Алгебра 8 мордкович (упр. 36.1

Глава 2. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 6. Квадратное уравнение. Виды квадратных уравнений

Упражнение

6.16.26.36.46.56.66.76.86.96.106.116.126.136.146.156.166.176.186.196.206.216.226.236.246.256.266.276.286.296.306.316.32

§ 7. Решение квадратных уравнений

Упражнение

7.17.27.37.47.57.67.77.87.9

7.107.117.127.137.147.157.167.177.187.197.207.217.227.237.247.257.267.277.287.297.307.317.327.337.347.357.367.377.387.397.407.41

§ 8. Теорема Виета

Упражнение

8.18.28.38.48.58.68.78.88.98.108.118.128.138.148.158.168.178.188.198.208.218.228.238.248.258.278.288.29

8.308.318.328.338.348.358.368.378.388.398.408.418.428.438.448.458.478.48

§ 9. Квадратный трехчлен

Упражнение

9.19.29.39.49.59.69.79.89.99.109.119.129.139.149.159.169.179.189.199.209.219.229.239.249.259.269.279.289.299.309.319.329.339.349.359.369.379.389.399.40

§ 10. Дробно-рациональные уравнения

Упражнение

10.110.2

10.310.410.510.610.710.810.910.1010.1110.1210.1310.1410.1510.1610.1710.1810.1910.2010.2110.2210.2310.2410.2510.2610.2710.2810.2910.3010.3110.3210.3310.3410.3510.3610.3710.3810.3910.4010.4110.4210.4310.4410.4510.4610.4710.48

§11. Уравнения, приводящиеся к квадратным уравнениям

Упражнение

11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.14

11.1511.1611.1711.1811.1911.2011.2111.2211.2311.2411.2511.2611.2711.2811.2911.3011.3111.3211.3311.3411.3511.3611.3711.3811.3911.4011.4111.42

Упражнение

12.112.212.312.412.512.612.712.812.912.1012.1112.1212.1312.1412.1512.1612.1712.1812.1912.2012.2112.2212.2312.2412.2512.2612.2712.2812.2912.3012.3212.33

12.3412.35

Решение неравенств с одной переменной

Неравенство 5x – 11 > 3 при одних значениях переменной х обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, если вместо х подставить число 4, то получится верное неравенство 5 • 4 – 11 > 3, а если подставить число 2, то получится неравенство 5 • 2 – 11 > 3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5x – 11 > 3 или удовлетворяет этому неравенству. Нетрудно проверить, что решениями неравенства являются, например, числа 100, 180, 1000. Числа 2; 0,5; -5 не являются решениями этого неравенства.

Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.

При решении неравенств используются следующие свойства:

1) Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.

2) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Например, неравенство

18 + 6x > 0 (1)

равносильно неравенству

бx > -18, (2)

а неравенство 6x > -18 равносильно неравенству x > -3.

Указанные свойства неравенств можно доказать, опираясь на свойства числовых неравенств.

Докажем, например, что равносильны неравенства (1) и (2). Пусть некоторое число а является решением неравенства (1), т. е. обращает его в верное числовое неравенство 18 + 6а > 0. Прибавив к обеим частям этого неравенства число -18, получим верное неравенство 18 + 6а – 18 > 0 – 18, т. е. 6а > -18, а это означает, что число а является решением неравенства (2).

Мы показали, что каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2). Аналогично доказывается, что каждое решение неравенства (2) служит решением неравенства (1). Таким образом, неравенства (1) и (2) имеют одни и те же решения, т. е. являются равносильными.

Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обоих свойств неравенств в общем виде.

Приведём примеры решения неравенств.

Пример 1. Решим неравенство 16x > 13x + 45.

Перенесём слагаемое 13л: с противоположным знаком в левую часть неравенства:

16x — 13x > 45.

Приведём подобные члены:

3x > 45.

Разделим обе части неравенства на 3:

х > 15.

Множество решений неравенства состоит из всех чисел, больших 15. Это множество представляет собой открытый числовой луч (15; +∞), изображённый на рисунке 42.

Ответ можно записать в виде числового промежутка (15; +∞) или в виде неравенства х > 15, задающего этот промежуток.

Пример 2. Решим неравенство 15х – 23 (х + 1) > 2х + 11.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

15x – 23x – 23 > 2х + 11.

Перенесём с противоположными знаками слагаемое 2х из правой части неравенства в левую, а слагаемое -23 из левой части в правую и приведём подобные члены:

15x – 23x – 2х > 11 + 23,-10x > 34.

Разделим обе части на -10, при этом изменим знак неравенства на противоположный:

Множество решений данного неравенства представляет собой открытый числовой луч (-∞; -3,4), изображённый на рисунке 43.

Ответ: (-∞;-3,4).

Продолжение >>>