Одночлен — объяснение понятия и примеры преобразования выражений

Вычитание многочленов

Пусть требуется из какого-нибудь числа или алгебраического выражения m вычесть многочлен а — b + с, что можно обозначить так:

m — (а — b + с).

Для этого, согласно правилу вычитания, достаточно прибавить к m число, противоположное числу а — b + с. Такое число есть — а + b — с; значит:

m — (а — b + с) = m + (— а + b — с)

Применяя теперь правило сложения многочленов, получим:

m — (а — b + с) = m — а + b — с.

Значит, чтобы из какого-нибудь алгебраического выражения вычесть многочлен, достаточно к этому выражению приписать все члены вычитаемого многочлена с противоположными знаками (и сделать приведение).

Если требуется вычесть из одного многочлена другой многочлен и в этиx многочленах имеются подобные члены, то вычитаемый многочлен полезно писать под уменьшаемым, переменяя знаки у вычитаемого многочлена на противоположные, и так, чтобы подобные члены стояли под подобными. например, вычитание (7а2 — 2аb + b2) — (5а2 + 4аb — 2b2) лучше всего расположить так:

(в вычитаемом многочлене верхние знаки поставлены те, какие были заданы, а внизу они переменены на противоположные).

Раскрываем скобки, перед которыми стоит знак + или —

Пусть в выражении

2а + (а —3b + с) — (2а — b + 2с)

требуется раскрыть скобки. Это надо понимать так, что требуется над многочленами, стоящими внутри скобок, произвести те действия, которые указаны знаками, стоящими перед скобками. В нашем примере перед первыми скобками стоит знак +, перед вторыми знак-. Произведя сложение и вычитание по данным нами правилам, получим выражение без скобок:

2а + а —3b + с — 2а + b — 2с = а — 2 b — с

Таким образом, мы должны помнить, что, раскрывая скобки, перед которыми стоит знак +, мы не должны изменять знаки внутри скобок, а раскрывая скобки, перед которыми стоит знак -, мы должны перед всеми членами, стоящими внутри скобок, переменить знаки на противоположные.

Пусть еще требуется раскрыть скобки в выражении:

10р — .

Для этого всего удобнее раскрыть сначала внутренние скобки, а потом внешние:

10р — = 10р — 3p — 5p + 10 + 4] = 2p + 14.

Заключение в скобки части многочлена

Для преобразования многочлена иногда бывает полезно заключить в скобки совокупность некоторых его членов, причем перед скобками иногда желательно поставить + т. е. изобразить многочлен в виде суммы, а иногда знак -, т.е. изобразить многочлен в виде разности. Пусть, например, в многочлене а + b — с мы желаем заключить в скобки два последних члена, поставив перед скобками знак +. Тогда пишем так:

а + b — с = а +( b — с),

т. е. внутри скобок оставляем те же знаки, какие были в данном многочлене. Что такое преобразование верно, убедимся, если раскроем скобки по правилу сложения; тогда получим снова данный многочлен.

Пусть в том же многочлене требуется заключить в скобки два последние числа, поставив перед скобками знак минус.

Тогда напишем так:

а + b — с = а — ( — b + с) = а — ( с — b ),

т. е. внутри скобок перед всеми членами переменяем знаки на противоположные. Что такое преобразование верно, убедимся, если раскроем скобки по правилу вычитания; тогда получим снова данный многочлен.

Замечание. Можно и весь многочлен заключить в скобки, поставив перед ними знак + или -. например, можно написать:

а — b + с = + (а — b + с) и а — b + с = — (- а + b — с).

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть , из которых состоит.

Пример 1. Разложить одночлен 3a3b2 на множители

Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b

3a3b2 = 3aaabb

Либо степень b2 можно не раскладывать на множители b и b

3a3b2 = 3aaab2

Либо степень b2 разложить на множители b и b, а степень a3 оставить без изменений

3a3b2 = 3a3bb

В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.

Пример 2. Разложить одночлен 10a2b3c4 на множители.

Разложим коэффициент 10 на множители 2 и 5, степень a2 разложим на множители aa, степень b3 — на множители bbb, степень c4 — на множители cccc

10a2b3c4  = 2 × 5 × aabbbcccc

Степень одночлена

Вместе с понятием одночлена изучают его степень, которая представляет собой сумму показателей всех степеней входящих в него переменных. То есть, если необходимо будет, например, посчитать степень одночлена $5h^3\times f^{18}\times 3v$, мы получим: $$3+18+1=22$$ В данном случае, степень переменной $v$ равна единице.

Таким образом, запомним:

Если же в одночлене переменных нет, то его степень будет равна $0$. При этом сам он должен быть отличным от нуля. К примеру, степень одночлена $57$ равна $0$. Если одночлен равен $0$, то его называют одночленом с неопределенной степенью.

{"questions":}

Степень с натуральным показателем — что такое в алгебре

Степень в алгебре состоит из двух компонентов: основания и показателя. Основание степени — любое число. Показатель — число, которое показывает, сколько раз нужно умножить основание само на себя.

В математике — это степень, показатель которой является натуральным числом.

Вспомним, что натуральными называют все целые числа больше нуля. Так, числа 1; 365; 1890 будут натуральными, а числа 0; –9; 8,7 — нет.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

Степень с натуральным показателем имеет вид выражения an, где a — основание, а n — любое натуральное число. Читается это выражение как «a в степени n». При этом a может быть любым.

Основные определения, свойства

Следуя из выражения an, дадим точное определение понятию степени с натуральным показателем.

Степенью числа a с натуральным показателем n называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a.

Иногда возникают особые случаи решения данного выражения, а именно:

Степенью любого числа a с показателем 1 будет само а.

\(a^1=1;\)

Степенью любого числа с нулевым показателем будет ноль

\(a^0=0;\)

Ноль в любой степени будет равен нулю.

\(0^n=0;\)

Единица в любой степени будет равна единице.

\(1^n=1.\)

За исключением этих случаев, чтобы производить вычисления и различные действия со степенями, нужно знать основные свойства:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

\(a^n\times a^m=a^{(m+n)};\)

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя первой степени вычитается показатель второй.

\(\frac{a^n}{a^m}=a^{(n-m)};\)

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.

 \(\left(a^n\right)^m=a^{(n\times m)};\)

     4. При возведении в степень произведения каждый множитель возводится в данную степень.

\({(a\times b)}^n=a^n\times b^n;\)

5. При возведении в степень дроби в данную степень возводится и числитель, и знаменатель.

\(\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.\)

Общие сведения

Алгебраическое выражение, в состав которого входит переменная и постоянная часть, объединённая произведением, принято называть одночленом. Фактически эта запись представляет умножение чисел и степеней неизвестных с натуральным показателем. Каждое неопределённое или известное число занимает одну позицию. Количество таких позиций неограниченно.

Если перед буквенным значением стоит цифра, то её называют коэффициентом одночлена. Он может быть как положительным, так и отрицательным. Когда коэффициент не указан, в зависимости от знака он принимается равным единице или минус единице. При этом понятие коэффициент зачастую применительно и к числу. Например, считают, что у числа девять он равен девяти.

Наиболее типичные записи рассматриваемого вида выражений имеют следующий вид:

• 23 — это обыкновенный одночлен, в составе которого нет переменных;
• 12 * f — выражение, состоящее из буквенного и цифрового числа;
• -5 * d2 — запись, содержащая степень;
• 12 * 3 5/6 * x2 * y4 — пример сложного порядка;
• x * y — формула, в которой все коэффициенты равны единице.

