Насколько полезен решебник к учебнику Мордковича?
Споры касательно применения электронных справочников ведутся уже давно. Но школьники обычно в них не участвуют, так как прекрасно понимают незаменимость и актуальность этих пособий. Готовые решения по алгебре за 8 класс к учебнику(задачнику) Мордковича А. Г. позволяют им полноценно освоить все аспекты учебного материала, восполнить пробелы и проработать проблемные моменты, не затрачивая на это много времени и сил.
Конечно, достигнуть хороших результатов можно только при определенных условиях:
- никогда нельзя забывать про изучение теории, даже если ее в учебнике самый минимум;
- домашние задания всегда нужно выполнять самостоятельно, без подсказок;
- сверяя решения по сборнику, стоит помнить о внимательности;
- если найдены ошибки, их необходимо не только исправить, но и понять, почему они возникли.
Только такой подход гарантирует успешное освоение дисциплины. Однако у учеников всегда присутствует соблазн просто списать ответы. Принесет ли им это пользу? Безусловно, пару-тройку хороших оценок они получат, но что дальше? Преподаватель рано или поздно заметит обман и придется нагонять программу, которая стремительно несется вперед. К тому же, доверие учителя уже будет потеряно, что может положить конец отличной успеваемости. Так что рисковать явно не стоит.
Примеры нахождения корней уравнения с помощью дискриминанта
Пример 1
Решим уравнение: 4x^2+5x-5=0
Находим дискриминант: D=25-4 \cdot 4 \cdot (-5)=25+80=105
Корни: \displaystyle x_1=\frac{-5-\sqrt{105}}{2\cdot 4}, \displaystyle x_2=\frac{-5+\sqrt{105}}{2\cdot 4} или\displaystyle x_1=\frac{-5-\sqrt{105}}{8}, \displaystyle x_2=\frac{-5+\sqrt{105}}{8}
Пример 2
Сколько корней в данном уравнении 2x^2-3x+6=0?
Для ответа на этот вопрос необходимо найти дискриминант:
D=3^2-4 \cdot 2 \cdot 6=9-48=-39D<0 — действительных корней нет.</p> <h3>Пример 3</h3> <p>x^2-6x-72=0 — найти корень.D=b^2-4ac=(-6)^2-4 \cdot (-72)=36+288=324
Так как , имеем два корня:
\displaystyle x_1=\frac{6-\sqrt{324}}{2}, x_2=\frac{6+\sqrt{324}}{2}\displaystyle x_1=\frac{6-18}{2}=-6, x_2=\frac{6+18}{2}=12
Пример 4
Решить неполное уравнение
x^2-4=0
Разложим левую часть по формуле разность квадратов:
(x-2)(x+2)=0
Тогда корни:
x_1=-2, x_2=2
Способ 2
Решим задачу с помощью дискриминанта: , тогда \displaystyle x_1=\sqrt{D}/2=\sqrt{16}/2=4/2=2,
\displaystyle x_2=-\sqrt{D}/2=-\sqrt{16}/2=-4/2=-2
Пример 5
Придумайте такое квадратное уравнение, в котором будет нулевой дискриминант.
Решение:
Так как формула дискриминанта: D=b^2-4ac, то выберем любые коэффициенты и , а найдем, если приравняем D=b^2-4ac к нулю.
Пусть , a , тогда \displaystyle D=4^2-4\cdot 7\cdot c=0 4^2-4\cdot 7\cdot c=0 16-28c=0 -28c=-16 Разделим левую и правую части на -4.
7c=4 \displaystyle c=\frac{4}{7}
И, получаем: \displaystyle 7x^2+4x+\frac{4}{7}=0
Ответ: \displaystyle 7x^2+4x+\frac{4}{7}=0
Определение
Определим что такое дискриминант и зачем он нужен в математике, а также как его рассчитать.
Пример вычисления дискриминанта:
Вычислим дискриминант в уравнении 6x^2+4x+2=0 .
По формуле находим:
D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 6 \cdot 2=16-48=-32
Мы получили отрицательный дискриминант, значит, данное уравнение не имеет действительных корней. Действительно, так как корни квадратного уравнения находят по формулам:
\displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} и \displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
Подставим значения для исходного уравнения:
\displaystyle x_1=\frac{-4-\sqrt{-32}}{12} и \displaystyle x_2=\frac{-4+\sqrt{-32}}{12}
Как видим, мы никак не сможем посчитать корни — у нас отрицательное число под знаком радикала. И, действительно, если вы построите график функции f (x)=6x^2+4x+2 — он нигде не пересечет ось , то есть ни при каком мы не получим ноль.
График функции
Корни квадратного уравнения через дискриминант.
Полное квадратное уравнение
Пусть нам дано уравнение вида ax^2+bx+c=0. Вычисляем дискриминант по известной формуле. Затем определяем корни уравнения.
- Если D>0 получаем два вещественных корня \displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} и \displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.
- Если D=0 корни будут совпадать: \displaystyle x_1=x_2=\frac{-b}{2a}
- Если D
Неполное квадратное уравнение
Неполным называется такое квадратное уравнение, когда один из коэффициентов такого уравнения равен нулю.
- Пусть коэффициент a=0, тогда уравнение сводится к линейному уравнению вида kx+b=0 и уже не будет считаться неполным.
- Если равны нулю два коэффициента: и , тогда . Решением такого уравнения будет: .
- Если равен нулю коэффициент b, то имеем D=-4ac и \displaystyle x_1= \frac{\sqrt{D}}{2a} и \displaystyle x_2= -\frac{\sqrt{D}}{2a}.
- При равенстве нулю свободного члена c=0 имеем D=b^2 и \displaystyle x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} и \displaystyle x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.
Приведенное квадратное уравнение
Приведенным квадратным уравнением называется такое уравнение вида , в котором старший коэффициент равен a=1. Оно решается обычно по теореме Виета.
Дискриминант находится по формуле: .
Если второй коэффициент кратен 2
Если коэффициент b можно разделить на 2 (с четным вторым коэффициентом), то тогда вычисляется не полный дискриминант, а \displaystyle \frac{D}{4} по формуле:
\displaystyle \frac{D}{4}=\left ( \frac{b}{2} \right)^2-ac,
а корни: \displaystyle x_1=\frac{-\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{D}{4}}}{a} и второй корень \displaystyle x_2=\frac{-\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{D}{4}}}{a}.
Чем порадует учеников алгебра в 8 классе?
Школьники все надеются, что программа обучения станет немного более понятной и простой. Особенно это касается алгебры — предмета со всех сторон весьма непростого. Но в восьмом классе их надеждам тоже не суждено сбыться. Мало того, что материал предстоит учить весьма обширный, количество домашних заданий увеличится, так еще добавится подготовка к предстоящим вскоре ОГЭ. Чтобы справиться со всем этим, учащимся стоит воспользоваться «ГДЗ по Алгебре 8 класс Учебник Мордкович (Мнемозина, 2021 г.)».
Школьникам в этом году предстоит изучать такие сложные темы как:
- Действия с алгебраическими дробями.
- Преобразование рациональных уравнений.
- Теория вероятности.
- Модуль числа.
- Линейные и квадратные неравенства.
- Комбинаторность, и т.д.
Больше всего трудностей возникает при построении графиков функций, которые перед этим нужно найти. Подобрать правильное уравнение весьма непросто, особенно если нет понимания, как именно это делается. Как показывает практика, многие ученики испытывают проблемы именно при решении неравенств. У подростков часто нет времени сидеть и детально изучать в чем именно прослеживается недочет. Этого можно сразу и не понять, если раньше были упущены какие-то навыки. Поэтому решебник станет отличным вариантом для устранения всех возникающих недопониманий.
Решебник — уникальное учебное пособие
У каждого ребенка свои таланты. Одним хорошо даются точные науки, другим — гуманитарные. Но практически все школьники испытывают трудности при освоении алгебры. Лишь единицы подростков легко ориентируются в материале, формулах и уравнениях. Остальным же требуется дополнительная помощь. Оказать ее могут подробные решения по алгебре 8 класс Мордковича.
В справочнике размещены все необходимые сведения, которые помогут усвоить изучаемый параграф:
- верные ответы на все номера;
- доскональные решения;
- подробные наглядные примеры;
- дополнительные примечания.
Сборник создан группой профессиональных методистов, которые максимально подробно описали все действия, что нужно совершить ученикам, чтобы получить правильные результаты. Периодически сверяясь с решебником восьмиклассники получают возможность удостовериться в своей правоте, либо проработать недочеты.
