Гдз по алгебре 8 класс мерзляк, полонский, якир номер 180

Как добраться до простейшей формы?

Наш

Калькулятор упрощения выражений

будут стремиться к тому, чтобы обеспечить простейшую форму выражения. Иногда это ясная задача, но иногда нет.

Итак, начнем с того, что формул для упрощения выражения не существует, это скорее процесс. Кроме того, необходимо четко понимать, что мы имеем в виду под словами

простейшая форма

. Например, рассмотрим это выражение:

Можно утверждать, что это самая простая форма. Почему? Потому что на первый взгляд нет очевидных способов группировать эти термины дальше. Но потом кто-то может сказать: «Подождите, у меня есть вот это»

Итак, что же является самой простой формой? \(x^2 + 3x + 2\) или \((x+2)(x+1)\)? В этом калькуляторе мы идем путем расширения и упрощения, поэтому «простейшей формой» будет \(x^2 + 3x + 2\).

Калькулятор упрощения выражений

Этот калькулятор позволит вам упростить предоставленные вами выражения, показывая все шаги. Вам необходимо ввести правильное числовое или символьное выражение. Например, допустимым числовым выражением будет что-то вроде 1/3+1/4*3^2, а допустимым символьным выражением может быть что-то вроде x^2 — 2x + 3/4 x +2′, или что-то вроде ‘(x^2-1)(x-1)’, просто для примера.

Как только вы введете правильное выражение, все, что вам нужно сделать, это нажать кнопку «Рассчитать», которая находится прямо под ним, и вам будут показаны все соответствующие этапы процесса.

Некоторые упрощения легче провести, чем другие. Некоторые выражения легко поддаются упрощению, другие — нет. Для упрощения некоторых алгебраических выражений потребуются длительные и трудоемкие действия, а другие просто невозможно упростить.

Зачем нужно упрощать выражения?

Многие волшебные вещи в математике спрятаны на виду. Выражение может ни о чем вам не говорить, но после упрощения вы можете внезапно увидеть все ясно. Кроме того, упрощение — это как устранение беспорядка, а мы все этого хотим, верно?

Кроме того, упрощение выражений — это способ сэкономить работу, потому что часто нужно получить один результат, а затем подставить его в другое выражение и продолжать расширять этот процесс.

Таким образом, если у вас есть начальное выражение, которое вы не упростили, вы будете иметь ненужный багаж для последующих операций. Это может стать большой проблемой, если у вас есть потенциальный

упрощение тригонометрии

например,

Если вы пропустите этот \(\left \sin^2 x + \cos^2 x \right)^3 = 1^3 = 1\), то в итоге получите неоправданно долгий срок, который можно значительно упростить.

Учитывая это, всегда старайтесь

упрощать дроби

, а также

упрощайте алгебраические выражения

в целом, так как это обычно приводит к экономии времени в дальнейшем.

Пример: упростить выражение

Упростите следующее числовое выражение: \(\frac{2}{3} + \frac{5}{4} — \left(\frac{5}{6}\right)\cdot \left(\frac{8}{7}\right)\)

Отвечать:

Нам нужно упростить следующее выражение: \(\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{4}-\frac{5}{6}\cdot\frac{8}{7}\).

Получается следующий расчет:

\( \displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{4}-\frac{ 5}{ 6} \cdot \frac{ 8}{ 7}\)

Start multiplying all the numerators and all the denominators, and we get \(\displaystyle-\frac{ 5}{ 6} \times \frac{ 8}{ 7}= \frac{ -5 \times 8}{ 6 \times 7} \)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{4}+\frac{\left(\left(-5\right)\cdot 8\right)}{6\cdot 7}\)

Factoring out the number \(\displaystyle 2\) in the numerator and denominator of \(\displaystyle \frac{ -5 \times 8}{ 6 \times 7}\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{4}-\frac{5\cdot 4}{3\cdot 7}\)

After canceling out the common factors from the top and bottom

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{5}{4}-\frac{20}{21}\)

Amplifying in order to get the common denominator 84

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{28}{28}+\frac{5}{4}\cdot\frac{21}{21}-\frac{20}{21}\cdot\frac{4}{4}\)

We need to use the common denominator: 84

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{2\cdot 28+5\cdot 21-20\cdot 4}{84}\)

Expanding each term in the numerator: \(2 \times 28+5 \times 21-20 \times 4 = 56+105-80\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{56+105-80}{84}\)

Operating the terms in the numerator

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{81}{84}\)

We can factor out 3 for both the numerator and denominator.

