ускорения процесса возведения многочлена в степень можно использовать формулы сокращенного умножения.

Презентация на тему: » МНОГОЧЛЕНЫ Сумма и разность многочленов Многочлен и его стандартный вид Сложение и вычитание многочленов Произведение одночлена и многочлена Умножение.» — Транскрипт:

1

МНОГОЧЛЕНЫ Сумма и разность многочленов Многочлен и его стандартный вид Сложение и вычитание многочленов Произведение одночлена и многочлена Умножение одночлена на многочлен Вынесение общего множителя за скобки Произведение многочленов Умножение многочлена на многочлен Разложение многочлена на множители способом группировки

2

Сумма и разность многочленов Многочлен и его стандартный вид Сумма и разность многочленов Многочлен и его стандартный вид Многочленом называется сумма одночленов Многочленом называется сумма одночленов 4xz-5xy+3x-1 4xz-5xy+3x-1 одночлены, из которых составлен многочлен, называют — членами многочлена. Так. Членами многочлена 4xz-5xy+3x-1 является 4xz, -5xy, 3x и -1. Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом, если из трёх членов- трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. В многочлене 5аz+2+4ab-3az-7 члены 5az и -3az является подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми является и члены 2 и -7, не имеющие буквенную часть. одночлены, из которых составлен многочлен, называют — членами многочлена. Так. Членами многочлена 4xz-5xy+3x-1 является 4xz, -5xy, 3x и -1. Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом, если из трёх членов- трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. В многочлене 5аz+2+4ab-3az-7 члены 5az и -3az является подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми является и члены 2 и -7, не имеющие буквенную часть.

3

Сложение и вычитание многочленов Если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, записывают с теми же знаками. Если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, записывают с теми же знаками. (5x+7b-9)+(-3x-6b+8)=5x+7b-9-3x-6b+8=2x+b-1 (5x+7b-9)+(-3x-6b+8)=5x+7b-9-3x-6b+8=2x+b-1 Если перед скобками ставится знак «минус», то члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками. Если перед скобками ставится знак «минус», то члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками. (x+5c-b+8)-(x-7b-1)=x+5c-b+8-x+7b+1=5c+6b+9 (x+5c-b+8)-(x-7b-1)=x+5c-b+8-x+7b+1=5c+6b+9

4

Произведение одночлена и многочлена Умножение одночлена на многочлен Произведение одночлена и многочлена Умножение одночлена на многочлен Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночленна на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночленна на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. -3x+2x(b+8)=-3x+2xb+16x=19x-3x -3x+2x(b+8)=-3x+2xb+16x=19x-3x

5

Вынесение общего множителя за скобки П Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют – разложением многочлена на множители. -15xy-30xyz+45bxy=-15xy(1+2z-3b) Применённый способ разложения на множители называют – вынесением общего множителя за скобки.

6

Произведение многочленов Умножение многочлена на многочлен Произведение многочленов Умножение многочлена на многочлен Ч Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другова многочлена и полученные произведения сложить. Умножим многочлен a+b на многочлен c+d. Составим произведение этих многочленов. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

7

Разложения многочлена на множители способом группировки Разложим на множители многочлен ab-2b+3a-6 cгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель: ab-2b+3a-(ab-2b)+(3a-6) В первой группе вынесем за скобки множитель b, а во второй –множитель 3: (ab-2b)+(3a-6)=b(a-2)(a-2) каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель a-2. Вынесем за скобки. b(a-2)+3(a-2)=(a-2)(b+3) Способ с помощью которого мы разложили многочлен на множители, называют – способом группировки.

Понятие целого выражения

Определение 1

Выражение называется целым, если оно составлено из чисел и переменных с помощь таких операций как сложение, вычитание и умножение.

Из определения, очевидно, что одночлены и многочлены являются также целыми выражениями. Не целыми являются выражения, которые содержат в своей записи деление на переменную.

Пример 1

Выражение $xy+\frac{3}{x+1}+4$ не является целым, так как в знаменателе содержит переменную $x$.

Основными преобразованиями целых выражений является представление в виде многочлена и разложение на множители. Чаще всего при этом используются формулы сокращенного умножения. Напомним основные из них:

Получи помощь с рефератом от ИИ-шки

ИИ ответит за 2 минуты

1. $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$

2. ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$

3. ${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2$

4. $\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3$

5. $\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3+b^3$

Рассмотрим теперь две эти операции отдельно.

