Какие ⭐ движения колебательные в физики: определение, свойства, характеристики

Свободные механические колебания

Свободными колебаниями называются колебания в системе под действием внутренних сил, после того, как система выведена из положения равновесия (за счет первоначально сообщенной энергии).

Условия возникновения свободных колебаний:

После выведения системы из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть ее в положение равновесия.
Силы трения и сопротивления в системе должны быть достаточно малы.

При отсутствии сил сопротивления в системе периодически колеблющаяся величина изменяется в соответствии с уравнением:

Гармонические колебания

Колебания, при которых физическая величина, характеризующая эти колебания, изменяется во времени по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

Основные характеристики колебаний:

x – значение колеблющейся величины в момент времени t,

A – амплитуда колебаний, наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия (отклонение величины от ее среднего значения);

ω – циклическая (или круговая) частота, это число колебаний, совершаемых за 2π секунд. Единица измерения – .

Т – период колебаний – время, через которое движение тела полностью повторяется (повторяются все кинематические характеристики колебаний). Единица измерения – .

ν (ню) — частота колебаний – величина, показывающая число колебаний, совершаемых за 1 с. Единица измерения –

(wt + φ) – фаза гармонических колебаний. Она показывает место нахождения тела в момент времени t.

φ – начальная фаза. Она показывает место нахождения колеблющегося тела (или точки) в начальный момент времени (при t=0).

Графиком гармонических колебаний является синусоида.

скорость, импульс и ускорение тоже меняются по гармоническому закону

v(t)=x`(t) = Aω cos (ωt + φ),

a(t) =v`(t)= –Aω2 sin (ωt + φ).

Сравнивая выражения для x(t) и a(t), получаем соотношение:

a =-ω2x,

которое принято считать уравнением гармонических колебаний в динамике. Ускорение при гармонических колебаниях всегда направлено в сторону, противоположную смещению.

Математический и пружинный маятники

Простейшими колебательными системами, в которых совершаются гармонические колебания, являются математический и пружинный маятники.

Математический маятник – колеблющаяся материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити в гравитационном поле Земли.

Циклическая частота и период колебания математического маятника определяют выражения:

Пружинный маятник – это тело массой m, колеблющееся на пружине с коэффициентом жесткости k.

Циклическая частота и период колебания пружинного маятника определяют выражения:

Закон сохранения энергии при гармонических колебаниях

В процессе гармонических колебаний кинетическая энергия системы превращается в потенциальную энергию и наоборот, таким образом, полный запас механической энергии остается неизменным.

В реальных условиях любая механическая система находится под действием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения, и свободные колебания становятся затухающими.

Свободные электромагнитные колебания

Свободные электрические колебания можно реализовать в идеальном колебательном контуре, который состоит из:

конденсатора, емкость которого равна $C$;
катушки индуктивности ($L$).

Элементы в контуре соединены последовательно. Контур будем считать идеальным, поскольку его сопротивление равно нулю. Только в таком контуре можно создать незатухающие свободные колебания.

Конденсатор заряжают, после этого замыкают на катушку. При замыкании в контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и силы тока в катушке. Изменяющееся электромагнитное поле распространяется в пространстве (скорость распространения равна скорости света). Обычно контур считают малым, при этом в каждый момент времени сила тока во всех его частях одинакова. Данный ток считают квазистационарным.

Замечание 1

Свободные электрические колебания в рассматриваемом контуре будут гармоническими только, если сопротивление контура можно считать равным нулю.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда можно представить:

$\frac{d^2 q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q=0 (9).$

Величина $\frac{1}{LC}=\omega^2$ — циклическая частота в квадрате.

Решением уравнения (9) является функция $q(t)$, равная:

$q(t)=q_0\sin (\omega t \varphi_0)(10)$,

где $q_0$ — амплитуда заряда конденсатора; $\varphi_0$ — начальная фаза колебаний заряда на конденсаторе.

Принимая во внимание, что связь заряда и силы тока:

$I=\frac{dq}{dt}(11),$

получим закон $I(t)$ при свободных гармонических колебаниях:

$I=I_0\cos (\omega t+\varphi_0) = I_0\sin (\omega t+\varphi_0+\frac{\pi}{2}) (12),$

где $I_0=\omega q_0=\frac{q_0}{\sqrt{LC}}$ — амплитуда силы тока.

Сравнение выражений (10) и (12) указывает на то, что ток в контуре опережает по фазе заряд на $\frac{\pi}{2}$.

При свободных гармонических колебаниях в нашем контуре, в рамках одного периода колебаний, происходит переход энергии электрического поля конденсатора ($E_e$) в энергию магнитного поля катушки (E_m) и назад:

$E=E_e+E_m=\frac {q_0^2}{2C}=\frac{LI_0^2}{2}=const (13).$

Закон сохранения в виде (13) указывает нам на то, что полная энергия электромагнитных колебаний в идеальном контуре постоянна во времени.

Автоколебания

Если внутри колебательной системы имеется источник энергии, то колебания становятся незатухающими. Такие колебания называются автоколебаниями.

Система, в которой существуют автоколебания, называются автоколебательными. При этом подача энергии к колебательной системе регулируется самой системой по каналу обратной связи. Например, в механических часах, в двигателе внутреннего сгорания, в духовых инструментах и др.

Скачать в формате pdf

Вопросы для самоконтроля по блоку «Механические колебания»:

Какое движение называется колебательным? Приведите примеры.
Какие колебания называются свободными? Приведите примеры.
Какие условия необходимы для совершения свободных колебаний?
Приведите примеры колебательных систем.
Какие колебания называются гармоническими? Какое уравнение выражает смысл гармонического колебания?
Что называется амплитудой колебания?
Что называют периодом колебаний? В каких единицах измеряют период колебаний?
Что называют частотой колебаний? В каких единицах измеряют частоту колебаний? Запишите формулу циклической и линейной частоты колебаний.
Что называют фазой колебания? начальной фазой?
Какой маятник называется математическим?
Формула периода свободных колебаний математического маятника.
Какой маятник называется пружинным?
Формула периода свободных колебаний пружинного маятника.
Опишите процессы превращения энергии при гармонических колебаниях на примере движения математического маятника; пружинного маятника.
По какой формуле определяют полную механическую энергию при гармонических колебаниях?
Почему свободные колебания маятника затухают?
Какие колебания называются вынужденными? Приведите примеры.
Какое явление называют резонансом? Приведите примеры резонанса.
Положительная и отрицательная роль резонанса в технике.
Какие колебания называются автоколебаниями? Приведите примеры.

Опорный конспект:

Условия, при которых возможно возникновение колебаний

Ей присущи:

точка устойчивого равновесия. В положении равновесия энергия системы минимальна и система может находиться в ней бесконечно долго. При внешнем воздействии система стремится вернуться в точку устойчивого равновесия или первоначальное положение. Колебательные движения совершаются вокруг этой точки. В точке устойчивого равновесия тело имеет максимальную скорость колебательных движений;
избыточная энергия по сравнению с энергией тела в положении равновесия;
невысокое значение сил трения. Иначе избыточная энергия будет затрачена на преодоление сил трения, и колебания будут не возможны.

Математический маятник — идеальная модель колебательной системы. Представляет собой точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити и находящуюся в поле притяжения Земли. К математическому маятнику приближен реальный маятник из металлического шарика, подвешенного на нити, если пренебречь размером шарика и растяжением нити.

Период, частота и амплитуда

Когда свет проходит через призму, он разделяется на различные компоненты, которые мы видим как цвета. Каждый из этих цветов можно определить по его уникальной частоте. Цвет может иметь различную интенсивность, поскольку интенсивность цвета связана с амплитудой волны. Это означает, что могут существовать две волны с одинаковой частотой, но с разными амплитудами.

Период, частота и амплитуда – важные свойства волн. Как мы уже говорили, амплитуда связана с энергией волны. Амплитуда – это максимальное смещение от положения равновесия при колебании. Период – это время, необходимое для одного цикла колебаний. Частота определяется как обратная величина периода. Она показывает, сколько циклов совершается за определенный промежуток времени.

Период – это время, необходимое для одного цикла колебаний. Частота описывает, сколько циклов колебаний система совершает за определенный промежуток времени. Например, большой период подразумевает малую частоту:

f = 1/T,

где f – это частота в герцах, Гц и T – период в секундах, с.

Период, частота и амплитуда связаны между собой в том смысле, что все они необходимы для точного описания колебательного движения системы. Как мы увидим в следующем разделе, эти величины входят в тригонометрическое уравнение, описывающее положение колеблющейся массы

Важно отметить, что амплитуда не зависит от периода или частоты волны

Взаимосвязь между периодом, частотой и амплитудой легко увидеть на графике зависимости положения от времени. Чтобы найти амплитуду по графику, мы строим график положения объекта в простом гармоническом движении как функцию времени. Для определения амплитуды мы ищем пиковые значения расстояния.

Чтобы найти частоту, сначала нужно получить период цикла. Для этого мы находим время, необходимое для завершения одного цикла колебаний. Это можно сделать, посмотрев на время между двумя последовательными пиками или впадинами. После того как мы найдем период, мы возьмем его обратную величину, чтобы определить частоту.

Частота, высота тона и человеческое восприятие

Уши человека (и других животных) – это чувствительные датчики, способные улавливать колебания давления воздуха, воздействующие на барабанную перепонку. Механика способности уха определять звуки будет рассмотрена позже в этом уроке. Пока же достаточно сказать, что человеческое ухо способно воспринимать звуковые волны с широким диапазоном частот, примерно от 20 до 20 000 Гц. Любой звук с частотой ниже слышимого диапазона (т. е. менее 20 Гц) называется инфразвуком, а любой звук с частотой выше слышимого диапазона (т. е. более 20 000 Гц) называется ультразвуком.

Люди не одиноки в своей способности обнаруживать широкий диапазон частот. Собаки могут определять частоты от примерно 50 Гц до 45 000 Гц. Кошки могут определять частоты от примерно 45 Гц до 85 000 Гц. Летучие мыши, будучи ночными существами, должны полагаться на звуковую эхолокацию для навигации и охоты. Летучие мыши могут обнаруживать частоты до 120 000 Гц. Дельфины могут различать частоты до 200 000 Гц. В то время как собаки, кошки, летучие мыши и дельфины обладают необычной способностью обнаруживать ультразвук, слон обладает необычной способностью обнаруживать инфразвук, имея слышимый диапазон от примерно 5 Гц до примерно 10 000 Гц.

Ощущение частоты обычно называют высотой звука. Звук с высоким тоном соответствует высокочастотной звуковой волне, а звук с низким тоном – низкочастотной звуковой волне. Удивительно, но многие люди, особенно те, кто получил музыкальное образование, способны обнаружить разницу в частоте между двумя отдельными звуками, которая составляет всего 2 Гц. Когда два звука с разницей в частоте более 7 Гц воспроизводятся одновременно, большинство людей способны обнаружить наличие сложной волновой картины, возникающей в результате интерференции и наложения двух звуковых волн.

Определенные звуковые волны, которые при одновременном воспроизведении (и прослушивании) вызывают особенно приятные ощущения, называются созвучными. Такие звуковые волны составляют основу интервалов в музыке. Например, любые два звука, частоты которых составляют соотношение 2:1, разделяются октавой и вызывают особенно приятные ощущения при прослушивании. То есть две звуковые волны звучат хорошо, если один из них имеет частоту в два раза выше, чем другой. Аналогично два звука с соотношением частот 5:4 разделены интервалом в одну треть, такие звуковые волны также хорошо звучат при совместном воспроизведении.

Амплитуда колебаний — определение, характеристика и формулы

Амплитуда колебаний – это максимальное значение отклонения от нулевой точки. В физике данный процесс анализируется в разных разделах.

Он изучается при механических, звуковых и электромагнитных колебаниях. В перечисленных случаях амплитуда измеряется по-разному и по своим законам.

Амплитуда колебаний

Амплитудой колебания называют максимальную отдаленную точку нахождения тела от положения равновесия. В физике она обозначается буквой А и измеряется в метрах.

За амплитудой можно наблюдать на простом примере пружинного маятника.

В идеальном случае, когда игнорируется сопротивление воздушного пространства и трение пружинного устройства, устройство будет колебаться бесконечно. Описание движения выполняется с помощью функций cos и sin:
x(t) = A * cos(ωt + φ0) или x(t) = A * sin(ωt + φ0),
где

величина А – это амплитуда свободных движений груза на пружине;
(ωt + φ0) – это фаза свободных колебаний, где ω — это циклическая частота, а φ0 – это начальная фаза, когда t = 0.

В физике указанную формулу называют уравнением гармонических колебаний. Данное уравнение полностью раскрывает процесс, где маятник движется с определенной амплитудой, периодом и частотой.

Период колебаний

Результаты лабораторных опытов показывают, что циклический период движения груза на пружине напрямую зависит от массы маятника и жесткости пружины, но не зависит от амплитуды движения.
В физике период обозначают буквой Т и описывают формулами:

Исходя из формул, период колебаний – это механические движения, повторяющиеся через определенный промежуток времени. Простыми словами периодом называют одно полное движение груза.

Частота колебаний

Под частотой колебаний следует понимать количество повторений движения маятника или прохождения волны. В разных разделах физики частота обозначается буквами ν, f или F.

Данная величина описывается выражением:
v = n/t – количество колебаний за промежуток времени,
где

n – это единица колебаний;
t – отрезок времени.

В Международной системе измерений частоту измеряют в Гц (Герцах). Она относится к точным измеряемым составляющим колебательного процесса.

Например, наукой установлена частота вращения Солнца вокруг центра Вселенной. Она равна -1035 Гц при одинаковой скорости.

Циклическая частота

В физике циклическая и круговая частота имеют одинаковое значение. Данная величина еще называется угловой частотой.

Обозначают ее буквой омега. Она равна числу собственных колебательных движений тела за 2π секунд времени:
ω = 2π/T = 2πν.

Данная величина нашла свое применение в радиотехнике и, исходя из математического расчета, имеет скалярную характеристику. Ее измерения проводят в радианах на секунду. С ее помощью значительно упрощаются расчеты процессов в радиотехнике.

Например, резонансное значение угловой частоты колебательного контура рассчитывают по формуле:
WLC = 1/LC.
Тогда как обычная циклическая резонансная частота выражается:
VLC = 1/2π*√ LC.

В электрике под угловой частотой следует понимать число полных трансформаций ЭДС или число оборотов радиуса – вектора. Здесь ее обозначают буквой f.

Для определения на графике составляющих колебательного механического процесса или, например, колебания температуры, нужно разобраться в терминах этого процесса.

К ним относят:

расстояние испытываемого объекта от исходной точки – называют смещением и обозначают х;
наибольшее отклонение – амплитуда смещения А;
фаза колебания – определяет состояние колебательной системы в любой момент времени;
начальная фаза колебательного процесса – когда t = 0, то φ = φ0.

Из графика видно, что значение синуса и косинуса может меняться от -1 до +1. Значит, смещение х может быть равно –А и +А. Движение от –А до +А называют полным колебанием.

Построенный график четко показывает период и частоту колебаний. Стоить отметить, что фаза не воздействует на форму кривой, а только влияет на ее положение в заданный промежуток времени.

Описание графика, применение маятников

Гармонические колебания обладают важным признаком, который заключается в том, что период колебаний не зависит от их частоты. В качестве моделей для демонстрации гармонических колебаний используют:

пружинный маятник;
математический маятник.

Предположим, что возвращающей силой является сила упругости, которая определяется по формуле:

$F=-kx$

где x – является отклонением от положения равновесия;

k – это коэффициент упругости.

Согласно второму закону Ньютона:

$F=ma$

Таким образом:

$ma=-kx$

Если разделить полученное уравнение на массу, то получится выражение для определения ускорения колеблющегося тела:

$a=-\frac{k}{m}x$

При известной угловой частоте, исходя из выведенной записи второго закона Ньютона, линейную частоту или период колебаний можно рассчитать так:

$\omega =2\pi \nu$

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Аналогичным способом можно определить угловую частоту для математического маятника. Кроме того, при колебательных движениях действует закон сохранения энергии.

Вызвать колебательные движения маятника, которые являются гармоническими, можно с помощью двух методов. В первом случае груз из равновесного положения выводят, а затем отпускают. Такое движение графически изображено на рисунке.

Второй способ заключается в придании телу импульса, после чего оно будет совершать гармонические колебания. К примеру, можно толкнуть предмет или раскачать качели, вначале выводя их из равновесного положения, а затем, отпустив. В любом промежуточном значении маятника сумма кинетической и потенциальной энергии будет равна начальной энергии рассматриваемого маятника.

Примечание

В реальности маятники, способные достаточно долго колебаться, не существуют. Такая ситуация является абстракцией.

Система маятников не является замкнутой по причине наличия силы трения. Действие этой силы способствует энергетическим потерям во время колебательных движений маятника.

Силы трения могут быть внешними и внутренними. В первом случае, это окружающий воздух или другая среда. Внутренняя сила может быть в подвесе маятника.

В результате амплитуда колебаний будет уменьшаться. В итоге это приведет к полной остановке маятника. При этом колебания будут затухающими.

Затухающие колебания – колебания, происходящие в незамкнутой системе, в том числе под действием силы трения.

Амплитуда таких колебаний с течением времени затухает. Большинство колебаний в окружающей среде относятся к затухающим колебаниям из-за постоянного присутствия сил трения.

Формулы, описывающие колебательные движения

Зависимость ускорения от времени

Знак ускорения a(t) всегда противоположно знаку смещения x(t), и, следовательно, возвращает тело в начальное положение (x=0), т.е. заставляет тело совершать гармонические колебания.

Максимальное значение ускорения

В уравнения, описывающие гармонические колебания, можно подставлять и синус, и косинус. Выбор определяют следующие факторы:

колебания могут быть названы синусоидальными или косинусоидальными по условию задачи;
если тело начинает движение из положения устойчивого равновесия (его толкнули), то используют формулу с синусом с начальной фазой, равной нулю;
если тело начинает движение не из точки равновесия (его отклонили и отпустили), то используют формулу с косинусом с начальной фазой, равной нулю;
если тело не находилось в точке равновесия и его толкнули, то начальная фаза не равна нулю, можно использовать формулы с синусом или косинусом.

смещение положения равновесия точки

Задача 40713

Написать уравнение синусоидального гармонического колебания, если амплитуда скорости 63 см/с, период колебаний 1 с, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени равно нулю. Найти амплитуду ускорения, частоту колебаний.

Задача 40738

Написать уравнение гармонического колебания, совершаемого по закону косинуса, если амплитуда ускорения 50 см/с2, частота колебаний 50 Гц, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 25 мм. Найти амплитуду скорости.

Задача 40739

Написать уравнение гармонического колебания, совершаемого по закону косинуса, если амплитуда ускорения 50 м/с2, частота колебаний 50 Гц, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 0,25 мм. Найти амплитуду скорости.

Задача 26216

Написать уравнение гармонических колебаний с амплитудой 50мм, периодом 4с и начальной фазой П/4. Найти смещение точки от положения равновесия при t = 0 и t = 1,5 с.

Задача 26560

Уравнение незатухающих колебаний дано в виде: У = 4 ·10–2cos6πt, м. Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75 см от источника колебаний через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 340 м/с.

Задача 11103

Напишите уравнение гармонического колебания, если амплитуда скорости vm = 63 см/с, период колебаний Т = 1 с, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени равно нулю. Найдите амплитуду ускорения и частоту колебаний. Постройте график зависимости смещения от времени.

Задача 12666

На каком ближайшем расстоянии от источника колебаний с периодом 45 мс через время, равное половине периода после включения источника смещение точки от положения равновесия равно половине амплитуды? Скорость распространения колебаний равна 158 м/с. Считать, что в момент включения источника все точки находятся в положении равновесия.

Задача 14576

Уравнение незатухающих колебаний х = 4sin(600πt) см. Найти смещение x от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, для момента времени t = 0,01с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний v = 300 м/с.

Задача 14932

Плоская монохроматическая волна распространяется вдоль оси Y. Амплитуда волны А = 0,05 м. Считая, что в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимально, определить смещение от положения равновесия точки М, находящейся на расстоянии у = λ/2 от источника колебаний в момент времени t = T/6.

Задача 15330

Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент времени Т/6 равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

Задача 17372

Начальная фаза гармонического колебания ψ = 0. При смещении точки от положения равновесия х1 = 2,4 см скорость точки v1 = 3 см/с, а при смещении х2 = 2,8 см ее скорость v2 = 2 см/с. Найти амплитуду А и период Т этого колебания.

Задача 19324

На каком расстоянии от источника колебаний, совершаемых по закону синуса, в момент времени t = T/2 смещение точки от положения равновесия равно половине амплитуды? Скорость распространения колебаний 340 м/с. Период колебаний 10–3 с.

Задача 19326

Источник плоских волн совершает колебания по закону x = A cos ωt. Через четверть периода после начала колебаний смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника, равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

Задача 19327

Источник плоских волн совершает колебания по закону x = A cos ωt. Какова амплитуда колебаний, если смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника на расстоянии λ/12 для момента времени T/4, равно 0,025 м?

Задача 20380

Определить начальную фазу колебаний, которые происходят по закону косинуса, если максимальная скорость равна 16 см/с, период колебаний 1,4 с, а смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени составляет 2,84 см.