Кинематика - основные определения и формулы

Система отсчёта

Рассмотрение перемещений, осуществляемых материальной точкой, выполняется относительно других тел, находящихся в состоянии покоя. Телом отсчёта называется тело, относительно которого рассматривается анализируемое механическое движение. Выбор тела отсчёта осуществляется произвольно в зависимости от задания стоящего перед исследователем.

К выбранному телу отсчёта привязывается соответствующая система координат, предполагающая наличие точки отсчёта или центра координат. Такая система, как правило, обладает в зависимости от характера движения одной, двумя или тремя осями. Положение точки находящейся на линии (1 ось), на плоскости (2 оси) или в пространстве (3 оси) описывается соответственно по средствам 1-й, 2-х или 3-х координат.

Для определения пространственного положения тела в любой промежуток времени требуется определение момента начала временного отсчёта. Таким образом, система отсчёта представляет собой комплекс, включающий в себя систему координат со связанной с ней точкой отсчёта и устройство, способное произвести замер времени.

Движение тела рассматривается по отношению к этой системе координат. Координаты одной и той же точки в отношении разных тел отсчёта, обладающих отличными друг от друга системами координат, в большинстве случаев совершенно разные. Траектория движения также в немалой степени влияет на выбор системы отсчёта.

По своей сути могут быть совершенно разные системы отсчёта, к примеру: подвижные и неподвижные системы, инерционные и неинерционные системы координат.

§1. Описание положения тела в пространстве

1.8 Механическое движение. Закон движения

Окружающий нас мир не является застывшим, в нем постоянно происходят всевозможные изменения — «все течет, все изменяется», и нет необходимости убеждать кого-либо в этой очевидной истине. Простейшим видом изменений, происходящих в окружающем нас мире, является изменение положений тел в пространстве, механическое движение.

Механическим движением называется изменение положений тел в пространстве с течением времени.

При движении материальной точки она описывает в пространстве некоторую линию. Для описания движения можно попытаться найти эту линию, а затем описывать положение точки на этой ней. Для этого можно, например, задать зависимость пройденного пути от времени движения.

Линия, вдоль которой движется материальная точка, называется траекторией движения.

Путь, пройденный точкой равен длине участка траектории между двумя последовательными положениями тела.

Однако определение траектории движения часто представляет собой отдельную и достаточно сложную задачу, поэтому часто оказывается более простым и удобным описывать механическое движение иным способом.

Мы уже знаем, что положение тела в пространстве описывается с помощью координат. Если положение тела изменяется, то изменяются и его координаты, они становятся зависящими от времени, становятся функциями времени.

Зависимость всех координат тела от времени называется законом движения.

Таким образом, закон движения определяет положение тела в любой произвольный момент времени. Математическим выражением закона движения является набор функций — зависимостей координат от времени. Таким образом, нам необходимо дополнить рассмотренную систему координат прибором для измерения времени — часами. Дальше такой набор — системы координат и часов мы будем называть системой отсчета. Как всякая функция закон движения может быть представлен в нескольких формах — в виде таблицы, в виде графика, в виде формулы.

Подчеркнем, что закон движения полностью описывает движение, дает исчерпывающую информацию о движении, зная его можно найти любую характеристику движения. Однако, задача физики, заключается не только в том чтобы просто описать наблюдаемое движение, более важная задача — научиться предсказывать движение, рассчитывать его, строить его модели, создавать условия, для того чтобы получить движение требуемого вида. Для успешного решения таких проблем нам необходимо ввести и изучить некоторые характеристики механического движения (скорость, ускорение и т.д.), которые позволяют теоретически находить законы движения.

Перемещение и описание движения

Система отсчёта используется для того, чтобы определить положение тела в пространстве в некоторый момент времени. В случае когда тело движется, возникает задача вычисления его координат в некоторые моменты времени.

ПРОЕКЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ НА КООРДИНАТНЫЕ ОСИ

Если известен вектор перемещения тела, то при расчетах, как правило, используют не координаты вектора, как такового, а его проекции на оси координат. Если опустить перпендикуляры из начала и конца вектора перемещения s на координатную ось X, то получится отрезок s_x, который называют проекцией перемещения. При этом проекция вектора на ось считается положительной, если координата конца вектора перемещения оказывается больше координаты его начала. В противном случае проекция считается отрицательной.

Если вектор и ось параллельны, то длина вектора равна его проекции на эту ось.

При решении многих задач необходимо уметь находить проекции вектора перемещения на координатные оси. Если (х; у) и (х; у) — координаты начала и конца вектора, то его проекции на оси абсцисс и ординат будут равны соответственно

s_x = x – x, (1)s_y = y – y

Зная проекции вектора перемещения, можно найти его длину (модуль) по теореме Пифагора:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ДВИЖУЩЕГОСЯ ТЕЛА И ЕГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Если тело движется прямолинейно, то траектория его движения совпадает с перемещением. При этом пройденный телом путь равен значению модуля вектора перемещения.

А как описать движение тела в более сложном случае? На рисунке представлен график движения самолёта. Сначала он набирал высоту, двигаясь из точки А в точку В, затем двигался на одной и той же высоте (до точки С) и, наконец, приземлился в точке D. На какой высоте проходил полёт? Высоте полёта соответствуют координаты по оси OY, значит, в точке В самолёт набрал высоту 3 км.

Теперь ответим на вопрос: какой путь проделал самолёт на этой высоте? Проекция перемещения s_2x = 80 — 20 = 60 км.

Так как всё это время самолёт двигался параллельно оси ОХ, длина вектора перемещения равна его проекции на эту ось. Следовательно, модуль перемещения самолёта из точки В в точку С равен 60 км. Этому же значению равен и путь самолёта из точки В в точку С.

И наконец, определим дальность полёта самолёта. Для этого нам надо найти модуль перемещения самолёта из точки А в точку D: |s| = s_x = 100 — 0 = 100 км.

Таким образом, при помощи перемещения и его проекций мы описали сложное движение самолёта.

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ И СКОРОСТЬ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ

Так как при прямолинейном движении пройденный телом путь равен значению модуля вектора перемещения, мы можем сказать, что скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную величину, равную отношению перемещения тела ко времени, за которое это перемещение произошло. При равномерном прямолинейном движении векторы скорости и перемещения направлены в одну сторону. Зная скорость равномерного движения, можно найти перемещение тела за любой промежуток времени:

Поскольку скорость υ является векторной величиной, её тоже можно изобразить графически. Обозначим её проекцию на координатную ось υ_x. Если направление координатной оси совпадает с направлением движения тела, то для расчёта перемещения тела можно использовать формулу

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

Уравнение зависимости координаты тела от времени называют уравнением движения.

Пусть тело совершило перемещение s. Направим координатную ось X по направлению перемещения тела. Обозначим начальную координату тела х, а конечную координату тела х. Тогда по формуле (1) s_x = х – х.

Но по формуле (3) s_x = υ_xt. Следовательно,

Таким образом, координату тела при равномерном прямолинейном движении в любой момент времени можно определить, если известны его начальная координата и проекция скорости движения на ось X.

Ранее при решении задач мы использовали формулу s = υt без стрелочек. Почему? Символом s здесь обозначался путь, пройденный телом, а символом и — модуль скорости. Теперь нам известно, что при равномерном прямолинейном движении путь равен модулю перемещения. Поэтому если нас не интересует направление движения тела, а необходимо только найти его путь, то эта формула поможет нам найти решение.

Вы смотрели Конспект по физике для 8 класса «Перемещение и описание движения».

Вернуться к Списку конспектов по физике (Оглавление).

Основная задача механики

Основной задачей механики является описание механического движения тел, то есть установление закона движения (уравнения движения) тела на основе его характеристик (координат, перемещения, длины пройденного пути, угла поворота, скорости, ускорения и т.д.). Иными словами, если с помощью составленного закона (уравнения) движения можно определить положение тела в любой момент времени, то основная задача механики считается решенной.

Итак, основной задачей механики является определение положения тела в пространстве в любой момент времени. Рассмотрим способы определения положения тела. Чтобы фиксировать изменение положения тела в пространстве, необходимо установить, относительно чего происходит именно это изменение. Систему отсчета в кинематике выбирают, руководствуясь лишь соображениями удобства для математического описания движения.