Сложение и вычитание многочленов

Полиномы можно складывать друг с другом, а также вычитать. При этом, возможно, придется приводить подобные слагаемые.

Пример. Произведите сложение многочленов 8z2 + 3z +12 и 2z4 + 9z.

Решение. Запишем интересующую нас сумму:

Если перед скобками стоит знак «+», то можно просто опустить скобки:

Осталось привести полином к стандартному виду. Здесь есть лишь одна пара подобных одночленов, 3z и 9z:

При вычитании многочленов надо учитывать следующее правило:

Пример. Вычтите из полинома x5 + 3×3– 7y3 + 9×2 + 17 трехчлен 2y4 + 0,4y3– 25.

Решение:

Запишем разность полиномов:

Первые скобки можно опустить, так как перед ними нет никакого знака. Перед вторыми скобками стоит минус, а потому для раскрытия скобок знаки слагаемых в них надо поменять на противоположные. Вместо 2y4 надо написать – 2y4, вместо 0,4y3 поставим – 0,4y3, а – 25 заменим на + 25:

Осталось привести подобные слагаемые:

Стоит заметить, что при сложении и вычитании полиномов их степени не могут увеличиться. Так, если складываются два полинома 5-ой и 4-ой степени, то в результате получится многочлен, чья степень будет не больше 5.

Рассмотрим более сложный пример с вложенными (внутренними) скобками. Необходимо упростить выражение

Решение. Раскроем первые скобки. Перед ними стоит минус, поэтому знаки слагаемых должны поменяться на противоположные

Однако обратите внимание, что здесь есть вложенные скобки (2a2b – ab) и (ab2 + 2a2b). Менять следует только знак перед ними, а знаки внутри вложенных скобок не меняются! Они рассматриваются как единые, неизменяемые слагаемые:

Теперь раскроем оставшиеся две скобки:

Приведем подобные слагаемые. Для наглядности пары подобных мономов подчеркнуты. Одной чертой подчеркнуты мономы с буквенной частью ab2, двумя чертами – мономы с a2b, а штриховой линией выделены мономы с буквенной частью ab:

Умножение многочленов

Умножение многочленов проводят, основываясь на распределительном свойстве умножения. Чтобы перемножить многочлены, следует умножить каждый член первого множителя на каждый член второго множителя, а затем сложить получившиеся произведения. В итоге появится новый многочлен, который будет являться решением.

Рассмотрим пример. Необходимо выполнить умножение многочленов a-b и -3×a+b.

Запишем произведение этих выражений.

(a-b)×(-3×a+b)

Теперь необходимо перемножить члены этих двух выражений.

a×(-3×a)+a×b-b×(-3×a)-b×b

Выполним умножение и запишем новый многочлен.

-3×a2+4×a×b-b2

Ответ получен.

Одночлены и многочлены от одной переменной

      Одночленом (мономом) от переменной   x   называют   x ,  умноженную на число.

      , в которую возведена переменная   x,   называют степенью одночлена, а числовой множитель – коэффициентом одночлена.

      Если в одночлене степень переменной   x   не умножена ни на какое число, то считается, что коэффициент одночлена равен   1.

      Степень одночлена, являющегося числом, равняется нулю.

      Примеры одночленов от переменной   x:

      Алгебраической суммой одночленов от переменной   x   называют один или несколько одночленов, соединенных между собой знаками сложения и вычитания. Аналогично определяется алгебраическая сумма чисел.

      Алгебраическую сумму одночленов от переменной   x   также называют многочленом или полиномом от переменной   x.   Например, многочленом является выражение

2×2 – 45x + 28×5 .

      Степенью многочлена называют наивысшую степень входящих в него одночленов.

      В частности, многочлен

ax + b ,

где буквами   a   и   b   обозначены произвольные числа, причем число   a    отлично от нуля, является многочленом первой степени.

      Многочлен

ax2 + bx + c ,

где буквами   a,   b   и   c   обозначены произвольные числа, причем число   a   отлично от нуля, является многочленом второй степени и называется квадратным трехчленом.

      Двучленом называется многочлен, состоящий из двух одночленов, трехчленом называется многочлен, состоящий из трех одночленов.

      Многочлен всегда можно расположить по возрастанию или по убыванию степеней входящих в него одночленов:

3 + 24x – 2×2 – x5 ;         – x5 – 2×2 + 24x + 3 .

