§ как вынести из-под корня

Вынесение множителя из-под корня

Для понимания сути данного преобразования, необходимо сформулировать определение:

Вынесение множителя из-под корня – это замена подкоренного выражения на произведение. Например:

\{B^{n^{*}}} C=B * \sqrt{C}\], где n – нечётное число;

Если n – чётное число, то преобразование выглядит так:

\{B^{n^{*}} C}=\left.B\right|^{*} \sqrt{C}\]

Где B и C – другие числа выражения;

Имея квадратный корень, то есть n=2, вынесение множителя выглядит, как замена выражения \ на равное ему произведение \, проведя такое преобразование, мы освобождаем множитель By из-под корня.

Примеры

Вынесем множитель из-под корня \.

Решение:

В данном случае извлечь квадратный корень можно только из числа двадцать пять, что мы и сделаем.

Ответ:\

Преобразуем выражение:

Мы вынесли из-под корня выражение с переменным \, а не просто числовой множитель.

Эти примеры показывают вынесение множителя или целого выражения из-под квадратного корня. Однако подобное преобразование применимо и к корням в прочих степенях n.

Рассмотрим пример с кубическим корнем:

\{(4 * 2 a)^{3} * 2* a^{2}}=4 * a^{2} * \sqrt{2* a^{2}}\]

Преобразуем выражение с корнем в шестой степени в произведение, которое в перспективе упростим методом вынесения множителя:

\{\left(\frac{1}{4} *\left(x^{2}+y^{2}\right)\right)^{6} * 6 *\left(x^{2}+y^{2}\right)}\], проводим преобразование в произведение \{6 *\left(x^{2} * y^{2}\right)}\].

Выяснив, в чём заключается вынесение множителя из-под корня, перейдем к доказательству равенства полученного путем преобразования произведения исходному выражению.

Чем подкреплена возможность замены корня на произведение

Разберёмся, в чём заключена возможность этой замены, почему выражение \{B^{n} * C}\] равнозначно произведению \{C}\]. Обратимся к теоретическим положениям, а именно к правилам преобразования иррациональных чисел: если степень корня n, под которым находится выражение, определена нечётным числом, то такое выражение можно заменить на \{A} * \sqrt{B}\], а если чётным, то на \{|A|} * \sqrt{|B|}\]. В свою очередь, при нечетном n, \{A^{n}}\] позволяет упростить до A, а, при нечетном n – до \.

Зная свойства модуля и, используя вышеописанные результаты, выведем следующее:

если n четное, то: \{B^{n}} * C=\sqrt{B^{n}} * \sqrt{C}=B * \sqrt{C};\]
если n нечетное, то: \{B^{n} * C}=\sqrt{\mid B^{n}} | * \sqrt{|C|}=\sqrt{|B|^{n}} * \sqrt{C}=|B| * \sqrt{|C|}\].

Вынося множитель из-под корня, мы осуществляем преобразование, в основе которого лежат вышеописанные выражения. Вследствие этого можем вывести следующие формулы:

если n нечетное \{B_{1}^{n} * B_{2}^{n} * \ldots * B_{k}^{n} * C}=B_{1} * B_{2} * \ldots * B_{k} * \sqrt{C};\]

если n чётное:

\{B_{1}^{n} * B_{2}^{n} * \ldots * B_{k}^{n} * C}=\left|B_{1}\right|*\left|B_{2}\right|* \ldots *\left|B_{1 k}\right| * \sqrt{|C|}.\]

Данные формулы позволяют вынести несколько множителей из-под корня, а B₁и B₂могут быть, как числами, так и выражениями.

Алгебра

18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение множителя под знак корня

Сравним значения выражений и 6. Чтобы решить эту задачу, преобразуем . Представим число 50 в виде произведения 25 • 2 и применим теорему о корне из произведения. Получим

Так как 5 < 6, то < 6.

При решении задачи мы заменили произведением чисел 5 и . Такое преобразование называют вынесением множителя за знак корня.

Значения выражений и 6 можно сравнить иначе, представив произведение 6 в виде арифметического квадратного корня. Для этого число 6 заменим и выполним умножение корней.

Получим

Так как 50 < 72, то < . Значит,

< 6.

При решении задачи вторым способом мы заменили 6 выражением . Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня.

Пример 1. Вынесем множитель за знак корня в выражении .

Решение: Выражение имеет смысл лишь при а ≥ 0, так как если а < 0, то а7 < 0.

Представим подкоренное выражение а7 в виде произведения а6 • а, в котором множитель а6 является степенью с чётным показателем.

Тогда

Пример 2. Внесём множитель под знак корня в выражении — 4.

Решение: Отрицательный множитель — 4 нельзя представить в виде арифметического квадратного корня, и поэтому множитель — 4 нельзя внести под знак корня. Однако выражение — 4 можно преобразовать, внеся под знак корня положительный множитель 4:

Пример 3. Внесём множитель под знак корня в выражении a.

Решение: Множитель а может быть любым числом (положительным, нулём или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:

Упражнения

Вынесите множитель за знак корня:
Вынесите множитель за знак корня и упростите полученное выражение:
Вынесите множитель за знак корня:
Внесите множитель под знак корня:
Какое из выражений не имеет смысла?
Представьте выражение в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного:
Замените выражение арифметическим квадратным корнем или выражением, ему противоположным:
Сравните значения выражений:
Сравните значения выражений:
Расположите в порядке возрастания числа:
(Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства

Выясните, каким должно быть соотношение между числами а и b, чтобы было верно равенство , где а ∈ N и b ∈ N.

1) Возведите в квадрат обе части равенства.
2) Установите, каким должно быть соотношение между числами а и b.
3) Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.
(Для работы в парах.) Площадь треугольника S см2 со сторонами а см, b см и с см можно вычислить по формуле Герона:

где р — полупериметр треугольника.

Пользуясь калькулятором, найдите площадь треугольника, стороны которого равны:

а) 12 см, 16 см, 24 см;
б) 18 см, 22 см, 26 см.

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.
2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.
3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.
В школьной мастерской учащиеся за три дня переплели 144 книги. Сколько книг было переплетено в каждый из трёх дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на 12 книг больше, чем в первый, а в третий — числа книг, переплетённых в первый и во второй дни вместе?
Решите уравнение:

Вынесение множителя из-под корня – основное правило

В процессе решения примеров, требующих преобразования, часто применяется предварительное приведение подкоренного выражения к виду \. Учитывая этот момент, можно записать правило:

Вынесение множителя из подкоренного выражения \{A}\] необходимо предварительное приведение корня к виду \{B^{n} * C}\], после чего переходим к произведению, при нечетном n, \{C}\], а, при четном n \{|C|}\], если нужно, раскрыть модули.

Схематично решение подобных задач выглядит так:

\{A} \rightarrow \sqrt{B^{n} *} C \rightarrow \begin{aligned} &B* \sqrt{C,} \text { если } n-\text { нечетное } \\ &|B| * \sqrt{|C|}, \text { если } n-\text {чётное } \end{aligned}\]

В случае потребности выведения нескольких множителей, выполняем действия:

\{A} \rightarrow \sqrt{B_{1}^{n_{*}} B_{2}^{n} * \ldots \cdot B_{k}^{n} * C \rightarrow}\begin{aligned} &B_{1}* B_{2}* \ldots * B_{k}* \sqrt{C} \text {, если } n-\text { нечетное } \\ &\left.\left|B_{1}|*\right| B_{2}\right|* \ldots *\left|B_{k}\right| * \sqrt{|C|}, \text { если } n-\text { чётное } \end{aligned}\]

Задачи на вынесение множителя из подкоренного выражения

Задачи 1-2

Условие: необходимо вынести множитель из четырех подкоренных выражений: \{8} * \sqrt{4}, \sqrt{5 \frac{1}{16}}, \sqrt{(-0,4)^{7} * 11}, \sqrt{\sqrt{7}}\]

Решение:

Учитывая вид подкоренных выражений и показатели корней, запишем следующее:

Применим свойства корней: \{a b}=\sqrt{a} * \sqrt{b}\] \{8} * \sqrt{4}=\sqrt{8 * 4}=\sqrt{32}=2\]
Учитывая четный показатель корня и его свойства, преобразуем выражение: \{5 \frac{1}{16}}=\sqrt{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{2}\]
Учитывая нечётный показатель, используем соответствующее правило преобразования: \{(-0,4)^{7} * 11}=-0,4 * \sqrt{11}\] Или другой вариант расчета:\{(-0,4)^{7} * 11}=\sqrt{(-1)^{7} *(0,4)^{7} * 11}=\sqrt{(0,4)^{7} * 11}=-0,4 * \sqrt{11}\]
Учитывая свойство \{ \sqrt{a}}=\sqrt{a}\] (в том случае, если k больше 0) \{\sqrt{7}}=\sqrt{7}\]

Условие: необходимо преобразовать выражение \.

Решение:

Выведем из-под корня три множителя:

Ответ: \

Далее подробнее разберемся с подкоренным выражением, требующим предварительного преобразования.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая