Линейные неравенства

Фактчек

• Метод интервалов позволяет упростить решение любого  неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене. 
• Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала. 
• Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка. 
• Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию. 
• Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется. 

Решения неравенств с одной переменной методом интервалов

С помощью метода интервалов можно упростить решение линейных неравенств

При этом важно, чтобы коэффициент x в таком неравенстве был отличен от нуля

Алгоритм действий:

1. Записать функцию в виде .
2. Найти нули, чтобы разбить область определения на промежутки.
3. Обозначить корни, которые получились, на прямой с координатами.
4. Определить знаки и отметить их на интервалах.

Руководствуясь стандартным алгоритмом, можно составить последовательность решения с помощью способа интервалов:

Заметим, что коэффициент при х отличен от нуля. Руководствуясь рассмотренной ранее последовательностью действий, вычислим корень уравнения:

6x + 12 = 0

−6x = −12

x = 2

Представим рисунок координатной прямой. Зная, что неравенство строгое, отметим точку выколотой.

Найдем знаки для промежутков.

Рассмотрим промежуток . Подставим значение x = 10 в исходную функцию, получим:

y = −6x + 12

Можно сделать вывод, что данный промежуток соответствует положительному знаку.

В результате промежуток имеет отрицательный знак. Отметим знаки на координатной прямой:

В неравенстве записан знак >. По этой причине нужно заштриховать область на координатной прямой, расположенную над положительным промежутком.

Ознакомимся с рисунком. Исходя из условий неравенства, его решением является . Другой вариант записи ответа: .

В чем суть решения неравенств методом интервалов

Метод интервалов в алгебре отличается удобством и эффективностью применения при решении заданий на неравенства, которые записаны в виде f(x) > 0 В этом случае f(x) представляет собой рациональную функцию, а на месте знака «>» может быть подставлены знаки «». Метод применим к решению следующих неравенств:

• линейные;
• квадратные;
• дробно-рациональные.

Смысл методики самостоятельного решения неравенств методом интервалов состоит в разложении выражения на множители, поиске области допустимых значений и определении знака, который имеют сомножители. Рассмотрим на примере неравенства:

Исходя из отсутствия деления на переменную и радикалов, можно пропустить шаг определения ОДЗ. Разложение на множители также в данном случае не требуется.

Заметим, что слева выражение обладает значением, которое больше нуля в том случае, когда оба выражения в скобках больше или меньше нуля. Это объясняется тем, что «плюс» на «плюс» дает «плюс» и «минус» на «минус» дает «плюс». Когда выражения в скобках обладают разными знаками, слева выражение имеет значение, меньше нуля.

Таким образом, нужно определить знаки. Для этого решим уравнение, которое было бы аналогично неравенству, но вместо знака «>» оно содержит знак равенства. С помощью корней такого уравнения можно в дальнейшем вычислить пограничные значения, при отступлении x от которых множители (x+1) и (x-2) будут обладать значениями, больше или меньше нуля.

Метод решения неравенств с помощью интервалов основан на такой последовательности действий:

1. Решение уравнения f(x) = 0 для определения нулей функции. Когда функция дробно-рациональная, требуется определить нули числителя и нули знаменателя.
2. Перенос полученных значений на числовую ось. Нули для знаменателя в любом случае являются выколотыми точками. Нули числителя, выколотые в том случае, если неравенство является строгим, закрашенные при нестрогом неравенстве.
3. В результате числовая ось разбивается на интервалы. В каждом из них нужно определить знак функции f(x).
4. В том случае, когда переход через закрашенную точку не приводит к изменению знака, данную точку (если она не принадлежит внутренней области в промежутке решения) называют изолированной точкой-решением.

При решении практических примеров по стандартному краткому алгоритму в распространенных случаях возникают трудности со знаками. В этом случае полезно запомнить несколько замечаний:

1. Если функция является непрерывной, смена знака происходит в точках, где она принимает нулевые значения. С помощью таких точек координатная ось разбивается на участки, внутри которых знак функции стабилен. В процессе решения неравенств выполняется поиск корней уравнения f(x) = 0, и отмечаются определенные корни на прямой. Это позволяет определить пограничные значения, отделяющие плюсы от минусов.
2. С целью определить знак функции на конкретном интервале нужно выполнить подстановку любого числа из заданного интервала в эту функцию.

Существует ряд недопустимых действий в случае решения неравенств:

• домножение на знаменатель;
• умножение или деление на отрицательное число без смены знака;
• исключение логарифма или основания.

Когда решений нет

Если неравенства, входящие в систему, не имеют общих решений, то говорят, что система не имеет решений.

Пример 1. Решить неравенство 

Решим каждое неравенство по отдельности:

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 7, включая число 7. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше −3, включая число −3.

Видим, что у данных неравенств нет общих решений. Увидеть это наглядно позволит координатная прямая. Отметим на ней множество решений каждого неравенства:

На координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Это говорит о том, что неравенства y ≥ 7 и y ≤ −3 не имеют общих решений. Значит не имеет решений система 

А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система 

Ответ: решений нет.

Пример 2. Решить систему неравенств 

Решим каждое неравенство по отдельности:

Изобразим множество решений неравенств x ≤ −3 и x ≥ 9 на координатной прямой:

Видим, что на координатной прямой нет областей, которые отмечены штрихами с обеих сторон. Значит неравенства x ≤ −3 и x ≥ 9 не имеют общих решений. А значит не имеет решений система 

А если не имеет решений приведённая равносильная система , то не имеет решений и исходная система

Ответ: решений нет.

Пример 3.  Решить систему неравенств 

Решим каждое неравенство по отдельности:

Получили неравенства 0 < −0,2 и a > 5. Первое неравенство не является верным и не имеет решений. Решением второго неравенство a > 5 являются все числа, которые больше 5. Но поскольку первое неравенство не будет верным ни при каком a, то можно сделать вывод, что у неравенств нет общих решений. А значит не имеет решений исходная система 

Ответ: решений нет.

Примеры решения систем линейных неравенств с одной переменной

Несколько линейных неравенств, удовлетворяющих одним и тем же решениям, образуют систему.

Рассмотрим простейший пример. Система состоит из двух неравенств, которые уже решены.

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 4. Решениями второго неравенства являются все числа, которые меньше 9.

Изобразим множество решений каждого неравенства на координатной прямой и запишем ответы к ним в виде числовых промежутков:

Но дело в том, что неравенства x > 4 и x < 9 соединены знаком системы, а значит зависимы друг от друга. Им не дозволяется раскидываться решениями как им захочется. Наша задача указать решения, которые одновременно будут удовлетворять и первому неравенству и второму.

Говоря по-простому, нужно указать числа, которые больше 4, но меньше 9. Очевидно, что речь идет о числах, находящихся в промежутке от 4 до 9.

Значит решениями системы  являются числа от 4 до 9. Границы 4 и 9 не включаются во множество решений системы, поскольку неравенства x > 4 и x < 9 строгие. Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ ( 4 ; 9 )

Также, нужно изобразить множество решений системы на координатной прямой.

Для системы линейных неравенств решение на координатной прямой изображают так:

Сначала указывают границы обоих неравенств:

На верхней области отмечают множество решений первого неравенства x > 4

На нижней области отмечают множество решений второго неравенства x < 9

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 4 до 9. Для наглядности выделим эту область красным цветом:

Для проверки можно взять любое число из этого промежутка и подставить его в исходную систему . Возьмем, например, число 6

Видим, что решение 6 удовлетворяет обоим неравенствам. Возьмём ещё какое-нибудь число из промежутка (4; 9), например, число 8

Видим, что решение 8 удовлетворяет обоим неравенствам.

Исходя из рассмотренного примера, можно сформировать правило для решения системы линейных неравенств:

Чтобы решить систему линейных неравенств, нужно по отдельности решить каждое неравенство, и указать в виде числового промежутка множество решений, удовлетворяющих каждому неравенству.

Пример 2. Решить систему неравенств 

Решениями первого неравенства являются все числа, которые больше 17. Решениями второго неравенства являются все числа, которые больше 12.

Решениями же обоих неравенств являются все числа, которые больше 17.

Изобразим множество решений системы  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

Для начала отметим на координатной прямой границы обоих неравенств:

На верхней области отметим множество решений первого неравенства x > 17

На нижней области отметим множество решений второго неравенства x > 12

Нас интересует область, которая отмечена штрихами с обеих сторон. В этой области и располагаются решения системы . Видно, что эта область располагается в промежутке от 17 до плюс бесконечности. Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ ( 17 ; +∞ )

Пример 3. Решить систему неравенств 

Решим каждое неравенство по отдельности. Делать это можно внутри системы. Если испытываете затруднения при решении каждого неравенства, обязательно изучите предыдущий урок

Получили систему . На этом решение завершается. Осталось изобразить множество решений системы на координатной прямой и записать ответ в виде числового промежутка.

Как и в прошлом примере, сначала нужно отметить границы обоих неравенств, затем отметить множество решений каждого неравенства (x > 6 и x > 3). Область координатной прямой, отмеченная с обеих сторон, будет промежутком, в котором располагается множество решений системы 

x ∈ ( 6 ; + ∞ )

Пример 4. Решить систему неравенств 

Решим каждое неравенство по отдельности:

Изобразим множество решений системы  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 5. Решить неравенство 

Решим каждое неравенство по отдельности:

Изобразим множество решений системы  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Проверь себя

Задание 1. Какие знаки неравенства существуют?

1. Строгие
2. Нестрогие
3. Строгие и нестрогие 
4. Больше и меньше

Задание 2. Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

1. Только больше или меньше. 
2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”. 
3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
4. Любой. 

Задание 3. Какое утверждение верное?

1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты. 

Задание 4. Какое утверждение верное? 

1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе? 

1. Круглые
2. Квадратные
3. И круглые, и квадратные
4. Ни один из перечисленных вариантов 

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1 

Основные правила решения линейных неравенств

Линейные неравенства можно записать в таком виде:

Здесь a и b являются какими-либо числами, при этом определяется, как неизвестная переменная.

Неравенства могут быть строгими, нестрогими и прочими. 

Строгие неравенства, содержащие знаки больше (>) или меньше (<):

a < b — тогда a меньше по сравнению с b,

a > b — тогда a больше по сравнению с b,

a > b и b < a являются равносильными неравенствами, так как обозначают одно и тоже.

Нестрогие неравенства, содержащие знак сравнения (больше или равно) или (меньше или равно):

— тогда a меньше по сравнению с b, либо они равны,

— это значит, что a больше по сравнению с b, либо они равны,

знаки и противоположны друг другу.

Прочие неравенства:

— тогда a не равно b,

a \gg b — тогда a много больше по сравнению с b,

— тогда a много меньше по сравнению с b,

знаки являются противоположными друг другу.

Числовые неравенства характеризуются следующими свойствами:

1. При a > b имеем, что b < a. Справедливо и обратное утверждение: если a < b, тогда b > a.
2. При a > b и b > c верно, что a > c. С другой стороны, при a < b и b < c, то a < c.
3. Когда a > b, верно, что a + c > b + c (и  a — c > b — c). При a < b верно, что a + c < b + c (и a — c < b — c). Обе части данного выражения допускается увеличить или уменьшить на одинаковую величину.
4. Когда a > b и c > d, верно, что a + c > b + d . При a < b и c < d, получим, что a + c < b + d. Если неравенства имеют один и тот же смысл, их можно суммировать, складывая соответствующие члены. В процессе требуется выполнить проверку. К примеру, когда из 12 > 8 почленно отнимают 3 > 2, получается правильный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно отнять 7 > 2, то полученное выражение будет неверным.
5. При a > b и c < d получим, что a — c > b — d. Когда a < b и c > d, справедливо, что a — c < b — d. Из какого-либо неравенства допускается почленно отнимать другое неравенство которое противоположно первому по смыслу. Знак при этом сохранится того неравенства, которое играло роль уменьшаемого.
6. Если a > b, m является положительным числом, то получим, что ma > mb. Обе части неравенства допускается умножать и делить на одинаковое положительное число. Знак при этом сохраняется без изменений. В том случае, когда а > b, n является отрицательным числом, получим, что na < nb. Таким образом, обе части неравенства допустимо умножить или разделить на одно и то же отрицательное число. Здесь потребуется изменить знак полученного неравенства на противоположный.
7. Когда a > b и c > d, где a, b, c, d > 0 верно, что ac > bd. При a < b и c < d, где a, b, c, d > 0, получим, что ac < bd. Неравенства, которые обладают одинаковым смыслом, в пределах множества из положительных чисел допускается почленно умножать. Следствие рассмотренного свойства или квадратный пример: если a > b, где a, b > 0, то , и если a < b то . На множестве положительных чисел обе части можно возвести во вторую степень, то есть в квадрат.
8. В том случае, когда a > b, где a, b > 0, то . При a < b получим, что .

Поиск корней, или решений, неравенства можно значительно упростить. Для этого требуется выполнить преобразования, которые являются равносильными друг другу. В результате начальное неравенство будет записано в более простой форме. При этом имеющиеся решения сохраняются, а образование посторонних корней исключается.

Благодаря рассмотренным ранее свойствам неравенств, можно сформулировать несколько полезных правил, которые пригодятся для решения контрольных и задач по математике.