      Число α называется корнем многочлена   p(x),   если

p(α) = 0.

      Например, квадратный трехчлен

x2 – 3x + 2

имеет два корня   x = 1   и   x = 2 .

Понятие многочлена

Многочленом называют сумму двух и более одночленов.Членами многочлена называют одночлены, из которых он состоит.
Числа, которые стоят при буквах членов многочлена, называют его коэффициентами.
Примеры многочленов: \, \.
Не удивляйтесь знаку минуса в выражениях. Любую разность легко представить в виде суммы. В частности, последние два выражения можно переписать как \.
Число ноль считают нулевым многочленом.
Понятия одночлена и многочлена пересекаются между собой, ведь любой одночлен является одновременно и многочленом. Его можно записать в виде суммы одночлена и нулевого многочлена.

Двучленом называется многочлен, который составляют два одночлена.
Примеры: \.

Трёхчленом называется многочлен, который составляют три одночлена.
Примеры: \.
Из ранее пройденного материала нам известно, что степенью одночлена называют сумму степеней всех его буквенных множителей.

Линейным многочленом называется тот, в котором все его члены не выше первой степени.
Примеры: \.

Подобными членами многочлена называются подобные слагаемые, из которых он состоит.
Например, в многочлене \ подобными являются \ и \, в \ подобными будут \ и \.

Многочлен и его члены – определения и примеры

В 7 классе многочлены изучаются сразу после одночленов, это и понятно, так как определение многочлена
дается через одночлены. Дадим это определение, объясняющее что такое многочлен.

Определение.

Многочлен
– это сумма одночленов; одночлен считается частным случаем многочлена.

Записанное определение позволяет привести сколько угодно примеров многочленов. Любой из одночленов 5
, 0
, −1
, x
, 5·a·b 3
, x 2 ·0,6·x·(−2)·y 12
, и т.п. является многочленом. Также по определению 1+x
, a 2 +b 2
и — это многочлены.

Для удобства описания многочленов вводится определение члена многочлена.

Определение.

Члены многочлена
– это составляющие многочлен одночлены.

Например, многочлен 3·x 4 −2·x·y+3−y 3
состоит из четырех членов: 3·x 4
, −2·x·y
, 3
и −y 3
. Одночлен считается многочленом, состоящим из одного члена.

Определение.

Многочлены, которые состоят из двух и трех членов, имеют специальные названия – двучлен
и трехчлен
соответственно.

Так x+y
– это двучлен, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b
– трехчлен.

В школе наиболее часто приходится работать с линейным двучленом
a·x+b
, где a
и b
– некоторые числа, а x
– переменная, а также с квадратным трехчленом
a·x 2 +b·x+c
, где a
, b
и c
– некоторые числа, а x
– переменная. Вот примеры линейных двучленов: x+1
, x·7,2−4
, а вот примеры квадратных трехчленов: x 2 +3·x−5
и .

Многочлены в своей записи могут иметь подобные слагаемые . Например, в многочлене 1+5·x−3+y+2·x
подобными слагаемыми являются 1
и −3
, а также 5·x
и 2·x
. Они имеют свое особое название – подобные члены многочлена.

Определение.

Подобными членами многочлена
называются подобные слагаемые в многочлене.

В предыдущем примере 1
и −3
, как и пара 5·x
и 2·x
, являются подобными членами многочлена. В многочленах, имеющих подобные члены, можно для упрощения их вида выполнять приведение подобных членов .

Умножение многочлена на многочлен

Пусть нам надо перемножить два полинома, a+bи c+d. Запишем их произведение:

Заменим выражение a + b переменной k:

Теперь исходное произведение можно выразить как произведение монома и полинома:

Проведем обратное преобразование, заменив k на a + b:

Наконец, раскроем скобки в этом выражении:

Эту формулу можно проиллюстрировать геометрически. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a + b и c + d:

Площадь этого прямоугольника, как и любого другого, равна произведению его сторон, то есть(a + b)(c + d).С другой стороны, она состоит из 4 прямоугольников, чьи площади также вычисляются как произведения их сторон, и составляют ac, bc, ad и bd. Поэтому можно записать равенство

Получается, что для умножения многочлена на многочлен нужно перемножать попарно все мономы, входящие в их состав, после чего сложить их.

Если в одном полиноме содержится m слагаемых, а в другом n, то результатом их перемножения окажется новый полином, содержащий m•n мономов (до приведения подобных слагаемых). Для перемножения многочленов также используется метод «фонтанчика».

Пример. Найдем произведение выражений 3a2 – 4ab + b2и 2a– b.

Решение: В первом полиноме содержится 3 монома, а во втором – 2, поэтому после их перемножения мы получим сумму 3•2 = 6 одночленов:

Раскрытие скобок «фонтанчиком» будет выглядеть так:

В результате действительно получилась сумма 6 мономов. Осталось вычислить каждый из них, после чего привести подобные слагаемые:

Заметим, что при перемножении полиномов происходит сложение степеней многочленов. Действительно, в рассмотренном выше примере мы умножили полином второй степени 3a2 – 4ab + b2 на полином первой степени 2a– b, и получили в результате многочлен 3-ей (2+1) степени.

Также возможно умножение многочленов в столбик. Особенно это удобно делать в случае с полиномами с одной переменной.

Пример. Найдите произведение выражений 2×3 + 3×2 +5x + 9 и x2 + 4x + 7.

Решение: Запишем полиномы в столбик, один под другим:

Далее умножим самый правый моном второго многочлена, то есть число 7, на первый полином, и запишем его ниже:

Далее умножим следующий моном, 4х, на первый полином, и запишем результат ещё ниже, причем сместим запись чуть влево, чтобы подобные члены оказались друг под другом:

Также умножим последний одночлен, x2, на первый полином:

Осталось сложить подобные слагаемые (то есть переменные х с одинаковыми степенями), которые записаны друг под другом:

Ещё раз цветом выделим подобные слагаемые и результаты их суммирования:

Ответ: 2х5 + 11х4 + 31х3 + 50х2 + 71х +63.

История многочленов начинается отсюда

Первым предложил свою трактовку этой теоремы Альбер де Жирар в 1629 г., но, к сожалению, дальше сформулированного утверждения дело не дошло. На протяжении 18 века такие известные математики, как: Лангранж, Даламбер, Эйлер и Фонсене всячески пытались создать доказательство к теореме  о многочленах, но, к огорчению последних, трактовки не признавались убедительными.

Общепризнанным доказательством теоремы о многочленах являются работы Карла Фридриха Гаусса. Немец, по происхождению, сын бедных учителей, в дальнейшем стал известным математиком, физиком, астрономом и геодезистом. Работы Гаусса, в частности, в математике принесли огромный вклад в развитие науки. Его, бесспорно, называли «королем математики».

Гаусс в 1799 г. привел несколько доказательств основной теоремы алгебры: «Число комплексных корней многочлена равно степени многочлена (при подсчете числа корней кратный корень считается столько же раз, сколько и его степень)». Далее и по сегодняшний день были приведены другие работы, связанные с многочленами, такие как: «Теорема Коши», «Теорема Лагерра», «Теорема Гаусса-Люка», «Гипотеза Сендова-Илиева», «Теорема Штурма», «Ряд Лагранжа-Бюрмана», «Признак Эйзенштейна»  и др.

Деление многочленов

С многочленами также можно выполнять действие деления. Однако сделать это возможно далеко не со всеми выражениями. Например, если в обоих многочленах есть только одна переменная, поделить один на другой можно без остатка. Таким образом, если, например, разделить выражение x3+2×x2+3×x+6 на x+2, мы получим в ответе (x+2)×(x2+3).

Однако если нам необходимо разделить, к примеру, x2+1 на x3-5, мы не получим ответ без остатка.

Деление многочлена на многочлен можно выполнить уголком. Рассмотрим ещё один пример. Необходимо разделить x2+8x+15 на x+3. Согласно правилам деления уголком, мы сможем сначала разделить x2+8x на x+3 (частное будет равно х), а затем 5x+15 на x+3 (частное будет равно 5).

В ответ запишем х+5.

При­мер 1

– при­ве­сти к стан­дарт­но­му виду:

;

Ком­мен­та­рий: пер­вое дей­ствие – при­во­дим од­но­чле­ны к стан­дарт­но­му виду, нужно при­ве­сти пер­вый, вто­рой и ше­стой; вто­рое дей­ствие – при­во­дим по­доб­ные члены, то есть вы­пол­ня­ем над ними за­дан­ные ариф­ме­ти­че­ские дей­ствия: пер­вый скла­ды­ва­ем с пятым, вто­рой с тре­тьим, осталь­ные пе­ре­пи­сы­ва­ем без из­ме­не­ний, так как у них нет по­доб­ных.

При­мер 2 – вы­чис­лить зна­че­ние мно­го­чле­на из при­ме­ра 1 при за­дан­ных зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных:

;

Ком­мен­та­рий: при вы­чис­ле­нии сле­ду­ет вспом­нить, что еди­ни­ца в любой на­ту­раль­ной сте­пе­ни это еди­ни­ца, при за­труд­не­нии вы­чис­ле­ний сте­пе­ней двой­ки можно вос­поль­зо­вать­ся таб­ли­цей сте­пе­ней.

При­мер 3 – вме­сто звез­доч­ки по­ста­вить такой од­но­член, чтобы ре­зуль­тат не со­дер­жал пе­ре­мен­ной :

Ком­мен­та­рий: неза­ви­си­мо от по­став­лен­ной за­да­чи, пер­вое дей­ствие все­гда оди­на­ко­во – при­ве­сти мно­го­член к стан­дарт­но­му виду. В нашем при­ме­ре это дей­ствие сво­дит­ся к при­ве­де­нию по­доб­ных чле­нов. После этого сле­ду­ет еще раз вни­ма­тель­но про­чи­тать усло­вие и по­ду­мать, каким об­ра­зом мы можем из­ба­вить­ся от од­но­чле­на . оче­вид­но, что для этого нужно к нему при­ба­вить такой же од­но­член, но с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком — . далее за­ме­ня­ем звез­доч­ку этим од­но­чле­ном и убеж­да­ем­ся в пра­виль­но­сти на­ше­го ре­ше­ния.

При­мер 4 – при­ве­сти мно­го­член  к стан­дарт­но­му виду и за­пи­сать его по убы­ва­ю­щим сте­пе­ням , если его пе­ре­мен­ная  – это тоже мно­го­член, за­ви­ся­щий от :

, ;

;

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния та­ко­го типа задач нужно под­ста­вить в ис­ход­ный мно­го­член  вы­ра­же­ние вто­ро­го за­дан­но­го мно­го­чле­на – в дан­ном слу­чае , после этого вы­пол­нить необ­хо­ди­мые дей­ствия – в дан­ном слу­чае рас­крыть скоб­ки, а после этого при­ве­сти по­лу­чен­ный мно­го­член к стан­дарт­но­му виду.

При­мер 5 – при­ве­сти мно­го­член к стан­дарт­но­му виду и опре­де­лить, при каких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной он равен еди­ни­це:

;

;

, 

;

Ком­мен­та­рий: вы­пол­ним при­ве­де­ние к стан­дарт­но­му виду – в дан­ном слу­чае при­ве­де­ние по­доб­ных чле­нов, а после этого решим эле­мен­тар­ное урав­не­ние.

Вывод: в дан­ном уроке мы на­учи­лись ре­шать ос­нов­ные ти­по­вые за­да­чи на мно­го­чле­ны, вы­пол­ни­ли несколь­ко раз­лич­ных при­ме­ров для за­креп­ле­ния тех­ни­ки.

Урок: Сло­же­ние и вы­чи­та­ние мно­го­чле­нов. Ти­по­вые за­да­чи.

Правило сложения и вычитания многочленов.

Рас­смот­рим при­мер – сло­жить за­дан­ные мно­го­чле­ны:

За­да­ние под­ра­зу­ме­ва­ет, что нужно найти такой мно­го­член, ко­то­рый равен сумме двух за­дан­ных:

;

;

Итак, сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло сло­же­ния мно­го­чле­нов:

— за­пи­сать опе­ра­цию сло­же­ния, по­ме­стив ис­ход­ные мно­го­чле­ны в скоб­ки, а между скоб­ка­ми по­ста­вив знак плюс. По­лу­ча­ем новый мно­го­член, так как при сло­же­нии двух мно­го­чле­нов мы по­лу­ча­ем сумму од­но­чле­нов — мно­го­член;

— рас­крыть скоб­ки, учи­ты­вая знаки внут­ри ско­бок;

— при­ве­сти по­доб­ные члены;

Пра­ви­ло для вы­чи­та­ния зву­чит ана­ло­гич­ным об­ра­зом, с един­ствен­ным от­ли­чи­ем: между скоб­ка­ми ста­вит­ся знак минус.