Тригонометрическая окружность и графики функций

Как переводить радианы в градусы?

Все знают, чтобы измерить некоторое расстояние, можно воспользоваться несколькими единицами измерения: сантиметрами, метрами, километрами или даже световыми годами. Точно так же углы можно измерять по-разному. Мы всю свою жизнь углы измеряли градусами и интуитивно уже понимаем, сколько градусов соответствует визуально какому углу. Довольно легко представить угол в \(30^o\) или \(90^o\).

Но, к большому сожалению, в математике углы часто измеряют не в градусах, а в радианах. Так просто удобно в некоторых случаях. А нам с вами ничего не остается, как привыкнуть к новой единице измерения углов.

Ничего страшного в этом нет. Первое, с чем нам нужно познакомиться — это иррациональное число Пи:
$$\pi=3,14…;$$
Это известная константа, которая обладает интересными свойствами и используется во множестве научных областей. Но об этом в другой раз. Сейчас нам нужно запомнить, что угол в \(\pi\) радиан это то же самое, что и угол равный \(180^o\).
$$\pi \, рад=180^o;$$
Из этого факта легко переводить радианы в градусы и наоборот:
$$ \frac{\pi}{2}=\frac{180}{2}^o=90^o;$$
$$ \frac{\pi}{3}=\frac{180}{3}^o=60^o;$$
$$ \frac{\pi}{4}=\frac{180}{4}^o=45^o;$$
$$ \frac{\pi}{6}=\frac{180}{6}^o=30^o;$$

Для того, чтобы перевести абсолютно любой угол в градусы, удобно воспользоваться пропорцией. Для примера переведем \(\frac{5\pi}{6}\) радиан:
$$\pi \, рад=180^o;$$
$$\frac{5\pi}{6} \, рад=x^o;$$
Пропорции решаются перемножением крест на крест:
$$\pi*x=\frac{5\pi}{6}*180;$$
$$x=\frac{\frac{5\pi}{6}*180}{\pi}=\frac{5}{6}*180=150^o.$$

Единичная окружность

Теперь отложим треугольник в сторону и построим окружность с радиусом, равным единице (единичная окружность, unit circle). Дополнительно поместим окружность на координатную плоскость с центром $O$ в начале координат.

Углы в градусах

Такую окружность, в частности, можно разделить на 360 равных частей, называемых градусами.

Из курса дискретной математики мы уже знаем, что выбору именно такого числа частей мы, скорее всего, обязаны шестидесятеричной системе счисления.

Приведем некоторые углы, которые можно образовать с помощью оси абсцисс и луча $OA$.

Заметим, что положительный угол принято откладывать против часовой стрелки.

Длина единичной окружности

Кроме того, известно, что длина любой окружности $C$ больше ее диаметра $d$ в $\pi$ раз. То есть,

$$ C = \pi d $$

Так как диаметр в два раза больше радиуса $d =2r$, то $C = 2 \pi r$. В единичной окружности радиус по определению равен $r=1$. Длина самой окружности, таким образом, равна $C = 2 \pi$.

Как следствие, несложно найти длину дуги (arc), образованную каждым из этих углов. Например, длина дуги $L$ угла в 180 градусов равна половине длины окружности, или

$$ L = \frac{C}{2} = \frac{2\pi}{2} = \pi $$

Найдем длину дуг остальных углов, приведенных выше.

Еще раз обратим внимание на то, что $ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3 \pi}{2}, 2 \pi $ определяют длину дуги и не измеряют угол. Мера же углов, основанная на длине окружности, называется радианом

Мера же углов, основанная на длине окружности, называется радианом.

Углы в радианах

Сколько радиусов можно отложить на окружности? Число $\pi$ приблизительно равно $3,14$. Значит на окружности можно отложить $ \frac{C}{r} = 2\pi \approx 6,28 $ радиусов.

Радианом (radian) называется угол, соответствующий дуге, равной длине одного радиуса.

Радианы в градусы

Как связаны радианы и градусы? Выше мы сказали, что в единичной окружности углу в 360 градусов соответствует длина дуги $2 \pi$ или угол в примерно $6,28$ радианов. Воспользуемся пропорцией и найдем, чему равен один радиан:

$$ \frac{360^{\circ}}{2 \pi \text{ rad} } = \frac{x}{1 \text{ rad}} $$

$$ x = \frac{1 \text{ rad} \cdot 360^{\circ}}{2 \pi \text{ rad} } \approx 57,3^{\circ} $$

Несложно перевести в градусы и другие углы, выраженные в радианах. Для этого достаточно умножить радианную меру на $\frac{360}{2 \pi}$ или $\frac{180}{\pi}$. Приведем два примера.

$$ \frac{\pi}{12} \text{ rad} = \frac{\pi}{12} \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = 15^{\circ} $$

$$ 6,5 \text{ rad} = 6,5 \times \frac{180^{\circ}}{\pi} \approx 372,4^{\circ} $$

Градусы в радианы

Найдем, чему равен один градус в радианах.

$$ \frac{360^{\circ}}{2 \pi \text{ rad} } = \frac{1^{\circ}}{x} $$

$$ x = \frac{1^{\circ} \cdot 2 \pi \text{ rad} }{ 360^{\circ} } \approx 0,017 \text{ rad} $$

Таким образом, для перевода в радианную меру градусы необходимо умножать на $ \frac{2\pi}{360} $ или $ \frac{\pi}{180} $.

$$ 90^{\circ} = 90 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{\pi}{2} \text{ rad} $$

$$ 30^{\circ} = 30 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{\pi}{6} \text{ rad} $$

Основное понятие градуса и радиана и их взаимосвязь

В математике, такое определение, как угол принято измерять градусами и радианами.

Эти два измерения угла имеют взаимосвязь и необходимо четко понимать в чем она заключается.

В данном материале, мы постараемся разобраться и вывести

основную формулу для вычисления градусов в значение радиан, и соответственно в обратном порядке.

Определение

Радиан — это угол, который образуется окружной дугой, ее длина, следовательно, равняется радиусу данной окружности.

Радианная мера — угловое значение,где  за единицу берется угол в 1 радиан. А именно, вышеупомянутая мера любого угла — это соотношение принятого угла к радиану. Из этого следует, что величина полного значения угла равняется  \ радиан.

 Определяем длину окружности, по стандартной формуле:

\

Чтобы определить полный угол в радианах проводим следующие действие: \ , соответственно в градусах значение будет равно 360. Отсюда следует \.

Теория

Для введения тригонометрических функций нам понадобиться новая математическая модель – числовая окружность.

В принципе, любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее всего использовать для этой цели единичную окружность. Какая же окружность называется единичной? Введем то понятие.

Рассмотрим прямоугольную систему координат. Построим окружность с центром в начале координат и радиусом равным 1. Такую окружность называют единичной или тригонометрической окружностью.

Окружность пересекает оси координат в некоторых точках. Обозначим их: А, В, С, D.

Дугу АВ будем называть первой четвертью единичной окружности, дугу ВС – второй четвертью, дугу CD – третьей четвертью, дугу DA – четвертой четвертью. Притом будем говорить об открытой дуге, то есть о дуге без её концов.

Мы с вами умеем изображать числа на числовой оси. На единичной окружности также можно отображать числа. Установим соответствие между точками числовой прямой и точками единичной окружности.

Построим числовую ось параллельно оси Оу и укажем положительное направление вверх. В точку пересечения единичной окружности и числовой прямой поместим 0. Зададим единичный отрезок на числовой прямой.

А теперь представим, что наша числовая ось гибкая, и мы можем её накручивать на окружность, как нитку на катушку. Начнем загибать положительную полуось. Замечаем, что единица числовой оси попала в некоторую точку единичной окружности. Продолжаем закручивать числовую ось, движение идет против часовой стрелки – это положительное направление. Числа 2, 3, 4 и т.д. отобразились в некоторые точки единичной окружности.

Числовая ось бесконечна, и процесс накручивания можно продолжать также бесконечно. При этом каждая точка числовой оси будет попадать в определенную точку окружности. Давайте выясним, какие числа будут попадать в точки пересечения окружности с осями координат.

Намотаем отрицательную часть числовой оси на окружность. Движение идет по часовой стрелке – это положительное направление. Процесс такого накручивания можно также продолжать бесконечно. И каждое отрицательное число попадет в соответствующую ему точку окружности.

Определение числовой окружности

Определение.  Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) называют числовой окружностью.

Примеры изображения чисел на окружности

Рассмотрим несколько примеров изображения чисел на единичной окружности.

Пример 1. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу 7.

Нам нужно, отправляясь из точки 0 и двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки), пройти по окружности путь длиной 7.

Изображение чисел на единичной окружности совпадает с изображение радиан. Рассмотрим первый положительный и первый отрицательный обороты. Обозначим точки пересечения окружности с осями координат:

Вспомогательные макеты

Чтобы было удобнее отмечать радианы на единичной окружности, нам пригодятся два макета.

Макет 1. Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на две равные части путем построения биссектрис углов.

Макет 2. Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на три равные части путем проведения прямых, параллельных осям координат, проходящие через точки  

Перевод радианов в градусы и соответственно в обратном порядке

Для перевода радиан в градусы и наоборот необходимо знать и применять на практике следующие формулы:

Один радиан равен: \;

Один радиан в минутах: \;

Один радиан в секундах: \.

\
\

Рассмотрим на конкретном примере:

\ следовательно в 1 радиане 57 градусов.

\ радиан (сокращенно рад.).

\, дословно будет звучать как: 180 * умножить на числовое значение угла и раздели.

Соответствие градусов и радиан принято, для удобства решения сводить в таблицу.

Пример, приведен в таблице 1.

Таблица 1. Соотношение значений.

Числовые значения в градусах	Соответствующие данные радиан
1°	0,018
2°	0,035

Как мы видим  изученная тема не очень сложная. Достаточно знать основные формулы и в расчетах, и проблем не должно возникать.

Для более лучшего закрепления разберемся и решим несколько задач по вычислении градусов и радианов углов.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Нужна помощь

Задача №1

Переведите 35 градусов в радианы.

\

Ответ: 35°=0,6 рад.

Задача №2

Переведите 55 градусов в радианы.

\

Ответ: 55°=0,9 рад.

Задача №3

Необходимо вычислить значение третьей половины полного угла.

Для начала определяем угол в градусах.

Нужно определить третью часть угла. Следовательно полный угол равняется 360 градусов, половина 180, а треть \ градусов.

Пользуясь формулой из задач №1 и 2, определяем значение в радианах.

\

Ответ: 1 рад.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Алгебра и начала анализа
10 классРадианная мера углов и дугВоробьев

длиной в один радиус (обозначается 1 рад).

1 рад

R

R

R

A

B

O

⋅

⋅

⋅

∪ AB=R∠AOB=1 рад

600

1 рад

Слайд 4Задание 1. Вывести правила перевода из радианной меры в градусную

и наоборот.Ответ: α0= α0·

рад − правило перевода из градусной меры в радианную; α рад= α· − правило перевода из радианной меры в градусную.1 рад = ; 1 рад ≈ 57019’10 = рад; 10 ≈ 0,017 рад

3600 – 2π рад10 – х рад

3600 – 2π радх 0 – 1 рад

Слайд 5Окружность с центром в начале системы координат Oxy и радиусом,

равным единице, называется единичной, а ограниченный ей круг – тригонометрическим.Приняв

точку пересечения окружности с положительной частью оси Ох за начало отсчета; Выбрав положительное направление – против часовой стрелки, отрицательное – по часовой стрелке; Отложив от начала отсчета дугу в 1 рад, мы получим, что тригонометрическая окружность в некотором смысле «эквивалентна» понятию «числовая прямая».

x

y

1

1

«+»

«−»

1

окружности их пять.

Слайд 7Так как дуги – это части окружности, то длины некоторых

из них будут выражены через число π (объясните почему). Откладывая

в положительном и отрицательном направлениях от начала отсчета прямой угол получим точки, соответствующие числам … и (объясните почему);Выполнив поворот на развернутый угол в положительном и отрицательном направлениях получаем две совпадающие точки окружности с координатами… и .

x

y

1

1

1

четверти – I, II, III и IV.Задание 2. Определите границы

координатных четвертей через углы поворота в радианной мере, взятых в положительном направлении. Задание 3. Выполните предыдущее задание, при условии, что выбирается отрицательное направление углов поворота.Задание 4. Какой координатной четверти принадлежит точка окружности с координатой 6,28?

x

y

1

1

1

I

II

III

IV

Слайд 9 −

это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов!

Отметив на окружности точки с абсциссой 0,5 мы получим точки, соответствующие числам … и (объясните почему);Аналогично, получаются точки окружности с координатами ; .Обратите внимание на симметричность относительно оси Ox полученных точек!

x

y

1

1

1

0,5

− 0,5

Слайд 10 −

это соотношение может Вам понадобиться для понимания некоторых фактов!

Отметив на окружности точки с ординатой 0,5 мы получим точки, соответствующие числам … и (объясните почему);Аналогично, получаются точки окружности с координатами ; .Обратите внимание на симметричность относительно оси Oy полученных точек!

x

y

1

1

1

0,5

− 0,5

Слайд 11Графики функций y=x и y=−x − прямые, являющиеся биссектрисами

координатных четвертей. Постройте графики функций y=x и y=−x. Подумайте, какие

углы поворота соответствуют точкам пересечения этих прямых с тригонометрической окружностью?……Ответ: ; ; ; .

x

y

1

1

1

углу поворота . Если добавить полный поворот к углу

α , то мы снова окажемся в той же точке А. Но теперь ее координата равна (подумайте)… .Вообще, любую точку окружности можно получить поворотом на угол, вида α+2πn, где n∈Ζ и α∈[0;2π).

x

y

1

1

A(α)

A(α+2π)

Слайд 13Итогом нашей предыдущей работы является данная окружность, на которой отмечены

наиболее часто встречающиеся в различных таблицах углы.Примечание. На чертеже отмечены

только положительные углы поворота.Задание 5. Найдите координаты всех точек, отмеченных на данной окружности (указание: рассмотрите различные прямоугольные треугольники с гипотенузой-радиусом (см.рис.) и примените теорему Пифагора ; помните о симметричности точек).

x

y

1

1

1

0,5

0,5

-0,5

-0,5

Слайд 14Ответы и решения.Задание 2. — I

четверть, — II четверть,

— III четверть, — IV четверть. Задание 3. — I четверть, — II четверть, — III четверть, — IV четверть

Слайд 15Ответы и решения.Задание 4. 6,28∈IV (см.рис.) 6,28

x

y

1

1

1

2

3

4

5

6

2π

Вычисление радианной меры угла

Теперь, когда мы разобрались с основными определениями тригонометрических функций, перейдем непосредственно к сегодняшней теме урока.

Для начала давайте рассмотрим угол в 180º. Тогда наш луч поддет в противоположном направлении. Точка В в нашем треугольнике высекает определенную дугу окружности. Назовем ее дуга BCBC. Ее легко посчитать по формуле длины окружности:

l=2πr

l=2\pi r

π˜3,14

\pi \tilde{\ }3,14. Но сейчас нас это не интересует. Поскольку наша окружность всегда имеет фиксированный радиус 1, то длина будет равна:

l=2π

l=2\pi

Однако 2π2\pi — это вся окружность, т. е. полный оборот. А мы если отступим на 180º, то получим только ее половину. Следовательно, дуга окружности будет равна:

l(180o)=2π2=π

l\left( 180{}^\text{o} \right)=\frac{2\pi }{2}=\pi

И вот тут возникает замечательный эффект. Дело в том, что один и тот же угол α\alpha мы можем обозначать как за 180º, т. е. использовать стандартную меру угла (а не радианную), так и длинной вот этой дуги, т. е. мы можем поставить углу α\alpha соответствующее число π\pi . Так вот это число π\pi , т. е. другими словами, угол, измеренный не в градусах, а в длине дуги, которую этот угол высекает. Называется это радианная мера угла и обозначается π\pi — радиан.

Сегодня же для того чтобы начать решать задачи на радианную меру и считать значение тригонометрических функций, просто запомните, что π\pi рад = 180º. Другими словами, если вам непривычно работать с радианными значениями, то везде, где вы видите в синусах, косинусах и тангенсах конструкцию π\pi , вы можете смело заменить это π на 180º и перейти к знакомой градусной от радианной меры. Давайте попробуем и сосчитаем первое выражение и найдем радианную меру:

sin π 4cos π 6tg π 3=2√2⋅3√2⋅3√=32√4\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}tg\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3\sqrt{2}}{4}

Давайте выпишем отдельно каждую из этих функций:

sin π 4=sin180∘4=sin45∘=2√2\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=\sin \frac{180{}^\circ }{4}=\sin 45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}

cos π 6=cos180∘6=cos30∘=3√2\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\cos \frac{180{}^\circ }{6}=\cos 30{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}

tg π 3=tg180∘3=tg60∘=3√tg\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=tg\frac{180{}^\circ }{3}=tg60{}^\circ =\sqrt{3}

Теперь записываем все три множителя в единую конструкцию для нахождения радианного значения. Вот и все, мы получили ответ.

Переходим ко второму выражению и найдем радианную меру:

cos π 3sin π 4ctg π 6=12⋅2√2⋅3√=6√4\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}ctg\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{4}

Опять записываем каждую функцию отдельно:

cos π 3=cos60∘=12\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=\cos 60{}^\circ =\frac{1}{2}

sin π 4=sin45∘=2√2\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}=\sin 45{}^\circ =\frac{\sqrt{2}}{2}

ctgπ6=ctg30∘=3√ctg\frac{\pi }{6}=ctg30{}^\circ =\sqrt{3}

Опять собираем все полученные числа.

Как видите, ничего сложно в радианных мерах угла нет. Если эта тема покажется вам слишком сложной, просто запомните, что π\pi рад = 180º, и везде, где вы видите π\pi , можете смело писать 180º.

Еще одним важным следствием нового определения тригонометрического круга является то, что синус, косинус и тангенс могут быть отрицательными. Если раньше все сводилось к длинам катетов и гипотенузы, то теперь перед нами абсциссы и ординаты некой точки. При этом помните, что откладывание угла всегда идет в направлении от оси OxOx к оси OyOy, причем идет речь именно о положительных направлениях этих осей.

Чтобы понять и навсегда запомнить, где находится положительное направление оси, просто помните правило: туда, куда указывает стрелка при х и при у, это и есть то самое положительное направление оси.

Вот это и все, о чем я хотел рассказать в сегодняшнем видеоуроке о радианных мерах. Если вы что-то не поняли, или если этот материал показался вам слишком сложным, то пересмотрите его еще раз, попробуйте выполнить всю последовательность вычислений на нахождения радианных значений, которую мы сегодня выполнили на уроке.  

1. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов
2. Синус, косинус, тангенс, котангенс — геометрическая тригонометрия
3. Метод узлов в задаче B5
4. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (средний)
5. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
6. Задача B4: строительные бригады