Контрольные вопросы и задания к параграфу 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник макарычев (решебник)

Теорема Виета для решения квадратных уравнений

Теорема Виета — это еще один способ упростить решение полных квадратных уравнений. Ее очень часто используют для решения несложных квадратных уравнений в уме и для анализа квадратного многочлена, особенно это актуально в сложных заданиях с параметром в ЕГЭ.

Прежде чем сформулировать теорему Виета, познакомимся с приведенными квадратными уравнениями.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратные уравнения $ax^2+bx+c=0$, у которых коэффициент $a$ при $x^2$ равен $1$, называют приведенными.

Например:
$$x^2+4x-3=0;$$
$$x^2-140x-65=0;$$
Любое полное квадратное уравнение всегда можно свести к приведенному. Для этого надо поделить все уравнение на коэффициент $a$:

Пример 17
Привести квадратное уравнение к приведенному.
$$3x^2-15x+9=0;$$
Разделим уравнение на $a=3$. (Так можно делать: если левую и правую части уравнения поделить на одно и то же число, то корни уравнения от этого не изменятся.)
$$\frac{3x^2-15x+9}{3}=\frac{0}{3};$$
В результате каждое слагаемое поделится на $3$:
$$\frac{3x^2}{3}-\frac{15x}{3}+\frac{9}{3}=0;$$
$$x^2-5x+3=0;$$

Формулы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения $x^2+bx+c=0$ равна второму коэффициенту $b$ со знаком минус, а произведение корней равно свободному члену $c$.

Пусть $x_1$, и $x_2$ — корни квадратного уравнения $x^2+bx+c=0$, тогда справедливы формулы:
$$ \begin{cases}
x_1+x_2=-b; \\
x_1*x_2=c. \\
\end{cases}$$
На первый взгляд может показаться, что это очень запутанно, но на самом деле, теорема Виета часто помогает решить уравнение в уме. Попробуем на практике:

Пример 18
$$x^2+4x+3=0;$$
$$a=1 \quad b=4 \quad c=3.$$
Воспользуемся теоремой Виета и выпишем формулы:
$$ \begin{cases}
x_1+x_2=-b; \\
x_1*x_2=c. \\
\end{cases}$$
Подставим коэффициенты:
$$ \begin{cases}
x_1+x_2=-4; \\
x_1*x_2=3. \\
\end{cases}$$

Нужно найти такие $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют и первому, и второму уравнениям в системе. Подобрать корни достаточно просто: рассмотрим второе уравнение, какие два числа дают при умножении $3ку$?

Либо: $3=1*3$;
Либо: $3=(-1)*(-3)$.

Осталось проверить, будут ли найденные множители удовлетворять первому уравнению в системе, просто подставим их:
$$1+3 \neq -4;$$
$$-1+(-3) = -4;$$
Вот мы и нашли корни системы уравнений: $x_1=-1$ и $x_2=-3$. А самое главное, мы нашли корни исходного квадратного уравнения. Ответ: $x_1=-1 \quad и \quad x_2=-3.$

Если потренироваться, то все эти вычисления можно легко проводить в уме, если коэффициенты небольшие. Главное запомнить, что произведение корней должно быть равно свободному члену $c$, а сумма корней равна $(-b)$.

Теорема Виета, если $a\neq1$

По теореме Виета можно решать не только приведенные квадратные уравнения (у которых $a=1$). Но перед тем, как применять формулы Виета, надо привести уравнение к приведенному, поделив на первый коэффициент $a$:
$$ax^2+bx+c=0; \quad \mid :a$$
$$\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a};$$
$$x^2+\frac{b}{a}*x+\frac{c}{a};$$
Получили приведенное квадратное уравнение, для которого можно записать формулы Виета, где вторым коэффициентом будет $\frac{b}{a}$, а свободным членом $\frac{c}{a}$:
$$ \begin{cases}
x_1+x_2=-\frac{b}{a}; \\
x_1*x_2=\frac{c}{a}. \\
\end{cases}$$

Пример 19
$$12x^2+x-1=0;$$
$$a=12 \quad b=1 \quad c=-1.$$
Коэффициент $a=12 \neq 1$, поэтому разделим все уравнение на $a=12$:
$$12x^2+x-1=0; \quad \mid :12$$
$$x^2+\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}=0;$$
$$a=1 \quad b=\frac{1}{12} \quad c=-\frac{1}{12}.$$

Теорема Виета:
$$ \begin{cases}
x_1+x_2=-\frac{1}{12}; \\
x_1*x_2=-\frac{1}{12}. \\
\end{cases}$$

Подбираем корни:
$$x_1=-\frac{1}{3};$$
$$x_2=\frac{1}{4};$$

Ответ: $x_1=-\frac{1}{3} \quad и \quad x_2=\frac{1}{4}.$

Помогают ли ГДЗ ученикам?

Алгебра — один из самых важных предметов в школе. Именно он помогает сформировать у ребят логические и интеллектуальные способности. Однако эта дисциплина дается далеко не всем. Сложные формулы и уравнения часто вызывают у школьников недоумение, особенно, если на уроке были упущены пояснения учителя. Разобраться же в них самостоятельно обычно не представляется возможным, так как в учебнике очень сжато изложена теория. Это может привести к образованию пробелов. Чтобы не допускать такого, стоит воспользоваться изданием ГДЗ по алгебре 8 класс к учебнику Арефьевой, Пирютко (Народная асвета, 2018 г.).

С помощью вспомогательного пособия ученики смогут научиться:

Вычислять значения выражений и выполнять их преобразования.
Применять свойства квадратных корней в решениях.
Читать и записывать числовые промежутки.
Выводить формулы корней квадратного уравнения.
Раскладывать квадратный трехчлен на множители.
Определять промежутки знакопостоянства, монотонности квадратичной функции, и т.д.

Естественно, решебник не сможет полностью заменить мыслительную деятельность, но он способен значительно облегчить восприятие материала. Даже сильно отставшие от программы подростки без проблем поймут и запомнят пройденные темы. Систематические тренировки принесут учащимся много пользы.

ГДЗ — списывать или нет?

Конечно, для того чтобы овладеть необходимыми навыками нужно прилагать определенные усилия. К сожалению, многие школьники этого делать не хотят. Неудивительно, что практически у каждого второго ребенка наблюдаются проблемы с алгеброй. Выправлять ситуацию нужно сразу же, пока не стало слишком поздно. Списывание из решебника к учебнику по Алгебре 8 класс Арефьева И.Г., Пирютко О.Н. — тоже не выход, так как не принесет существенной пользы.

Как же тогда заниматься с пособием? Очень просто:

изначально необходимо все же ознакомиться с теорией, даже если ее и очень мало;
затем нужно самостоятельно, без подсказок выполнить домашние задания;
когда все сделано, то можно приступать к сверке результатов;
в случае обнаружения ошибок, стоит выяснить, почему именно они появились.

Придерживаясь вышеприведенного метода, можно не только качественно делать заданные упражнения, но и восполнять образовавшиеся пробелы

Самое важное, что ученики справятся с такими задачами сами. Им не потребуется помощь репетиторов или ходить на дополнительные курсы, что оставит больше времени для отдыха и личных увлечений

Что такое решебник?

Если работать с пособием правильно, то можно минимизировать все проблемные ситуации. Бытует мнение, что сборник ответов «Алгебра 8 класс Арефьева И.Г.» — это обычная шпаргалка, но это не так. Помимо верных ответов в сборнике имеются и другие сведения. Наличие подробных готовых решений, дополнительных комментариев, наглядных примеров — все это приравнивает онлайн-пособие к широко распространенным методичкам.

Обращают на себя внимание и другие характеристики решебника: