Метод координат

Проекция на ось координат

Определить координаты отрезка возможно различными способами. Один из них — использование проекции. Другими словами, изображаются в координатных плоскостях начало и конец вектора, которые соединяются прямой линией. Откладывать расположение точек нужно в соответствии с используемым масштабом. После с помощью перпендикулярных координатным осям линий на них переносят расположение начала и конца вектора, то есть как бы проецируют отрезок на оси.

При этом если направление перенесённого вектор совпадает с направлением оси, то проекция обозначается со знаком плюс, если же оно противоположное — со знаком минус. Обозначают перенос отрезков символом ПР. Существуют несколько свойств, характерных для проекции:

1. Если в плоскости находится два и более отрезка, равных между собой, то их проекции на одну и ту же ось будут одинаковыми.
2. Два отличающихся на величину m отрезка при проецировании будут равными, если проекцию одного из них увеличить или уменьшить на это число: ПР (mAB) = mПР (AB).
3. Проекция отрезка AB на ось P может быть определена как произведение ограниченной линии на косинус угла между ней и направлением оси в положительную сторону от этой оси: ПР (АB) = |AB| * cos (AB;P).
4. Проекция, полученная сложением двух отрезков на произвольно выбранную ось, равняется сумме перенесённых векторов на эту же ось.
5. Серединой проекции называют равноудалённое расстояние от двух концов отрезка, перенесённого на координатную ось. Определяется она как (A + B) / 2. При этом всегда совпадает с действительной серединой вектора.

Если отрезок располагается перпендикулярно оси, то его проекцией будет точка. Для декартовой системы координат в записи вектора на одном из мест будет стоять ноль. Например, AB (0; 1) или AB (-3; 0). Для задания направления в пространстве применяют так называемый единичный вектор.

Другими словами, он является отрезком нормирования пространства и обозначает масштаб проекции. Его выбирают в качестве базисного вектора, что заметно помогает упростить расчёты. Для того чтобы его вычислить, необходимо вектор разделить на длину: e = AB / | AB |. Такая операция называется нормированием.

Линейные операции над геометрическими векторами

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число
называется вектор, получающийся из вектора растяжением
(при ) или сжатием (при )
в раз, причём направление вектора
сохраняется, если ,
и меняется на противоположное, если . (Рис. 2)

Из определения следует, что векторы и =
всегда расположены на одной или на параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. (Можно говорить также, что эти векторы параллельны, однако в векторной алгебре принято говорить «коллинеарны».) Справедливо и обратное утверждение:
если векторы и коллинеарны,
то они связаны отношением

.   (1)

Следовательно, равенство (1) выражает условие коллинеарности двух векторов.

Сложение и вычитание векторов

При сложении векторов нужно знать, что суммой векторов и
называется вектор , начало которого
совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора ,
при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . (Рис. 3)

Это определение может быть распределено на любое конечное число векторов. Пусть в пространстве даны n
свободных векторов . При сложении
нескольких векторов за их сумму принимают замыкающий вектор, начало которого
совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего вектора. То есть, если к концу вектора
приложить начало вектора , а к концу вектора
— начало вектора и т.д. и, наконец, к концу вектора
— начало вектора , то
суммой этих векторов служит замыкающий вектор , начало которого совпадает с началом первого вектора
, а конец — с концом последнего вектора . (Рис. 4)

Слагаемые называются составляющими вектора , а
сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.

При умножении вектора на число -1 получается противоположный вектор
.
Векторы и имеют одинаковые длины и противоположные направления.
Их сумма даёт нулевой вектор,
длина которого равна нулю. Направление нулевого вектора не определено.

В векторной алгебре нет необходимости рассматривать отдельно операцию вычитания: вычесть из вектора
вектор
означает прибавить к вектору противоположный вектор
, т.е.

Пример 1. Упростить выражение:

.

Решение:

,

то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности,
также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед
вычислением произведений векторов.

Пример 2. Векторы и
служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а).
Выразить через и
векторы , ,
и ,
являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам.
Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости
от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат —
требуемые в условии задачи векторы:

Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость»
и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится
операция сложения.

Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Даны векторы
и
. Построить на
чертеже векторы 1) ,
2) ,
3) ,
4) .

Пример 4. Даны векторы
и
. Построить на
чертеже векторы 1) ,
2) ,
3) ,
4) .

Как найти длину суммы векторов?

Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как
предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача
вроде следующей:

Даны длины векторов
и длина суммы этих векторов .
Найти длину разности этих векторов .

Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в
уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов».

А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе
онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)».

А где произведения векторов?

Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».

Прямая на плоскости

2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом2.2. Общее уравнение прямой2.2.1. Общее уравнение и направляющий вектор прямой2.2.2. Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?2.2.3. Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой?2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?2.2.5. Нормальный вектор прямой2.2.6. Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали?2.3. Уравнение прямой в отрезках2.4. Параметрические уравнениЯ прямой2.5. Простейшие задачи с прямой на плоскости2.5.1. Взаимное расположение двух прямых2.5.2. Как найти прямую, параллельную данной?2.5.3. Как найти точку пересечения прямых?2.5.4. Как найти прямую, перпендикулярную данной?2.5.5. Как вычислить расстояние от точки до прямой.
Как найти точку, симметричную относительно прямой?2.5.6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?2.5.7. Как найти угол между прямыми?2.5.8. Как найти проекцию вектора на прямую?2.6. Линейные неравенства2.7. Системы линейных неравенств2.8. Как научиться решать задачи по геометрии?2.9. Типовая задача с треугольником

Линии второго порядка

3.1. Алгебраическая линия и её порядок3.2. Классификация линий второго порядка3.3. Эллипс3.3.1. Каноническое уравнение эллипса. Как построить эллипс?3.3.2. Определение эллипса. Фокусы эллипса3.3.3. Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл3.3.4. Поворот и параллельный перенос эллипса3.4. Гипербола3.4.1. Каноническое уравнение и построение гиперболы3.4.2. Определение гиперболы3.4.3. Фокусы и эксцентриситет гиперболы3.4.4. Равносторонняя гипербола3.4.5. Поворот и параллельный перенос гиперболы3.5. Парабола3.5.1. Построение, уравнение, определение, фокусы, директриса, эксцентриситет3.5.2. Поворот и параллельный перенос параболы3.6. Неравенства с линиями второго порядка3.7. Задачи с линиями второго порядка3.7.1. Директрисы эллипса3.7.2. Директрисы гиперболы3.8. Приведение уравнения к каноническому виду3.8.1. Приведение уравнения центральной линии. Метод инвариантов3.8.2. Приведение уравнения нецентральной линии3.8.3. Универсальный метод приведения

Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца

Перед тем, как ввести данную задачу напомним понятие радиус вектора данной точки.

Определение 1

Пусть точка $M$ дана в заданной системе координат с началом в точке $O$. Тогда вектор $\overrightarrow{OM}$ называется радиус-вектором для точки $M$.

Напомним, что при этом, если $M=\{x,y\}$ в данной системе координат, то вектор $\overrightarrow{OM}=\{x,y\}$ в этой системе координат.

Статья: Простейшие задачи в координатах

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Пример 1

Даны точки $A$ и $B$ имеющие координаты $\left\{x_1,\ y_1\right\}$ и $\{x_2,\ y_2\}$ соответственно. Найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}.$

Решение.

Рассмотрим рисунок по данной задаче (Рис. 1).

Рисунок 1. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

По определению разности двух векторов, имеем

\

Следовательно,

\

Ответ: $\overrightarrow{AB}=\{x_2-x_1,\ y_2-y_1\}$.

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Пример 1

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (-7,3) и В (2,4). Необходимо найти координаты середины отрезка АВ.

Решение 

Обозначим середину отрезка AB точкой C. Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B.

xC=xA+xB2=-7+22=-52yC=yA+yB2=3+42=72

Ответ: координаты середины отрезка АВ-52, 72.

Пример 2

Исходные данные: известны координаты треугольника АВС А (-1,), В (3,2), С (9,-8). Необходимо найти длину медианы АМ.

Решение

1. По условию задачи AM – медиана, а значит M является точкой середины отрезка BC. В первую очередь найдем координаты середины отрезка BC, т.е. точки M:

xM=xB+xC2=3+92=6yM=yB+yC2=2+(-8)2=-3

1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы АМ:

AM=(6-(-1))2+(-3-)2=58

Ответ: 58

Пример 3

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Заданы координаты точки C1(1, 1, ), а также определена точка M, являющаяся серединой диагонали BD1 и имеющая координаты M (4, 2, -4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка АС1. Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: xM=xA+xC12 ⇒xA=2·xM-xC1=2·4-1+7yM=yA+yC12⇒yA=2·yM-yC1=2·2-1=3zM=zA+zC12⇒zA=2·zM-zC1=2·(-4)-=-8

Ответ: координаты точки А (7,3,-8).

Всё ещё сложно?
Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Решение задач

от 1 дня / от 150 р.

Курсовая работа

от 5 дней / от 1800 р.

Реферат

от 1 дня / от 700 р.

Метод координат (продвинутый уровень)

Мы с тобой продолжаем изучать метод координат. В прошлой части мы вывели ряд важных формул, которые позволяют:

• Находить координаты вектора;
• Находить длину вектора (альтернативно: расстояние между двумя точками);
• Складывать, вычитать векторы. Умножать их на вещественное число;
• Находить середину отрезка;
• Вычислять скалярное произведение векторов;
• Находить угол между векторами.

Конечно, в эти 6 пунктов не укладывается весь координатный метод.

Он лежит в основе такой науки, как аналитическая геометрия, с которой тебе предстоит познакомиться в ВУЗе. Я лишь хочу построить фундамент, который позволит тебе решать задачи ЕГЭ любого уровня сложности!

Этот раздел будет посвящен методу решения тех задач, в которых будет разумно перейти к методу координат. Эта разумность определяется тем, что в задаче требуется найти, и какая фигура дана.

Теорема

Координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конца.

Доказательство

Пусть $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}$.

Докажем, что $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$ и $\overrightarrow{OM_2}=y\vec{j}$.

В самом деле, если $x>0$, то $x=|OM_1|$, а векторы $\overrightarrow{OM_1}$ и $\vec{i}$ сонаправлены.

Поэтому $\overrightarrow{OM_1}=|OM_1|\cdot \vec{i}=x\vec{i}$.

Если $x<0$, то $x=-|OM_1|$, а векторы $\overrightarrow{OM_1}$ и $\vec{i}$ противоположно направлены.

Поэтому $\overrightarrow{OM_1}=-|OM_1|\vec{i}=x\vec{i}$.

Наконец, если $x=0$, то $\overrightarrow{OM_1}=\vec{0}$ и равенство $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$ в этом случае также справедливо.

Таким образом, в любом случае $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}$.

Аналогично доказывается, что $\overrightarrow{OM_2}=y\vec{j}$.

Следовательно, $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}=x\vec{i}+y\vec{j}$.

Отсюда следует, что координаты радиус-вектора $\overrightarrow{OM}$ равны $(x;y)$, то есть равны соответствующим координатам точки $M$.

Теорема о модуле вектора

Для любого вектора $\vec{a}(x_1;y_1)$ его модуль вычисляется по формуле $|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$.

Доказательство

Если $x=0$ или $y=0$, то формула очевидна.

Пусть $x\neq0$ и $y\neq0$.

Отложим от начала координат вектор $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ и проведем через точку $A$
перпендикуляры $AA_1$ и $AA_2$ к осям $Ox$ и $Oy$.

Координаты точки $A$ равны координатам вектора $\overrightarrow{OA}$, то есть $(x;y)$. Поэтому $|OA_1|=|x|, |AA_1|=|OA_2|=|y|$.

По теореме Пифагора $|OA|=\sqrt{|OA_1|^2+|AA_1|^2}=\sqrt{x^2+y^2}$.

Таким образом $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Расстояние между двумя точками на координатной плоскости

Давай рассмотрим теперь следующую задачу: у нас есть две точки на координатной плоскости. Как найти расстояние между ними?

Пусть первая точка будет \( {{P}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}})\), а вторая \( {{P}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\).

Обозначим расстояние между ними через \( d\). Давай сделаем для наглядности следующий чертеж:

Что я сделал?

Я, во-первых, соединил точки \( {{P}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\) и \( {{P}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\).

А также из точки \( {{P}_{1}}\) провел линию, параллельную оси \( Ox\), а из точки \( {{P}_{2}}\) провел линию, параллельную оси \( Oy\).

Они пересеклись в точке \( R\), образовав при этом замечательную фигуру. Чем она замечательна?

Да мы с тобой почти что все знаем про прямоугольный треугольник. Ну уж теорему Пифагора – точно!

Искомый отрезок – это гипотенуза этого треугольника, а отрезки \( {{P}_{1}}R,~{{P}_{2}}R\) – катеты.

Чему равны координаты точки \( R\)?

Да, их несложно найти по картинке: \( R\left( {{x}_{2}},{{y}_{1}} \right).~\)

Так как отрезки \( {{P}_{1}}R,~{{P}_{2}}R\) параллельны осям \( Ox\) и \( Oy\) соответственно, то их длины легко найти: если обозначить длины отрезков \( {{P}_{1}}R,~{{P}_{2}}R\) соответственно через \( \left| {{P}_{1}}R\left| ,~ \right|{{P}_{2}}R \right|\), то\( \left| {{P}_{1}}R \right|={{x}_{2}}-{{x}_{1}}\)\( \left| {{P}_{2}}R \right|={{y}_{2}}-{{y}_{1}}\)Теперь воспользуемся теоремой Пифагора. Длины катетов нам известны, гипотенузу мы найдем:

Легко заметить, что расстояние между точками не зависит от направления.

Тогда:

Отсюда делаем три вывода:

• Длина вектора = корень из суммы квадратов его координат;
• Найти расстояние между двумя точками = найти длину вектора, их соединяющего (в любом направлении);
• Длины векторов, соединяющих две точки в разном направлении, равны.

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами и ), будет следующей:

Пример

Для прямой системы координат, найти длину вектора \( \overrightarrow{AB}\) , где A(1,√3) B(-3,1)

Решение

Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:

Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:

Ответ:

Пример

Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,\(λ^2\))

Решение

В первую очередь представим длину вектора в виде формулы.

\( \left|\vec{AB}\right|=\sqrt{\left ( b_x-a_x \right )^2+ \left ( b_y-a_y \right )^2 + \left ( b_z-a_z \right )^2}\)

\(=\sqrt{\left ( 5-0 \right )^2+ \left ( 2-1 \right )^2 + \left ( \lambda^2 -2\right )^2} = \sqrt{26 + \left ( \lambda^2 -2\right )^2}\)

Теперь приравняем полученное выражение к корню из тридцати и найдём неизвестное значение, решив полученное уравнение.

\( \sqrt{26+\left(\lambda^2-2\right)^2}=\sqrt{30} \)

\( 26+\left(\lambda^2-2\right)^2=30 \)

\( \left(\lambda^2-2\right)^2=4 \)

\( \lambda^2-2=2 \) или \( \lambda^2-2=-2 \) \( \lambda_1=-2, \lambda_2=2, \lambda_3=0. \)

Ответ: \( \lambda_1=-2, \lambda_2=2, \lambda_3=0. \)

Координаты середины отрезка

За­да­ча 1. Ко­ор­ди­на­ты се­ре­ди­ны от­рез­ка.

Дано: от­ре­зок АВ; ; ; С – се­ре­ди­на АВ.

Найти: ко­ор­ди­на­ты точки .

Ре­ше­ние (рис. 1):

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

По­стро­им век­то­ры ,  и .

Най­дем век­тор :

Дру­гим путем:

.

Сло­жим:

Так как С – се­ре­ди­на от­рез­ка и век­то­ры  и  про­ти­во­на­прав­ле­ны, то , сле­до­ва­тель­но .

Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ра 

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки , ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки .

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра   сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки , сле­до­ва­тель­но

Длина вектора (в чем измеряется, как посчитать)

Длину вектора (его модуль) обозначают так:

( left| vec{a} right| ) – длина вектора ( vec{a} ).

Как вычислить длину вектора по его координатам

Когда известны координаты вектора, его длину считают так:

( a_{x} ) и ( a_{y} ) — это числа, координаты вектора ( vec{a} )

Для двухмерного вектора:

Для трехмерного вектора:

Как вычислить длину вектора с помощью рисунка

Если вектор нарисован на клетчатой бумаге, длину считаем так:

Если вектор лежит на линиях клеточек тетради:— считаем количество клеточек.

Зная масштаб клеток, легко получить длину вектора – умножаем масштаб на количество клеток.

Если вектор не лежит вдоль линий:— проводим вертикаль и горизонталь пунктиром.

( Delta x ) — горизонталь; ( Delta y ) — вертикаль;— затем применяем формулу:

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора  и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор  от конца вектора :

Суммой векторов  и  является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов  представляет собой вектор результирующего перемещения  с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор  отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация:  (векторы сонаправлены) или  (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора  на число  является такой вектор , длина которого равна , причём векторы   и  сонаправлены при  и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель  отрицательный,  то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах  или , то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора  в два раза меньше длины вектора . Если множитель  по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в  раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например,. Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно  коллинеарны

Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы  сонаправлены. Векторы  и  также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Взаимосвязь координат векторов и его начала и конца

На координатной плоскости любые две точки можно соединить друг с другом. В результате получается отрезок. Если же дополнительно указано, какая из этих точек – начало отрезка, а какая – конец, то в итоге мы уже имеем вектор. Попробуем определить, есть ли связь между координатами вектора и координатами (можно использовать сокращение коор-ты) его граничных точек.

Пусть в прямоугольной системе координат отмечены точки А (х_А;у_А) и В(х_B;у_B).Тогда можно задать вектор АВ. Также построим ещё два вспомогательных вектора ОА и ОВ, начинающиеся в точке О – начале коор-т:

Вектора ОВ и ОА – это радиус-векторы (так как их начало находится в начале координат), поэтому их коор-ты ОВ и ОА совпадают с коор-тами их концов (В и А соответственно):

Итак, зная коор-ты граничных точек вектора, можно найти и координаты данного вектора:

Например, если вектор начинается в точке А (2; 1), а заканчивается в точке В (6; 3), то коор-ты вектора АВ можно определить так:

Задание. Начало вектора находится в точке М, а конец – в точке К. Определите его коор-ты, если:

а) М(2; 7) и К(6; 8);

б) М(5; 1) и К(2; 10);

в) М(0; и К(9; -5).

Решение. Из коор-т К мы просто вычитаем соответствующие коор-ты М, и в итоге определяем коор-ты вектора:

Задание. От точки H (8; 15) отложили вектор m{5; – 6}. Каковы координаты конца этого вектора?

Решение. Обозначим интересующие нас коор-ты как (х_к; у_к). Для вектора, начинающегося в точке (8; 15) и заканчивающегося в точке (х_к; у_к), коор-ты можно вычислить так:

x = x_k — 8

y = y_k — 15

Однако нам даны координаты вектора, то есть величины х и у, поэтому мы можем записать:

5 = x_k — 8

-6 = y_k — 15

Оба равенства представляет собой уравнения, которые можно решить:

5 = x_k — 8

x_k = 5 + 8 = 13

-6 = y_k — 15

y_k = -6 + 15 = 9

В итоге получили, что конец вектора находится в точке (13; 9).

Ответ:(13; 9).

Формулы координат середины отрезка

Даже неподготовленные читатели могут помнить, как разделить отрезок пополам. Задача деления отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении. Двуручная пила работает самым демократичным образом, и каждому соседу за партой достаётся по одинаковой палке:
В этот торжественный час стучат барабаны, приветствуя знаменательную пропорцию . И общие формулы  чудесным образом преображаются в нечто знакомое  и простое:

Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить:

В общих формулах такой роскошный номер, как понимаете, не проходит. Да и здесь в нём нет особой надобности, так, приятная мелочь.

Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы отрезка , то координаты его середины  выражаются формулами:

Пример 7

Параллелограмм  задан координатами своих вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.

Решение: Желающие могут выполнить чертёж. Граффити особенно рекомендую тем, кто капитально забыл школьный курс геометрии.

По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения  делятся пополам, поэтому задачу можно решить двумя способами.

Способ первый: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :

В результате:

Способ второй: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :

Таким образом:

Ответ:

Пространственный отрезок для самостоятельного решения:

Пример 8

Даны точки . Найти середину  отрезка .

Вычисления не самые простые получились, числа с ходу придумал. Решение в конце урока.

Как видите, задача деления отрезка пополам настолько прозрачна, что доступна и пятикласснику. На практике середину отрезка чаще всего находят, чтобы составить уравнение медианы треугольника. Но это уже тема другой статьи

Не вижу смысла открывать трёхлитровую банку примеров, поэтому заключительный аккорд урока – случай, когда известна середина отрезка и один из его концов:

Пример 9

Точка  делит отрезок  пополам. Найти точку , если известны точки

Решение: Используем формулы координат середины отрезка:

Нам неизвестны координаты . И снова можно вывести общую формулу для их нахождения, но гораздо легче сразу подставить числа. Только пропорциями верти:

Ответ:

Проверка выполняется даже устно: берём концы отрезка  и находим его середину.

Удачного распила!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: а) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении:Ответб) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении:Ответ

Пример 4: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении:Из условия следует, что .

Примечание: формулировка условия «отрезок  в полтора раза короче отрезка » эквивалентна формулировке «отрезок  в полтора раза длиннее отрезка », именно из этих соображений и составлена пропорция.

По условию , таким образом:Ответ

Пример 6: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении:В данной задаче .Таким образом:Ответ

Пример 8:  Решение: Используем формулы координат середины отрезка:Ответ

(Переход на главную страницу)

Плоскость и прямая в пространстве

5.1. Плоскость и её уравнение5.1.1. Понятие плоскости5.1.2. Общее уравнение плоскости5.1.3. Линейные неравенства в пространстве5.1.4. Как построить плоскость?5.1.5. Уравнение плоскости в отрезках5.2. Как составить уравнение плоскости?5.2.1. Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам5.2.2. Как составить уравнение плоскости по трём точкам?5.2.3. Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)5.2.4. Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?5.3. Простейшие задачи с плоскостью5.3.1. Как найти плоскость, параллельную данной?5.3.2. Как найти расстояние от точки до плоскости?5.3.3. Как найти расстояние между плоскостями?5.3.4. Взаимное расположение двух плоскостей5.3.5. Как найти угол между плоскостями?5.3.6. Как найти плоскость, перпендикулярную данной?5.3.7. Взаимное расположение трёх плоскостей5.4. УравнениЯ прямой в пространстве5.4.1. Канонические уравнения прямой5.4.2. Как составить уравнения прямой по двум точкам?5.4.3. Параметрические уравнения прямой5.4.4. Прямая, заданная пересечением двух плоскостей5.5. Задачи с прямой в пространстве5.5.1. Взаимное расположение прямых5.5.2. Скрещивающиеся прямые5.5.3. Как найти прямую, содержащую общий перпендикуляр?5.5.4. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?5.5.5. Пересекающиеся прямые в пространстве5.5.6. Как найти прямую, перпендикулярную данной?5.5.7. Как найти расстояние от точки до прямой?5.5.8. Как найти точку, симметричную относительно прямой?5.5.9. Как найти угол между прямыми?5.5.10. Параллельные прямые в пространстве5.6. Основные задачи с прямой и плоскостью5.6.1. Взаимное расположение прямой и плоскости5.6.2. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?5.6.3. Как найти проекцию прямой на плоскость?5.6.4. Как найти угол между прямой и плоскостью?5.6.5. Прямая перпендикулярна плоскости5.6.6. Прямая параллельна плоскости5.6.7. Добро пожаловать в «реальные боевые условия»!5.7. Задача с треугольной пирамидой

Примеры решения задач

В своём большинстве задачи на поиск длины вектора по координатам или просто вычисление расположения отрезка в плоскости не представляет труда. Но эти действия нужно уметь выполнять, так как проекции очень часто используются при рассмотрении различных физических процессов.

Есть типовые задачи, дающиеся в седьмом классе средней школы для самостоятельной работы. Проработав их и научившись находить ответ, можно будет утверждать о знании темы. Вот один из вариантов примеров разной сложности:

1. В пространстве расположены две точки. Одна из них имеет координаты А (4, -3, 2), а другая B (0, 4, -9). Определить значения отрезка, полученного соединением этих точек. Рассмотреть оба варианта направления. Для решения поставленной задачи нужно вспомнить правило и просто вычесть из вторых координат соответствующие им первые. Когда А является началом отрезка, получим: AB = (0 — 4; 4 + 3; 0 — 4) = (-4; 7; -4). Для второго случая координаты будут следующими: BA = (4 — 0; -3 — 4; 2 + 9) = (4; -7; 11). Пример решён.
2. Найти координаты точки C отрезка СK (3,1), если координаты второй точки K (1, -2). Алгоритм решения такого задания строится на обратном. Необходимо будет из величин, определяющих отрезок, вычесть значения первой точки. По отношению к оси ординаты: CKx = Kx — Cx; Cx = Kx — CKx = 1 — 3 = -2. Относительно оси абсциссы: CKy = Ky — Cy; Cy = Ky — CKy = -2 — 1 = -3. Получается, что точка С имеет координаты (-2, -3).

Вот задача посложнее. Имеются две точки на плоскости. Первая имеет координаты L (1, 5), а вторая J (2, 7). Нужно найти длину соединяющего их отрезка. Для наглядности можно нарисовать чертёж, на которой изобразить эти две точки и объединяющую их прямую. Затем из этих координат нужно провести два перпендикуляра, таким образом, чтобы они пересеклись. Место их пересечения нужно как-то обозначить. Пусть это будет буква T.

Посмотрев на рисунок, можно заметить, что полученная фигура есть не что иное, как прямоугольный треугольник. Получается, что отрезки LT и JT— это катеты. Поэтому нужно лишь найти их длины по модулю и применить теорему Пифагора. Осюда, длина: |LT| = x2 — x1 = 7 — 5 = 2, |JT| = 2 — 1 =1. Исходя из формулы для нахождения гипотенузы, искомая длина будет равняться: d = √ LT 2 + JT 2 = √ 22 + 12 = √5.