Это всё стандартные виды одночлена, то есть выражения записаны в таком состоянии, что их упростить уже невозможно. Например, формула a3 * 1*3 * b * 3 * а * b3 хоть и является одночленом, но не считается записью стандартного вида. Всё дело в том, что её можно упростить. Кроме этого, её нужно переписать таким образом, чтобы числовой множитель стоял на первом месте, затем неизвестные и основания со степенными показателями. После преобразования получится выражение: 9 * a4 * b4. Этот вид записи уже является стандартным. В нём одночленами считаются числа, переменные и степени.

В алгебре часто используется понятие «степень одночлена». Под ним понимают сумму показателей переменных значений, входящих в состав выражения. Примечательно что нуль, входящий в состав одночлена, степени не имеет, при этом если степень не указана, то она принимается нулевой. Когда выражения похожи друг на друга, они считаются подробными. Например, 5 * d2* k10 и 1/8 * d2 * k10 — подобны.

Основное правило

Операцию возведения одночлена в какую-то степень рассмотрим на наглядном примере.

Допустим, что имеется одночлен, записанный в стандартном виде:

Попробуем возвести этот одночлен в третью степень:

В результате получилось произведение, состоящее из множителей , которое требуется возвести в степень 3. Тождественно преобразуем данное выражение с помощью свойства степени произведения:

Выполним замену множителя  с помощью свойства степени в степени:

Следующим шагом можно возвести в степень число 2:

В итоге получился одночлен стандартного вида.

Исходя из решенного примера, составим руководство к действию возведения одночлена в степень. Алгоритм операций:

1. Запись соответствующего выражения.
2. Использование свойства возведения произведения в степень.
3. Применение свойства возведения степени в степень.
4. Вычисление степеней чисел.

Заметим, что при возведении в степень одночлена, записанного в стандартном виде, в результате получится одночлен стандартного вида. Рекомендуется перед тем, как приступить к операции возведения одночлена в степень, записать этот одночлен в стандартном виде, чтобы упростить работу.

Понятие одночлена: основной урок алгебры

Определение 1

Одночленом могут называться числа, переменные, их степени и произведения: $3xy^3$.

Стандартный вид одночлена — запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Коэффициент одночлена — число, записанное слева в стандартной записи одночлена: $-xzy^2$. Отметим, что здесь хоть и не написано числа, но подразумевается, что числовой коэффициент равен $-1$.

Чаще всего в стандартной записи одночлена переменные располагают в алфавитном порядке.

Определение 2

Степень одночлена — сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Получи помощь с рефератом от ИИ-шки

ИИ ответит за 2 минуты

Пример: $xy^2z^5$. Степень одночлена равна $1+2+5=8$.

Заметим, что если в одночлен не входят переменные, (то есть одночлен — число, отличное от нуля), то говорят, что степень одночлена равна нулю.

Если одночлен представляет собой само число 0, то тогда говорят, что степень одночлена не определена.

Определение степени с натуральным показателем

Рассмотрим пример, который полезно включить в конспект:

Если провести вычисления, то получится 8. Таким образом:

Левую часть равенства можно сократить путем записи повторяющегося множителя и указания количества его повторов. Таким множителем является 2, а повторяется он 3 раза. Преобразуем запись:

Полученное выражение читается следующим образом: «два в третьей степени равно восемь», либо «третья степень числа два равна восьми». Это полезно знать для самостоятельного решения задач на уроке в классе.

В распространенных случаях предпочтение отдается короткой записи при умножении одинаковых множителей. При записи одного числа сверху второго числа подразумевается умножение множителей, которые являются одинаковыми.

Разберем наглядный пример: . Подразумевается, что:

Здесь повторяющееся число имеет значение основания степени. Таким образом, 5 — это основание степени в выражении .

Показатель степени — это число, которое записано над числом 5. Таким образом, 3 играет роль показателя степени в выражении . Показатель степени демонстрирует количество повторов основания степени. В рассматриваемом примере основание 5 повторяется 3 раза:

Представим, что имеются идентичные множители в количестве четырех, каждый из которых является числом 2. Тогда можно сказать, что число 2 возведено в четвертую степень:

Заметим, что при возведении числа 2 в четвертую степень получится в результате число 16.

Во всех рассматриваемых примерах числа возводились в степень с натуральным показателем.

Объединим данные определения в одно и получим формулировку степени с натуральным показателем.

Наглядно степень с натуральным показателем можно записать, как:

В качестве примеров приведем следующие выражения:

Одночлены и действия над ними

Ключевые слова конспекта: Одночлены, стандартный вид одночлена, коэффициент и степень одночлена, умножение одночленов, 

Выражения 15а2b,   3ху • 2у,  –3с7 представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называют одночленами. Числа, переменные и их степени также считаются одночленами. Например, выражения –11, а, а6 — одночлены.

Одночлен 5а2b • 2аb3 можно упростить, если воспользоваться свойствами умножения и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями. Тогда получим: 5а2b • 2аb3 = 5 • 2а2 • а • b • b3 = 10а3b4.

Мы представили данный одночлен в виде произведения числового множителя, записанного на первом месте, и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называют стандартным видом. Числа, переменные, их степени также считаются одночленами стандартного вида.

Коэффициент и степень одночлена

Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился одночлен стандартного вида. Если одночлен записан в стандартном виде, то числовой множитель называют коэффициентом одночлена. Например, в одночлене –10а2b4 коэффициент равен –10. Если коэффициент одночлена равен 1 или –1, то его обычно не пишут.

Степенью одночлена стандартного вида называют сумму показателей степеней входящих в него переменных. Если одночлен представляет собой число, отличное от нуля, то его степень считается равной нулю.

Например, степень одночлена 12х2у3равна 5, степень одночлена –6аb равна 2. Выражение 2,32 является одночленом нулевой степени.

Число нуль — это одночлен, степень которого не определена.

Умножение одночленов

При умножении одночленов снова получается одночлен, который обычно записывают в стандартном виде, используя для этого свойства умножения и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.

 Пример. Умножим одночлен 12а6b4 на одночлен –2а3b. Для этого составим произведение одночленов и преобразуем его в одночлен стандартного вида:12а6b4 • (–2а3b) = 12 • (–2) • (а6 • а3) • (b4 • b) = –24а9b5.

Возведение одночлена в степень

Рассмотрим сначала правила возведения в степень произведения и степени. Преобразуем четвёртую степень произведения ab:(ab)4 = (ab)(ab)(ab)(ab) = (aaaa)(bbbb) = а4b4, т.е. (аb)4 = а4b4.Четвёртая степень произведения равна произведению четвёртых степеней множителей. Аналогичным свойством обладает любая натуральная степень произведения двух множителей.

 Если а и b — произвольные числа и n — любое натуральное число, то(аb)n = аnbn.

Докажем это, воспользовавшись определением степени и свойствами умножения:

Доказанное свойство распространяется на произведение трёх и более множителей. Например, (abc)n = anbncn;   (abcd)n = anbncndn.

Отсюда следует правило:

чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Рассмотрим теперь, как можно возвести степень в степень. Преобразуем, например, выражение (а5)4: (а5)4 = а5 • а5 • а5 • а5 = а5+5+5+5 = а20, то есть (а5)4 = а5-4.

Аналогичное свойство выполняется для произвольных степеней с натуральными показателями.

 Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то(аm)n = аm • n.

Из этого свойства следует правило:

чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить.

Аналогично тому, как было доказано свойство степени произведения, можно доказать свойство степени дроби: (a/b)n = an/bn, где b ≠ 0.  Из этого свойства следует правило:

чтобы возвести в степень дробь, нужно возвести в эту степень числитель и знаменатель, первое выражение записать в числитель, а второе — в знаменатель.

Правила возведения в степень произведения и степени используются при возведении одночленов в степень.

Это конспект по математике на тему «Одночлены и действия над ними». Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту: Многочлен и его стандартный вид
• Вернуться к списку конспектов по Математике.
• Проверить знания по Математике.

Принцип преобразования

Пусть имеется сложный одночлен, состоящий из ненулевых степеней, квадратов, дробных чисел и букв следующего вида: 5 * 7 * a * m * c7 * 3 *2/9 * 2 (1/7) * am * bn * c * x5 * 120

Тут следует обратить внимание, что дроби в выражении могут быть любого типа, кроме случая, когда в знаменателе будет стоять буква. Такая запись неудобна для восприятия и дальнейшего использования из-за хаотично расставленных подобных членов

Поэтому нужно преобразовать её к стандартному виду.

В основе способа упрощения одночлена лежат следующие принципы:

1. Если в записи встречается число, то оно обязательно пишется впереди и должно быть единственным в выражении.
2. Каждая буква, встречающаяся в формуле, должна повторяться только один раз, записанная в своей степени.
3. Буквы в одночлене записывают в алфавитном порядке.

Прямая на плоскости

• Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0.
•  Уравнение прямой с  угловым коэффициентом: y=kx+b  (k – угловой коэффициент).
• Острый угол между прямыми y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ определяется по формуле:

• k₁=k₂ — условие параллельности  прямых y=k₁x+b₁  и  y=k₂x+b_2.
• Условие перпендикулярности этих же прямых:

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k, и проходящей

через точку М(х₁; у₁), имеет вид: у-у₁=k (х-х₁).

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х1; у1) и (х2; у2) имеет вид:

Длина отрезка М1М2 с концами в точках М1(х1; у1) и М2(х2; у2):

Координаты точки М(хо; уо) – середины отрезка М1М2

Координаты точки С(х; у), делящей  в заданном отношении λ отрезок М1М2  между точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2):

Расстояние от точки М(хо; уо) до прямой ax+by+c=0:

Рас­смот­рим неко­то­рые при­ме­ры:

1. ;

2. ;

3. ;

Най­дем общие черты для при­ве­ден­ных вы­ра­же­ний. Во всех трех слу­ча­ях вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем чисел и пе­ре­мен­ных, воз­ве­ден­ных в сте­пень. На ос­но­ва­нии этого дадим опре­де­ле­ние од­но­чле­на:

од­но­чле­ном на­зы­ва­ют такое ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние, ко­то­рое со­сто­ит из про­из­ве­де­ния сте­пе­ней и чисел.

Те­перь при­ве­дем при­ме­ры вы­ра­же­ний, не яв­ля­ю­щих­ся од­но­чле­на­ми:

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

Най­дем от­ли­чие этих вы­ра­же­ний от преды­ду­щих. Оно со­сто­ит в том, что в при­ме­рах 4-7 есть опе­ра­ции сло­же­ния, вы­чи­та­ния или де­ле­ния, тогда как в при­ме­рах 1-3, яв­ля­ю­щих­ся од­но­чле­на­ми, этих опе­ра­ций нет.

При­ве­дем еще несколь­ко при­ме­ров:

8. ;

9. ;

Вы­ра­же­ние под но­ме­ром 8 яв­ля­ет­ся од­но­чле­ном, так как это про­из­ве­де­ние сте­пе­ни на число, тогда как при­мер 9 не яв­ля­ет­ся од­но­чле­ном.

Презентация на тему: » МНОГОЧЛЕНЫ Сумма и разность многочленов Многочлен и его стандартный вид Сложение и вычитание многочленов Произведение одночлена и многочлена Умножение.» — Транскрипт:

1

МНОГОЧЛЕНЫ Сумма и разность многочленов Многочлен и его стандартный вид Сложение и вычитание многочленов Произведение одночлена и многочлена Умножение одночлена на многочлен Вынесение общего множителя за скобки Произведение многочленов Умножение многочлена на многочлен Разложение многочлена на множители способом группировки

2

Сумма и разность многочленов Многочлен и его стандартный вид Сумма и разность многочленов Многочлен и его стандартный вид Многочленом называется сумма одночленов Многочленом называется сумма одночленов 4xz-5xy+3x-1 4xz-5xy+3x-1 одночлены, из которых составлен многочлен, называют — членами многочлена. Так. Членами многочлена 4xz-5xy+3x-1 является 4xz, -5xy, 3x и -1. Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом, если из трёх членов- трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. В многочлене 5аz+2+4ab-3az-7 члены 5az и -3az является подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми является и члены 2 и -7, не имеющие буквенную часть. одночлены, из которых составлен многочлен, называют — членами многочлена. Так. Членами многочлена 4xz-5xy+3x-1 является 4xz, -5xy, 3x и -1. Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом, если из трёх членов- трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. В многочлене 5аz+2+4ab-3az-7 члены 5az и -3az является подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми является и члены 2 и -7, не имеющие буквенную часть.

3

Сложение и вычитание многочленов Если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, записывают с теми же знаками. Если перед скобками ставится знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, записывают с теми же знаками. (5x+7b-9)+(-3x-6b+8)=5x+7b-9-3x-6b+8=2x+b-1 (5x+7b-9)+(-3x-6b+8)=5x+7b-9-3x-6b+8=2x+b-1 Если перед скобками ставится знак «минус», то члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками. Если перед скобками ставится знак «минус», то члены, заключаемые в скобки, записывают с противоположными знаками. (x+5c-b+8)-(x-7b-1)=x+5c-b+8-x+7b+1=5c+6b+9 (x+5c-b+8)-(x-7b-1)=x+5c-b+8-x+7b+1=5c+6b+9

4

Произведение одночлена и многочлена Умножение одночлена на многочлен Произведение одночлена и многочлена Умножение одночлена на многочлен Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночленна на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночленна на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. -3x+2x(b+8)=-3x+2xb+16x=19x-3x -3x+2x(b+8)=-3x+2xb+16x=19x-3x

5

Вынесение общего множителя за скобки П Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют – разложением многочлена на множители. -15xy-30xyz+45bxy=-15xy(1+2z-3b) Применённый способ разложения на множители называют – вынесением общего множителя за скобки.

6

Произведение многочленов Умножение многочлена на многочлен Произведение многочленов Умножение многочлена на многочлен Ч Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другова многочлена и полученные произведения сложить. Умножим многочлен a+b на многочлен c+d. Составим произведение этих многочленов. (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

7

Разложения многочлена на множители способом группировки Разложим на множители многочлен ab-2b+3a-6 cгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель: ab-2b+3a-(ab-2b)+(3a-6) В первой группе вынесем за скобки множитель b, а во второй –множитель 3: (ab-2b)+(3a-6)=b(a-2)(a-2) каждое слагаемое получившегося выражения имеет множитель a-2. Вынесем за скобки. b(a-2)+3(a-2)=(a-2)(b+3) Способ с помощью которого мы разложили многочлен на множители, называют – способом группировки.

Решения одночленов

Примеры для самостоятельной работы по преобразованию многочленов помогут понять, как правильно выполняются простые арифметические действия, что важно для решения последующих задач, связанных с многочленами.

Можно выделить следующие виды типовых заданий:

1. Пусть дан многочлен: 14 a7b13mt. Нужно определить степень одночлена, то есть сумму степеней входящих в выражение. Для рассматриваемого примера она будет равна: 7 + 13 + 1 + 6 = 20.
2. Необходимо записать результат перемножения двух выражений: 12a7c5d * 3b9c6d7k. Решение задания будет следующим: 12a7c5d * 3b9c6d7k = 36a7b9c11d8k.

3. Нужно найти ответ, получающийся после деления 16 a7b5k14m на 8 a5bk3. Итак, при делении получится следующее: 16 a7b5k14m / 8 a5bk3 = 2a2b4k11m.

4. Сложение и вычитание одночленов допускается только в том случае, если буквенная часть у них одинаковая, включая степени. Например, 2 a7b5ck + 7a7b5ck = 9 a7b5ck или 9 p5 — 3p5 = 6p5. То есть действие выполняется только над коэффициентами.

