Как это работает
Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить .
Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:
x2 + bx + c
Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:
Тогда приведённый квадратный трехчлен x2 + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала b из уравнения x1 + x2 = −b. Для этого можно умножить обе его части на −1
Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:
Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x2 + bx + c
Раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним . В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Из первых скобок вынесем общий множитель x, из вторых скобок — общий множитель −x2
Далее замечаем, что выражение (x − x1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Мы пришли к тому, что выражение x2 + bx + c стало равно (x − x1)(x − x2)
x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2)
Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.
Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax2 + bx + c = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:
Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax2 + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a
Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax2 + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и
Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1
Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a
Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax2 + bx + c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:
Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax1 − ax2 и ax1x2, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:
В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:
Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax2
Далее замечаем, что выражение x − x1 тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:
Мы пришли к тому, что выражение ax2 + bx + c стало равно a(x − x1)(x − x2)
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)
Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x1)(x − x2) вместо переменных x1 и x2.
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 3. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 4. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 5. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 6. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 7. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 8. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 10. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 11. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Задание 12. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Решение:
Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Примеры разложений
Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3×2 − 2x − 1
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3×2 − 2x − 1, а в правой части — его разложение в виде a(x − x1)(x − x2), где вместо a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения:
Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:
Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3 − 11x + 6×2
Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:
6×2 − 11x + 3
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3
Теперь воспользуемся . Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:
Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
3×2 + 7x − 6
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3×2 − 8x + k содержит множитель (x − 2)
Если разложение содержит множитель (x − 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2. Пусть корень 2 это значение переменной x1
Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.
В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби
Выразим из первого равенства переменную x2 и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x2
Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.
Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:
Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене , то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным
Коэффициент b можно . Так проще будет искать дискриминант:
Найдём корни квадратного трёхчлена:
Воспользуемся формулой разложения:
Решебник станет лучшим помощником
Восьмой класс является своего рода переломным моментом в учебе. Именно сейчас многие подростки начинают сдавать свои позиции из-за сложности материала. И если не исправить ситуацию, то ряды троечников существенно пополнятся. Родители в это время начинают активно искать своим детям репетиторов или отправляют их на разрекламированные курсы. Но приносит ли это пользу? Зачастую нет. Школьники прекрасно понимают, что наемные преподаватели рано или поздно подскажут им верный ответ, поэтому не особо стараются и усердствуют. Однако это совсем не означает, что ничего нельзя изменить.
С помощью ГДЗ по алгебре 8 класс Учебник А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков (Вентана-Граф) учащиеся смогут получить намного больше знаний. Конечно, по началу некоторые из них попробуют просто списывать информацию. Однако очень быстро они понимают насколько этот способ не эффективен. Именно тщательная проработка сведений из пособия позволит полноценно разобраться в материале учебника.
С решебником очень легко подготовиться к предстоящим урокам, проработать проблемные моменты, выявить и устранить недочеты. Также данный сборник пригодится к подготовке к плановым и непредвиденным контрольным работам. То, что он доступен онлайн, позволяет подросткам непосредственно перед уроком заглянуть в него, чтобы освежить свои знания, повторить ранее пройденные темы и т.д. ГДЗ станет настоящим верным помощником, который всегда придет на выручку в нужный момент. Научившись правильно с ним взаимодействовать, ребята обеспечат себе хорошие оценки не только на текущий момент, но и в аттестате.
Когда корень только один
Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то формула разложения квадратного трёхчлена примет такой вид:
ax2 + bx + c = a(x − x1)2
Вместо x1 подставляется единственный найденный корень квадратного трёхчлена.
Например, квадратный трёхчлен x2 − 6x + 9 имеет только один корень. Дискриминант этого квадратного трёхчлена равен нулю:
D = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0
и далее вычисляется единственный корень по известной формуле:
Тогда по формуле, которая приведена выше, получим:
ax2 + bx + c = a(x − x1)2
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2
Внимательные наверное сразу поняли почему происходит именно так. Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то корень вычисляется по формуле:
Но никто не запрещает нам использовать формулы вычисления корней квадратного трёхчлена:
Просто в этом случае мы получим один и тот же корень 3
Видим, что x1 = x2. Теперь для квадратного трёхчлена x2 − 6x + 9 применим нашу формулу разложения, которую мы применяем когда два корня:
x2 − 6x + 9 = (x − 3)(x − 3)
Выражение (x − 3)(x − 3) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x − 3). Это выражение можно заменить на выражение (x − 3)2
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2
