Математическая модель

Понятие модели

В ходе своей деятельности люди используют модели, т.е. создают образ, копию того объекта, с которым им приходится работать. Человек, когда продумывает план действий, представляет результат своих действий, строит модель в уме.

Определение 1

Модель – это объект, который был создан искусственно с целью упрощенного представления о реальном объекте, процессе или явлении и отражает существенные стороны объекта, который изучается, с точки зрения цели моделирования.

Определение 2

Моделирование – это процесс построения моделей, которые предназначены для изучения и исследования объектов, процессов или явлений.

Получи помощь с рефератом от ИИ-шки

ИИ ответит за 2 минуты

Объект, для которого создают его модель, называют оригиналом или прототипом. Модель не является абсолютной копией своего прототипа, а лишь отражает основные его качества и свойства, которые являются наиболее существенными для выбранной цели исследования. При создании модели всегда имеют место определенные допущения и гипотезы.

С помощью системного подхода можно создавать полноценные модели. Особенностями системного подхода является:

• представление изучаемого объекта как системы, описание и исследование элементов которой не выступает как сама цель, а выполняется с учетом их места (наличие подзадач);
• неотделимость объекта в целом от условий его существования и функционирования;
• представление объекта как составной части чего-то целого (сам объект является подзадачей);
• один и тот же элемент, который изучается, рассматривается как элемент с разными характеристиками, функциями и даже принципами построения;
• на первом месте находятся не только причинные объяснения функционирования объекта, но и необходимость включения его в состав других элементов;
• наличие у объекта большого количества индивидуальных характеристик и степеней свободы;
• альтернативы решения задач сравниваются в первую очередь по критерию «стоимость – эффективность».

Создание универсальных моделей является следствием использования системного подхода.

Замечание 1

В некоторых случаях моделирование незаменимо. Нельзя, например, устроить ядерную катастрофу для выяснения масштабов возможного заражения, а с помощью компьютерных программ возможен расчет (причем достаточно точный) параметров, которые интересуют исследователей.

Определение 3

Моделирование является основным способом научного познания. В информатике данный способ именуется вычислительным экспериментом и основан на трех основных понятиях: модель – алгоритм – программа.

Компьютер при моделировании используется в трех направлениях:

1. Вычислительном для прямых расчетов по программе.
2. Инструментальном при построении базы знаний для преобразования ее в алгоритм и программу.
3. Диалоговом при поддержании интерфейса между пользователем и компьютером.

Список литературы[]

Безручко Б. П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. — Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. — ISBN 5-94409-045-6. (см. ISBN )

Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры.. — 2-е изд., испр.. — М.: Физматлит, 2001. — ISBN 5-9221-0120-X. (см. ISBN )

Введение в математическое моделирование. Учебное пособие. Под ред. П. В. Трусова. — М.: Логос, 2004. — ISBN 5-94010-272-7. (см. ISBN )

Чимбал Б. Н. Математическое моделирование сложных систем в металлургии. — Москва: «Российские университеты» Кузбассвузиздат — АСТШ, 2004. — ISBN 5-202-00925-9. (см. ISBN )

Задачи математического моделирования[]

Существует два основных класса задач, связанных с математическими моделями:
прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются известными, и
нам остается только исследовать ее поведение. Например, определение частоты
колебаний гармонического осциллятора при известном значении параметра k{\displaystyle k} —
прямая задача математического моделирования.

Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны
(например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя
поведение реальной системы с ее моделью. Еще одна обратная задача: подобрать
параметры модели таким образом, чтобы она удовлетворяла каким-то заданным
условиям — такие задачи требуется решать при проектировании систем.

Математическая модель реальных ситуаций

Стоит понимать кое-что еще. «Математическая модель реальных ситуаций» — крайне условная формулировка. Реальные ситуации относятся к объектам реальности, в то время как математическая модель — к абстракциям высокого уровня. Абстракция никогда не в состоянии на сто процентов адекватно отражать реальность. Она помогает лишь приблизиться к пониманию реальности.

НАПРИМЕР

Математическая модель скорости

Рассмотрим пример всем знакомой и интуитивно понятной модели в виде физической формулы. В младшей школе, решая несложные задачи на движение, вы работали со следующей формулой скорости:

$$v=\frac{S}{t}$$

Суть данной математической модели проста и понятна — скорость есть километры за час. Если автомобиль прошел 120 километров за 2 часа, его скорость составляет 60 км/ч:

$$\frac{120}{2}=60$$

Однако нельзя сказать, что все два часа автомобиль двигался со скоростью 60 км/ч. Посмотрите, к примеру, на то, как автопрофессионал работает с педалями тормоза, газа и сцепления.

Очевидно, что скорость автомобиля меняется каждую миллисекунду, что уж говорить о часах. Поэтому модель «$\frac{S}{t}$», так скажем, учебная. Она используется во многом, чтобы давать представление о том, как устроена система расчета скорости физических объектов.

Но средняя скорость не отражает в полной мере объект «скорость» реального мира.

С другой стороны, хитросплетенные математические модели — например, искусственного интеллекта — позволяют намного больше, но и они далеки от реальности. Даже самые многофакторные модели ИИ не выдерживают конкуренции с настоящим человеческим мозгом.  

{"questions":[{"content":"`image-1`Поможем Юному Математику? Из ниже предложенного нужно выбрать свойства, принадлежащие концепции математической модели. `choice-9`","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/dialogue-test-scene-maths-modelling-1.svg"},"choice-9":{"type":"choice","options":,"answer":}}}]}

Классификация математических моделей

Все модели можно поделить по виду, целям, содержанию и другим параметрам. Часто встречаются смешанные виды.

Статистическая модель по отношению ко времени – сколько нужно купить пирожных и сока, чтобы устроить сладкий стол для школьников.

Динамическая – динамика изменения цены на яйца, масло, и изменение стоимости готового торта помесячно.

Дискретная модель описывает поведение объекта в конкретный момент времени, например, энергия электрона в атоме водорода.

Непрерывная модель позволяет исследовать постоянное изменение высоты уровня океана от температуры воздуха на планете.

Предопределенная модель по характеру зависимости параметров – расчет качества зерна при изменении температуры и влажности в складе.

Случайная – описание движения кометы. В данном случае идет фактическое описание различных параметров, так как повлиять на них невозможно.

Важно разобрать поставленную задачу на простые расчеты, в зависимости от цели. В примере с курочками может понадобиться, сколько корма нужно с момента, когда курица начинает нести яйца и до спада или же до полного прекращения яйценоскости

Тогда нужно рассчитывать весь объем корма, но на разное количество голов и на различные сроки.

Так как треть от суточного состава занимает пшеница и продукты ее переработки, можно рассчитать, сколько сеять (зная, что ее средняя урожайность яровой 4,5 т/га или 5,8 т/га озимой), чтобы обеспечить 1000 голов курочек-несушек. В составе корма зерна и отруби из пшеницы занимают почти 32%. Остальные компоненты купить или рассчитать по аналогии.

Математическая модель оптимизации выдачи кредита

• Банк ограничен ресурсами, обеспечивающими кредиты.
• Центробанк диктует нормативы, которым должен удовлетворять состояние коммерческого банка
• Некоторые потенциальные заемщики могут характеризоваться недопустимым риском

Математика отношений между субъектами

• Платежи
• Кредитование
• Депозитование
• Договорные
• Вражда
• Криминал
• Сотрудничество
• Банковское обслуживание

• Находить цепочки(в том числе и циклы) отношений произвольной длины для однородных отношений
• Находить цепочки(в том числе и циклы) отношений произвольной длины для неоднородных отношений
• Находить вышеозначенные цепочки для отношений, удовлетворяющих задаваемым условиям
• Находить вышеозначенные цепочки для субъектов, удовлетворяющих задаваемым условиям и т.д.
• Находить цепочки минимальной длины
• Находить цепочки максимальной стоимости(для платежей)

Определение оптимального лага клиринга

1. Платить в реальном времени. Обычно в таком режиме реализуются крупные платежи и соответствующий режим носит название RTGS(Real-Time Gross Settlement)
2. Платить через некоторые дискретные моменты времени. Между этими моментами собирается портфель неоплаченных документов. А когда промежуток простоя(лаг клиринга) истекает, начинается оплата с учетом встречных требований, что в общем случае приводит к тому, что может реализоваться больше платежей, чем в оплате реальном времени. Так, если A должен заплатить B 100, а B должен заплатить A 90, то A платит B 10 и все Ok. Можно строить цепочки не только из двух клиентов, а из произвольного числа клиентов. Этот режим называется клирингом, а точнее неттинг-клирингом.

1. Слишком большой лаг клиринга приводит к простою ресурсов и становится невыгодным. Это очевидно, если взять бесконечный лаг
2. Слишком маленький лаг клиринга не приносит выгоды и становится бесполезным. Это очевидно, если взять лаг равный нулю.

Заключение

Широта мыслительной сферы имеет не менее важное значение, чем язык программирования. Одним из действенных инструментов, влияющих на успех проекта, является построение математических моделей предметной области или ее частей.математическая модель может быть

• Функциональной, динамической, воплощаемых в терминах математических функций. В терминах ООП это математизация методов объектов. Методы – имманентность объектов. Примеры функциональных моделей: риски, оптимизация выдачи кредитов.
• Статической, воплощаемой в связях между данными объектов. Алгоритм обработки этих связей зависит от выбранных структур. Примеры статических моделей: план счетов, отношения между субъектами.

• Эвристической. Это модель, дающая приблизительное решение, воплощающее некую строгую, но неточную модель, удовлетворяющее здравому смыслу. Не имея точного решения, нужно удовлетвориться эвристикой. Примеры эвристических моделей: эмпирический риск, оптимальный лаг клиринга.
• Точной. Это модель, дающая, в принципе, точное решение. Примеры точных моделей: оптимизация выдачи кредита, физические модели: управление ядерным реактором, управление полетом ракеты, вычисление координат по GPS.

• Нормативной. Без такой модели нет проекта. Она диктует проект. Она суть проекта. Выражаясь философски она имманентна проекту. Примеры модели: модель оптимизации выдачи кредита. Вряд ли кто-то предложит ее решение, не опираясь на математику. К такого рода задачам относятся задачи управления полетом ракет, управление работой реактора, обработка данных на адронном коллайдере, задачи машинного обучения и т.д.
• Объяснительной. Без неё проект строить можно. Но имея объяснительную модель, можно привести свои представления о предметной области в строгую систему и подготовиться к возможным расширениям. Пример объяснительной модели: модель учета. Расширяя рамки объяснительной модели, можно прийти к нормативной.

Суть математической модели

Пусть перед Решавром стоит задача — отправиться в магазин и приобрести продукты по списку. С ограниченным бюджетом, допустим, в пятьсот рублей, решить данную задачу с наскока сложно. Что делать Решавру? Испытать удачу? Пройтись сразу по нескольким точкам в поиске уцененных товаров?

Решавр решает поступить умнее: смоделировать итоговый чек.

Этап наблюдения

В течение первого этапа — этапа наблюдения — мы пытаемся догадаться, как выразить объекты реального мира языком математики.

Видим, что список продуктов включает в себя два килограмма огурцов, три банки горошка и двести граммов сыра. Введем три соответствующие переменные. Обозначим:

• цену на килограмм огурцов как $\textcolor{blue}{x}$;
• цену банки горошка как $\textcolor{blue}{y}$;
• и цену на килограмм сыра как $\textcolor{blue}{z}$.

Этап моделирования

В течение второго этапа — этапа моделирования — мы ищем математическую взаимосвязь между выбранными объектами.

$$S=2x+4y+0,2z$$

Итоговое значение чека $\textcolor{blue}{S}$ получается в результате суммирования цен на обозначенные в списке позиции. Цены на огурцы («$\textcolor{blue}{x}$») и сыр («$\textcolor{blue}{z}$») при определении переменных мы указывали развесные, за килограмм, откуда получаем $2x$ и $0,2z$. Цена на горошек ($\textcolor{blue}{y}$) указывалась поштучная, поэтому цена-результат умножается на количество банок — $4y$.

Что за алгебраическая запись в конечном счете получилась у нас выше? Она самая, математическая модель!

{"questions":[{"instruction":" Давайте вас проверим!","content":"`speech-1``choice-11`","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","char":"1","text":"Какой вывод мы можем сделать о взаимосвязи математической модели и математического языка?"},"choice-11":{"type":"choice","options":["Математическая модель выражается математическим языком.","Математический язык не используется на этапе моделирования."],"answer":}}}]}

Этап предсказания

В течение последнего этапа мы заключаем, как будет использоваться составленная математическая модель для решения поставленной задачи.

Предположим, мы взяли три ближайших продуктовых магазина и выгрузили с помощью онлайн-ресурса актуальные прайсы. Составим таблицу на основе интересующих нас позиций, а после рассчитаем для каждого магазина итоговое значение чека.

ВЫВОД

Видим, что все необходимые продукты с учетом нашего бюджета (500 рублей) можно приобрести в одной точке — в «Магазине 1».

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3
Огурцы / кг	80 руб.	95 руб.	75 руб.
Сыр / кг	400 руб.	550 руб.	490 руб.
Горошек / шт.	60 руб.	80 руб.	110 руб.
Итог $S$	480 руб.	620 руб.	688 руб.

Подробный расчет значений чека $S$ — вам сюда

Скрыть расчет

Напоминаем, что математическая модель расчета итоговой стоимости покупок выглядит следующим образом:

$$S=2x+4y+0,2z$$

Подставим вместо переменных значения из таблицы соответствующим образом:

Первыймагазин. $2\cdot80+4\cdot60+0,2\cdot400=480$

Второй магазин. $2\cdot95+4\cdot80+0,2\cdot550=620$

Третий магазин. $2\cdot75+4\cdot110+0,2\cdot490=688$

Пример[]

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины,
закрепленной с одного конца, и груза массой m{\displaystyle m}, прикрепленного к свободному
концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси
пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую
модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x{\displaystyle x} от центра
груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с
помощью закона Гука (F=−kx{\displaystyle F = -kx}) после чего воспользуемся \emph{вторым
законом Ньютона}, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

mx¨=−kx,{\displaystyle
m\ddot x=-kx,
}

где x¨{\displaystyle \ddot{x}} означает вторую производную от x{\displaystyle x} по времени: x¨=d2xdt2{\displaystyle \ddot x=\frac{d^2
x}{dt^2}}.
Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической
системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором». В процессе ее
построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии
трения, малости отклонений и т.~д.), которые в реальности могут не выполняться.
В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико и
при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо
описывает реальную систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо
малое влияние на ее поведение

Однако модель можно уточнить, приняв во внимание
какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и
снова ограниченной) областью применимости.
Впрочем, при уточнении модели, сложность ее математического исследования может
существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной

Зачастую более
простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более
сложная (и, формально, «более правильная»).

2 Суррогатное моделирование

Один из способов упростить исследование — построить суррогатные модели (аппроксимационные модели, модели поверхности отклика, метамодели, модели чёрного ящика) (см. рис. \ref{fig:model-surrogate}), которые имитируют поведение исходной модели настолько близко, насколько это возможно, в то время как вычислительно дёшевы.

Суррогатные

модели строятся с использованием подхода, основанного на данных

Точная внутренняя работа кода моделирования не предполагается известной (или даже понятой), важно только поведение ввода–вывода (приготовления–измерения). Модель строится на основе моделирования реакции на ограниченное количество (порой достаточно большое) выбранных точек данных

• Такого типа модели известны многим исследователям. Когда задействована только одна расчётная переменная, процесс построения суррогатной модели называется подгонкой кривой.

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

• Научная задача суррогатного моделирования заключается в создании суррогата, который является максимально точным, используя как можно меньше оценок моделирования.

• Процесс состоит из следующих основных этапов, которые могут чередоваться []:

  • выбор образца;
  • построение суррогатной модели и оптимизация параметров модели;
  • оценка точности суррогата.

• Для некоторых проблем природа истинной функции априори неизвестна, поэтому неясно, какая суррогатная модель будет наиболее точной. Кроме того, непонятно, как получить наиболее надёжные оценки точности данного суррогата.

• В данном случае модельный слой заменяется догадками исследователя.

1 Структура математической модели

• Моделирование как дисциплина охватывает разные типы модельных подходов. С нашей точки зрения эти подходы можно схематически описать единым образом. В данном случае структура исследования состоит из операциональных и теоретических частей. Операциональные части представлены процедурами приготовления системы и измерения. Также распространено описание операциональной части как входных и выходных данных.

• Теоретическая часть состоит из двух слоёв: модельного слоя и слоя реализации. Слой реализации описывает конкретную структуру эволюции системы.

• В зависимости от типа реализации, можно получать разные виды моделей:

  • математическую модель (реализация — математические выражения),
  • имитационная модель (реализация — алгоритм),
  • физическая модель (реализация — аналоговая система),
  • суррогатная модель (реализация — аппроксимация поведения).

• Каждый тип моделей имеет свою область применимости, свои преимущества и недостатки. Использование всего спектра моделей позволяет наиболее глубокое и всестороннее исследование моделируемой системы.

• Наиболее строгое исследование базируется, обычно, на математической модели. В этом случае модельный слой реализуется посредством математических выражений, описывающих эволюцию системы.

• Полученную математическую модель нужно сопоставить с экспериментальными данными, верифицировать её.

• Большинство научных и технических проблем требуют экспериментов и моделирования для получения результатов, определения ограничений, накладываемых на результат.

• Однако для многих реальных проблем одно только моделирование может занять несколько минут, часов, дней. В результате рутинные задачи, такие как оптимизация решений, исследование пространства решений, анализ чувствительности и анализ «что, если» становятся невозможными, поскольку они требуют тысяч или миллионов оценок моделирования.

Универсальность моделей[]

Математические модели обычно обладают важным свойством универсальности:
принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же
математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только
поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие
совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в
U{\displaystyle U}-образном сосуде, изменение силы тока в колебательном контуре или колебания
популяций биологических видов. Таким образом, изучая одну математическую
модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений.

Способы создания списков в Word

Чтобы делать списки в текстовом редакторе Word, можно воспользоваться одним из предложенных способов:

1. Первый способ создания маркированного списка, самый частый. В нужном месте документа поставить курсор, на Главной панели выбрать вкладку Абзац, навести мышку на выпадающее меню маркированного/нумерованного или многоуровнего списка.

Выбрать нужный тип маркера. Начать печатать текст. Каждая новая строчка (после Enter) считается новым пунктом, а значит, будет с выбранным маркером.

Пример маркированного списка:

Времена года и месяцы:

Аналогично делается нумерованный список:

Времена года и месяцы:

Важно! Правилом хорошего тона считается пункты маркированного списка начинать с маленькой буквы, а заканчивать точкой с запятой. Нумерованный список начинают с большой буквы, а заканчивают точкой

Примеры, виды многоуровнего списка:

Времена года и месяцы:

Второй способ создания нумерованного или другого списка – при помощи контекстного меню, правой клавиши мыши (ПКМ).

Курсор поставить в нужное место в документе, нажать ПКМ, выбрать пункт Маркеры или Нумерация.

Для варианта с маркером:

Для варианта с нумерацией:

Можно преобразовать информацию в список. Для этого набранные строки выделить, потом выбрать тип списка на главной панели или при помощи ПКМ. Программа принимает, что окончание строки (Enter) есть окончание пункта списка.

Пошаговая инструкция или простой алгоритм

Среди огромного количества списков обособленно стоят нумерованные списки в ворде или в другом редакторе, которые являются не перечнем чего-либо, а пошаговым планом действия.

Как видно из примеров, когда нумерованный список используется просто как описание пунктов, объектов, пункты можно менять местами, конечная цель будет получена – пользователь получит весь объем информации.

Для нумерованного списка в виде пошаговой инструкции критично важна последовательность пунктов. Каждый следующий шаг можно делать только после предыдущего. Только тогда на выходе будет нужный результат. Это понятно на примере пошагового кулинарного рецепта.

Это и есть линейный алгоритм, в котором процесс разбивается на элементарные шаги. Выполняя эти простые действия, пользователь достигнет желанной цели, даже если она кажется сложной.

Давайте придумаем простейший алгоритм. Например, приготовление бутерброда с маслом и сыром.

Чтобы получить в конце готовый бутерброд, придется выполнить такие шаги:

1. Взять деньги.
2. Сходить в магазин.
3. Купить хлеб, масло, сыр.
4. Принести продукты домой.
5. Нарезать хлеб.
6. Обжарить хлеб на горячей сковороде до румяной корочки.
7. Намазать гренки тонким слоем масла.
8. Нарезать сыр.
9. На хлеб с маслом положить кусочки сыра.

Посмотрите, каждый шаг алгоритма простой и понятный. Но даже такие простейшие пункты можно разобрать на еще более детальные этапы. Например, взять деньги дома, положить в кошелек, одеться, обуться, выйти из квартиры, закрыть дверь ит.д. Детализировать можно до элементарных шагов.

Уровень детализации каждого шага алгоритма подбирают в зависимости от уровня исполнителя. Если алгоритм рассчитан для новичка, он будет состоять из самых простых шагов, если человек опытный, пункты будут сложнее. Это как объяснять новый рецепт неопытному кулинару и мастер-шефу.

Множество задач можно перевести в универсальную форму, используя математический язык. А составив алгоритм и написав по нему программу, ускорить, упростить расчет большинства задач. Без математических моделей и программирования невозможно представить расчет годового бюджета, мониторинг парникового эффекта, расчеты в садоводстве и земледелии.

Дополнительные примеры[]

Модель Мальтуса

Cкорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

x˙=αx,{\displaystyle
\dot x= \alpha x, }

где α{\displaystyle \alpha} — некоторый параметр, определяемый разностью между
рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная
функция x(t)=xeαt{\displaystyle x(t)=x_0 e^{\alpha t}}. Если рождаемость превосходит
смертность (α>{\displaystyle \alpha>0}), размер популяции неограниченно и очень
быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить
из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объема
популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает
ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить
логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

x˙=α(1−xxs)x,{\displaystyle
\dot x=\alpha \left( 1-\frac{x}{x_{s}} \right) x, }

где xs{\displaystyle x_s} — «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению xs{\displaystyle x_s}, причем такое поведение структурно устойчиво.

Система хищник-жертва

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов x{\displaystyle x}, число лис y{\displaystyle y}. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя Вольтерра—Лотки:

{x˙=(α−cy)x;y˙=(−β+dx)y.{\displaystyle
\begin{cases}
\dot x=(\alpha -c y)x;\\
\dot y=(-\beta+d x) y.
\end{cases}
}

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебания численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновестное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Волтерра—Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Жесткие и мягкие модели[]

Гармонический осциллятор — пример так называемой «жесткой» модели. Как уже
было сказано, она получена в результате сильной идеализации реальной физической
системы. Для решения вопроса о ее применимости необходимо понять, насколько
существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно
исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жесткой». Она
может задаваться, например, следующим уравнением:

mx¨=−kx+εf(x,x˙),{\displaystyle
m\ddot x=-kx+\varepsilon f(x,\dot x),
}

Здесь f(x,x˙){\displaystyle f(x,\dot x)} — некоторая функция, в которой может учитываться сила
трения или зависимость коэффициента жесткости пружины от степени ее растяжения,
ε{\displaystyle \varepsilon} — некоторый малый параметр. Явный вид функции f{\displaystyle f} нас в данный момент
не интересует~.
Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от
поведения жесткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они
достаточно малы), задача сведется к исследованию жесткой модели. В противном
случае применение результатов, полученных при изучении жесткой модели, потребует
дополнительных исследований.
Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида
x(t)=Asin⁡kt+Bcos⁡kt{\displaystyle x(t)=A \sin \sqrt{k}t+ B \cos \sqrt{k}t}, то есть колебания с постоянной
амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго
колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь
угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим
затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении,
говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример
структурно-неустойчивой системы. Тем не менее, эту модель можно применять для
изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Итого, что позволяют математические модели?

Метод математических моделей помог нам, физически не находясь в магазине, понять, сможем ли мы уложиться в некоторую сумму. Однако конечно же, составление и анализ математической модели не ограничиваются подобными элементарными ситуациями.

Алгебраический аппарат становится сложнее, и вместе с этим открываются новые возможности для описания все более комплексных систем. Все это впереди!

Определение математической модели

Тем не менее даже на примере ситуации с магазином раскрывается суть математической модели следующими тенденциями.

Самое главное: математические модели позволяют выразить ситуацию, положение, систему, механизм и т. п. математическим языком. То, что мы привыкли представлять словами, переводится на строгий язык цифр и переменных.

В основном метод математических моделей приводит к составлению конечного алгебраического выражения. Решая выражение, мы приходим к пониманию, что получается в результате работы описанной системы.

Таким образом, определение математической модели: