§ сложение и вычитание алгебраических дробей. приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Сложение, вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Основное свойство алгебраической дроби – Дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби одновременно умножать или делить на одно и то же. Хоть на многочлен, одночлен, число не 0, или на любое выражение.

Пример 4: Вычесть дроби$\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}$

Умножим числитель и знаменатель 1-ой дроби $\frac{3}{a+b}$на знаменатель второго $2a$: дробь не изменится.
Аналогично, во второй дроби $\frac{b-2}{2a}$на числитель первого $a+b$ : дробь останется прежным.
Идея: Эти дроби не изменятся, но знаменатели станут одинаковыми — как произведение прежных … общий знаменатель.
При этом числители каждой дроби приобретут свои дополнительные множители …. умножается на знаменатель другой дроби
$\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}=\frac{3\cdot\left}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}$Складываем по правилу …$\frac{3\cdot\left}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{3\cdot\left-\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}$
Аккуратно упрощаем полученный числитель:$\frac{6a-ab-b^2+2a+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a-ab-b^2+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}$
Шаги вычитания:$\frac{3}{a+b}-\frac{b-2}{2a}=\frac{3\cdot\left}{\left(a+b\right)\cdot2a}-\frac{\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{3\cdot\left-\left(b-2\right)\cdot\left}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{6a-ab-b^2+2a+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}=\frac{4a-ab-b^2+2b}{2a\cdot\left(a+b\right)}$

Правило:для нахождения общего знаменателя для дробей со знаменателями, не имеющими общих делителей: для нахождения общего знаменателя их следует просто перемножить .В таком случае дополнительным множителем для первой дроби будет знаменатель второй дроби, аналогично для второй дроби.

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A\cdot\left+C\cdot\left}{B\cdot D}$$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A\cdot\left-(C)\cdot\left}{B\cdot D}$

Это правило, как работало для случая обыкновенных дробей, так же работает для алгебраических и является универсальным для всех случаев нахождения общего знаменателя, даже, если у знаменателей есть общие делители. Просто в таком случае, применяя это правило, мы найдем не наименьший общий делитель, что не так оптимально для решения.

Напоминание о числовых дробях: Сложение, Вычитание, Сравнение.

Правило:Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;
сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби

Пример 1: Дроби: $\frac{2}{3}$и$\frac{3}{5}$.Сложить, Вычесть, Сравнить.

Сложение дробей:$\frac{2}{3} + \frac{3}{5}$ .
приведем дроби к наименьшему общему знаменателю15.
Сложим $\frac{2}{3}+\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5}{15}+\frac{3\cdot3}{15}=\frac{10}{15}+\frac{9}{15}=\frac{19}{15}=1\frac{4}{15}$
Вычитание дробей:$\frac{2}{3} — \frac{3}{5}$ .
$\frac{2}{3} -\frac{3}{5}= \frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{2\cdot5}{15}-\frac{3\cdot3}{15}=\frac{10}{15}-\frac{9}{15}=\frac{10-9}{15}=\frac{1}{15}$
Сравнение дробей:$\frac{2}{3}$и$\frac{3}{5}$.
первая дробь равна$\frac{10}{15}$, вторая$\frac{9}{15}$ .При одинаковых знаменателях у первой дроби числитель больше:
$\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$$\Rightarrow$$\frac{2}{3}>\frac{3}{5}$ .

Правило:привести дроби кнаименьшему общему знаменателю-значит выполнить следующее:

найтиН.О.Ких знаменателей. …(наименьшее число, которое делится на оба знаменателя!)
найти дополнительный множитель для каждой дроби по-отдельности: = ( Н.О.К ) : (его знаменатель) !
вычислить числитель новой дроби: =(старый числитель) * (свой дополнительный множитель ) .

Сложение, Вычитание алгебраических дробей: Одинаковые знаменатели

Правило: Сложение/вычитание дробей с одинаковыми знаменателями равен дроби с таким же знаменателем, а в числителе надо сложить/вычесть числители исходных дробей.

Общая форма для такого сложения/вычитания$\frac{A}{D}+\frac{B}{D}=\frac{A+B}{D}$$\frac{A}{D}-\frac{B}{D}=\frac{A-(B)}{D}$
Внимательно: при знаке «-» следует заключать в скобки $\frac{A}{D}-\frac{B-C}{D}=\frac{A-\left(B-C\right)}{D}$
Каждый числитель со своим знаком и в скобках: $\frac{A}{D}-\frac{B}{D}+\frac{C}{D}-\frac{K}{D}=+\frac{\left(A\right)-\left(B\right)+\left(C\right)-\left(K\right)}{D}$
Противоположные Знаменатели, надо «поменять знак»:$\frac{5}{y-4}-\frac{1}{4-y}=\frac{5}{y-4}-\frac{1}{-\left(y-4\right)}=\frac{5}{y-4}+\frac{1}{y-4}=\frac{\left(5\right)+\left(1\right)}{y-4}$

Пример 2: $\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{b-3a}$

Смотрим на знаменатели:$3a-b$и$b-3a$ . Противоположные! Нехитро меняем знак:$b-3a=-\left(3a-b\right)$
Поменяем знаменатель 3-ей дроби на противоположное:$\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{-\left(3a-b\right)}$
«Перебросим знак вперед»:$\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}-\frac{7}{3a-b}$- теперь, все знаменатели одинаковые.
Складываем числители:$\frac{\left(11-a\right)-\left(4-b\right)-\left(7\right)}{3a-b}$ — каждый в своей скобке и со своим знаком.
Раскрываем аккуратно скобки и упрощаем$=\frac{11-a-4+b-7}{3a-b}=\frac{b-a}{3a-b}$.Итого:
$\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{b-3a}=\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}+\frac{7}{-\left(3a-b\right)}=\frac{11-a}{3a-b}-\frac{4-b}{3a-b}-\frac{7}{3a-b}=\frac{\left(11-a\right)-\left(4-b\right)-\left(7\right)}{3a-b}=\frac{11-a-4+b-7}{3a-b}=\frac{b-a}{3a-b}$

Сложение, вычитание алгебраических дробей: Наименьший Общий Знаменатель

Пример 5: $\frac{3}{10c^5}+\frac{2}{15c^3}$

Нам нужно найти наименьший, наилучший общий знаменатель. Для поиска такого «заглянем внутрь» каждого знаменателя.
Разложим знаменатели $10c^5$и$15c^3$на множители:$10c^5=2\cdot5\cdot c^3\cdot c^2$ ,$15c^3=3\cdot5\cdot c^3$
Преобразуем знаменатели $\frac{3}{2\cdot5\cdot c^3\cdot c^2}+\frac{2}{3\cdot5\cdot c^3}$ . У каждого обнаружился множитель$5\cdot c^3$
Первый состоит из множителей$\left$и$5\cdot c^3$/$ .А второй состоит из множителей$3$и$5\cdot c^3$.
Сконструируем наименьшее общее:$(\left) \cdot (5\cdot c^3) \cdot (3) $- здесь учтен общее $5\cdot c^3$ один раз!
Если первую дробь, его числитель и знаменатель умножить на дополнительный множитель $3$, то получится нужный знаменатель.
Аналогично, если во второй дроби умножать на дополнительный множитель $\left$, то и у нее будет такой же знаменатель.
Сложим дроби с общим знаменателем:$\frac{3\cdot\left+2\cdot\left}{2c^2\cdot3\cdot5c^3}$ — числители умножены на свои дополнительные множители.
Упростим:$\frac{3}{10c^5}+\frac{2}{15c^3}=\frac{3}{2\cdot5\cdot c^3\cdot c^2}+\frac{2}{3\cdot5\cdot c^3}=\frac{3\cdot\left+2\cdot\left}{2c^2\cdot3\cdot5c^3}=\frac{9+4c^2}{30c^5}$

Правило:Приведение к наименьшему общему знаменателю .

$\frac{A}{B\cdot M}+\frac{C}{D\cdot M}=\frac{A\cdot\left+C\cdot\left}{B\cdot D\cdot M}$$\frac{A}{B\cdot M}-\frac{C}{D\cdot M}=\frac{A\cdot\left-C\cdot\left}{B\cdot D\cdot M}$

Разложить знаменатели каждой дроби на множители.($B\cdot M$и$D\cdot M$)
Собрать все общие множители ($M$), в каждом знаменателе общий множитель отделить от других множителей: ($B$и $D$)
Сконструировать наименьший общий знаменатель как произведения множителей каждого … общее:$B\cdot D\cdot M$
… при этом общий множитель($M$)учитывать лишь один раз!
Дополнительными множителями для каждой дроби будет _недостающие до общего_ множители:($D$ и $B$)

Дополнительный множитель – результат деления общего знаменателя на знаменатель соответствующей дроби. В школе обычно учат писать их над числителями соответствующих дробей, отделяя от них своеобразными «палочками». Полезнее писать в «особых скобках».

Пример 6: упростить$\frac{x^2}{x^2-6xy+9y^2}-\frac{x+3y}{2x-6y}$

Разложим знаменатели:$x^2-6xy+9y^2$ — по формуле квадрата разности; $2x-6y$ — вынесем множитель $2$ за скобки.
$\frac{x^2}{x^2-6xy+9y^2}-\frac{x+3y}{2x-6y}=\frac{x^2}{\left(x-3y\right)^2}-\frac{x+3y}{2\left(x-3y\right)}$ — знаменатели представлены множителями.
Используем формулу сложения с НОК: $\frac{A}{B\cdot M}-\frac{C}{D\cdot M}=\frac{A\cdot\left-C\cdot\left}{B\cdot D\cdot M}$ Общий множитель$M=x-3y$ ;
Кроме общего, у 1-го еще$B=x-3y$, у 2-го $D=2$ ;Наименьший знаменатель: $B\cdot D\cdot M=\left(x-3y\right)\cdot\left(2\right)\cdot\left(x-3y\right)$
Реализуем:$\frac{x^2}{\left(x-3y\right)^2}-\frac{x+3y}{2\left(x-3y\right)}=\frac{x^2\cdot\left-\left(x+3y\right)\left}{\left(x-3y\right)\cdot\left(2\right)\cdot\left(x-3y\right)}$
Упростим, в числителе используем формулу разности квадратов: $\frac{2x^2-\left(x^2-9y^2\right)}{2\left(x-3y\right)^2}=\frac{x^2+9y^2}{2\left(x-3y\right)^2}$
Итого:$\frac{x^2}{x^2-6xy+9y^2}-\frac{x+3y}{2x-6y}=\frac{x^2}{\left(x-3y\right)^2}-\frac{x+3y}{2\left(x-3y\right)}=\frac{x^2\cdot\left-\left(x+3y\right)\left}{\left(x-3y\right)\cdot\left(2\right)\cdot\left(x-3y\right)}=\frac{2x^2-\left(x^2-9y^2\right)}{2\left(x-3y\right)^2}=\frac{x^2+9y^2}{2\left(x-3y\right)^2}$

Сложение, Вычитание алгебраических дробей с числовыми знаменателями

Пример 3: Вычесть дроби.$\frac{5x}{18}-\frac{7y}{12}$

Смотрим на знамeнатели: к какому общему знаменателю можем привести? НОК — наименьшее число, кратное 18 и 12.
НОК этих чисел 36. Какие дополнительные множители? К первой дроби 2, а ко второй дроби 3.
$\frac{5x}{18}-\frac{7y}{12}=\frac{5x\cdot\left}{36}-\frac{7y\cdot\left}{36}=\frac{10x-21y}{36}$
Замечание: фактически, мы умножили числитель и знаменатель 1-ой дроби на 2; Аналогично для 2-ой дроби на 3. «основное свойство»
Таким образом получили в обеих дробьях одинаковые знаменатели, 36 и 36. И сложение-вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Правило:1. найти Н.О.К их знаменателей. Это и будет общим знаменателем…2. найти дополнительные множители для каждой дроби по-отдельности: = ( Общее ) : (его знаменатель) 3. вычислить числители «приведенных» дробей: =(старый числитель) * (свой дополнительный множитель ) .