5. Дан многочлен вида: 2a7b5kz3. Нужно возвести его в пятую степень. Согласно правилу, каждый член выражения возводится в степень отдельно. При этом следует помнить правило, что при возведении степени в степень показатели перемножаются. Ответ будет выглядеть следующим образом: (2a7b5kz3)5 = 32a35 b25k5z15.

Многочлены классифицируются следующим образом

1. Многочлен стандартного вида – это многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, который не содержит подобных членов.
2. Многочлен нестандартного вида.
3. Бином (или двучлен) – это величина, состоящая из двух членов, и представляющая собой их сумму или разность.
4. Трином (трехчлен) – выражение, которое представляет собой сумму или разность трех членов. Трехчлен делится на такие виды: квадратный, биквадратный и двоичный.
5.  Полиномы с одной неизвестной – это алгебраическое выражение, в котором все члены, кроме последнего, равны нулю.

 Также многочлены бывают

• однородными (все одночлены имеют одинаковую степень);
• унитарными (коэффициент одной переменной равен единице);
• приводимыми (произведения многочленов низших степеней);
• неприводимыми (обратный приводимому многочлену).

Многочлены играют весомую роль в математике

Поскольку они представляют собой довольно простые функции, то их дифференциация и интеграция не составляет большого труда. Поэтому любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно приблизить многочленом, что дает возможность анализировать поведение и характер функции, находящейся вблизи этой точки.

Начиная с 20 века многочлены стали использоваться для новых целей. Нужно было быстро и эффективно передавать информацию. Многочлены содержат в себе символьные исчисления, которые стали использовать как способ передачи данных. Сообщение должно было содержать в себе последовательность символов, которое потом передали по каналу связи. Однако при передаче информации могли возникнуть ошибки. Поэтому была предложена идея кодирования сообщения, которую успешно используют и в настоящее время.

Приведение одночлена к стандартному виду

Рассмотрим следующий одночлен:

Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Итак, приведём одночлен 3a25a3b2 к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:

15

Далее в одночлене 3a25a3b2 содержатся степени a2 и a3, которые имеют одинаковое основание a. Из тождественных преобразований со степенями известно, что при , основание оставляют без изменений, а показатели складывают. Тогда перемножение степеней a2 и a3 даст в результате a5. Записываем a5 рядом с числом 15

15a5

Далее в одночлене 3a25a3b2 содержится степень b2. Её не с чем перемножать, поэтому она остаётся без изменений. Записываем её как есть к новому одночлену:

15a5b2

Мы привели одночлен 3a25a3b2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a5b2

3a25a3b2 = 15a5b2

Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.

Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc

abc = 1 × abc

А коэффициентом одночлена −abc будет −1, поскольку −abc это произведение минус единицы и abc

−abc = −1 × abc

Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Например, степенью одночлена 15a5b2 является 7. Это потому что переменная a имеет показатель 5, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 5 + 2 = 7. Показатель числового сомножителя 15 считать не нужно, поскольку нас интересуют только показатели переменных.

Ещё пример. Степенью одночлена 7ab2 является 3. Здесь переменная a имеет показатель 1, а переменная b имеет показатель 2. Отсюда 1 + 2 = 3.

Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.

Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.

Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya2 к стандартному виду

Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:

15

Далее в одночлене 5xx3ya2 содержатся переменные x и x. Перемножим их, получим x2.

15×2

Далее в одночлене 5xx3ya2 содержится переменная y, которую не с чем перемножать. Записываем её без изменений:

15x2y

Далее в одночлене 5xx3ya2 содержится степень a2, которую тоже не с чем перемножать. Её также оставляем без изменений:

15x2ya2

Получили одночлен 15x2ya2, который приведён к стандартному виду. Буквенные сомножители принято записывать в алфавитном порядке. Тогда одночлен 15x2ya2 примет вид 15a2x2y.

Поэтому, 5xx3ya2 = 15a2x2y.

Пример 2. Привести одночлен 2m3n × 0,4mn к стандартному виду

Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.

2m3n × 0,4mn = 2 × 0,4 × m3 × m × n × n = 0,8m4n2

Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m3 × m и n × n

2m3n × 0,4mn = (2 × 0,4) × (m3 × m) × (n × n) = 0,8m4n2

Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:

2m3n × 0,4mn = 0,8m4n2

Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема и должна быть изучена на хорошем уровне.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Приведите одночлен −2aba к стандартному виду.

Решение:
−2aba = −2a2b

Задание 2. Приведите одночлен 0,5m × 2n к стандартному виду.

Решение:
0,5m × 2n = (0,5 × 2)(mn) = 1mn = mn

Задание 3. Приведите одночлен −8ab(−2,5)b2 к стандартному виду.

Решение:
−8ab(−2,5)b2 = −8 × (−2,5) × a × (b × b2) = 20ab3

Задание 4. Приведите одночлен 0,15pq × 4pq2 к стандартному виду.

Решение:

Задание 5. Приведите одночлен −2×3 × 0,5xy2 к стандартному виду.

Решение:

Задание 6. Приведите одночлен 2m3n × 0,4mn к стандартному виду.

Решение:

Задание 7. Приведите одночлен  к стандартному виду.

Решение:

Задание 8. Приведите одночлен  к стандартному виду.

Решение:

Задание 9. Перемножьте одночлены 2x и 2y

Решение:
2x × 2y = 4xy

Задание 10. Перемножьте одночлены 6x, 5x и y

Решение:
6x × 5x × y = 30x2y

Задание 11. Перемножьте одночлены 2×2, 2×3 и y2

Решение:
2×2 × 2×3 × y2 = (2 × 2) × (x2x3) × y2 = 4x5y2

Задание 12. Перемножьте одночлены −8x и 5×3

Решение:
−8x × 5×3 = (−8 × 5)×(xx3) = −40×4

Задание 13. Перемножьте одночлены x2y5 и (−6xy2)

Решение:
x2y5 × (−6xy2) = −6 × (x2x) × (y5y2) = −6x3y7

Задание 14. Выполните умножение:

Решение:

Задание 15. Выполните умножение:

Решение:

Задание 16. Возведите одночлен x2y2z2 в третью степень

Решение:
(x2y2z2)3 = (x2)3 × (y2)3 × (z2)3 = x6y6z6

Задание 17. Возведите одночлен xy2z3 в пятую степень.

Решение:
(xy2z3)5 = x5 × (y2)5 × (z3)5 = x5y10z15

Задание 18. Возведите одночлен 4x во вторую степень.

Решение:
(4x)2 = 42 × x2 = 16×2

Задание 19. Возведите одночлен 2y3 в третью степень.

Решение:
(2y3)3 = 23 × (y3)3 = 8y9

Задание 20. Возведите одночлен −0,6x3y2 в третью степень.

Решение:
(−0,6x3y2)3 = (−0,6)3 × (x3)3 × (y2)3= −0,216x9y6

Задание 21. Возведите одночлен −x2yz3 в пятую степень.

Решение:
(−x2yz3)5 = (−x2)5 × y5 × (z3)5= −x10y5z15

Задание 22. Возведите одночлен −x3y2z во вторую степень.

Решение:
(−x3y2z)2 = (−x3)2 × (y2)2 × z2 = x6y4z2

Задание 23. Представьте одночлен −27x6y9 в виде одночлена, возведённого в куб.

Решение:
−27x6y9 = (−3x2y3)3

Задание 24. Представьте одночлен −a3b6в виде одночлена, возведённого в куб.

Решение:
−a3b6 = (−ab2)3

Задание 25. Выполните деление

Решение:

Задание 26. Выполните деление

Решение:

Задание 27. Выполните деление

Решение:

Задание 28. Выполните деление

Решение:

Задание 29. Выполните деление

Решение:

Задание 30. Выполните деление

Решение:

Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках