Вектор

Слайд 31. Введение.Кто не знает, в какуюгавань он плывёт, для того

нет попутного ветраСенека Опираясь на слова философа Сенеки я решила

точно определить себе «гавань». Для изучения её мной была взята тема векторы. Она возникла в связи с интересом к данному изученному объекту. На уроках алгебры и геометрии мы знакомились лишь только с векторами на плоскости, но мной была взята тема векторы в пространстве. Я старалась изучить их настолько насколько позволяют мои знания. Результат должен быть следующим: узнать больше о самом историческом понятии вектор (геометрия, как всякая математическая наука, строится путём образования абстрактных понятий и логических доказательства предложений, касающихся этих понятий).

Линейная алгебра

Есть математика: она изучает абстрактные объекты и их взаимосвязи. Благодаря математике мы знаем, что если сложить два объекта с ещё двумя такими же объектами, то получится четыре объекта

И неважно, что это были за объекты: яблоки, козы или ракеты. Математика берёт наш вещественный мир и изучает его более абстрактные свойства. 

Внутри математики есть алгебра: если совсем примитивно, то в алгебре мы вместо чисел начинаем подставлять буквы и изучать ещё более абстрактные свойства объектов.

Например, мы знаем, что если , то . Мы не знаем, что стоит на местах a, b или c, но для нас это такой абстрактный закон, который подтверждается практикой. 

Внутри алгебры есть линейная алгебра — она изучает векторы, векторные пространства и другие абстрактные понятия, которые в целом относятся к некой упорядоченной информации. Например, координаты ракеты в космосе, биржевые котировки, расположение пикселей в изображении — всё это примеры упорядоченной информации, которую можно описывать векторами. И вот их изучает линейная алгебра. 

В программировании линейная алгебра нужна в дата-сайенс, где из упорядоченной информации создаются алгоритмы машинного обучения. 

Если представить линейную алгебру в виде дома, то вектор — это кирпич, из которого всё состоит. Сегодня разберёмся, что такое вектор и как его понимать. 

Слайд 52. Что такое вектор? Одним из фундаментальных понятий современной математики являются

вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась

благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Вектор – это…

Вектор – это некоторый направленный отрезок. «Прямая линия», которая имеет то или иное направление. Она состоит из нескольких точек с координатами (начало и конец).

На плоскости или в пространстве вектор представляет собой отрезок, который имеет направление. Обычно изображается как стрелка с установленными координатами. Она направлена в пространстве и имеет два параметра измерения:

• направление;
• длину.

Вектор – отрезок прямой, который характеризуется численным значением или направлением. Обозначается на письме маленькой (строчной) латинской буквой, над которой рисуется стрелка. Обычно – смотрящая вправо.

Если у вектора есть конкретные координаты и границы, они будут обозначаться двумя прописными латинскими буквами. Над ними тоже ставится стрелка.

Формы записи

Геометрия и математика – точные науки. В них необходимо знать не только определения терминов, но и другие аспекты. Пример – как изображать векторы в том или ином случае.

Что называется вектором, понятно – это направленный отрезок на плоскости или непосредственно в пространстве. Он может быть записан несколькими способами:

1. В строку. Наиболее распространенный вариант. В этом случае вектор обозначается одной буквой, над которой ставится черта. Далее открывается круглая скобка и через запятую записываются координаты.
2. В столбец. Обозначение самого «направленного отрезка» останется таким же, как и в предыдущем случае. В столбец координаты могут быть записаны как в круглых, так и в квадратных скобках. Допускаются оба варианта.

Такой строгий порядок записи делает так, что каждый числовой набор формирует всего один вектор, а каждый вектор характеризуется исключительно одним набором чисел. Это указывает на то, что при наличии векторных координат перепутать «направленные отрезки» не получится.

Выше можно увидеть способы записи векторов в математике. Перед тем как выполнять векторные операции, сначала необходимо научиться изображать соответствующий элемент и рассмотреть его разновидности более детально.

При изучении такого компонента, как vector, нередко приходится сталкиваться с понятием скаляра. Это одно число, то есть скаляром называется вектор, который включает в себя всего одну координату.

В геометрии

Геометрия требует грамотного изображения векторных величин на плоскости. Здесь ситуация будет меняться в зависимости от количества известных координат.

Скаляр (вектор из одного числа) будет отображаться точкой, поставленной на числовой прямой:

Если vector имеет две известные координаты, он будет отображаться в виде точки, но уже на двумерной координатной плоскости. Числа будут задавать непосредственные координаты в пространстве. Так называется некоторая инструкция, по которой необходимо перемещаться от хвоста к векторной стрелке. Здесь:

• первое число – расстояние по X;
• второе число – расстояние по Y;
• положительное число на X – движение вправо;
• отрицательное число на X – движение влево;
• положительные значения Y – движение вверх;
• отрицательные значения Y – движение вниз.

Вот пример вектора a с координатами -5 и 4:

Векторные элементы из трех величин изображаются на трехмерной плоскости. Принцип формирования точек будет точно таким же, как и в предыдущем случае. Более «крупные» векторы в математике, школьной программе и разработке практически не встречаются. В основном предстоит иметь дело с двумя координатами и осями XY.

Теоремы, связанные с условием компланарности трех векторов

Пусть нам даны три вектора $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$.

Теорема 2

Если один из трех данных векторов можно разложить по двум другим векторам, то есть

\

где $\alpha $ и $\beta $ — действительные числа, то векторы $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ являются компланарными векторами.

Доказательство.

Здесь возможны два случая.

1. Векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ — коллинеарные векторы. Но это условие неприменимо, если одна из координат вектора приравнивается нулю.

   В этом случае компланарность векторов $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ очевидна.

2. Векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ не являются коллинеарными.

   Так как вектор $\overrightarrow{c}$ имеет свое разложение по двум неколлинеарным векторам $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$. Значит эти векторы попадают под условие теоремы 1, и, следовательно, векторы $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ лежат в одной плоскости, то есть являются компланарными.

Теорема доказана.

Теорема 3

Если три вектора $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ являются компланарными, а векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ не являются коллинеарными, то вектор $\overrightarrow{c}$ можно единственным образом разложить по векторам $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b},$ то есть

\

Доказательство.

Так как векторы $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$ компланарны, то значит в произвольной плоскости $\gamma $, которой параллельны эти векторы, можно построить векторы $\overrightarrow{a’}=\overrightarrow{a},$ $\overrightarrow{b’}=\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c’}=\overrightarrow{c}$. Так как векторы $\overrightarrow{a}\ и\ \ \overrightarrow{b}$ не коллинеарны, то и векторы $\overrightarrow{a’}$ и $\overrightarrow{b’}$ не коллинеарны, тогда, по теореме 1, вектор $\overrightarrow{c’}$ можно разложить по векторам $\overrightarrow{a’}$ и $\overrightarrow{b’}$ следующим образом

\

Причем это разложение единственно.

Следовательно

\

Которое также единственно.

Теорема доказана.

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора  и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор  от конца вектора :

Суммой векторов  и  является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов  представляет собой вектор результирующего перемещения  с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация:  (векторы сонаправлены) или  (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора  на число  является такой вектор , длина которого равна , причём векторы   и  сонаправлены при  и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель  отрицательный,  то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах  или , то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора  в два раза меньше длины вектора . Если множитель  по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в  раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например,. Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно  коллинеарны

Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы  сонаправлены. Векторы  и  также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

!!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении  и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе

В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами: и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами: В частности, наш вектор  можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора  называется длина отрезка . Длина нулевого вектора  равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда :)).

Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

Линии второго порядка

3.1. Алгебраическая линия и её порядок3.2. Классификация линий второго порядка3.3. Эллипс3.3.1. Каноническое уравнение эллипса. Как построить эллипс?3.3.2. Определение эллипса. Фокусы эллипса3.3.3. Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл3.3.4. Поворот и параллельный перенос эллипса3.4. Гипербола3.4.1. Каноническое уравнение и построение гиперболы3.4.2. Определение гиперболы3.4.3. Фокусы и эксцентриситет гиперболы3.4.4. Равносторонняя гипербола3.4.5. Поворот и параллельный перенос гиперболы3.5. Парабола3.5.1. Построение, уравнение, определение, фокусы, директриса, эксцентриситет3.5.2. Поворот и параллельный перенос параболы3.6. Неравенства с линиями второго порядка3.7. Задачи с линиями второго порядка3.7.1. Директрисы эллипса3.7.2. Директрисы гиперболы3.8. Приведение уравнения к каноническому виду3.8.1. Приведение уравнения центральной линии. Метод инвариантов3.8.2. Приведение уравнения нецентральной линии3.8.3. Универсальный метод приведения

Понятие компланарности векторов

Для начала рассмотрим, какие вектора называются компланарными.

Определение 1

Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.

Рассмотри, компланарны ли векторы a, b и c на следующем примере. Пусть нам даны три вектора $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$. Тогда

1. Пары векторов $\overrightarrow{a_1},\ и\ \overrightarrow{a_2}$, $\overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ и $\overrightarrow{a_1}$ и $\overrightarrow{a_3}$ компланарны между собой.

2. Если два из этих векторов, к примеру $\overrightarrow{a_1},\ и\ \overrightarrow{a_2}$, коллинеарны, то векторы $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ компланарны.

3. Если $\overrightarrow{a_1},\ \overrightarrow{a_2}$ и $\overrightarrow{a_3}$ лежат в одной плоскости, то они компланарны.

Получи помощь с рефератом от ИИ-шки

ИИ ответит за 2 минуты

Для дальнейшего рассмотрения напомним следующую теорему.

Теорема 1

Произвольный вектор $\overrightarrow{p}$ можно разложить по двум неколлинеарным векторам $\overrightarrow{a_1},\ $ и $\overrightarrow{a_2}$ с единственными коэффициентами разложения, то есть

\

Линейные операции над геометрическими векторами

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число
называется вектор, получающийся из вектора растяжением
(при ) или сжатием (при )
в раз, причём направление вектора
сохраняется, если ,
и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)

Из определения следует, что векторы и =
всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить «коллинеарны».) Справедливо и обратное утверждение:
если векторы и коллинеарны,
то они связаны отношением

.   (1)

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

Сложение и вычитание векторов

При сложении векторов нужно знать, что суммой векторов и
называется вектор , начало которого
совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора ,
при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . (Рис. 3)

Это определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n
свободных векторов . При сложении
нескольких векторов за их сумму принимают замыкающий вектор, начало которого
совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора. То есть, если к концу вектора
приложить начало вектора , а к концу вектора
— начало вектора и т.д. и, наконец, к концу вектора
— начало вектора , то
суммой этих векторов служит замыкающий вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора
, а конец — с концом последнего вектора . (Рис. 4)

Слагаемые называются составляющими вектора , а
сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

При умножении вектора на число -1 получается противоположный вектор
.
Векторы и имеют одинаковые длины и противоположные направления.
Их сумма даёт нулевой вектор,
длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора
вектор
означает прибавить к вектору противоположный вектор
, т.е.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности,
также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед
вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и
служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а).
Выразить через и
векторы , ,
и ,
являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам.
Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости
от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат —
требуемые в условии задачи векторы:

Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость»
и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится
операция сложения.

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Даны векторы
и
. Построить на
чертеже векторы 1) ,
2) ,
3) ,
4) .

Пример 4. Даны векторы
и
. Построить на
чертеже векторы 1) ,
2) ,
3) ,
4) .

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как
предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача
вроде следующей:

Даны длины векторов
и длина суммы этих векторов .
Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в
уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов».

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе
онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)».

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».

Общие сведения

Под вектором в математике принято понимать линию, которая имеет начало и конец. Иными словами, это отрезок. При этом имеет значение его направление, то есть знание начальной точки и конечной. Расположение векторов в пространстве или на плоскости определяется их координатами. Они соответствуют проекциям отрезка на координатные оси.

Над отрезками можно выполнять различные действия. Их можно между собой складывать или вычитать, умножать на произвольное число, находить произведение. Последнее может быть скалярным или смешанным. Немаловажным параметром является и длина вектора. Находят её путём вычитания из конечных координат начальных. Если векторов несколько, то на их базе строят геометрические фигуры, с помощью которых находят нужные параметры.

Все векторы разделяют по расположению в пространстве на следующие виды:

1. Единичные — длина отрезка равняется единице. Их принято называть нулевыми, так как конец и начало имеет одну и ту же координату. При этом длина вектора и модуль равны между собой.
2. Коллинеарные — векторы, располагающиеся на одной прямой или параллельные друг другу.
3. Сонаправленные — отрезки с одинаковым направлением.
4. Противоположные — векторы, направленные навстречу друг другу.
5. Компланарные — это линии, параллельные одной плоскости или на ней располагающиеся. При этом так как относительно двух любых векторов будет всегда существовать такая плоскость, то, по сути, они всегда являются компланарными. Отсюда следует, что некомпланарными могут быть только три и более отрезков.
6. Равные — это отрезки, которые не только являются коллинеарными, но ещё имеют и одинаковые длины.

Изображение геометрической проекции отрезков на координатных осях называют расположением по базису. За него чаще всего выбирают координатные орды. При исследовании свойств вначале выполняют графическое изображение, а после переходят к алгебраическому расчёту. Это очень удобно и применяется повсюду.

Как писать и изображать векторы

В разных дисциплинах вектор представляют по-разному, но общая суть похожа. Вектор — это стрелка, линия, описанная математически. Его записывают по-разному:

· имя в виде буквы, над которой изображена линия или стрелка, а после имени — скобки, где через запятую перечислены хранящиеся числа. Например, v(v1, v2, v3… vn);

· набор чисел в столбик, заключенный в круглые или квадратные скобки;

· особые готические буквы.

Кроме того, вектор можно нарисовать. Его рисуют как стрелку определенной длины и направления: они зависят от наполнения самого вектора.

Сейчас расскажем подробнее, как вектор изображают в разных дисциплинах.

Профессия / 24 месяца
Data Scientist

Дата-сайентисты решают поистине амбициозные задачи. Научитесь создавать искусственный интеллект, обучать нейронные сети, менять мир и при этом хорошо зарабатывать. Программа рассчитана на новичков и плавно введет вас в Data Science.

Data Scientist

Физика. В физике вектор «висит» в пространстве и не привязан жестко к какой-то системе координат. Он может демонстрировать реальные явления: как двигается предмет, как падает луч света или распространяется приложенная сила. Подвиньте чашку на столе: отрезок от ее начальной точки до конечной — вектор. Сила, которую вы для этого приложили, — тоже вектор. Соответственно, на физических схемах векторы рисуют как стрелки — например, от той точки, где начался какой-то процесс, к той, где он закончился. С их же помощью обозначают интенсивность и направление сил, действующих на объект.

Математика. В математике вектор обычно привязывают к системе координат. Например, для вектора из двух чисел подойдет обычная двумерная система, которой мы пользовались в школе. Там стрелка начинается в точке и заканчивается в точке , где x и y — числа, хранящиеся в векторе. Получается, что числа описывают и длину, и направление стрелки.

Соответственно, вектор из трех чисел описывается как линия в трехмерной, объемной системе, а если чисел больше — в многомерной. Многомерные системы графически уже не изобразишь, но их можно представить математически, и с ними в том числе работают ученые разных отраслей.

IT. В науке о данных, машинном обучении и других направлениях IT векторы изображают немного иначе. Тут их проще представлять как структуру данных, где хранится определенное количество чисел, — что-то вроде упорядоченного массива.

Более специфичное представление векторов зависит от отрасли. Например, в геймдеве могут использоваться понятия из физики, а в компьютерной графике — из геометрии. Но это только общие примеры. В реальности использование, как мы уже говорили, намного шире.