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{3\cdot 27}{3\cdot 28}\)

Now we cancel 3 out from the numerator and denominator.

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{27}{28}\)

что завершает процесс упрощения.

Каковы этапы упрощения выражений

• Шаг 1: Определите выражение, которое нужно упростить. Правильное выражение должно содержать числа и символы типа ‘x’ (которые представляют числа)
• Шаг 2: Проверьте согласованность выражения. То есть, убедитесь, что любая открывающая скобка имеет закрывающую скобку, и что все операции завершены
• Шаг 3: Начните изнутри наружу, используя PEMDAS в качестве руководящего правила. Сначала упростите более простые термины

Говоря о том, что вы должны проверить «полноту» операций, я имею в виду, что необходимо убедиться, что все операции имеют все свои компоненты. Например, при сложении вам нужны два числа и знак ‘+’.

Таким образом, что-то вроде ‘3+4’ является полной операцией, но в чем-то вроде ‘3+’ или ‘+3’ не хватает цифры. Или что-то вроде ‘2 3’ не имеет ‘+’, поэтому PEMDAS не может определить, какую операцию вы выполняете.

Существуют некоторые паллиативные правила, такие как

неявное умножение

, который будет считать, что в отсутствие операции пробел будет рассматриваться как ‘*’, так что тогда ‘2 3’ будет рассматриваться как ‘2*3’

В случае с нашим

упростить калькулятор

если выражение неполное или недействительное, оно сообщит вам об этом, чтобы вы могли его исправить.

АЛГЕБРА 7 КЛАСС (МЕРЗЛЯК) САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА № 18.

С-18. ВАРИАНТ 1.

№ 127. Представьте в виде многочлена выражение:
1) (х + 3)2;              2) (4 – y)2;              3) (a + b/2)2;
4) (2m – 5)2;            5) (7а + 6b)2;             6) (0,2x – 10y)2;
7) (9m + n/3)2;          (a2 – 1)2;             9) (х3 – x2)2;
10) (р2 + р4)2;            11) (–11b + 2а5)2;          12) (–8 – 4с)2;
13) (1 2/₃ • р + 2 2/₅ • q)2;     14) (12хy2 – x2у)2;      15) (4а6 + 3а4b3)2.

№ 128. Упростите выражение:
1) (х – 4)2 – 6;
2) 10а + (а – 5)2;
3) (3m – 7n)2 – 9m(n – 5n);
4) (6а – 3b)2 + (9а + 2b)2;
5) b(b – 3) – (b – 4)2;
6) (12а – b)2 – (9а – b)(16а + 2b);
7) х(2х – 9)2 – 2х(15 + х)2;
(х + 2)2 – (х – 3)(х + 3);
9) (7а – 5b)(7а + 5b) – (4а + 7b)2;
10) (у – 2)(у + 3) – (у – 1)2 + (5 – у)(у + 5).

№ 129. Решите уравнение:
1) (х + 5)2 – (х – 1)2 = 48;
2) (2х – 3)2 + (3 – 4х)(х + 5) = 82;
3) х(х – 3)(4 – х) = 16 – х(х – 3,5)2;
4) (4х – 1)2 – (2х – 3)(6х + 5) = 4(х – 2)2 + 16x;
5) (х – 1)(х + 1) = 2(х – 5)2 – х(х – 3).

№ 130. Упростите выражение и найдите его значение:
1) (х – 3у)2 – (3х – у)2, если х = –3, у = 3 1/₂;
2) (c2 – 3)2 – (c2 – 4)(c2 + 2) + 4(5 – с)2, если с = –0,05;
3) (m + 5)2 – (m – 4)(m + 4), если m = –3,5;
4) (a3 – 2)(a3 + 2) – (a3 + 3)2, если а = –2.

№ 131. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) (* + 5)2 = x2 + * + 25;
2) (6а5 + *)2 = * + * + 49b4;
3) (* – *)2 = 9х6 – * + 100х4у10;
4) (5b2 – *)2 = * – 30a2b3 + *.

С-18. ВАРИАНТ 2.

№ 127. Представьте в виде многочлена выражение:
1) (а + 2)2;             2) (6 – x)2;            3) (a/2 + b)2;
4) (3x – 4)2;          5) (5m + 3n)2;       6) (0,1а + 10b)2;
7) (6x – у/3)2;        (n2 + 1)2;           9) (х4 – x2)2;
10) (у4 + y3)2;       11) (–3а + 4b3)2;      12) (–2 – 5х)2;
13) (1 1/₃ • m + 3 3/₅ • n)2;    14) (6ab2 – a2b)2;     15) (5а4 – 2a2b4)2.

№ 128. Упростите выражение:
1) (х – 3)2 – 8;
2) 12x – (х + 6)2;
3) (2а – 3b)2 – 4а(а – 6b);
4) (2х – 3y)2 + (4x + 2у)2;
5) (х – 5)2 – х(х + 3);
6) (6а – b)2 – (9а – b)(4а + 2b);
7) 3х(5 + х)2 – х(3х – 6)2;
(x – 2)2 + (х – 1)(x + 1);
9) (3а – 2b)(3а + 2b) – (а + 3b)2;
10) (у – 4)(у + 3) + (у + 1)2 – (7 – у)(7 + у).

№ 129. Решите уравнение:
1) (х – 3)2 – (x + 1)2 = 12;
2) (3x – 2)2 + (1 – 3x)(3х + 2) = 36;
3) х(х – 2)(х – 3) = 8 + х(х – 2,5)2;
4) (6х – 1)2 – (5х + 2)(6х + 5) = 6(х – 1)2 – 37x;
5) (2х – 1)(2х + 1) = 2(х – 3)2 + х(2х – 3).

№ 130. Упростите выражение и найдите его значение:
1) (а – 2b)2 – (2а – b)2, если а = –2, b = 4;
2) (a2 – 2)2 – (a2 – 1)(a2 + 2) + 5(а – 4)2, если а = –0,125;
3) (m – 3)2 – (m – 2)(m + 2), если m = –2,5;
4) (b2 – 1 )(b2 + 1) – (b2 + 2)2, если b = –3.

№ 131. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) (х – *)2 = x2 – * + 16;
2) (7у7 – *)2 = * – * + 81 b4;
3) (* + *)2 = 25×10 + * + 121×2у6;
4) (3b3 – *)2 = * – 18ab4 + *.

Алгебра 7 Мерзляк С-18.

С-18. ВАРИАНТ 3.

№ 127. Представьте в виде многочлена выражение:
1) (х – 4)2;                2) (5 – х)2;              3) (0,5а – b)2;
4) (3х – 2)2;             5) (5m + 3n)2;         6) (0,4а – 5b)2;
7) (8х + y/2)2;          (b2 – 3)2;           9) (y2 – 2y)2;
10) (m3 + n2)2;       11) (–7х + 3y3)2;       12) (–5 – 2а)2;
43) (2 1/₄ • а + 1 2/₃ • b)2;     14) (6pq2 – qp2)2;     15) (2х4 + 5х3b5)2.

№ 128. Упростите выражение:
1) (х – 5)2 – 7;
2) 6у + (у – 3)2;
3) (4а – 5b)2 – 16а(а – 3b);
4) (4m + 3n)2 + (2m – 6n)2;
5) х(х – 2) – (х – 3)2;
6) (8р – q)2 – (4р – q)(16p + 3q);
7) y(3y – 2)2 – 9y(4 + y)2;
(х + 4)2 – (х – 2)(х + 2);
9) (8а – 3b)(8а + 3b) – (6а – 5b)2;
10) (m – 3)(m + 4) – (m + 2)2 + (4 – m)(m + 4).

№ 129. Решите уравнение:
1) (х + 7)2 – (х – 8)2 = –15;
2) (4х + 1)2 + (3 – 2х)(8х + 1) = 7;
3) х(х + 2)(6 – х) = 14 – х(х – 2)2;
4) (6х – 1)2 – (4х – 3)(3х + 1) = 6(2х – 5)2 + 113х;
5) (х – 2)(х + 2) = 3(х + 4)2 – 2х(х + 5).

№ 130. Упростите выражение и найдите его значение:
1) (х – 4y)2 – (4х – y)2, если х = 1 1/₃ , у = –2;
2) (x2 – 1)2 – (x2 – 5)(x2 + 5) + 2(4 – х)2, если х = –0,25;
3) (а + 6)2 – (а – 2)(а + 2), если a = 1 3/₄;
4) (х4 – 3)(х4 + 3) – (х4 – 5)2, если х = 3.

№ 131. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:
1) (* – 4)2 = y2 – * + 16;
2) (4a3 + *)2 = * + * + 25m2;
3) (* – *)2 = 16х6 – * + 49y4x8;
4) (3n2 – *)2 = * – 24n2q5 + *.