Уравнение, устанавливающее зависимость координат материальной точки от времени, называется уравнением (законом) движения. В трехмерной системе отсчета уравнения движения математически записывают так: х = x (t), у = y (t), z = z (t).

Исследовать движение тела (изменение его положения в пространстве с течением времени) можно и по его траектории. Траектория материальной точки — непрерывная воображаемая линия, которую описывает точка во время своего движения в выбранной системе отсчета.

По траектории движения легко определить путь, пройденный телом. Для этого необходимо измерить длину траектории между начальным положением тела и положением тела в выбранный момент времени.

Путь, l — физическая величина, равная длине траектории, которую описывает точка при движении. Единицей пути является метр: 1 м. Путь — величина скалярная.

Если известно, где находится тело в начале движения, его траектория и пройденный путь, то можно определить, где будет тело в конце движения.

Если траектория движения неизвестна, и не имеет значения, по какой именно траектории движется тело, а важно определить изменение положения тела в пространстве с течением времени, тогда пользуются понятиями «радиус-вектор» и «перемещение». Радиус-вектор r точки — это вектор, соединяющий начало отсчета с этой точкой

Радиус-вектор r точки — это вектор, соединяющий начало отсчета с этой точкой.

1r_o∆t2

Перемещение s — вектор, соединяющий начальное положение точки с ее положением в выбранный момент времени. Как видно из рисунка, вектор перемещения s, проведенный из начальной точки 1 в конечную 2, равен приросту радиус-вектора:

Модуль вектора перемещения обозначают |s|, или просто s. Единицей перемещения является метр: 1 м.

Проекция вектора на ось будет положительной, если угол ϕ острый, и отрицательной, если угол ϕ тупой, и равна нулю, если ϕ прямой (вектор перпендикулярен к оси).

Вектор перемещения тела можно определить по его координатам. Пусть тело находится на плоскости в точке 1, координаты которой х₁ и y₁. За определенный интервал времени тело переместилось в точку 2, координаты которой х₂ и у₂. Из рисунка видно, что модуль и направление вектора перемещения s могут быть определены через разности координат ∆x = x₂ – x₁ и ∆y = y₂ – y₁ .
Модуль вектора перемещения

Направление вектора перемещения относительно координатной оси X определяется тангенсом угла наклона вектора:

Таким образом, определить положение движущегося тела относительно выбранной системы отсчета можно тремя способами: координатным, векторным и траекторных (естественным). Координатным способом положение движущегося тела в пространстве можно определить, если известен закон изменения координат со временем:

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Векторным способом положения движущегося тела в пространстве можно определить по его радиусу-вектору r(t). Траекторных (естественным) способом положения тела определяется по пройденному пути вдоль траектории l = l(t). Этот способ применим, когда траектория движения известна.

Иногда можно записать формулу, которая связывает координаты точки при движении на плоскости — зависимость х = f(y). Эта формула называется уравнением траектории. Отметим, что можно рассматривать движение не только между начальным и конечным положениями тела, но и в любой момент времени его движения.

Ускорение

Ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

В проекциях на ось ОХ:

где an — нормальное ускорение, at — тангенциальное ускорение.

Тангенциальное ускорение сонаправлено с вектором линейной скорости, a значит, направлено вдоль касательной к кривой:

Нормальное ускорение перпендикулярно направлению вектора линейной скорости, а значит, и касательной к кривой:

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости, а скорость — векторная величина, которая имеет модуль (числовое значение) и направление.

Важно!

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости. Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения направления скорости.

Виды механического движения

Однако не все движения можно описать законами механики. Например, движение одной молекулы можно описать законами механического движения, а движение их совокупности в веществе описывается уже другими — статистическими законами. Движение тела со скоростью, близкой к скорости света,
описывается законами релятивистской механики. Движение и взаимодействие элементарных частиц микромира описывают в квантовой механике.

Законы механического движения, которые мы будем изучать в этой статье, распространяются на тела макро- и мегамиров, движущихся со скоростями, намного меньшими скорости света. Механические движения тел могут быть разнообразными и сложными. На рисунке ниже показаны примеры поступательного, вращательного и колебательного движений.

Примеры движений: а — поступательное,б — вращательное, в — колебательное

В природе, как правило, тела одновременно осуществляют несколько движений. Например, Земля вращается вокруг собственной оси, вокруг Солнца, и вместе с Солнцем движется по направлению к звезде Вега.

Обратите внимание, в этом случае мы Землю рассматривали как материальную точку. Так можно идеализировать движение, если размеры и форма тела в рассматриваемом движении не существенные и ими можно пренебречь

В дальнейшем, если нет специальных оговорок, употребляя слово тело, следует иметь в виду, что его можно рассматривать как материальную точку.

Скорость и ускорение

Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло

А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.

Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.

В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду

Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.

Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.

Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории

Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.

Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.

Разновидности движения

Поступательное движение — автоматическое перемещение твердого тела, при этом любой этап прямой, четко связанный с движущейся точкой, остается синхронным своему изначальному положению.

Важной характеристикой движения тела считается её траектория, представляющая пространственную кривую, которую можно показать в виде сопряженных дуг разного радиуса, исходящего каждый из своего центра. Различного для любых точек тела положение, которого может изменяться с течением времени

Поступательно двигается кабина лифта или кабинка колеса обозрения. Поступательное движение проходит в 3-х мерном пространстве, но его главная отличительная черта — сохранение параллельности всякого отрезка самому себе, остается в силе.

Период обозначаем буквой $T$. Чтобы найти период обращения, надо время вращения разделить на число оборотов: $\frac{\delta t}{N} = {T}$

Вращательное движение — материальная точка описывает круг. При вращательном процессе совершенно твёрдого тела все его точки описывают круг, которые находятся в параллельных плоскостях. Центры этих окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называются осью вращения.

Ось вращения может быть расположена внутри тела и за ним. Ось вращения в системе бывает подвижной и неподвижной. Например, в системе отсчёта, соединенной с Землей, ось вращения ротора генератора на станции недвижна.

Иногда ось вращения получает сложное вращательное движение — сферическое, когда точки тела двигаются по сферам. Точка передвигается вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тела или вращающуюся материальную точку, такое движение называется круговым.

Характеристики прямолинейного движения: перемещение, скорость, ускорение. Становятся их аналогами при вращательном движении: угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение:

роль передвижения во вращательном процессе имеет угол;
величина угла поворота за единицу времени является угловой скоростью;
изменение угловой скорости в промежуток времени — это угловое ускорение.

Колебательное движение

Выполнение периодических перемещений в двух противоположных друг другу направлениях называется колебательным движением. Процесс колебаний, происходящих в замкнутых системах, именуется колебаниями собственными или независимыми. Колебательные движения, вызываемые под воздействием сил приложенных из вне, являются колебаниями вынужденными.

Использование для анализа колебаний изменяемых показателей, таких как частота, амплитуда, период и др. позволило разделить их на колебания гармоничные, затухающие и нарастающие. Кроме этого они могут быть сложными, прямоугольными, пилообразными.

В случае свободных колебаний происходящих в действительных системах неизбежно происходят потери энергии. Затраты энергии связаны с преодолением сил сопротивления воздуха и сил трения снижающих амплитуду колебаний и способных окончательно их прекратить по прошествии некоторого времени.

Вынужденные колебания не являются затухающими по причине постоянного восполнения потерь энергии, происходящего на протяжении всего времени колебаний. Это осуществляется путём периодического воздействия на тело силой разной величины. Частота вынужденных колебаний пропорциональна изменениям, прилагаемой внешней силы.

Максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний достигается при совпадении их частоты с собственной частотой колебательной системы. Данный процесс называется резонансом.

К примеру, амплитуда раскачивания каната будет постоянно увеличиваться в случае периодического подталкивания его в такт с его собственными колебаниями.

Тело, размерами которого можно в определённых условиях пренебречь, называется материальной точкой.

Рассматриваемый выше автомобиль может быть принят в качестве материальной точки, если его рассматривать в сравнении с Землёй. Однако пренебречь размерами машины невозможно в случае рассмотрения перемещения людей, находящихся внутри неё.

Задачи, решаемые в физике, подразумевают расценивание движения, выполняемого телом, как движение, осуществляемое материальной точкой, применяя для анализа такого движения такие понятия как скорость, ускорение, инерция материальной точки и т.д.

Не нашли ответ?
Просто напиши,с чем тебе нужна помощь

Мне нужна помощь